Temat trójkierunkowego stanu naprężenia wiąże się pośrednio z tematem rozciągania, ponieważ prawo Hooke’a słusznie kojarzone jest z wydłużeniem pręta:
Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy
siła * długość pręta
wydłużenie = ———————————————–
moduł Younga * pole przekroju
dotyczy zmiany wymiaru w JEDNYM kierunku – długości.
Przy drobnej modyfikacji powyższego prostego wzoru można nim opisać zmianę wymiarów elementu odkształcalnego w 3 prostopadłych kierunkach.
A tak mówiąc prostymi słowami to na przykład gdy weźmiemy kawałek plasteliny, położymy na stole i naciśniemy na nią, to ona się spłaszczy, ale jednocześnie rozejdzie się na boki. Czyli zmniejszy się jej wysokość, ale zwiększy szerokość i długość. To teraz weźmy ponownie prawo Hooke’a:
S * L
L = ————————–
E * F
Jak podzielimy obie strony przez L:
L S
= ———–
L E * F
I teraz można zapisać L/L jako wydłużenie względne:
L/L =
i wstawić do równania powyżej:
S
= ————–
E * F
I można przypomnieć że siła podzielona przez przekrój daje naprężenie:
S/F =
I ponownie wprowadzamy to do równania powyżej (prawa Hooke’a):
= / E
I to co dostaliśmy to dalej dotyczy JEDNOKIERUNKOWEGO stanu naprężenia czyli na przykład rozciągania pręta. A teraz jak to będzie wyglądało dla naciskania i rozpłaszczania kawałka plasteliny czyli TRÓJKIERUNKOWEGO stanu naprężenia, czyli oto mamy UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE’A:
x = x/E – *y/E – *z/E
I to dotyczy osi x i prostopadłych do niej z oraz y. Pierwszy składnik jest identyczny jak dla JEDNOKIERUNKOWEGO stanu naprężenia. Drugi i trzeci składnik poprzedzony MINUSEM dotyczy odkształceń w kierunkach prostopadłych do osi x (i dlatego tu jest minus, bo jak ściśniemy plastelinę, to ona się spłaszczy-zmniejszy się wymiar i jednocześnie rozejdzie na boki-2 prostopadłe wymiary się zwiększą). I tu się pojawia tajemnicze oznaczenie:
– stała Poissona
i to jest taka liczba, inna dla każdego materiału, która opisuje ile dany materiał rozpłaszczy się na boki, jak go naciśniemy z góry (stąd ten przykład z rozgniataniem kawałka plasteliny). Analogiczna sytuacja wystąpi dla 2 pozostałych osi:
y = y/E – *x/E – *z/E
z = z/E – *x/E – *y/E
Następnym razem zrobimy proste zadanie z tego tematu.
