Wytrzymałość – skręcanie – zadanie 25

Witam ponownie i dzisiaj kolejne zadanie ze skręcania.

Wytrzymałość – zadanie 13 – skręcanie wału
skrecanie8
Mamy tutaj wał o podanym przekroju i długości L.

skrecanie11

Autor zadaje pytanie:

 

OBLICZ KĄT SKRĘCENIA ORAZ MAKSYMALNE NAPRĘŻENIE SKRĘCAJĄCE

 

Po pierwsze

 

Obliczamy połozenie środka ciężkości przekroju. Ponieważ przekrój wałka ma pionową oś symetrii, to umieszczamy go w układzie współrzędnych nad osią x, tak żeby oś symetrii przekroju pokrywała się z osią y.

Mechanika – środek ciężkości – zadanie 16
skrecanie9

Współrzędna położenia środka ciężkości wyniesie:

yc = [ 0,5 * π * (2*a)² * (4*2*a / (3*π)) – 0,5*2*a*a*a/3 ] :
: [ 0,5 * π * (2*a)² – 0,5*2*a*a ] = 0,94 * a

W mianowniku mamy całkowite pole przekroju – pole półkola minus pole trójkąta. W liczniku jest po kolei:

– pole półkola razy współrzędna środka ciężkości półkola
czyli
odległość środka ciężkości od osi x
– i to samo dalej czyli minus (bo wycieli z półkola trójkąt) pole trójkąta razy współrzędna jego środka ciężkości

skrecanie10

Po drugie

 

Obliczamy momenty bezwładności przekroju na zginanie. Względem osi xc:
Jxc =  π * (4*a)4 : 128 + 0,5 *  π * (2*a)² * [ (4*2*a / (3* π) )  – 0,94*a ]² +
– [ 2*a* a³ : 36 + 0,5*2*a*a * ( 0,94*a – a/3 )² ] = 5,9 * a4

Powyżej widzimy jak zastosowano twierdzenie Steinera:

Moment bezwładności półkola

plus

jego pole

razy

odległość pomiędzy środkiem ciężkości półkola

a

środkiem ciężkości całego przekroju.

Dalej analogicznie minus i to samo co dotyczy trójkąta. Minus dlatego bo z półkola wycięto trójkąt. I to samo robimy względem osi yc:

Jyc = π * (4*a)4 : 128 – 2 * [ a * a³ : 36 + 0,5 * a * a * (a/3)² ] = 1,4 * a4

Biegunowy moment bezwładności przekroju jest sumą momentów bezwładności względem prostopadłych osi centralnych (w tym przypadku xc i prostopadły do niego yc).
Jo = Jxc + Jyc = 5,9 * a4  + 1,4 * a4  = 7,3 * a4

Maksymalna odległość przekroju od początku układu współrzędnych:
rmax = √[(0,94*a)²+(2*a)²] = a * √[0,94²+2²] = 2,2*a

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:
Wo = Jo : rmax = 7,3 * a4 : 2,2 * a = 3,3 * a³

Maksymalne naprężenia skręcające to iloraz momentu przez wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:
τs = M : Wo = M : 3,3 * a³ = 0,3 * M/a³

 

Zgodnie z prawem Hooke dla skręcania Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy kąt skręcenia wału wyniesie:

M * L
φ = ————- =
G * Jo

 

M * L
= ——————————- =
G * 7,3 * a4

= 0,14 * M * L / (G*a4)

Wytrzymałość – zadanie 13 – skręcanie wału

Dzisiaj będzie o skręcaniu wału i poniżej mamy taki przykład:shaft for torsing

Jak widać posiada on zmienną średnicę a poza tym na początkowym odcinku jest drążony. Teraz jak może wyglądać zadanie ze skręcania:skrecanie1

Wał został umieszczony pomiędzy dwiema ścianami – do lewej ściany jest on sztywno przymocowany i do prawej ściany również jest sztywno przymocowany. To przymocowanie często nazywają UTWIERDZENIEM albo WMUROWANIEM. Widać jego długości i średnice i widać również, że można go podzielić na 3 przedziały:

– lewy przedział DRĄŻONY o średnicy zewnętrznej 2*D

– drugi środkowy przekrój PEŁNY o średnicy zewnętrznej 2*D

– trzeci prawy przedział o średnicy D

Widać że na granicy pierwszego i drugiego przedziału przyłożono moment. Autor zadania chce żebyśmy narysowali wykresy momentów i naprężeń skręcających.

I teraz jak sie zabrać do takiego zadania:

 

1. Uwalniamy wał od więzów czyli ZASTĘPUJEMY ŚCIANY MOMENTAMI UTWIERDZENIA MA oraz MB. 

skrecanie2

Jak już wiadomo uwalnianie od więzów to tradycja przy wielu zadaniach z wytrzymałości.

 

2. Piszemy jakie będą momenty skręcające w poszczególnych przedziałach. I jedziemy po kolei:

Zasłaniamy większą część wału tak, żeby widzieć tylko kawałek pierwszego lewego przedziału.

skrecanie3

Widzimy tylko moment utwierdzenia w lewej ścianie:

Ms1 = MA

To samo z drugim przedziałem – odsłaniamy cały lewy przedział i kawałek drugiego – widzimy moment utwierdzenia w lewej ścianie i przyłozony momentskrecanie4

Ms2 = MA + M

To samo widać w przypadku trzeciego przedziału:skrecanie5

Ms3 = MA + M

 

3. Piszemy równanie równowagi – sumę momentów względem osi wału:

Mix = MA + M + MD = 0

Jak widać mamy równanie z dwiema niewiadomymi (momenty utwierdzenia MA i MD) a więc jest to zadanie STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE – potrzebujemy jeszcze jedno równanie oprócz równania równowagi. Wobec tego przechodzimy do punktu czwartego:

 

4. Piszemy równanie geometryczne:

1 + 2 + 3 = 0

To znaczy dokładnie tyle, że jeżeli pierwszy przedział zostanie skręcony o 1 stopień i drugi przedział zostanie skręcony również o 1 stopień, to trzeci przedział musi się skręcić o MINUS 2 stopnie ponieważ lewa ściana i prawa ściana zawsze będą stały nieruchomo.

 

5. Liczymy biegunowe momenty bezwładności przekrojów w kolejnych przedziałach – to jest taka wielkość przekroju wałka która dotyczy skręcania i w której jest zawarta jego średnica:

Jo1 = * (2*D): 32 –  * D4 : 32 = /32 * (16*D4 – D4 ) =

/32 * 15*D4 = 15/32 * * D4

 

Jo2 = * (2*D)4 : 32 = 16/32 * * D4 = 0,5 * * D4

Jo3 = * D4 : 32

 

6. Do równania geometrycznego trzeba wmontować prawo Hooke dla skręcania.

Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy

Dla kolejnych przedziałów zgodnie z prawem Hooke’a kąty skręcenia wyniosą:

 

Ms1 * L      MA * L * 32

1 = ————- = ———————–

G * Jo1    G * 15 * * D4

 

Ms2 * L     (MA+M) * L * 2

2 = ————- = ———————–

G * Jo2      G * * D4

 

Ms3 * L    (MA+M) * L * 32

3 = ————- = ————————

G * Jo3     G * * D4

 

Wszystkie 3 powyższe równania wstawiamy do równania geometrycznego:

 

MA * L * 32     (MA+M) * L * 2      (MA+M) * L * 32

—————– + ———————— + ————————- =0

G*15**D4       G * * D4          G * * D4

 

Teraz to wszystko można uprościć dzieląc obie strony przez L oraz mnożąc przez G * * D4

MA * 32/15 + (MA+M) * 2 + (MA+M) * 32 = 0

I jak opuścimy nawiasy:

MA*32/15 + MA*2 + M*2 + MA*32 + M*32 = 0

to pozostanie uprościć i tak już proste równanie:

MA*36,1 + M*34 = 0

MA*36,1 = (-M)*34

Wobec tego moment utwierdzenia w lewej ścianie:

MA = (-0,94)*M

 

7. Wstawiamy obliczony moment utwierdzenia do momentów skręcających w poszczególnych przedziałach:

Ms1 = MA = (-0,94)*M

Ms2 = MA + M = (-0,94)*M + M = 0,06*M

Ms3 = MA + M = 0,06*M

I teraz można już narysować wykres momentów:

skrecanie6

8. Obliczamy wskaźniki wytrzymałości przekrojów na skręcanie – dzielimy obliczony wcześniej biegunowy moment bezwładności przez maksymalny promień przekroju (jeżeli pierwszy przedział ma średnicę 2*D to maksymalny promień będzie D):

Wo1 = Jo1 : rmax = 0,47 * * D4 : D = 0,47 * * D3

Wo2 = Jo2 : rmax = 0,5 * * D4 : D = 0,5 * * D3

Wo3 = Jo3 : rmax = 0,031 * * D4 : (0,5*D) = 0,062 * * D3

 

9. Obliczamy naprężenia skręcające, które są iloczynem momentu przez wskaźnik:

s1 = Ms1 : Wo1 = (-0,94*M) : (0,47 * * D3 ) = (-0,64) * M/D3

s2 = Ms2 : Wo2 = 0,06*M : (0,5 * * D3 ) = 0,038 * M/D3

s3 = Ms3 : Wo3 = 0,06*M : (0,062 * * D3 ) = 0,31 * M/D3

skrecanie7

I po narysowaniu wykresów widać jak prosty jest to temat

Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy

O prawie Hooke dla rozciągania to już było na samym początku zabawy z wytrzymałością materiałów:

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy

 

 

                        siła * długość pręta

wydłużenie = ———————————————
moduł Younga * pole przekroj

 

a teraz warto się zająć odmianą tego prawa, którą stosuje się dla skręcania:

 

                                moment skręcający * długość pręta
kąt skręcenia      = —————————————————–
G * Jo

 

gdzie:
G – moduł sprężystości postaciowej
Jo – biegunowy moment bezwładności

 

Jak spojrzymy na obie odmiany prawa Hooke’a, to teraz widać analogię pomiędzy nimi:
– kąt skręcenia odpowiada wydłużeniu,
–  moment odpowiada sile,
– moduł sprężystości postaciowej odpowiada modułowi Younga,
– biegunowy moment bezwładności odpowiada przekrojowi.

Moduł sprężystości postaciowej to jest taka właściwość MATERIAŁU, która odpowiada za jego sprężystość podczas skręcania na przykład wałka. Biegunowy moment bezwładności dotyczy przekroju poprzecznego wałka, jego kształtu oraz wymiarów.

Następnym razem zastosujemy to prawo w zadaniu.