Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie – podstawy

Drobna wzmianka na temat algebraicznego i skalarnego dodawania wektorów pojawiła się przy okazji rozkładu siły na składowe

Statyka-rzutowanie siły na oś-siła i jej składowe

 

statyka11 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

tylko, że to było proste, ponieważ mieliśmy 2 wektory do siebie prostopadłe.

Innym razem może się zdarzyć że trzeba dodać 2 wektory ustawione względem siebie o kąt . I co wtedy:

statyka6 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

Po pierwsze

Mamy 2 wektory i ustawiamy je w taki sposób, żeby ich początki były w jednym punkcie.

statyka7 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

Po drugie

Jeżeli każdy z nich wychodzi z jednego punktu, to tworzą 2 boki równoległoboku. Przekątna tego równoległoboku wychodząca z tego samego wierzchołka, co 2 dodawane wektory jest ich sumą.

statyka8 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

To wiemy już jak to narysować, a teraz jak obliczyć wartość sumy wektorów czyli długość tej przekątnej?

Jak dodajemy dwie siły i któraś z nich leci pod kątem, to tą siłę która jest pod kątem rozkładamy na 2 składowe (pionową i poziomą) – o tym już niedawno pisaliśmy.

statyka9 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

To teraz widzimy 2 składowe siły F1 oraz siłę F2. Następnie wszystkie składowe poziome dodajemy do siebie i wszystkie składowe pionowe też dodajemy do siebie (wyjątkowo w tym przypadku:

– w poziomie są 2 siły

– i w pionie jest jedna siła).

statyka10 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

I teraz to się zrobiło jeszcze łatwiejsze:

Składowe poziome leżą na jednym boku, a składowe pionowe leżą na drugim przyległym boku prostokąta. Teraz widać, że suma wektorów jest przekątną prostokąta i można ją obliczyć w taki sam sposób jak przy sumie 2 wektorów prostopadłych do siebie:

statyka12 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

Belka – obliczanie reakcji – statyka – zadanie 8

Dobrze będzie teraz powrócić do statyki i teraz zrobimy takie zadanie z belką, w której obliczymy reakcje podpór:

Jest sobie belka oparta w punktach A i B – to tak jakby ktoś wziął szynę tramwajową i położył na dwóch cegłach.

W punkcie A jest podpora PRZEGUBOWA STAŁA czyli pozwalająca tylko na obrót belki wokół punktu A. A więc lewy koniec belki NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie.

W punkcie B jest podpora PRZEGUBOWA PRZESUWNA (bo widać tutaj dwie poziome kreski) pozwalająca na obrót belki wokół punktu B oraz przesuw poziomy (poziomy bo są dwie poziome kreski). A więc w punkcie B belka NIE MOŻE pojechać w pionie. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ REAKCJE PODPÓR

No to po kolei:

1. Uwalniamy belkę od więzówstatyka5 - Belka - obliczanie reakcji - statyka - zadanie 8

czyli zastępujemy dwie podpory (A i B) siłami . Jak napisano trochę wcześniej lewy koniec belki (w punkcie A) NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie i dlatego rysujemy DWIE reakcje (pionową i poziomą – nieważne czy prawo czy lewo i czy góra czy dół) działające na belkę. Krótko mówiąc reakcje działające na belkę pokazują, w którą stronę belka NIE MOŻE pojechać.

Tak samo w punkcie B rysujemy reakcję pionową bo w pionie belka NIE MOŻE pojechać.

2. Teraz kolej na równania równowagi.

Ponieważ wszystkie siły leżą na płaszczyźnie i nie przecinają się w jednym punkcie to jest to układ sił PŁASKI ROZBIEŻNY. Dla układu płaskiego rozbieżnego piszemy TRZY równania równowagi:

suma rzutów sił na oś poziomą (przeważnie x)

i na oś pionową (przeważnie y)

oraz moment sił względem dowolnego punktu.

Na jednej osi wszystko wytłumaczymy i dalej wszystko będzie bardzo proste. Suma rzutów sił na oś x to suma wszystkich sił poziomych i rzutów sił poziomych.

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

Z sumy rzutów sił na oś x:

Pix = (-RAx) – F1*cos = 0 [1]

Z sumy rzutów sił na oś y:

Piy = RAy – F1*sin+ F2 + F3 + RB = 0 [2]

Z sumy momentów względem punktu A:

MiA = F1*sin*1 – F2*2 – RB*4 – F3*5 = 0 [3]

3. Mamy wszystkie równania statyczne i z nich obliczamy szukane reakcje

Przekształcając równanie [3] otrzymujemy:

4*RB = F1*sin*1 – F2*2 – F3*5

W wyniku czego reakcja w podporze przegubowej przesuwnej wynosi:

RB = 0,25*F1*sin – 0,5*F2 – 1,25*F3

Z [2] równania obliczymy reakcję pionową w podporze przegubowej stałej:

RAy = F1*sin– F2 – F3 – RB

Z równania [1] obliczymy reakcję poziomą w lewej podporze:

RAx = (-F1)*cosα

Kolejne trudniejsze zadania w kolejnych odcinkach

 

Reakcje w podporach – belka – statyka – zadanie 8

Dobrze będzie teraz powrócić do statyki i teraz zrobimy takie zadanie z belką, w której obliczymy reakcje w podporach:

Jest sobie belka oparta w punktach A i B – to tak jakby ktoś wziął szynę tramwajową i położył na dwóch cegłach.

W punkcie A jest podpora PRZEGUBOWA STAŁA czyli pozwalająca tylko na obrót belki wokół punktu A. A więc lewy koniec belki NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie.

W punkcie B jest podpora PRZEGUBOWA PRZESUWNA (bo widać tutaj dwie poziome kreski) pozwalająca na obrót belki wokół punktu B oraz przesuw poziomy (poziomy bo są dwie poziome kreski). A więc w punkcie B belka NIE MOŻE pojechać w pionie. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ REAKCJE W PODPORACH

No to po kolei:

1. Uwalniamy belkę od więzówstatyka5 - Reakcje w podporach - belka - statyka - zadanie 8

czyli zastępujemy dwie podpory (A i B) siłami . Jak napisano trochę wcześniej lewy koniec belki (w punkcie A) NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie i dlatego rysujemy DWIE reakcje (pionową i poziomą – nieważne czy prawo czy lewo i czy góra czy dół) działające na belkę. Krótko mówiąc reakcje działające na belkę pokazują, w którą stronę belka NIE MOŻE pojechać.

Tak samo w punkcie B rysujemy reakcję pionową bo w pionie belka NIE MOŻE pojechać.

2. Teraz kolej na równania równowagi.

Ponieważ wszystkie siły leżą na płaszczyźnie i nie przecinają się w jednym punkcie to jest to układ sił PŁASKI ROZBIEŻNY. Dla układu płaskiego rozbieżnego piszemy TRZY równania równowagi:

suma rzutów sił na oś poziomą (przeważnie x)

i na oś pionową (przeważnie y)

oraz moment sił względem dowolnego punktu.

Na jednej osi wszystko wytłumaczymy i dalej wszystko będzie bardzo proste. Suma rzutów sił na oś x to suma wszystkich sił poziomych i rzutów sił poziomych.

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

Z sumy rzutów sił na oś x:

Pix = (-RAx) – F1*cos = 0 [1]

Z sumy rzutów sił na oś y:

Piy = RAy – F1*sin+ F2 + F3 + RB = 0 [2]

Z sumy momentów względem punktu A:

MiA = F1*sin*1 – F2*2 – RB*4 – F3*5 = 0 [3]

3. Mamy wszystkie równania statyczne i z nich obliczamy szukane reakcje

Przekształcając równanie [3] otrzymujemy:

4*RB = F1*sin*1 – F2*2 – F3*5

Reakcja w podporze przegubowej przesuwnej wynosi:

RB = 0,25*F1*sin – 0,5*F2 – 1,25*F3

Z [2] równania obliczymy reakcję pionową w podporze przegubowej stałej:

RAy = F1*sin– F2 – F3 – RB

Z równania [1] obliczymy reakcję poziomą w lewej podporze:

RAx = (-F1)*cosα

Kolejne trudniejsze zadania w kolejnych odcinkach

 

Rzutowanie siły na oś-siła i jej składowe – statyka

Dobrze będzie zająć się sprawą, która wynikła w zadaniach ze statyki czyli rzutowanie siły na oś oraz rozkładanie jej na składowe. Tutaj warto zwrócić uwagę na sytuację, gdy siła:

  • leży pod pewnym kątem do osi
  • i nie jest to kąt prosty.
    statyka3 - Rzutowanie siły na oś-siła i jej składowe - statyka
    Na rysunku powyżej widać siłę F, która jest pod kątem α do osi x.

Pionowo nad siłą F świeci LAMPA .

A że LAMPA świeci, to pod nią na osi x powstaje CIEŃ siły F, który jest od siły F krótszy i ma długość F*cosα – jest to RZUT siły F na oś x (dlaczego cosinus to za chwilę).

Tak w rzeczywistości to ten rzut siły na oś x (tak tak chodzi o ten cień) jest składową poziomą siły F.
I teraz trzeba głośno powiedzieć, że każdą siłę (która leży na płaszczyźnie) można rozłożyć na 2 składowe.

Tak jak na rysunku poniżej, jak mamy siłę F pod kątem α do poziomu, to możemy ją zastąpić dwiema składowymi:
F*cosa
F*sina
statyka4 - Rzutowanie siły na oś-siła i jej składowe - statyka
A dlatego cosinus lub sinus bo, jak wynika z trygonometrii, bok przyległy do kąta to cosinus, a przeciwległy to sinus.

Tego się ciągle używa przy równaniach równowagi – kolejna PODSTAWA

Tarcie statyczne – zadanie 1

Poprzednio zaczęliśmy omawiać podstawy,  a teraz warto będzie sprawdzić, jak to działa w praktyce i zaczynamy od zadania w którym wystąpi tarcie statyczne.

Co to jest tarcie statyczne?

Tarcie statyczne występuje między dwoma stykającymi się przedmiotami, jeżeli nie przemieszczają się one względem siebie.

To już wiemy o czym będzie mowa. Czas na pierwsze zadanie i autor zadaje pytanie:

Oblicz jaka musi być siła F6, aby ciało o ciężarze G pozostało w spoczynku

Czyli jak widać, na równi pochyłej ktoś położył pudło i pomiędzy pudłem a równią jest siła tarcia, ale to tarcie jest zbyt małe aby utrzymać pudło w miejscu. I dlatego żeby nie zjechało, to trzeba je lekko podtrzymywać siłą F6 i trzeba tę siłę policzyć.

statyka1 - Tarcie statyczne - zadanie 1

  1. Uwalniamy pudło od więzów

czyli

równię zastępujemy siłami nacisku i tarcia. Zwrot siły tarcia jest przeciwny do planowanego ruchu (czyli w tym przypadku zjazdu w dół pod własnym ciężarem). Jeżeli pudło ma ciężar G, to siła G działa pionowo w dół i jest przyłożona w środku ciężkości pudła. I jeszcze jest siła F6, którą mamy policzyć.

statyka2 - Tarcie statyczne - zadanie 1

Wszystkie siły zbiegają się w jednym punkcie (wszystkie przechodzą przez pudło) a więc mamy PŁASKI ZBIEŻNY układ sił. Ciało pozostaje w spoczynku, jeżeli sumy rzutów sił na obie osie układu współrzędnych równają się zero.

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

Dla wygody oś x możemy sobie ustawić zgodnie z pochyleniem równi czyli pod kątem α.  I teraz jak widać siłę G można rozłożyć na 2 składowe – G*sinα oraz G*cosα – które dadzą rzuty na odpowiednie osie czyli piszemy:

2. Równania równowagi
∑Pix = G*sinα – F6 – N*μ = 0 [1]
∑Piy = N – G*cosα = 0 [2]

Z [2] równania wychodzi siła nacisku:
N = G*cosα
którą wstawiamy do równania [1]:
G*sinα – F6 – G*cosα*μ = 0

Wymagana siła przyłożona do ciała (aby ono pozostało w spoczynku) wynosi:
F6 = G*sinα – G*cosα*μ = G*(sinα – cosα*μ)

To teraz widać że w zadaniu pojawiło się kilka nowych pojęć:

Ale o tym innym razem