Witam ponownie i dzisiaj kolejne zadanie z wytrzymałości ze skręcania wału.
Wytrzymałość – zadanie 13 – skręcanie wału
Mamy tutaj wał o podanym przekroju i długości L.
Autor zadaje pytanie:
OBLICZ KĄT SKRĘCENIA ORAZ MAKSYMALNE NAPRĘŻENIE SKRĘCAJĄCE
Po pierwsze – obliczamy położenie środka ciężkości przekroju.
Ponieważ przekrój wałka ma pionową oś symetrii, to umieszczamy go w układzie współrzędnych nad osią x, tak żeby oś symetrii przekroju pokrywała się z osią y.
Mechanika – środek ciężkości – zadanie 16
Współrzędna położenia środka ciężkości wyniesie:
yc = [ 0,5 * π * (2*a)² * (4*2*a / (3*π)) – 0,5*2*a*a*a/3 ] :
: [ 0,5 * π * (2*a)² – 0,5*2*a*a ] = 0,94 * a
W mianowniku mamy całkowite pole przekroju – pole półkola minus pole trójkąta. W liczniku jest po kolei:
– pole półkola razy współrzędna środka ciężkości półkola
czyli
odległość środka ciężkości od osi x
– i to samo dalej czyli minus (bo wycieli z półkola trójkąt) pole trójkąta razy współrzędna jego środka ciężkości
Po drugie – obliczamy momenty bezwładności przekroju na zginanie.
Względem osi xc:
Jxc = π * (4*a)4 : 128 + 0,5 * π * (2*a)² * [ (4*2*a / (3* π) ) – 0,94*a ]² +
– [ 2*a* a³ : 36 + 0,5*2*a*a * ( 0,94*a – a/3 )² ] = 5,9 * a4
Powyżej widzimy jak zastosowano twierdzenie Steinera:
Moment bezwładności półkola
plus
jego pole
razy
odległość pomiędzy środkiem ciężkości półkola
a
środkiem ciężkości całego przekroju.
Dalej podobnie minus i to samo co dotyczy trójkąta. Minus dlatego bo z półkola wycięto trójkąt. I to samo robimy względem osi yc:
Jyc = π * (4*a)4 : 128 – 2 * [ a * a³ : 36 + 0,5 * a * a * (a/3)² ] = 1,4 * a4
Po trzecie – biegunowy moment bezwładności przekroju jest sumą momentów bezwładności względem prostopadłych osi centralnych (w tym przypadku xc i prostopadły do niego yc).
Jo = Jxc + Jyc = 5,9 * a4 + 1,4 * a4 = 7,3 * a4
Maksymalna odległość przekroju od początku układu współrzędnych:
rmax = √[(0,94*a)²+(2*a)²] = a * √[0,94²+2²] = 2,2*a
Wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:
Wo = Jo : rmax = 7,3 * a4 : 2,2 * a = 3,3 * a³
Maksymalne naprężenia skręcające to iloraz momentu przez wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:
τs = M : Wo = M : 3,3 * a³ = 0,3 * M/a³
Po czwarte – zgodnie z prawem Hooke dla skręcania Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy kąt skręcenia wału wyniesie:
M * L
φ = ————- =
G * Jo
M * L
= ——————————- =
G * 7,3 * a4
= 0,14 * M * L / (G*a4)
