Dzisiaj zrobimy zadanie ze zginania belek polegające na zaprojektowaniu przekroju belki.
I oto widzimy belkę składającą się z dwóch odcinków (przedziałów) połączonych przegubem. Lewy koniec lewego odcinka oparto na podporze przegubowej przesuwnej, a prawy koniec prawego odcinka wmurowano w ścianie. Belkę obciążono siłą i momentem. Przekrój belki jest prostokątem o podstawie a i wysokości 2*a, gdzie a jest niewiadomą.
Belkę wykonano z materiału o dopuszczalnych naprężeniach zginających kg. Autor zadaje pytanie:
ZAPROJEKTUJ PRZEKRÓJ BELKI O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM 2a x a
Początek jest analogiczny do innych zadań ze zginania belek:
Krok pierwszy
Uwalniamy belkę od więzów, ale jest małe ALE.
To ALE jest, ponieważ mamy jedną reakcję w lewej podporze (podpora przegubowa przesuwna – jedna reakcja prostopadła do podłoża) i trzy reakcje w ścianie. Tylko żeby obliczyć momenty zginające belkę, to nie potrzebujemy reakcji na jednym końcu belki i dlatego obliczymy TYLKO reakcję w podporze przesuwnej. W tym celu uwolnimy od więzów LEWĄ część belkiKrok drugi
Piszemy równanie równowagi statycznej dla LEWEJ części belki, ALE będzie to wyłącznie równanie momentów względem punktu B, ponieważ w tym równaniu wystąpi TYLKO jedna niewiadoma RA, której szukamy:
ΣMiB = RA*L – P*L = 0
RA*L = P*L
Reakcja w podporze A wyniesie:
RA = P
Krok trzeci
Powracamy do belki jako całość i uwalniamy od więzów:
Krok czwarty
Ponieważ mamy obliczoną reakcję w podporze A, to zaczynamy obliczanie momentów od lewej strony. Zakrywamy kawałkiem KARTKI (ten czerwony prostokąt przekreślony na krzyż) całą belkę odsłaniając WYŁĄCZNIE punkt A i piszemy jaki moment widzimy:
MgA = P*L
i to jest jasne i proste, ponieważ widać tylko moment skupiony P*L, a siła RA działa na ramieniu o długości ZERO (odległość od siły RA do kartki).
Następnie zakrywamy prawą połowę belki, żeby jednocześnie widzieć punkt B i piszemy moment w punkcie B:
MgB = P*L – RA*L = P*L – P*L = 0
Przypomnę, że w powyższym wzorze RA*L oznacza moment od siły RA działający na ramieniu L (odległość od siły RA do kartki).
Pozostało obliczyć moment zginający w punkcie C i w tym celu zasłaniamy tylko ścianę z prawej strony i punkt C:
MgC = P*L – RA*2*L + 4*P*L = P*L – P*2*L + 4*P*L = 3*P*L
Krok piąty
Tak samo idąc od lewej do prawej obliczymy siły tnące działające na belkę. Dla przypomnienia siła tnąca to jest taka siła, która działa w poprzek belki, czyli w naszym przypadku siła działająca w pionie (ponieważ w tym zadaniu belka leci poziomo). A więc do dzieła:
Zasłaniamy belkę kartką w taki sposób żeby widzieć kawałek lewego przedziału.
Piszemy siły w poprzek belki, które widzimy:
TAB = (-RA) = (-P)
Kolejno zasłaniamy belkę, żeby widzieć cały lewy przedział i kawałek prawego.
Oto jakie siły widzimy, które działają w poprzek belki:
TBC = (-RA) + 4*P = (-P) + 4*P = 3*P
Obliczyliśmy siły tnące i momenty gnące, to można narysować wykresy.
Widać, że największy moment zginający występuje przy ścianie:
Mgmax = 3*P*L
Krok szósty
Teraz przejdziemy do prostokątnego przekroju belki i dla niego obliczymy moment bezwładności:
Jxc = a * (2*a)³ / 12 = 0,67 * a4
oraz wskaźnik wytrzymałości na zginanie:
Wx = Jxc : ymax = 0,67 * a4 : a = 0,67 * a³
Krok siódmy
Przyszedł czas na warunek wytrzymałościowy, który mówi, że maksymalne naprężenia zginające belkę muszą być mniejsze od dopuszczalnych kg:
https://blog-student.com/naprezenia-zginajace-podstawy/
Mgmax : Wx < kg
Wstawiamy do powyższego wzoru wskaźnik i wartość maksymalnego momentu gnącego:
3*P*L : ( 0,67 * a³ ) < kg
4,48*P*L / a³ < kg
Szukany minimalny wymiar przekroju wyniesie:
a = [ 4,48*P*L / kg ] 1/3
i w ten sposób zaprojektowaliśmy wymiary przekroju belki.