Ponownie wytrzymałość materiałów i dzisiaj będzie o skręcaniu wału. Poniżej mamy taki przykład:
Jak widać posiada on zmienną średnicę a poza tym na początkowym odcinku jest drążony. Teraz jak może wyglądać zadanie ze skręcania wału:
Wał został umieszczony pomiędzy dwiema ścianami – do lewej ściany jest on sztywno przymocowany i do prawej ściany również jest sztywno przymocowany. To przymocowanie często nazywają UTWIERDZENIEM albo WMUROWANIEM. Widać jego długości i średnice i widać również, że można go podzielić na 3 przedziały:
– lewy przedział DRĄŻONY o średnicy zewnętrznej 2*D
– drugi środkowy przekrój PEŁNY o średnicy zewnętrznej 2*D
– trzeci prawy przedział o średnicy D
Zauważmy, że na granicy pierwszego i drugiego przedziału przyłożono moment. Autor zadania chce żebyśmy narysowali wykresy momentów i naprężeń skręcających.
I teraz jak się zabrać do takiego zadania z wytrzymałości ze skręcania:
1. Uwalniamy wał od więzów
czyli ZASTĘPUJEMY ŚCIANY MOMENTAMI UTWIERDZENIA MA oraz MB.
Jak już wiadomo uwalnianie od więzów to tradycja przy wielu zadaniach z wytrzymałości.
2. Tak się składa że mamy skręcanie wału, a więc piszemy jakie będą momenty w poszczególnych przedziałach.
I jedziemy po kolei:
Zasłaniamy większą część wału tak, żeby widzieć tylko kawałek pierwszego lewego przedziału.
Widzimy tylko moment utwierdzenia w lewej ścianie:
Ms1 = MA
To samo z drugim przedziałem – odsłaniamy cały lewy przedział i kawałek drugiego – widzimy moment utwierdzenia w lewej ścianie i przyłożony moment
Ms2 = MA + M
To samo widać w przypadku trzeciego przedziału:
Ms3 = MA + M
3. Piszemy równanie równowagi
sumę momentów względem osi wału:
Mix = MA + M + MD = 0
Jak widać mamy równanie z dwiema niewiadomymi (momenty utwierdzenia MA i MD) a więc jest to zadanie STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE – potrzebujemy jeszcze jedno równanie oprócz równania równowagi. Wobec tego przechodzimy do punktu czwartego:
4. Piszemy równanie geometryczne:
1 + 2 + 3 = 0
To znaczy dokładnie tyle, że jeżeli pierwszy przedział zostanie skręcony o 1 stopień i drugi przedział zostanie skręcony również o 1 stopień, to trzeci przedział musi się skręcić o MINUS 2 stopnie ponieważ lewa ściana i prawa ściana zawsze będą stały nieruchomo.
5. Liczymy biegunowe momenty bezwładności przekrojów w kolejnych przedziałach
to jest taka wielkość przekroju wałka która dotyczy skręcania i w której jest zawarta jego średnica:
Jo1 = * (2*D)4 : 32 – * D4 : 32 = /32 * (16*D4 – D4 ) =
/32 * 15*D4 = 15/32 * * D4
Jo2 = * (2*D)4 : 32 = 16/32 * * D4 = 0,5 * * D4
Jo3 = * D4 : 32
6. Do równania geometrycznego trzeba wmontować prawo Hooke dla skręcania.
Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy
Dla kolejnych przedziałów zgodnie z prawem Hooke’a kąty skręcenia wału wyniosą:
Ms1 * L MA * L * 32
1 = ————- = ———————–
G * Jo1 G * 15 * * D4
Ms2 * L (MA+M) * L * 2
2 = ————- = ———————–
G * Jo2 G * * D4
Ms3 * L (MA+M) * L * 32
3 = ————- = ————————
G * Jo3 G * * D4
Wszystkie 3 powyższe równania wstawiamy do równania geometrycznego:
MA * L * 32 (MA+M) * L * 2 (MA+M) * L * 32
—————– + ———————— + ————————- =0
G*15**D4 G * * D4 G * * D4
Teraz to wszystko można uprościć dzieląc obie strony przez L oraz mnożąc przez G * * D4
MA * 32/15 + (MA+M) * 2 + (MA+M) * 32 = 0
I jak opuścimy nawiasy:
MA*32/15 + MA*2 + M*2 + MA*32 + M*32 = 0
to pozostanie uprościć i tak już proste równanie:
MA*36,1 + M*34 = 0
MA*36,1 = (-M)*34
Wobec tego moment utwierdzenia w lewej ścianie:
MA = (-0,94)*M
7. Wstawiamy obliczony moment utwierdzenia do momentów skręcających w poszczególnych przedziałach:
Ms1 = MA = (-0,94)*M
Ms2 = MA + M = (-0,94)*M + M = 0,06*M
Ms3 = MA + M = 0,06*M
I teraz można już narysować wykres momentów:
8. Obliczamy wskaźniki wytrzymałości przekrojów na skręcanie
dzielimy obliczony wcześniej biegunowy moment bezwładności przez maksymalny promień przekroju (jeżeli pierwszy przedział ma średnicę 2*D to maksymalny promień będzie D):
Wo1 = Jo1 : rmax = 0,47 * * D4 : D = 0,47 * * D3
Wo2 = Jo2 : rmax = 0,5 * * D4 : D = 0,5 * * D3
Wo3 = Jo3 : rmax = 0,031 * * D4 : (0,5*D) = 0,062 * * D3
9. Obliczamy naprężenia skręcające, które są iloczynem momentu przez wskaźnik:
s1 = Ms1 : Wo1 = (-0,94*M) : (0,47 * * D3 ) = (-0,64) * M/D3
s2 = Ms2 : Wo2 = 0,06*M : (0,5 * * D3 ) = 0,038 * M/D3
s3 = Ms3 : Wo3 = 0,06*M : (0,062 * * D3 ) = 0,31 * M/D3
I po narysowaniu wykresów widać jak prosty jest to temat
