Obliczanie momentów zginających belkę – wytrzymałość – zadanie 24

Dzisiaj zrobimy kolejne zadanie z belek, w którym obliczymy momenty zginające.

Mamy belkę opartą na 2 podporach (przegubowa stała i przegubowa przesuwna) i widać tutaj 2 przedziały.

 

zginanie21 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

Po pierwsze

 

Uwalniamy belkę od więzów, czyli zastępujemy siłami to wszystko, czym łączy się belka ze światem zewnętrznym. W tym przypadku są to 2 podpory przegubowe:
– przesuwna – zamiast niej rysujemy reakcję prostopadłą do 2 równoległych kresek
– stała – zamiast niej rysujemy 2 prostopadłe do siebie reakcje

 

Po drugie

 

zginanie22 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

Jak już uwolniliśmy belkę od więzów, to teraz liczymy reakcje. Dobrze będzie obliczyć reakcję tylko w jednej podporze, bo jak będziemy po kolei obliczać momenty gnące, to nie dojdziemy do tej drugiej podpory.

Wytrzymałość-zginanie-zadanie 10

Może to być reakcja w podporze A i w tym celu obliczamy sumę momentów względem punktu C:
∑MiC = RA*2*a – M – M – M = 0
RA*2*a = M + M + M
RA*2*a = 3 * M
Z tego wynika reakcja w podporze A:
RA = 3 * M : (2*a) = 1,5 * M/a

Po trzecie

Mając reakcję RA i pozostałe obciążenia zewnętrzne obliczamy momenty gnące w 3 charakterystycznych punktach na początku i końcu przedziałów: A, B i C.
Aby obliczyć moment w punkcie A zasłaniamy KARTKĄ prawie całą belkę tak żeby było widać tylko punkt A i sam początek belki.zginanie23 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

I co widać – moment skupiony w punkcie A:
MgA = M

Tak samo postępujemy z punktem B, ale ponieważ w punkcie B jest przyłożony moment, to obliczymy moment zginający belkę tuż na LEWO od punktu B

oraz drugi

tuż na PRAWO od punktu B.
W pierwszym przypadku odsłaniamy cały pierwszy przedział w taki sposób, żeby jeszcze mieć zasłonięty punkt B:

zginanie24 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

MgB< = M – RA*a = M – 1,5 * M/a*a = M – 1,5 * M = (-0,5*M)
czyli widzimy moment M oraz reakcję RA działającą na ramieniu a, przy czym a jest odległością od siły RA do KARTKI.

Moment M  UNOSI lewy koniec belki (dlatego jest PLUS) , reakcja RA OPUSZCZA lewy koniec belki (dlatego jest z MINUSEM).

zginanie25 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

Po prawej stronie punktu B (odsłaniamy cały lewy przedział oraz punkt B):
MgB> = M – RA*a + M = 2*M – 1,5 * M/a*a = 2*M – 1,5*M = 0,5*M

 

W punkcie C (odsłaniamy całą belkę mając zasłonięty tylko punkt C):

 

zginanie26 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24
MgC = M – RA*2*a + M = M – 1,5 * M/a*2*a + M =
= 2 * M – 1,5 * M * 2 = (-M)
z momentem M sprawa wygląda analogicznie jak w punkcie B, reakcja RA działa tutaj na ramieniu 2*a. Momentu przyłożonego w punkcie C jeszcze nie widzimy, bo jest zasłonięty KARTKĄ.

 

Po czwarte

 

Teraz kolej na siły tnące (czyli te siły które działają w PIONIE w poprzek belki) i analogicznie idziemy od lewej strony:

Bierzemy kawałek KARTKI i zasłaniamy prawie całą belkę i tylko odsłaniamy kawałek lewego przedziału – widać tylko siłę RA działającą w dół.

zginanie27 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

TAB = (-RA) = (-1,5) * M/a
A dlatego sobie przyjęliśmy MINUS, bo siła działa w DÓŁ.

Przechodzimy do przedziału prawego czyli odsłaniamy cały lewy przedział i kawałek prawego przedziału.

 

zginanie28 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

Jedyna siła działająca pionowo czyli w poprzek belki to dalej jest tylko RA:
TBC = (-RA) = (-1,5) * M/a

To teraz jak obliczyliśmy momenty zginające belkę i siły tnące, to można narysować wykresy

zginanie20 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

Powyżej widać oba wykresy i teraz będzie najlepsze, co się potwierdza przy zginaniu belek.

Widać że wykres momentu gnącego (ten na górze) idąc od prawej do lewej cały czas opada, czyli jest to funkcja malejąca.

Pod wykresem momentu mamy wykres siły tnącej i na całej długości siła tnąca ma wartość ujemną.

I chodzi tutaj o tę zbieżność faktów:

moment gnący malejący – siła tnąca ujemna.

To samo naukowo można powiedzieć:

Siła tnąca

jest pochodną

momentu gnącego

Prawda że proste ?

Linia ugięcia belki – wytrzymałość – zadanie 12

Ponownie wracamy do belek – wcześniej obliczaliśmy reakcje w podporach i rysowaliśmy wykresy sił wewnętrznych, a teraz wyznaczymy linię ugięcia belki.

zginanie1 - Linia ugięcia belki - wytrzymałość - zadanie 12

Rozwinięciem poprzednich tematów jest obliczenie linii ugięcia. I co to tak naprawdę jest, bo teoria sobie ale dobrze jest wyobrazić sobie wszystko w praktyce?

Jak spojrzymy na belkę na powyższym obrazku (tą belkę już znamy z wcześniejszych zadań) to widać że jest ona obciążana różnymi siłami. Jak sobie wyobrazimy, że belka jest z materiału, który łatwo wygiąć to te obciążenia spowodują, że belka pod wpływem obciążeń nie będzie prosta tylko lekko się pokrzywi.

To jest tak, jakby ktoś złapał za 2 końce linijki i na środku położył ciężarek – linijka się wygnie.

I to równanie LINII UGIĘCIA to jest taka funkcja matematyczna, której wykres ma dokładnie taki kształt jak wygięta belka. To teraz jak to po kolei zrobić:
1. Dzielimy belkę na przedziały i w każdym z nich piszemy moment gnący

to już było przy okazji rysowania wykresów,

Wytrzymałość-zginanie-zadanie 11

ale działamy:
Pierwszy przedział
Mg(x) = q * a² – q * x * x/2 = q * a2 – 0,5 * q * x²

Drugi przedział
Mg(x) = q * a² – q * a * (x-a/2) + 4*q*a * (x-a) =
=  q * a² – q * a * x + 0,5 * q * a² + 4 * q * a * x – 4 * q * a² =
=  3 * q * a * x – 2,5 * q * a²

2. Dla każdego przedziału piszemy równanie różniczkowe linii ugięcia belki:
Pierwszy przedział:
E * J * d²y/dx2 = -Mg(x)
E * J * d²y/dx2 = 0,5 * q * x² – q * a²
Dwukrotnie całkujemy równanie stronami:
E * J * dy/dx = 0,5 * q * 1/3 * x³ – q * a² * x + c1
E * J * dy/dx = q * 1/6 * x³ – q * a² * x + c1
E * J * y = q * 1/6 * 1/4 * x³ * x – q * a² * 0,5 * x² + c1 * x + d1
E * J * y = q * 1/24 * x³ * x – 0,5 * q * a² * x² + c1 * x + d1 – równanie linii ugięcia belki dla pierwszego przedziału

I to samo drugi przedział:
E * J * d2y/dx2 = -Mg(x)
E * J * d2y/dx2 = 2,5 * q * a²- 3 * q * a * x
E * J * dy/dx = 2,5 * q * a² * x – 3 * q * a * 0,5 * x² + c2
E * J * dy/dx = 2,5 * q * a² * x – 1,5 * q * a * x² + c2
E * J * y = 2,5 * q * a² * 0,5 * x² – 1,5 * q * a * 1/3 * x3 + c2 * x + d2
E * J * y = 1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2 – równanie linii ugięcia belki dla drugiego przedziału

Jak już mamy równania linii ugięcia dla obu przedziałów, to jedyne co nie wiadomo, to stałe całkowania c1, d1, c2 oraz d2.

W tym celu:
3. Piszemy warunki brzegowe.
I należy zapytać co to są warunki brzegowe, ponieważ sama ta nazwa niewiele mówi:

zginanie10 - Linia ugięcia belki - wytrzymałość - zadanie 12

Można sobie wyobrazić, w jaki sposób belka może zostać wygięta i przykład widać na rysunku powyżej czerwona linią przerywaną:
Na pewno na prawym końcu w punkcie C belka wychodzi ze ściany i wychodzi z tej ściany poziomo, a zacznie się wyginać dopiero kawałek od ściany.
Warunkiem brzegowym jest na przykład to, że wygięta belka zawsze wychodzi ze ściany poziomo niezależnie od tego, jak zostanie pogięta przez przyłożone obciążenia. I jak to zapisać:
y=0 dla x=2*a (pierwszy warunek brzegowy) – dosłownie znaczy tyle że na prawym końcu belka się nie ugnie, bo jest wmurowana do ściany
oraz
y’=0 dla x=2*a ( drugi warunek brzegowy) – i to też można opisać dosłownie – belka wychodzi ze ściany poziomo – styczna do belki w punkcie C jest pozioma – to znaczy tyle, że pochodna funkcji opisującej linię ugięcia belki w punkcie C będzie równa zero.
Mamy 2 warunki brzegowe, czyli będą potrzebne jeszcze dwa i one będą dotyczyć punktu B na styku przedziału lewego i prawego.

W punkcie B koniec pierwszego przedziału styka się z początkiem drugiego przedziału, a więc ugięcie na KOŃCU pierwszego przedziału będzie takie samo jak na POCZĄTKU drugiego przedziału i zapiszemy to następująco:
y1=y2 dla x=a (trzeci warunek brzegowy)
Po drugie styczna do belki na końcu pierwszego przedziału będzie taka sama jak styczna do belki na początku drugiego przedziału:
y1’=y2′ dla x=a (czwarty warunek brzegowy).

4. Warunki brzegowe wstawiamy do scałkowanych równań różniczkowych:
Na początek bierzemy drugi warunek brzegowy
y’=0 dla x=2*a
i wstawiamy do równania różniczkowego pierwszego stopnia z drugiego przedziału (dlatego że drugi warunek dotyczy pochodnej y’ oraz dotyczy drugiego przedziału):
E * J * dy/dx = 2,5 * q * a² * x – 1,5 * q * a * x² + c2
E * J * 0 = 2,5 * q * a² * 2*a – 1,5 * q * a * (2*a)² + c2
0 = 5 * q * a³  – 6 * q * a³ + c2
0 =   (- q) * a³ + c2
Pierwsza stała całkowania dla drugiego przedziału
c2 = q * a³

Teraz bierzemy pierwszy warunek brzegowy
y=0 dla x=2*a
i wstawiamy do równania zerowego stopnia dla drugiego przedziału
E * J * y = 1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2
Wstawiamy również obliczoną przed chwilą stałą całkowania
E * J * 0 = 1,25 * q * a² * (2*a)² – 0,5 * q * a * (2*a)³ + q * a³ * 2 * a + d2
0 = 5 * q * a³ * a – 4 * q * a³ * a  + q * a³ * a  * 2 + d2
0 = 3 * q * a³ * a  + d2
Druga stała całkowania dla drugiego przedziału
d2 = (-3) * q * a³ * a

Kolejno bierzemy czwarty warunek brzegowy:
y1’=y2′ dla x=a
i przyrównujemy równania pierwszego stopnia dla obu przedziałów
q * 1/6 * x³ – q * a² * x + c1 = 2,5 * q * a² * x – 1,5 * q * a * x² + c2
wstawiając również obliczoną stałą całkowania c2:
q * 1/6 * a³ – q * a² * a + c1 = 2,5 * q * a² * a – 1,5 * q * a * a² + q * a³
(-5/6) * q * a³ + c1 = 2 * q * a³
Pierwsza stała całkowania dla drugiego przedziału
c1 = 2,8 * q * a³

I na koniec bierzemy trzeci warunek brzegowy:
y1=y2 dla x=a
i przyrównujemy równania zerowego stopnia dla obu przedziałów
q * 1/24 * x * x³ – 0,5 * q * a² * x²+ c1 * x + d1 =
= 1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2

q * 1/24 * a* a³ – 0,5 * q * a* a³ + 2,8 * q * a* a³ + d1 =
= 1,25 * q * a* a³ – 0,5 * q * a* a³ + q * a* a³ + (-3) * q * a* a³

Pierwsza stała całkowania dla drugiego przedziału
d1 = (-1,25) * q * a* a³ – 2,3 * q * a* a³ = (-3,55) * q * a* a³

Obliczone stałe całkowania wstawiamy do równań linii ugięcia belki:
y1 = (q * 1/24 * x * x³ – 0,5 * q * a² * x² + c1 * x + d1 ) : EJ
y2 = (1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2) : EJ

y1 = (q * 1/24 * x * x³ – 0,5 * q * a² * x² + 2,8 * q * a³ * x – 3,55 * q * a * a³ ) : EJ
y2 = (1,25 * q * a² * x²- 0,5 * q * a * x³ + q * a³ *x – 3 * q * a * a³ ) : EJ

Momenty zginające belkę i siły tnące – wytrzymałość – zadanie 11

Witam ponownie i ponownie będziemy działać z belką z poprzedniego wpisu i  ponownie obliczymy momenty zginające belkę.

Wytrzymałość-zginanie-zadanie 10

Tylko że tym razem użyjemy innej, trudniejszej i GORSZEJ metody.zginanie1 - Momenty zginające belkę i siły tnące - wytrzymałość - zadanie 11

Wymiary belki i obciążenia są te same i to samo jest pytanie:

NARYSOWAĆ WYKRESY MOMENTU ZGINAJĄCEGO BELKĘ I SIŁY TNĄCEJ

Tak samo mamy 2 przedziały i w pierwszym przedziale x zawiera się w przedziale od 0 do a. A jak się zawiera od 0 do a, to może przyjąć każdą wartość z tego przedziału.

  1. Zaczynamy od momentów zginających belkę w punktach A, B i C , ponieważ są to początki i końce przedziałów

A więc zasłaniamy kartką (TEN CZERWONY PROSTOKĄT-KOPERTA) i  odsłaniamy tylko tyle belki z lewej strony, żeby widzieć całą tą wartość dla pierwszego przedziałuzginanie8 - Momenty zginające belkę i siły tnące - wytrzymałość - zadanie 11

Czyli widzimy od lewej strony tylko belkę o długości x. Liczymy moment, jaki działa na kartkę:
Mg(x) = q * a² – q * x * x/2
Pierwsza pozycja jest bardzo przejrzysta bo jest to moment przyłożony na lewym końcu, a druga pozycja to siła razy ramię – siła to q*x (obciążenie ciągłe razy długość na której ono działa) a ramię to odległość od KARTKI do POŁOWY widocznej części obciążenia ciągłego.

zginanie9 - Momenty zginające belkę i siły tnące - wytrzymałość - zadanie 11

Analogicznie przechodzimy do drugiego przedziału. Tutaj zmienna x może wynosić od a do 2*a:
Mg(x) = q * a² – q * a * (x-a/2) + 4*q*a * (x-a)
Druga pozycja to siła q*a (obciążenie ciągłe razy długość na której ono działa – teraz widzimy całe obciążenie ciągłe q) razy ramię czyli odległość od KARTKI do POŁOWY widocznego obciążenia ciągłego.

I w ten sposób policzyliśmy momenty gnące w zależności od x i jak teraz się podstawi odpowiednie wartości takie jak 0, a oraz 2*a to wyjdzie to samo co przy pierwszej metodzie, ale w trochę bardziej zagmatwany sposób, na przykład dla pierwszego przedziału dla x=0 czyli dla punktu A:
Mg(x=0) = q * a² – q * x * x/2 = q * a2 – q * 0 * 0/2 = q * a²
teraz gołym okiem widać że wychodzi to samo co przy pierwszej metodzie:
MgA = q * a²

Dla punktu B:
Mg(x=a) = q * a² – q * a * a/2 = q * a2 – 0,5*q * a2 = 0,5*q * a²

Dla punktu C:
Mg(x=2*a) = q * a² – q * a * (x-a/2) + 4*q*a * (x-a) =
= q * a² – q * a * (2*a-a/2) + 4*q*a * (2*a-a) =
= q * a² – q * a * 1,5*a + 4*q*a * a = 3,5*q * a²zginanie5 - Momenty zginające belkę i siły tnące - wytrzymałość - zadanie 11

2. Podobnie drugi GORSZY sposób wygląda dla sił tnących.

Dla pierwszego przedziału podobnie zakrywamy kartką i odsłaniamy tyle żeby widzieć lewy koniec belki o długości x. I jakie siły (poprzeczne do belki czyli pionowe) widzimy:

zginanie8 - Momenty zginające belkę i siły tnące - wytrzymałość - zadanie 11
T(x) = (-q) * x

Tylko obciążenie q o długości x.

Dla drugiego przedziału:

zginanie9 - Momenty zginające belkę i siły tnące - wytrzymałość - zadanie 11
T(x) = (-q) * a + 4*q*a = 3*q*a

Podstawiając wartości x dla charakterystycznych punktów. Dla punktu A:
T(x=0) = (-q) * x = (-q) * 0 = 0

Dla punktu B z lewej strony:
T(x=a) = (-q) * a

Dla punktu B z prawej strony:
T(x=a) = 3*q*a

Dla punktu C:
T(x=2*a) = 3*q*a

zginanie7 - Momenty zginające belkę i siły tnące - wytrzymałość - zadanie 11
Jak widać, w pierwszej metodzie wyszło dokładnie to samo.

Wytrzymałość – zginanie belki – zadanie 10

Witam ponownie, dzisiaj przejdziemy do wytrzymałości i zginania belek. Tutaj będzie trzeba obliczyć momenty gnące, siły tnące i narysować wykresy. Ale po kolei:

Mamy belkę wmurowaną ścianę i obciążoną momentem, siłą i obciążeniem ciągłym. I widać tutaj 2 przedziały : od punktu A do B i od B do C.zginanie1 - Wytrzymałość - zginanie belki - zadanie 10

Ponieważ reakcje w ścianie są na końcu belki, to nie ma sensu ich obliczać i w tym konkretnym przypadku wyjątkowo możemy nie uwalniać belki od więzów. 

I jedziemy od lewej strony:

  1. Obliczamy momenty gnące w 3 charakterystycznych punktach na początku i końcu przedziałów: A, B i C.

Aby obliczyć moment zginający belkę w punkcie A zasłaniamy prawie całą belkę tak żeby było widać tylko punkt A i sam początek belki.

zginanie2 - Wytrzymałość - zginanie belki - zadanie 10

I co widać – moment skupiony w punkcie A:

MgA = q * a2

Tak samo postępujemy z punktem B – odsłaniamy tylko punkt B i wszystko co jest na lewo od niego.

zginanie3 - Wytrzymałość - zginanie belki - zadanie 10

Oprócz momentu skupionego w punkcie A pojawia się obciążenie ciągłe:

MgB = q * a² – q * a * a/2 = 0,5*q*a²

i teraz po kolei druga część czyli siła od obciążenia ciągłego q*a razy ramię a/2 czyli odległość połowy (obciążenia ciągłego q) do punktu B. A z tymi znakami to jest tak, że q*a² jest na plusie, bo próbuje PODNIEŚĆ koniec belki, a obciążenie ciągłe jest na minusie, bo chce OPUŚCIĆ koniec belki. Mówiąc inaczej q*a² kręci ZGODNIE ze wskazówkami zegara, a obciążenie ciągłe kręci PRZECIWNIE do zegara.

I dochodzimy do ściany czyli prawie do punktu C odsłaniając całą belkę oprócz punktu C. To tak jakbyśmy chcieli złapać za sam prawy koniec BELKI przy samej ścianie.

zginanie4 - Wytrzymałość - zginanie belki - zadanie 10

MgC = q * a² – q * a * 1,5*a + 4*q*a * a = 3,5*q*a²

Po kolei idąc to pierwsza cząstka pozostaje bez zmian i dalej siła od obciążenia ciągłego działa teraz na ramieniu 1,5*a, bo odległość ściany od środka obciążenia ciągłego jest 1,5*a. Siła 4*q*a działa na ramieniu a.

Rysujemy to co obliczyliśmy i poniżej powstał wykres momentu zginającego belkę:

zginanie5 - Wytrzymałość - zginanie belki - zadanie 10

2. Teraz kolej na siły tnące i analogicznie idziemy od lewej strony:

zginanie2 - Wytrzymałość - zginanie belki - zadanie 10

TA = 0

Zasłaniamy prawie całą belkę i tylko odsłaniamy kawałek lewego przedziału tuż przy punkcie A – widać że żadna siła nie działa w poprzek belki (czyli w pionie-siła tnąca).

Przechodzimy do punktu B z lewej strony czyli odsłaniamy cały lewy przedział w taki sposób, aby nie było widać punktu B:

zginanie6 - Wytrzymałość - zginanie belki - zadanie 10

TBL = -q * a

Jedyna poprzeczna do belki siła (siła tnąca czyli w poprzek belki) którą widzimy to siła od obciążenia ciągłego q. A dlatego sobie przyjęliśmy minus, bo siła działa w dół.

Przemieszczamy się kawałek w prawo, aby było widać cały lewy przedział oraz punkt B i wtedy widać siłę tnącą z prawej strony punktu B:

zginanie3 - Wytrzymałość - zginanie belki - zadanie 10

TBP = -q * a + 4*q*a = 3*q*a

Oprócz obciążenia ciągłego w poprzek belki działa jeszcze 4*q*a.

Przesuwamy się jeszcze dalej w prawo aż dojdziemy prawie do ściany czyli tuż na lewo od ściany:

zginanie4 - Wytrzymałość - zginanie belki - zadanie 10

TC = -q * a + 4*q*a = 3*q*a

Rysujemy to co obliczyliśmy i powstał wykres siły tnącej:

zginanie7 - Wytrzymałość - zginanie belki - zadanie 10

I to jest pierwsza metoda, a w kolejnym odcinku trochę inna i trudniejsza metoda