Równia pochyła i tarcie – zadanie 47

Witam wszystkich i dzisiaj zrobimy zadanie z tarciem i równią pochyłą.
tarcie1 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
Na równi pochyłej leży klocek o masie 2*m a za nim opierają się o niego dwa klocki (o masie m) leżące jeden na drugim i jest dany współczynnik tarcia między klockami oraz równią . Ten co wymyślił zadanie, zadaje pytanie:

JAKI MOŻE BYĆ MAKSYMALNY KĄT α, ŻEBY TO WSZYSTKO POZOSTAŁO NIERUCHOME

Łatwo sobie wyobrazić, że jeżeli kąt równi będzie za duży, to wszystko zjedzie na dół.
To co widzimy na obrazku, to jest

UKŁAD ZŁOŻONY

czyli w tym przypadku:

-duży klocek

-i dwa małe klocki.

Wobec tego przechodzimy do

KROKU PIERWSZEGO

Rozkładamy układ złożony na

UKŁADY PROSTE:

duży klocek
mały klocek
– drugi mały klocek

Rysujemy duży klocek i uwalniany od więzów
tarcie2 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
czyli rysujemy siły pochodzące od:
– ciężaru
– nacisków dwóch mniejszych klocków które go naciskają
– nacisku i tarcia od równi na której klocek stoi.

Łatwo zauważyć że jest to układ sił płaski zbieżny, a więc można napisać 2 równania równowagi:

– suma rzutów sił na oś x
– suma rzutów sił na oś y

https://blog-student.com/statyka-sciaga-podstawy/
Klocek i cała równia lecą pod kątem i dlatego obrócimy układ współrzędnych o kąt α:
I teraz równania równowagi:
ΣPix = m*N1 – N2 – N3 – 2*m*g*sinα = 0 [1]
ΣPiy = N1 – 2*m*g*cosα = 0 [2]

Duży klocek został uwolniony od więzów i równania napisane, to teraz analogicznie działamy z małym górnym klockiem:
tarcie3 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
Tutaj podobnie obrócimy układ współrzędnych i napiszemy równania równowagi statycznej:
ΣPix = m*N4 + N2 – m*g*sinα = 0 [3]
ΣPiy = N4 – m*g*cosα = 0 [4]

Analogicznie rozwiążemy temat małego dolnego klocka:

tarcie4 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
ΣPix = m*N5 – m*N4 + N3 – m*g*sinα = 0 [5]
ΣPiy = N5 – N4 – m*g*cosα = 0 [6]

W DRUGIM KROKU

obliczymy szukany kąt α równi z powyższych sześciu równań statycznych.

Dodajemy stronami równania [4] i [6] :
N4 – m*g*cosα + N5 – N4 – m*g*cosα= 0
(- m)*g*cosα + N5 – m*g*cosα= 0
Nacisk pomiędzy dolnym małym klockiem a równią:
N5 = 2*m*g*cosα

Z równania [4] obliczymy nacisk między dwoma małymi klockami:
N4 = m*g*cosα

Z równania [2] wynika nacisk równi na duży klocek:
N1 = 2*m*g*cosα

Z równania [5] :
μ*2*m*g*cosα – μ*m*g*cosα + N3 – m*g*sinα = 0
μ*m*g*cosα + N3 – m*g*sinα= 0
Nacisk między dużym a małym dolnym klockiem:
N3 = m*g*sinα – μ*m*g*cosα

Z równania [1] :
μ*N1 – N2 – N3 – 2*m*g*sinα = 0
μ*2*m*g*cosα – (m*g*sinα – μ*m*g*cosα ) – 2*m*g*sinα = N2
μ*2*m*g*cosα – m*g*sinα + μ*m*g*cosα – 2*m*g*sinα = N2
Nacisk między dużym a małym górnym klockiem:
N2 = μ*3*m*g*cosα – 3*m*g*sinα

Wszystko co udało się obliczyć wstawiamy do równania [3]:
μ*m*g*cosα + μ*3*m*g*cosα – 3*m*g*sinα – m*g*sinα = 0
μ*4*m*g*cosα – 4*m*g*sinα = 0
μ*4*m*g*cosα = 4*m*g*sinα
μ*cosα = sinα
Dzielimy obie strony równania przez cosα:
tgα = μ
Wobec tego szukany kąt, żeby te wszystkie klocki nie zjechały na dół wynosi:
α = arctg μ

Prawda że łatwe?

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *