Równia pochyła i tarcie – zadanie 47

Witam wszystkich i dzisiaj zrobimy zadanie z tarciem i równią pochyłą.
tarcie1 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
Na równi pochyłej leży klocek o masie 2*m a za nim opierają się o niego dwa klocki (o masie m) leżące jeden na drugim i jest dany współczynnik tarcia między klockami oraz równią . Ten co wymyślił zadanie, zadaje pytanie:

JAKI MOŻE BYĆ MAKSYMALNY KĄT α, ŻEBY TO WSZYSTKO POZOSTAŁO NIERUCHOME

Łatwo sobie wyobrazić, że jeżeli kąt równi będzie za duży, to wszystko zjedzie na dół.
To co widzimy na obrazku, to jest

UKŁAD ZŁOŻONY

czyli w tym przypadku:

-duży klocek

-i dwa małe klocki.

Wobec tego przechodzimy do

KROKU PIERWSZEGO

Rozkładamy układ złożony na

UKŁADY PROSTE:

duży klocek
mały klocek
– drugi mały klocek

Rysujemy duży klocek i uwalniany od więzów
tarcie2 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
czyli rysujemy siły pochodzące od:
– ciężaru
– nacisków dwóch mniejszych klocków które go naciskają
– nacisku i tarcia od równi na której klocek stoi.

Łatwo zauważyć że jest to układ sił płaski zbieżny, a więc można napisać 2 równania równowagi:

– suma rzutów sił na oś x
– suma rzutów sił na oś y

https://blog-student.com/statyka-sciaga-podstawy/
Klocek i cała równia lecą pod kątem i dlatego obrócimy układ współrzędnych o kąt α:
I teraz równania równowagi:
ΣPix = m*N1 – N2 – N3 – 2*m*g*sinα = 0 [1]
ΣPiy = N1 – 2*m*g*cosα = 0 [2]

Duży klocek został uwolniony od więzów i równania napisane, to teraz analogicznie działamy z małym górnym klockiem:
tarcie3 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
Tutaj podobnie obrócimy układ współrzędnych i napiszemy równania równowagi statycznej:
ΣPix = m*N4 + N2 – m*g*sinα = 0 [3]
ΣPiy = N4 – m*g*cosα = 0 [4]

Analogicznie rozwiążemy temat małego dolnego klocka:

tarcie4 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
ΣPix = m*N5 – m*N4 + N3 – m*g*sinα = 0 [5]
ΣPiy = N5 – N4 – m*g*cosα = 0 [6]

W DRUGIM KROKU

obliczymy szukany kąt α równi z powyższych sześciu równań statycznych.

Dodajemy stronami równania [4] i [6] :
N4 – m*g*cosα + N5 – N4 – m*g*cosα= 0
(- m)*g*cosα + N5 – m*g*cosα= 0
Nacisk pomiędzy dolnym małym klockiem a równią:
N5 = 2*m*g*cosα

Z równania [4] obliczymy nacisk między dwoma małymi klockami:
N4 = m*g*cosα

Z równania [2] wynika nacisk równi na duży klocek:
N1 = 2*m*g*cosα

Z równania [5] :
μ*2*m*g*cosα – μ*m*g*cosα + N3 – m*g*sinα = 0
μ*m*g*cosα + N3 – m*g*sinα= 0
Nacisk między dużym a małym dolnym klockiem:
N3 = m*g*sinα – μ*m*g*cosα

Z równania [1] :
μ*N1 – N2 – N3 – 2*m*g*sinα = 0
μ*2*m*g*cosα – (m*g*sinα – μ*m*g*cosα ) – 2*m*g*sinα = N2
μ*2*m*g*cosα – m*g*sinα + μ*m*g*cosα – 2*m*g*sinα = N2
Nacisk między dużym a małym górnym klockiem:
N2 = μ*3*m*g*cosα – 3*m*g*sinα

Wszystko co udało się obliczyć wstawiamy do równania [3]:
μ*m*g*cosα + μ*3*m*g*cosα – 3*m*g*sinα – m*g*sinα = 0
μ*4*m*g*cosα – 4*m*g*sinα = 0
μ*4*m*g*cosα = 4*m*g*sinα
μ*cosα = sinα
Dzielimy obie strony równania przez cosα:
tgα = μ
Wobec tego szukany kąt, żeby te wszystkie klocki nie zjechały na dół wynosi:
α = arctg μ

Prawda że łatwe?

Statyka – ściąga – podstawy

Witam ponownie i dzisiaj stworzymy ściągę ze statyki. Tak sobie pomyślałem, że po zamieszczeniu kilkudziesięciu postów dobrze będzie zebrać do kupy to wszystko, co jest potrzebne do zrozumienia podstaw mechaniki oraz zrobienia tych prostych i tych trudniejszych zadań. W pierwszych postach pół roku wcześniej podkreślaliśmy, że najważniejsze są PODSTAWY

Mechanika – pierwsza i trzecia zasada dynamiki Newtona

i jak się je zrozumie to naprawdę niewiele więcej potrzeba, aby tę wiedzę posiąść i umieć zastosować w praktyce.

I tak powstała ściąga albo inaczej mapa myśli i zaczniemy od ściągi z mechaniki – na początek statyka:

sciaga7 - Statyka - ściąga - podstawy

 

A więc mamy ściągę ze statyki i tak naprawdę tyle potrzeba żeby temat zrozumieć i zrobić każde zadanie.

Po lewej znalazły się

I i III zasady dynamiki Newtona

i one są zawsze używane w statyce.

sciaga2 - Statyka - ściąga - podstawy

Pośrodku mamy

tabele z układami sił.

Tak naprawdę każde zadanie ze statyki to jest kilka lub więcej sił ułożonych w mniej lub bardziej skomplikowany sposób.

sciaga8 - Statyka - ściąga - podstawy

 

Przykładem może być belka już uwolniona od więzów i widać reakcje podpór i parę sił zewnętrznych.

statyka5 - Statyka - ściąga - podstawy

W tabeli z różnymi rodzajami układów sił widać 4 różne kombinacje ponieważ już wiemy, że możemy mieć układy sił na płaszczyźnie lub w przestrzeni, a także siły mogą się zbiegać w jednym punkcie (zbieżne) oraz w innym przypadku siły nie będą się zbiegać w jednym punkcie (rozbieżne albo dowolne).

Jeszcze niżej na ściądze mamy 3 różne rodzaje podpór i utwierdzeń

, które można spotkać w zadaniach jeżeli uwolnimy dane ciało lub układ od więzów:

sciaga9 - Statyka - ściąga - podstawy

– podpora przegubowa przesuwna

– podpora przegubowa stała

– utwierdzenie albo wmurowanie

Jak wiadomo i jak widać na powyższym obrazku zasadniczą sprawą jest różna liczba reakcji przy każdym z 3 przypadków.

Może trudno uwierzyć że to wszystko jest tak proste, ale weźmy pierwsze z brzegu zadanie z układów płaskich. Na tym prostym przykładzie pokażemy, jak łatwo jest poruszać się po temacie

statyka1 - Statyka - ściąga - podstawy

Powyżej widzimy, że mamy płaski układ sił i jak uwolnimy od więzów pudło, które leży na równi

statyka2 - Statyka - ściąga - podstawy

to widać że siły zbiegają się praktycznie w jednym punkcie i dlatego zgodnie ze ściągą

sciaga5 - Statyka - ściąga - podstawy

możemy napisać 2 równania równowagi (sumy rzutów sił na osie x oraz y), które będą zgodne z I zasadą dynamiki, ponieważ siły działające na pudło się równoważą i w związku z tym pudło pozostaje w spoczynku.

Autor zadania podał współczynnik tarcia między pudłem a równią, a więc zgodnie ze ściągą

sciaga6 - Statyka - ściąga - podstawy

jeżeli pomiędzy ciałami występuje nacisk i pudło chce zjechać z równi (zamierzony ruch), to wystąpi również siła tarcia.

Poza tym jak widać powyżej, tarcie i nacisk działające na pudło są zwrócone w górę i w lewo. Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona o której również wspomniano na ściądze to samo tarcie i ten sam nacisk również działają na równię pochyłą, ale będą zwrócone w przeciwne strony.

Na tym prostym przykładzie widać jak prosta jest mechanika, jak łatwa jest statyka i nie potrzeba przeczytać wszystkich książek, żeby to ogarnąć.

Statyka – układ przestrzenny – zadanie 31

Jakiś czas temu było zadanie ze statyki z układów płaskich a teraz zrobimy prosty układ przestrzenny.

Jest taka sobie klapa o masie m w kształcie trójkąta równoramiennego ułożyskowana na jednym z boków.
statyka22 - Statyka – układ przestrzenny – zadanie 31
Żeby się ta klapa trzymała w pozycji poziomej, to do jednego z wierzchołków przymocowano cięgno. Drugi koniec cięgna zamocowano do pionowej ściany na wysokości h równej długości boku trójkąta. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ REAKCJE WIĘZÓW

Jasna sprawa że chodzi o:
– reakcje w łożyskach
– i siłę w cięgnie.

Po pierwsze – uwalniamy od więzów

czyli zastępujemy siłami łożyska i pręt, bo to łączy klapę ze światem zewnętrznym.
statyka23 - Statyka – układ przestrzenny – zadanie 31
W lewym łożysku będziemy mieć 3 reakcje ( 2 poprzeczne i jedna wzdłużna) ponieważ jest to łożysko poprzeczno-wzdłużne. W prawym łożysku będą 2 prostopadłe reakcje w poprzek osi obrotu klapy, ponieważ jest to łożysko poprzeczne. Szósta reakcja jest siłą wzdłuż cięgna. Ciężar klapy przykładamy w środku ciężkości trójkąta czyli w 1/3 wysokości od podstawy.

Po drugie

Tutaj można napisać 6 równań ( trzy sumy rzutów sił na osie i trzy sumy momentów wokół osi) ponieważ jest to układ sił:
– przestrzenny
– rozbieżny – bo siły nie zbiegają się w jednym punkcie

Przy okazji warto określić położenie siły S a dokładnie kąt zawarty między siłą S a bokiem trójkąta.
Wiemy że zarówno podstawa jak i wysokość trójkąta mają długość h. Jak podzielimy trójkąt na pół to będziemy mieć 2 jednakowe trójkąty prostokątne

 

statyka24 - Statyka – układ przestrzenny – zadanie 31
Długości przyprostokątnych widzimy na rysunku powyżej a przeciwprostokątną obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:
h² + (h/2)² = AC²
AC = √[h² + (h/2)² ] = √ [h² + h² /4 ] = √ [1,25*h² ]  = 1,12 * h

To już zrobione, to teraz trzeba obliczyć kąt między cięgnem-siłą S a obliczoną przeciwprostokątną AC.
statyka25 - Statyka – układ przestrzenny – zadanie 31
Jak widać na powyższym rysunku, jest to kąt między przeciwprostokątną klapy a jedną z przyprostokątnych kolejnego trójkąta prostokątnego ale tym razem takiego który jest umieszczony w pionie. Widać również, że mamy długości 2 boków, czyli możemy użyć trygonometrii. Jeżeli w trójkącie prostokątnym mamy kąt i 2 przyprostokątne, to z daleka widać, że to będzie tangens:
tgα = h : (1,12*h) = 0,893
czyli szukany kąt wynosi
α = arctg0,893 = 42°

Kolejna pomocnicza czynność to obliczenie kąta wierzchołkowego klapy w punkcie mocowania cięgna. Tutaj warto wrócić do połowy trójkąta równoramiennego-klapy czyli trójkąta prostokątnego ADC.

