Tag: wytrzymałość materiałów

Obliczenie średnicy nitu – zadanie 46

Cześć wszystkim,  dzisiaj kolejne zadanie ze ścinania – obliczymy średnicę nitów. Niedawno ten temat omawialiśmy

https://blog-student.com/wytrzymalosc-scinanie-zadanie-15/

na trochę innym przykładzie.
scinanienitow2 - Obliczenie średnicy nitu - zadanie 46
Na obrazku widzimy połączenie nitowe dwóch okrągłych płytek przy pomocy 4 nitów. Do każdej z płytek przyłożono moment M – dla równowagi jeden przeciwny do drugiego. Dana jest grubość płytek g oraz średnica położenia nitów D:
scinanienitow1 - Obliczenie średnicy nitu - zadanie 46
oraz dopuszczalne naprężenia ścinające dla materiału nitu kt.
Autor zadaje pytanie:

OBLICZ WYMAGANĄ ŚREDNICĘ d NITU

Jeżeli jest podane dopuszczalne naprężenie ścinające kt dla materiału nitu, to znaczy że potrzebujemy warunku wytrzymałościowego na ścinanie.
Oto jak należy do tego podejść:

Warunek wytrzymałościowy na ścinanie:
T / (4 * π*d²/4) < kt
gdzie

-T oznacza siłę ścinającą nit,
– liczba 4 oznacza występowania 4 nitów,
– π*d²/4 oznacza przekrój nitu o średnicy d (pole koła).

T / (π*d²) < kt
T = π*d² * kt
Po przekształceniu:
d = √[T / (π*kt)]

Nie znamy siły ścinającej T , która pochodzi od przyłożonego momentu M. Moment jest zrównoważony przez 4 jednakowe siły ścinające T działające na ramieniu D/2:
4 * T * D/2 = M
Kolejno mamy
– siła razy ramie czyli T*D/2
– i liczba 4 bo są cztery nity.

I to wszystko jest równe przyłożonemu momentowi M.
W związku z tym siła ścinająca wyniesie:
T = M / (4 * D/2) = M / (2 * D) = 0,5*M / D
i wstawiamy ją do wzoru na wymaganą średnicę nitu:

d =√[T/(π*kt) = √[(0,5*M/D) / (π*kt)]= √[(0,5*M) / (π*kt*D)]

Prawda że łatwe?

Trójkierunkowy stan naprężenia – zadanie 45

W nieodkształcalnym sześcianie o boku L wycięto rowek o szerokości 0,5*L i wsunięto prostopadłościan o wymiarach jak na poniższym rysunku.
uogolnioneprawohooke - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Prostopadłościan obciążono poziomą siłą P i z drugiej strony taka sama siła działa na nieodkształcalny sześcian.
Materiał prostopadłościanu posiada moduł Younga E oraz stałą Poissona ν . Jak widać początkowa wysokość prostopadłościanu wynosi L i wobec tego autor zadaje pytanie:

OBLICZ ZMIANĘ WYSOKOŚCI PROSTOPADŁOŚCIANU PO PRZYŁOŻENIU SIŁY P

Na sam początek ustalamy układ współrzędnych.
uogolnioneprawohooke2 - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Kolejno , jak zawsze w zadaniach tego typu, piszemy

3 równania opisujące trójkierunkowy stan naprężenia

εx = σx/E – ν*σy/E – ν*σz/E [1]
εy = σy/E – ν*σx/E – ν*σz/E [2]
εz = σz/E – ν*σx/E – ν*σy/E [3]

z których mamy 6 niewiadomych:
– odkształcenia względne wzdłuż 3 osi – εx, εy , εz
– naprężenia wzdłuż 3 osi – σx , σy , σz

Z prostej mechaniki wynika 6 równań oraz 6 niewiadomych, czyli potrzebujemy 3 dodatkowych równań. Oczywiście te dodatkowe równania będą związane z naprężeniami i względnymi odkształceniami.
Wiadomo że prostopadłościan nie odkształci się w kierunku y, ponieważ jest wciśnięty w wycięcie sześcianu. w związku z tym względne odkształcenie wzdłuż osi y wynosi ZERO:
εy = 0 [4]

Po drugie widać że siła P działa na ściankę sześcianu

(o wymiarach 0,5*L x L)

wzdłuż osi x. Zatem naprężenie w kierunku x wyniesie tyle co siła podzielona przez powierzchnię:
σx = P : (0,5*L * L) = 2*P / L² [5]

W kierunku osi z na ścianki (o wymiarach 0,75*L x 0,5*L) nic nie naciska, a jak nic nie naciska, to w tym kierunku nie ma naprężenia:
σz = 0[6]

Teraz już pójdzie z górki, ponieważ wstawiamy powyższe równania do równań [1] , [2] oraz [3].

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E – ν*0/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*0/E [2]
εz = 0/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Po uproszczeniu:

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E [2]
εz = – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Wyciągamy σy z równania [2]:
σy/E = ν*(2*P / L²)/E
σy = ν*(2*P / L²)
i wstawiamy do równania [3] żeby obliczyć odkształcenie względne w kierunku pionowym:
εz = -ν * (2*P / L²)/E – ν/E * ν * (2*P /L²) = -ν*(2*P/L²)/E * (1+ν) =
= (1+ν)*ν*2*P / (E*L²)
Mnożąc

odkształcenie względne

przez

początkową wysokość L

obliczymy zmianę wysokości po przyłożeniu siły:
Δh = L*(1+ν)*ν*2*P / (E*L² ) = (1+ν)*ν *2*P / (E*L)
Prawda że łatwe?

Zaprojektuj przekrój belki – zginanie – zadanie 39

Dzisiaj zrobimy zadanie ze zginania belek polegające na zaprojektowaniu przekroju belki. zginanie32 1024x462 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
I oto widzimy belkę składającą się z dwóch odcinków (przedziałów) połączonych przegubem. Lewy koniec lewego odcinka oparto na podporze przegubowej przesuwnej, a prawy koniec prawego odcinka wmurowano w ścianie. Belkę obciążono siłą i momentem. Przekrój belki jest prostokątem o podstawie a i wysokości 2*a, gdzie a jest niewiadomą.

zginanie41 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Belkę wykonano z materiału o dopuszczalnych naprężeniach zginających kg. Autor zadaje pytanie:

ZAPROJEKTUJ PRZEKRÓJ BELKI O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM 2a x a

Początek jest analogiczny do innych zadań ze zginania belek:

Krok pierwszy

Uwalniamy belkę od więzów, ale jest małe ALE.
To ALE jest, ponieważ mamy jedną reakcję w lewej podporze (podpora przegubowa przesuwna – jedna reakcja prostopadła do podłoża) i trzy reakcje w ścianie. Tylko żeby obliczyć momenty zginające belkę, to nie potrzebujemy reakcji na jednym końcu belki i dlatego obliczymy TYLKO reakcję w podporze przesuwnej. W tym celu uwolnimy od więzów LEWĄ część belkizginanie33 1024x619 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39Krok drugi

Piszemy równanie równowagi statycznej dla LEWEJ części belki, ALE będzie to wyłącznie równanie momentów względem punktu B, ponieważ w tym równaniu wystąpi TYLKO jedna niewiadoma RA, której szukamy:
ΣMiB = RA*L – P*L = 0
RA*L = P*L
Reakcja w podporze A wyniesie:
RA = P

Krok trzeci
Powracamy do belki jako całość i uwalniamy od więzów:zginanie34 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Krok czwarty
Ponieważ mamy obliczoną reakcję w podporze A, to zaczynamy obliczanie momentów od lewej strony. Zakrywamy kawałkiem KARTKI (ten czerwony prostokąt przekreślony na krzyż) całą belkę odsłaniając WYŁĄCZNIE punkt A i piszemy jaki moment widzimy:

zginanie35 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgA = P*L
i to jest jasne i proste, ponieważ widać tylko moment skupiony P*L, a siła RA działa na ramieniu o długości ZERO (odległość od siły RA do kartki).

Następnie zakrywamy prawą połowę belki, żeby jednocześnie widzieć punkt B i piszemy moment w punkcie B:

zginanie36 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgB = P*L – RA*L = P*L – P*L = 0
Przypomnę, że w powyższym wzorze RA*L oznacza moment od siły RA działający na ramieniu L (odległość od siły RA do kartki).

Pozostało obliczyć moment zginający w punkcie C i w tym celu zasłaniamy tylko ścianę z prawej strony i punkt C:

zginanie37 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgC = P*L – RA*2*L + 4*P*L = P*L – P*2*L + 4*P*L = 3*P*L

Krok piąty
Tak samo idąc od lewej do prawej obliczymy siły tnące działające na belkę. Dla przypomnienia siła tnąca to jest taka siła, która działa w poprzek belki, czyli w naszym przypadku siła działająca w pionie (ponieważ w tym zadaniu belka leci poziomo). A więc do dzieła:
Zasłaniamy belkę kartką w taki sposób żeby widzieć kawałek lewego przedziału.

zginanie38 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Piszemy siły w poprzek belki, które widzimy:
TAB = (-RA) = (-P)

Kolejno zasłaniamy belkę, żeby widzieć cały lewy przedział i kawałek prawego.
zginanie39 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
Oto jakie siły widzimy, które działają w poprzek belki:
TBC = (-RA) + 4*P = (-P) + 4*P = 3*P
Obliczyliśmy siły tnące i momenty gnące, to można narysować wykresy.

zginanie40 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39Widać, że największy moment zginający występuje przy ścianie:
Mgmax = 3*P*L

Krok szósty
Teraz przejdziemy do prostokątnego przekroju belki i dla niego obliczymy moment bezwładności:
Jxc = a * (2*a)³ / 12 = 0,67 * a4
oraz wskaźnik wytrzymałości na zginanie:
Wx = Jxc : ymax = 0,67 * a4 : a = 0,67 * a³

Krok siódmy
Przyszedł czas na warunek wytrzymałościowy, który mówi, że maksymalne naprężenia zginające belkę muszą być mniejsze od dopuszczalnych kg:

https://blog-student.com/naprezenia-zginajace-podstawy/
Mgmax : Wx < kg
Wstawiamy do powyższego wzoru wskaźnik i wartość maksymalnego momentu gnącego:
3*P*L : ( 0,67 * a³ ) < kg
4,48*P*L / a³ < kg
Szukany minimalny wymiar przekroju wyniesie:
a = [ 4,48*P*L / kg ] 1/3

i w ten sposób zaprojektowaliśmy wymiary przekroju belki.

Układ prętowy statycznie niewyznaczalny – zadanie

Cześć wszystkim i tutaj mamy zadanie z układem prętowym statycznie niewyznaczalnym, gdzie sztywną ramę przymocowano do 3 odkształcalnych prętów, z których każdy leci pionowo.

rozciaganie21 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Do ramy przyłożono moment M. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Podobne zadanie już się zdarzały w niedalekiej przeszłości

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zadanie-26-rozciaganie-uklad-statycznie-niewyznaczalny/

i dzisiaj będziemy postępować analogicznie a więc działamy:

Krok pierwszy
Uwalniamy układ od więzów czyli zastępujemy pręty siłami.

rozciaganie22 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie

Krok drugi
Piszemy równania równowagi.
ΣPiy = S1 + S2 + S3 – m*g = 0
ΣMiA = S2 * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0
Jak widać mamy 2 równania i 3 niewiadome ( S1 , S2 oraz S3 ), ponieważ jest to układ prętowy statycznie niewyznaczalny i dlatego potrzebne jest dodatkowe równanie geometryczne.

Krok trzeci
Zakładamy, że wszystkie pręty na których wisi rama wydłużą się, ponieważ jeżeli obciążymy układ momentem M to w jakiś sposób pręty muszą się odkształcić, ponieważ są odkształcalne.
Najbardziej prawdopodobne jest , że każdy z prętów wydłuży się o inną długość, ale na tyle na ile pozwolą na to kształt i wymiary ramy. Różne wydłużenia prętów spowodują, że rama obróci się o niewielki kąt. W wyniku tego punkty mocowania prętów do ramy A, B oraz C przemieszczą się tak jak na rysunku poniżej:

rozciaganie23 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Na czerwono jest rama przed odkształceniem i na niebiesko jest rama po odkształceniu.
W ten sposób powstanie punkt , który jest punktem obrotu całej ramy. Oczywiście jest to założenie i w trakcie obliczeń wyjdzie, jak naprawdę odkształcają się pręty.
Teraz już widzimy że punkt A po wydłużeniu prętów stanie się punktem A’ i analogicznie pozostałe 2 punkty – B – B’ oraz C – C’.
I to wszystko wygląda pięknie, tylko że w takiej postaci obliczenie siły w prętach wymagałoby cudu. Dlatego też zastosujemy tutaj proste założenie:

PUNKTY MOCOWANIA PRĘTÓW (A, B ORAZ C) PRZEMIESZCZĄ SIĘ PO PROSTEJ POŁOŻONEJ PIONOWO.

To jest oczywiste i teraz przejdziemy do

Kroku czwartego
Przemieszczenie punku A równa się wydłużeniu pręta 1:
AA’ = ΔL1
i analogicznie dla pozostałych dwóch prętów:
BB’ = ΔL2
CC’ = ΔL3

rozciaganie24 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Teraz będzie jeszcze ciekawiej:
– na przedłużeniu odcinka AB powstał punkt D (na przecięciu z prętem 3)
– podobnie na przedłużeniu odcinka A’B’ powstał punkt D’.

rozciaganie25 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Ponieważ wszystkie kąty między odcinkami są zachowane, to odcinek CC’ równa się odcinkowi DD’ a co za tym idzie:
DD’ = ΔL3
W taki oto sposób powstał trójkąt o podstawie równej odległości między prętami nr1 i nr3 i wysokości równej ΔL3 – ΔL1.

Tutaj od razu widać, że można zastosować twierdzenie Talesa:
L / (ΔL2-ΔL1) = 2*L / (ΔL3-ΔL1)
Dzielimy obie strony równania przez L:
1 / (ΔL2-ΔL1) = 2 / (ΔL3-ΔL1)
Odwracamy liczniki z mianownikami:
ΔL2 – ΔL1 = 0,5*ΔL3 – 0,5*ΔL1
Do obu stron równania dodajemy 0,5*ΔL1:
ΔL2 – 0,5*ΔL1 = 0,5*ΔL3

Krok piąty
I teraz w to można i trzeba wmanewrować prawo Hooke’a:

 

siła w pręcie x długość pręta
wydłużenie = ——————————————-
moduł Younga x przekrój

Dla kolejnych prętów wydłużenia zgodnie z prawem Hooke’a wyniosą:

 

S1 * L
ΔL1 = ——————–
E * A

 

S2 * L
ΔL2 = ———————
E * A

 

S2 * 2 * L
ΔL3 = ————————-
E * A

 

I to wszystko można teraz wstawić do zależności z twierdzenia Talesa:
ΔL2 – 0,5*ΔL1 = 0,5*ΔL3

S2 * L                 0,5*S1*L               0,5*S3*L
————-   –  ————– = —————
E * A                       E * A                        E * A

Mnożymy obie strony równania przez E*A i dzielimy przez L:
S2 – 0,5 * S1 = 0,5 * S3
Jak połączymy to równanie z dwoma statycznymi, które powstały na początku:
ΣPiy = S1 + S2 + S3 – m*g = 0 [1]
ΣMiA = S2 * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0 [2]
S2 – 0,5 * S1 = 0,5 * S3 [3]
to powstanie układ TRZECH równań.

 

Krok szósty

Została czysta matematyka – z układu trzech równań obliczymy szukane siły w prętach

Po przekształceniu równania [3]:
2*S2 – S1 – S3 = 0 [3]
dodajemy stronami do równania [1]:
S1 + S2 + S3 – m*g + 2*S2 – S1 – S3 = 0 [1+3]
S2 – m*g + 2*S2 = 0 [1+3]
3*S2 – m*g = 0 [1+3]
3*S2 = m*g [1+3]
i w ten sposób obliczamy siłę w pręcie nr2:
S2 = 0,33*m*g
Obliczoną wartość wstawiamy do równania [2]:
0,33 * m * g * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0
Dzielimy obie strony równania przez 2*L
0,17 * m * g + S3 – 0,5 * m * g + 0,5*M/L = 0
i w ten sposób obliczamy siłę w pręcie nr 3:
S3 = (-0,17) * m * g + 0,5 * m * g – 0,5*M/L=0,33 * m * g – 0,5*M/L
Z równania [1] obliczymy siłę w pręcie nr1 układu prętowego statycznie niewyznaczalnego:
S1 = (-S2) – S3 + m*g = (-0,33*m*g) – 0,33 * m * g + 0,5*M/L + m*g = 0,33 * m * g + 0,5*M/L

Prawda  że łatwe?

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie – wytrzymałość

Cześć wszystkim i dzisiaj powiemy coś o wskaźniku wytrzymałości przekroju na zginanie. Wiąże się on bardzo mocno z omawianym niedawno momentem bezwładności.

http://blog-student.com/moment-bezwladnosci-przekroju-zadanie-36/

Nie może być zbyt teoretycznie i dlatego powiedzmy sobie, co to jest ten wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie:

A więc to taka cecha przekroju (na przykład przekroju poprzecznego belki) która opisuje kształt i wymiary przekroju. Dlatego jest tu mowa o kształcie i wymiarach przekroju, ponieważ te cechy wpływają na wytrzymałość przykładowej belki na zginanie.

Żeby obliczyć wskaźnik na zginanie po pierwsze musimy znać moment bezwładności przekroju i wynosi on na przykład Jxc. Wtedy wskaźnik wytrzymałości będzie równy:

ilorazowi

momentu bezwładności

przez

odległość od osi centralnej do najdalszego punktu przekroju:
Wx = Jxc : ymax
wskazniknazginanie1 300x225 - Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie - wytrzymałość
Miarą wskaźnika wytrzymałości na zginanie jest metr do potęgi trzeciej lub milimetr do potęgi trzeciej [m³ lub mm³].
Dla przykładu możemy policzyć taki wskaźnik dla przekroju kwadratowego o boku a. Moment bezwładności wyniesie:
Jxc = a * a³ / 12
Wobec tego wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie:
Wx = Jxc / ymax = (a * a³ / 12) / (a/2) = a³ / 6
wskazniknazginanie2 300x225 - Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie - wytrzymałość
Ponieważ środek ciężkości kwadratu jest w połowie jego wysokości, to najdalszy punkt przekroju ymax oddalony od osi centralnej równa się połowie wysokości czyli a/2.

I to na razie tyle a wkrótce wykorzystamy wiedzę o wskaźniku na zginanie w zadaniach.