Równanie różniczkowe linii ugięcia belki – zadanie 12

Ponownie wracamy do belek – wcześniej obliczaliśmy reakcje w podporach i rysowaliśmy wykresy sił wewnętrznych, a teraz wyznaczymy linię ugięcia belki przy pomocy równania różniczkowego.

zginanie1 - Równanie różniczkowe linii ugięcia belki - zadanie 12

I co to tak naprawdę jest, bo teoria sobie ale dobrze jest wyobrazić sobie wszystko w praktyce?

Jak spojrzymy na belkę na powyższym obrazku (tą belkę już znamy z wcześniejszych zadań) to widać że jest ona obciążana różnymi siłami. Spróbujmy sobie wyobrazić, że belka jest z materiału, który łatwo wygiąć . Te obciążenia spowodują, że belka pod wpływem obciążeń nie będzie prosta tylko lekko się pokrzywi.

Podobnie będzie, gdy ktoś złapie za 2 końce linijki i na środku położy ciężarek – linijka się wygnie.

I to równanie różniczkowe LINII UGIĘCIA to jest taka funkcja matematyczna, której wykres ma dokładnie taki kształt jak wygięta belka. To teraz jak to po kolei zrobić:
1. Dzielimy belkę na przedziały i w każdym z nich piszemy moment gnący

to już było przy okazji rysowania wykresów,

Wytrzymałość-zginanie-zadanie 11

ale działamy:
Pierwszy przedział
Mg(x) = q * a² – q * x * x/2 = q * a2 – 0,5 * q * x²

Drugi przedział
Mg(x) = q * a² – q * a * (x-a/2) + 4*q*a * (x-a) =
=  q * a² – q * a * x + 0,5 * q * a² + 4 * q * a * x – 4 * q * a² =
=  3 * q * a * x – 2,5 * q * a²

2. Dla każdego przedziału piszemy równanie różniczkowe linii ugięcia belki:
Pierwszy przedział:
E * J * d²y/dx2 = -Mg(x)
E * J * d²y/dx2 = 0,5 * q * x² – q * a²
Dwukrotnie całkujemy równanie stronami:
E * J * dy/dx = 0,5 * q * 1/3 * x³ – q * a² * x + c1
E * J * dy/dx = q * 1/6 * x³ – q * a² * x + c1
E * J * y = q * 1/6 * 1/4 * x³ * x – q * a² * 0,5 * x² + c1 * x + d1
E * J * y = q * 1/24 * x³ * x – 0,5 * q * a² * x² + c1 * x + d1 – równanie linii ugięcia belki dla pierwszego przedziału

I to samo drugi przedział:
E * J * d2y/dx2 = -Mg(x)
E * J * d2y/dx2 = 2,5 * q * a²- 3 * q * a * x
E * J * dy/dx = 2,5 * q * a² * x – 3 * q * a * 0,5 * x² + c2
E * J * dy/dx = 2,5 * q * a² * x – 1,5 * q * a * x² + c2
E * J * y = 2,5 * q * a² * 0,5 * x² – 1,5 * q * a * 1/3 * x3 + c2 * x + d2
E * J * y = 1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2 – równanie linii ugięcia belki dla drugiego przedziału

Jak już mamy równania linii ugięcia dla obu przedziałów, to jedyne co nie wiadomo, to stałe całkowania c1, d1, c2 oraz d2.

W tym celu:
3. Piszemy warunki brzegowe.
I należy zapytać co to są warunki brzegowe, ponieważ sama ta nazwa niewiele mówi:

zginanie10 - Równanie różniczkowe linii ugięcia belki - zadanie 12

Można sobie wyobrazić, w jaki sposób belka może zostać wygięta i przykład widać na rysunku powyżej czerwona linią przerywaną:
Na pewno na prawym końcu w punkcie C belka wychodzi ze ściany i wychodzi z tej ściany poziomo, a zacznie się wyginać dopiero kawałek od ściany.
Warunkiem brzegowym jest na przykład to, że wygięta belka zawsze wychodzi ze ściany poziomo niezależnie od tego, jak zostanie pogięta przez przyłożone obciążenia. I jak to zapisać:
y=0 dla x=2*a (pierwszy warunek brzegowy) – dosłownie znaczy tyle że na prawym końcu belka się nie ugnie, bo jest wmurowana do ściany
oraz
y’=0 dla x=2*a ( drugi warunek brzegowy) – i to też można opisać dosłownie – belka wychodzi ze ściany poziomo – styczna do belki w punkcie C jest pozioma – to znaczy tyle, że pochodna funkcji opisującej linię ugięcia belki w punkcie C będzie równa zero.
Mamy 2 warunki brzegowe, czyli będą potrzebne jeszcze dwa i one będą dotyczyć punktu B na styku przedziału lewego i prawego.

W punkcie B koniec pierwszego przedziału styka się z początkiem drugiego przedziału, a więc ugięcie na KOŃCU pierwszego przedziału będzie takie samo jak na POCZĄTKU drugiego przedziału i zapiszemy to następująco:
y1=y2 dla x=a (trzeci warunek brzegowy)
Po drugie styczna do belki na końcu pierwszego przedziału będzie taka sama jak styczna do belki na początku drugiego przedziału:
y1’=y2′ dla x=a (czwarty warunek brzegowy).

4. Warunki brzegowe wstawiamy do scałkowanych równań różniczkowych:
Na początek bierzemy drugi warunek brzegowy
y’=0 dla x=2*a
i wstawiamy do równania różniczkowego pierwszego stopnia z drugiego przedziału (dlatego że drugi warunek dotyczy pochodnej y’ oraz dotyczy drugiego przedziału):
E * J * dy/dx = 2,5 * q * a² * x – 1,5 * q * a * x² + c2
E * J * 0 = 2,5 * q * a² * 2*a – 1,5 * q * a * (2*a)² + c2
0 = 5 * q * a³  – 6 * q * a³ + c2
0 =   (- q) * a³ + c2
Pierwsza stała całkowania dla drugiego przedziału
c2 = q * a³

Teraz bierzemy pierwszy warunek brzegowy
y=0 dla x=2*a
i wstawiamy do równania zerowego stopnia dla drugiego przedziału
E * J * y = 1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2
Wstawiamy również obliczoną przed chwilą stałą całkowania
E * J * 0 = 1,25 * q * a² * (2*a)² – 0,5 * q * a * (2*a)³ + q * a³ * 2 * a + d2
0 = 5 * q * a³ * a – 4 * q * a³ * a  + q * a³ * a  * 2 + d2
0 = 3 * q * a³ * a  + d2
Druga stała całkowania dla drugiego przedziału
d2 = (-3) * q * a³ * a

Kolejno bierzemy czwarty warunek brzegowy:
y1’=y2′ dla x=a
i przyrównujemy równania pierwszego stopnia dla obu przedziałów
q * 1/6 * x³ – q * a² * x + c1 = 2,5 * q * a² * x – 1,5 * q * a * x² + c2
wstawiając również obliczoną stałą całkowania c2:
q * 1/6 * a³ – q * a² * a + c1 = 2,5 * q * a² * a – 1,5 * q * a * a² + q * a³
(-5/6) * q * a³ + c1 = 2 * q * a³
Pierwsza stała całkowania dla drugiego przedziału
c1 = 2,8 * q * a³

I na koniec bierzemy trzeci warunek brzegowy:
y1=y2 dla x=a
i przyrównujemy równania zerowego stopnia dla obu przedziałów
q * 1/24 * x * x³ – 0,5 * q * a² * x²+ c1 * x + d1 =
= 1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2

q * 1/24 * a* a³ – 0,5 * q * a* a³ + 2,8 * q * a* a³ + d1 =
= 1,25 * q * a* a³ – 0,5 * q * a* a³ + q * a* a³ + (-3) * q * a* a³

Pierwsza stała całkowania dla drugiego przedziału
d1 = (-1,25) * q * a* a³ – 2,3 * q * a* a³ = (-3,55) * q * a* a³

Obliczone stałe całkowania wstawiamy do równań linii ugięcia belki:
y1 = (q * 1/24 * x * x³ – 0,5 * q * a² * x² + c1 * x + d1 ) : EJ
y2 = (1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2) : EJ

y1 = (q * 1/24 * x * x³ – 0,5 * q * a² * x² + 2,8 * q * a³ * x – 3,55 * q * a * a³ ) : EJ
y2 = (1,25 * q * a² * x²- 0,5 * q * a * x³ + q * a³ *x – 3 * q * a * a³ ) : EJ

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *