Tag: wytrzymałość materiałów

Każdy z nas słyszał na wykładzie z wytrzymałości o wykresie rozciągania bez wyraźnej granicy plastyczności. Wykres wykresem ale żeby coś zrozumieć musimy to odnieść do świata rzeczywistego. Związane jest to z

próbą rozciągania

na maszynie zwanej zrywarką. W takiej maszynie mocuje się próbkę (podłużny pręt) na obu jej końcach o określonym przekroju. Materiał pręta również jest ściśle określony. Urządzenie stopniowo zwiększa siłę rozciągającą jednocześnie ją rejestrując. Zgodnie z

prawem Hooke’a

z wzrostem siły rozciągającej zwiększa się długość i wiele zrywarek może również dodatkowo rejestrować długość oraz wydłużenie pręta. W takiej wersji obserwuje się zależność naprężenia i wydłużenia od siły rozciągającej.
Po zmierzeniu wyżej wymienionych wartości można już taki wykres rozciągania  narysować i oto przykład poniżej:

Wykres dotyczy rozciągania pręta z materiału o wyraźnej granicy plastyczności – prostym językiem jest to materiał plastyczny – na przykład stal. Przeciwieństwem materiału plastycznego będzie materiał kruchy – na przykład żeliwo.

Powyższy wykres pokazuje zależność naprężenia (σ – na osi y) od odkształcenia względnego (ε – na osi x) i oto co on przedstawia:

– Przedział AB kończy się granicą proporcjonalności RH i jest to zakres odkształceń sprężystych. W tym przedziale obowiązuje prawo Hooke’a, które mówi:

wydłużenie jest wprost proporcjonalne do przyłożonej siły

Więcej na temat prawa Hooke’a przeczytasz tutaj

Rozciąganie i prawo Hooke’a – wytrzymałość materiałów – podstawy

i zauważ, że odcinek AB jest linią prostą.

– W przedziale BC również materiał odkształca się sprężyście, ale tutaj prawo Hooke’a już nie obowiązuje – tutaj odkształcenia nie są proporcjonalne do przyłożonej siły – zauważ linię krzywą na odcinku BC.

– Punkt C odpowiada granicy plastyczności czyli takim naprężeniom, powyżej których materiał odkształca się plastycznie czyli nie wraca do początkowych wymiarów i kształtów – coś rozciągnąłeś za bardzo i pozostało rozciągnięte.

– Gdy będziemy jeszcze bardziej zwiększać naprężenia rozciągające, to dojdziemy do punktu D wykresu czyli granicy wytrzymałości doraźnej Rm – wtedy próbka rozciągana po prostu się zerwie.

I oto cały wykres rozciągania dla materiału plastycznego.

Prawda że łatwe?

Na poniższym zdjęciu widzisz maszynę wytrzymałościową-zrywarkę pochodzącą z końca XV wieku.

Wiadro zawieszono na cienkiej lince lub drucie. Do tego wiadra z kontenera wsypuje się piasek, aż do momentu gdy ciężar wypełnionego wiadra spowoduje zerwanie linki. Ciężar piasku przesypanego z kontenera do wiadra do chwili zerwania wskazuje na wytrzymałość linki.

Cześć wszystkim i tutaj mamy zadanie z układem prętowym statycznie niewyznaczalnym, gdzie sztywną ramę przymocowano do 3 odkształcalnych prętów, z których każdy leci pionowo.

Do ramy przyłożono moment M. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Podobne zadanie już się zdarzały w niedalekiej przeszłości

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zadanie-26-rozciaganie-uklad-statycznie-niewyznaczalny/

i dzisiaj będziemy postępować analogicznie a więc działamy:

Krok pierwszy
Uwalniamy układ od więzów czyli zastępujemy pręty siłami.

Krok drugi
Piszemy równania równowagi.
ΣPiy = S1 + S2 + S3 – m*g = 0
ΣMiA = S2 * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0
Jak widać mamy 2 równania i 3 niewiadome ( S1 , S2 oraz S3 ), ponieważ jest to układ prętowy statycznie niewyznaczalny i dlatego potrzebne jest dodatkowe równanie geometryczne.

Krok trzeci
Zakładamy, że wszystkie pręty na których wisi rama wydłużą się, ponieważ jeżeli obciążymy układ momentem M to w jakiś sposób pręty muszą się odkształcić, ponieważ są odkształcalne.
Najbardziej prawdopodobne jest , że każdy z prętów wydłuży się o inną długość, ale na tyle na ile pozwolą na to kształt i wymiary ramy. Różne wydłużenia prętów spowodują, że rama obróci się o niewielki kąt. W wyniku tego punkty mocowania prętów do ramy A, B oraz C przemieszczą się tak jak na rysunku poniżej:

Na czerwono jest rama przed odkształceniem i na niebiesko jest rama po odkształceniu.
W ten sposób powstanie punkt , który jest punktem obrotu całej ramy. Oczywiście jest to założenie i w trakcie obliczeń wyjdzie, jak naprawdę odkształcają się pręty.
Teraz już widzimy że punkt A po wydłużeniu prętów stanie się punktem A’ i analogicznie pozostałe 2 punkty – B – B’ oraz C – C’.
I to wszystko wygląda pięknie, tylko że w takiej postaci obliczenie siły w prętach wymagałoby cudu. Dlatego też zastosujemy tutaj proste założenie:

PUNKTY MOCOWANIA PRĘTÓW (A, B ORAZ C) PRZEMIESZCZĄ SIĘ PO PROSTEJ POŁOŻONEJ PIONOWO.

To jest oczywiste i teraz przejdziemy do

Kroku czwartego
Przemieszczenie punku A równa się wydłużeniu pręta 1:
AA’ = ΔL1
i analogicznie dla pozostałych dwóch prętów:
BB’ = ΔL2
CC’ = ΔL3

Teraz będzie jeszcze ciekawiej:
– na przedłużeniu odcinka AB powstał punkt D (na przecięciu z prętem 3)
– podobnie na przedłużeniu odcinka A’B’ powstał punkt D’.

Ponieważ wszystkie kąty między odcinkami są zachowane, to odcinek CC’ równa się odcinkowi DD’ a co za tym idzie:
DD’ = ΔL3
W taki oto sposób powstał trójkąt o podstawie równej odległości między prętami nr1 i nr3 i wysokości równej ΔL3 – ΔL1.

Tutaj od razu widać, że można zastosować twierdzenie Talesa:
L / (ΔL2-ΔL1) = 2*L / (ΔL3-ΔL1)
Dzielimy obie strony równania przez L:
1 / (ΔL2-ΔL1) = 2 / (ΔL3-ΔL1)
Odwracamy liczniki z mianownikami:
ΔL2 – ΔL1 = 0,5*ΔL3 – 0,5*ΔL1
Do obu stron równania dodajemy 0,5*ΔL1:
ΔL2 – 0,5*ΔL1 = 0,5*ΔL3

Krok piąty
I teraz w to można i trzeba wmanewrować prawo Hooke’a:

 

siła w pręcie x długość pręta
wydłużenie = ——————————————-
moduł Younga x przekrój

Dla kolejnych prętów wydłużenia zgodnie z prawem Hooke’a wyniosą:

 

S1 * L
ΔL1 = ——————–
E * A

 

S2 * L
ΔL2 = ———————
E * A

 

S2 * 2 * L
ΔL3 = ————————-
E * A

 

I to wszystko można teraz wstawić do zależności z twierdzenia Talesa:
ΔL2 – 0,5*ΔL1 = 0,5*ΔL3

S2 * L                 0,5*S1*L               0,5*S3*L
————-   –  ————– = —————
E * A                       E * A                        E * A

Mnożymy obie strony równania przez E*A i dzielimy przez L:
S2 – 0,5 * S1 = 0,5 * S3
Jak połączymy to równanie z dwoma statycznymi, które powstały na początku:
ΣPiy = S1 + S2 + S3 – m*g = 0 [1]
ΣMiA = S2 * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0 [2]
S2 – 0,5 * S1 = 0,5 * S3 [3]
to powstanie układ TRZECH równań.

 

Krok szósty

Została czysta matematyka – z układu trzech równań obliczymy szukane siły w prętach

Po przekształceniu równania [3]:
2*S2 – S1 – S3 = 0 [3]
dodajemy stronami do równania [1]:
S1 + S2 + S3 – m*g + 2*S2 – S1 – S3 = 0 [1+3]
S2 – m*g + 2*S2 = 0 [1+3]
3*S2 – m*g = 0 [1+3]
3*S2 = m*g [1+3]
i w ten sposób obliczamy siłę w pręcie nr2:
S2 = 0,33*m*g
Obliczoną wartość wstawiamy do równania [2]:
0,33 * m * g * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0
Dzielimy obie strony równania przez 2*L
0,17 * m * g + S3 – 0,5 * m * g + 0,5*M/L = 0
i w ten sposób obliczamy siłę w pręcie nr 3:
S3 = (-0,17) * m * g + 0,5 * m * g – 0,5*M/L=0,33 * m * g – 0,5*M/L
Z równania [1] obliczymy siłę w pręcie nr1 układu prętowego statycznie niewyznaczalnego:
S1 = (-S2) – S3 + m*g = (-0,33*m*g) – 0,33 * m * g + 0,5*M/L + m*g = 0,33 * m * g + 0,5*M/L

Prawda  że łatwe?