statyka26 - Statyka – układ przestrzenny – zadanie 31
Na rysunku powyżej oznaczono połowę kąta wierzchołkowego klapy jako β/2. Znamy wszystkie długości boków w trójkącie prostokątnym i jeżeli wiemy że do obliczenia kąta musimy użyć trygonometrii, to możemy użyć dowolnej funkcji. Dla uproszczenia obliczeń użyjemy funkcji tangens:
tgβ/2 = 0,5*h / h = 0,5
β/2 = arctg0,5 = 26,5°
a więc szukany kąt wierzchołkowy trójkąta w punkcie mocowania cięgna wyniesie:
β = 53°
To jak już mamy wszystkie kąty i wzajemne położenie sił działających na klapę, to warto rozłożyć siłę w cięgnie S na dwie składowe, ponieważ nie jest ona równoległa do żadnej osi. Wiadomo tyle, że tworzy ona kąt a z bokiem AC trójkąta, wobec tego rozkładamy ją  na 2 składowe:
– pionową S*sinα
– równoległą do boku trójkąta S*cos α

statyka27 - Statyka – układ przestrzenny – zadanie 31

Po trzecie – to teraz piszemy równania równowagi statycznej dla tego układu

i dobrze będzie zacząć od sumy momentów:
∑Mix = m*g*h/3 – S*sinα*h=0 [1]
Wiadomo, że siła daje moment względem osi jeżeli:
NIE PRZECINA osi
– lub NIE JEST RÓWNOLEGŁA do osi
Wobec tego moment względem osi x (osi obrotu klapy) dają ciężar m*g i siła w cięgnie S.
Wiadomo również, że:
MOMENT = SIŁA * RAMIĘ
oraz wiadomo również, że siła i ramię muszą być do siebie PROSTOPADŁE.
W nawiązaniu do powyższego równania momentów:
– ciężar m*g działa na ramieniu 1/3 wysokości trójkąta h (bo tutaj jest jego środek ciężkości)
– składowa S*sinα działa na ramieniu h
I tutaj należy podkreślić, że składowa S*cosα nie daje momentu, ponieważ PRZECINA oś x. Jak już to wszystko wiadomo, to lecimy z pozostałymi osiami:
∑Miy = m*g*h/2 – S*sinα*h/2 – RBz*h = 0 [2]
Tutaj należy podkreślić że siły RAz i RAx nie dają momentów, bo przecinają oś y, a siły RAy i RBy też NIE dają momentów, ponieważ są do osi y RÓWNOLEGŁE.
No i została oś z:
∑Miz = RBy * h = 0 [3]
Sumy momentów są zrobione to teraz sumy rzutów sił:
∑Pix = RAx + S*cosα*sin β/2 = 0 [4]
∑Piy = RAy + RBy – S*cosα*cosβ/2 = 0 [5]
∑Piz = RAz + RBz – m*g + S*sinα = 0 [6]

I oto mamy wszystkie równania statyczne dla tego układu. Z powyższych 6 równań można wszystkie reakcje obliczyć. Z równania [1] obliczymy siłę w cięgnie:
m*g*h/3 = S*sinα*h
m*g = S*sinα*3
S = m*g : (3*sinα) = m*g : (3*sin42° ) = 0,5*m*g

Z równania [2] obliczymy reakcję RBz:
m*g*h/2 – S*sinα*h/2 = RBz*h
RBz = m*g/2 – S*sinα/2 = 0,5*m*g – 0,5*m*g*sin21° = 0,32*m*g
Z równania [3] wynika:
RBy = 0

Z równania [4] obliczymy reakcję RAx:
RAx = (-S)*cosα*sinβ/2 = (-m*g / (3*sin α) )*cosα*sinβ/2 =
= (-0,17)*m*g*ctgα*sinβ = (-0,17)*m*g*ctg42°*sin53° =
= (-0,15)*m*g

Z równania [5] obliczymy RAy:
RAy = (-RBy) + S*cosα*cosβ/2 = 0,17*m*g*ctgα*cosβ  =
= 0,17*m*g*ctg42°*cos53°  = 0,11*m*g

Z równania [6]obliczymy reakcję RAz:
RAz = (-RBz) + m*g – S*sinα = (-m)*g/2 + S*sinα/2 + m*g – S*sinα =
= S*(sinα /2-sinα) + 0,5*m*g =
= m*g / (3*sinα)*(sinα/2-sinα) + 0,5*m*g =
= 0,33*m*g * sin21° / sin42° + 0,17*m*g = 0,35*m*g

Prawda że łatwe?

Kratownica płaska – metoda równoważenia węzłów – zadanie 22

O statyce już było i to nie raz ale teraz zadanie z kratownicy płaskiej i metoda równoważenia węzłów. I na początek warto powiedzieć, co to jest kratownica:

Mówiąc prosto bierzemy kilka lub kilkanaście lub jeszcze więcej prętów i łączymy je przegubowo w taki sposób, że tworzą one sztywny element i przykładem pierwszym z brzegu niech będzie trójkąt stworzony z 3 prętów połączony przegubowo w 3 punktach.

statyka13 - Kratownica płaska - metoda równoważenia węzłów - zadanie 22

Te punkty połączenia dalej będziemy nazywać WĘZŁAMI. Jasna sprawa że większość kratownic to układy prętowe znacznie bardziej skomplikowane niż taki sobie zwykły trójkąt. I teraz może takie proste zadanie:

statyka14 - Kratownica płaska - metoda równoważenia węzłów - zadanie 22

Tak jak widać na rysunku powyżej mamy kratownicę zamocowaną w dwóch podporach (jednej stałej i drugiej przesuwnej) oraz obciążoną dwiema pionowymi siłami F. Autor zadania zadaje proste pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Zrobimy to w kilku prostych krokach metodą RÓWNOWAŻENIA WĘZŁÓW.

 

Po pierwsze

 

Uwalniamy CAŁĄ kratownicę od więzów, czyli zastępujemy siłami to, co ją łączy ze światem zewnętrznym. W tym przypadku kratownica jest mocowana do podłoża dwiema podporami:

– podpora przegubowa stała – zamiast niej rysujemy 2 prostopadłe do siebie reakcje

– podpora przegubowa przesuwna – zastępujemy ją siłą prostopadłą do 2 równoległych kresek

statyka15 - Kratownica płaska - metoda równoważenia węzłów - zadanie 22

Po drugie

 

Piszemy równania równowagi statycznej i teraz spójrzmy jakie widzimy siły:

RA, RBx, RBy oraz 2 siły F i co najważniejsze te siły nie zbiegają się w jednym punkcie, czyli mamy układ PŁASKI ROZBIEŻNY – a więc piszemy 3 równania równowagi (2 sumy rzutów sił i sumę momentów).

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

Sumę momentów warto obliczyć względem punktu, przez który przechodzi NAJWIĘCEJ niewiadomych – w tym przypadku będzie to punkt B – RBx oraz RBy

MiB = F * L + F * 2 * L + RA * 3 * L = 0

ponieważ w ten sposób od razu obliczymy reakcję w drugiej podporze:

F * 3 * L + RA * 3 * L = 0

F + RA = 0

która wynosi:

RA = (-F)

Następnie piszemy sumy rzutów sił na osie , z których obliczymy reakcje w podporze B:

Pix = RBx = 0

Piy = (-RA) – F – F – RBy = 0

RBy = (-(-F)) – F – F = (-F)

 

Po trzecie

 

Jak już są obliczone reakcje zewnętrzne działające na kratownicę jako całość, to rozkładamy układ ZŁOŻONY – całą kratownicę na układy PROSTE – poszczególne węzły. W tym celu warto oznaczyć każdy z węzłów literą, a każdy z prętów cyfrą. 

statyka16 - Kratownica płaska - metoda równoważenia węzłów - zadanie 22

UWALNIAMY OD WIĘZÓW każdy węzeł czyli ZASTĘPUJEMY siłami pręty, które do niego dochodzą. Na wstępie możemy zacząć od

węzła A

 ponieważ dochodzą do niego DWA pręty, czyli w równaniach równowagi będą DWIE niewiadome siły.

statyka17 - Kratownica płaska - metoda równoważenia węzłów - zadanie 22

Jak mamy taki węzeł A uwolniony od więzów, to widać, że wszystkie siły zbiegają się w jednym punkcie, czyli mamy układ PŁASKI ZBIEŻNY – wobec tego piszemy DWA równania równowagi – sumy rzutów sił na osie. I teraz równania równowagi:

Piy = S2 * cos45o – RA = 0

Z pierwszego równania obliczamy siłę w pierwszym pręcie:

S2 * cos45º = RA

S2 = RA : cos45º = (-F) : cos45º = (-1,4*F)

Pix = S1 + S2 * sin45º = 0

S1 = (-S2) * sin45º = (-(-1,4*F)) * sin45º = F

I teraz przechodzimy do

węzła C

 ponieważ mając siłę w drugim pręcie będziemy mieć 2 niewiadome.

statyka18 - Kratownica płaska - metoda równoważenia węzłów - zadanie 22

Czyli od teraz do samego końca wszystko będzie przebiegać podobnie:

Pix = S3 – S2 * sin45º = 0

S3 = S2 * sin45º = (-1,4*F) * sin45º = (-F)

Piy = (-S4) – S2 * cos45º = 0

S4 = (-S2) * cos45º = (-(-1,4*F)) * cos45º = F

Analogicznie postępujemy dla pozostałych węzłów:

 

Węzeł D:

statyka19 - Kratownica płaska - metoda równoważenia węzłów - zadanie 22

Piy = S4 – F + S6 * cos45º = 0

(-S4) + F = S6 * cos45º

(-F) + F = S6 * cos45º==> S6 = 0

Pix = S5 – S1 + S6 * sin45º = 0

S5 – F + 0 * sin45º = 0

S5 = F

 

Węzeł E:

statyka20 - Kratownica płaska - metoda równoważenia węzłów - zadanie 22

Pix = S7 * sin45º – S5 =0

S7 * sin45º = S5

S7 = S5 : sin45º = F : sin45º = 1,4*F

Piy = S7 * cos45º + S8 = 0

S8 = (-S7) * cos45º = (-1,4*F) * cos45º = (-F)

 

Węzeł B:

statyka21 - Kratownica płaska - metoda równoważenia węzłów - zadanie 22

Ostatni węzeł i tu wystarczy suma rzutów sił na oś x, bo pozostała do obliczenia jeszcze jedna siła w pręcie:

Pix = RBx – S9 – S7 * sin45º = 0

0 – S9 – 1,4 * F * sin45º = 0

S9 = (-1,4) * F * sin45º = (-F)

I w taki prosty sposób obliczyliśmy siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów.

Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie – podstawy

Drobna wzmianka na temat algebraicznego i skalarnego dodawania wektorów pojawiła się przy okazji rozkładu siły na składowe

Statyka-rzutowanie siły na oś-siła i jej składowe

 

statyka11 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

tylko, że to było proste, ponieważ mieliśmy 2 wektory do siebie prostopadłe.

Innym razem może się zdarzyć że trzeba dodać 2 wektory ustawione względem siebie o kąt . I co wtedy:

statyka6 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

Po pierwsze

Mamy 2 wektory i ustawiamy je w taki sposób, żeby ich początki były w jednym punkcie.

statyka7 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

Po drugie

Jeżeli każdy z nich wychodzi z jednego punktu, to tworzą 2 boki równoległoboku. Przekątna tego równoległoboku wychodząca z tego samego wierzchołka, co 2 dodawane wektory jest ich sumą.

statyka8 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

To wiemy już jak to narysować, a teraz jak obliczyć wartość sumy wektorów czyli długość tej przekątnej?

Jak dodajemy dwie siły i któraś z nich leci pod kątem, to tą siłę która jest pod kątem rozkładamy na 2 składowe (pionową i poziomą) – o tym już niedawno pisaliśmy.

statyka9 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

To teraz widzimy 2 składowe siły F1 oraz siłę F2. Następnie wszystkie składowe poziome dodajemy do siebie i wszystkie składowe pionowe też dodajemy do siebie (wyjątkowo w tym przypadku:

– w poziomie są 2 siły

– i w pionie jest jedna siła).

statyka10 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

I teraz to się zrobiło jeszcze łatwiejsze:

Składowe poziome leżą na jednym boku, a składowe pionowe leżą na drugim przyległym boku prostokąta. Teraz widać, że suma wektorów jest przekątną prostokąta i można ją obliczyć w taki sam sposób jak przy sumie 2 wektorów prostopadłych do siebie:

statyka12 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy