Trójkierunkowy stan naprężenia – ponownie podstawy

Temat trójkierunkowego stanu naprężenia wiąże się pośrednio z tematem rozciągania, ponieważ prawo Hooke’a słusznie kojarzone jest z wydłużeniem pręta:

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy

 

                               siła * długość pręta

wydłużenie = ———————————————–

    moduł Younga * pole przekroju

 

dotyczy zmiany wymiaru w JEDNYM kierunku – długości.

Przy drobnej modyfikacji powyższego prostego wzoru można nim opisać zmianę wymiarów elementu odkształcalnego w 3 prostopadłych kierunkach.

A tak mówiąc prostymi słowami to na przykład gdy weźmiemy kawałek plasteliny, położymy na stole i naciśniemy na nią, to ona się spłaszczy, ale jednocześnie rozejdzie się na boki. Czyli zmniejszy się jej wysokość, ale zwiększy szerokość i długość. To teraz weźmy ponownie prawo Hooke’a:

 

S * L

L    =   ————————–

E * F

 

Jak podzielimy obie strony przez L:

 

L              S

 = ———–

L                 E * F

I teraz można zapisać L/L jako wydłużenie względne:

L/L =

i wstawić do równania powyżej:

 

S

= ————–

E * F

 

I można przypomnieć że siła podzielona przez przekrój daje naprężenie:

S/F =

I ponownie wprowadzamy to do równania powyżej (prawa Hooke’a):

= / E

I to co dostaliśmy to dalej dotyczy JEDNOKIERUNKOWEGO stanu naprężenia czyli na przykład rozciągania pręta. A teraz jak to będzie wyglądało dla naciskania i rozpłaszczania kawałka plasteliny czyli TRÓJKIERUNKOWEGO stanu naprężenia, czyli oto mamy UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE’A:

x = x/E – *y/E – *z/E

I to dotyczy osi x i prostopadłych do niej z oraz y. Pierwszy składnik jest identyczny jak dla JEDNOKIERUNKOWEGO stanu naprężenia. Drugi i trzeci składnik poprzedzony MINUSEM dotyczy odkształceń w kierunkach prostopadłych do osi x (i dlatego tu jest minus, bo jak ściśniemy plastelinę, to ona się spłaszczy-zmniejszy się wymiar i jednocześnie rozejdzie na boki-2 prostopadłe wymiary się zwiększą).  I tu się pojawia tajemnicze oznaczenie:

– stała Poissona

i to jest taka liczba, inna dla każdego materiału, która opisuje ile dany materiał rozpłaszczy się na boki, jak go naciśniemy z góry (stąd ten przykład z rozgniataniem kawałka plasteliny). Analogiczna sytuacja wystąpi dla 2 pozostałych osi:

y = y/E – *x/E – *z/E

z = z/E – *x/E – *y/E

Następnym razem zrobimy proste zadanie z tego tematu.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *