Mechanika – podstawy – II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

I tak ponownie wracamy do podstaw, ponieważ o tych podstawach zdarza nam się zapominać. O zasadach dynamiki było już na samym początku i o II zasadzie również. Tylko że wtedy było to odniesione do ruchu postępowego:

F = m * a [1]

czyli jeżeli na ciało o masie m działa siła F, to to ciało jedzie z przyspieszeniem a.

 

A jak to będzie w przypadku ruchu obrotowego:

M = J * 

czyli jeżeli na ciało o masowym momencie bezwładności J działa moment M, to ciało obraca się z przyspieszeniem kątowym .

Jak patrzymy na wzór [1] i [2] to siłę F zamieniono na moment M (przy ruchu obrotowym sile odpowiada moment), zamiast masy jest masowy moment bezwładności, a zamiast przyspieszenia liniowego mamy przyspieszenie kątowe. I to właściwie tyle jeżeli chodzi o uzupełnienie II zasady dynamiki Newtona.

Statyka – podstawy – dodawanie wektorów pod różnymi kątami

Drobna wzmianka na temat sumy wektorów pojawiła się przy okazji rozkładu siły na składowe

statyka11

tylko, że to było proste, ponieważ mieliśmy 2 wektory do siebie prostopadłe.

Innym razem może się zdarzyć że trzeba dodać 2 wektory ustawione względem siebie o kąt . I co wtedy:

statyka6

Mamy 2 wektory i ustawiamy je w taki sposób, żeby ich początki były w jednym punkcie.

statyka7

Jak oba wektory wychodzą z jednego punktu, to tworzą 2 boki równoległoboku. Przekątna tego równoległoboku wychodząca z tego samego wierzchołka, co 2 dodawane wektory jest sumą tych wektorów.

statyka8

To wiemy już jak to narysować, a teraz jak obliczyć wartość sumy wektorów czyli długość tej przekątnej?

Jak dodajemy dwie siły i któraś z nich leci pod kątem, to tą siłę która jest pod kątem rozkładamy na 2 składowe (pionową i poziomą) – o tym już niedawno pisaliśmy.

statyka9

To teraz widzimy 2 składowe siły F1 oraz siłę F2. Następnie wszystkie składowe poziome dodajemy do siebie i wszystkie składowe pionowe też dodajemy do siebie (wyjątkowo w tym przypadku:

– w poziomie są 2 siły

– i w pionie jest jedna siła).

statyka10

I teraz to się zrobiło jeszcze łatwiejsze:

Składowe poziome leżą na jednym boku, a składowe pionowe leżą na drugim przyległym boku prostokąta. Teraz widać, że suma wektorów jest przekątną prostokąta i można ją obliczyć w taki sam sposób jak przy sumie 2 wektorów prostopadłych do siebie:

statyka12

Statyka-zadanie 8

Dobrze będzie teraz powrócić do statyki i teraz zrobimy takie zadanie:

Jest sobie belka oparta na dwóch podporach (w punktach A i B) – to tak jakby ktoś wziął szynę tramwajową i położył na dwóch cegłach.

W punkcie A jest podpora PRZEGUBOWA STAŁA czyli pozwalająca tylko na obrót belki wokół punktu A. A więc lewy koniec belki NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie.

W punkcie B jest podpora PRZEGUBOWA PRZESUWNA (bo widać tutaj dwie poziome kreski) pozwalająca na obrót belki wokół punktu B oraz przesuw poziomy (poziomy bo są dwie poziome kreski). A więc w punkcie B belka NIE MOŻE pojechać w pionie.

Teraz uwalniamy belkę od więzówstatyka5

czyli zastępujemy dwie podpory (A i B) siłami . Jak napisano trochę wcześniej lewy koniec belki (w punkcie A) NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie i dlatego rysujemy DWIE reakcje (pionową i poziomą – nieważne czy prawo czy lewo i czy góra czy dół) działające na belkę. Krótko mówiąc reakcje działające na belkę pokazują, w którą stronę belka NIE MOŻE pojechać.

Tak samo w punkcie B rysujemy reakcję pionową bo w pionie belka NIE MOŻE pojechać.

Teraz kolej na równania równowagi. Ponieważ wszystkie siły leżą na płaszczyźnie i nie przecinają się w jednym punkcie to jest to układ sił PŁASKI ROZBIEŻNY. Dla układu płaskiego rozbieżnego piszemy TRZY równania równowagi:

suma rzutów sił na oś poziomą (przeważnie x)

i na oś pionową (przeważnie y)

oraz moment sił względem dowolnego punktu.

Na jednej osi wszystko wytłumaczymy i dalej wszystko będzie bardzo proste. Suma rzutów sił na oś x to suma wszystkich sił poziomych i rzutów sił poziomych.

Z sumy rzutów sił na oś x:

Pix = (-RAx) – F1*cos = 0 [1]

Z sumy rzutów sił na oś y:

Piy = RAy – F1*sin+ F2 + F3 + RB = 0 [2]

Z sumy momentów względem punktu A:

MiA = F1*sin*1 – F2*2 – RB*4 – F3*5 = 0 [3]

Przekształcając równanie [3] otrzymujemy:

4*RB = F1*sin*1 – F2*2 – F3*5

Reakcja w podporze przegubowej przesuwnej wynosi:

RB = 0,25*F1*sin – 0,5*F2 – 1,25*F3

Z [2] równania obliczymy reakcję pionową w podporze przegubowej stałej:

RAy = F1*sin– F2 – F3 – RB

Z równania [1] obliczymy reakcję poziomą w lewej podporze:

RAx = (-F1)*cosα

Kolejne trudniejsze zadania w następnym odcinku

 

Dynamika- zadanie 7

Witam ponownie i ponownie mamy proste zadanko z dynamiki:

 

Do nieważkiego bębna o promieniu r przyłożono moment Mo. Na obu końcach cięgna nawiniętego na bęben zawieszono 2 masy m. Pomiędzy cięgnem a bębnem nie ma poślizgu.

dynamika4

Ile wyniosą przyspieszenia poruszających się mas?

 

Tyle wiadomo  teraz żeby się do tego zabrać to na wstępie:

Trzeba założyć, w jaki sposób to wszystko się będzie poruszać.

Przyłożony moment obraca kołem zgodnie ze wskazówkami zegara, czyli można się domyśleć, że lewe pudło pojedzie w górę, a prawe pudło będzie zjeżdżać w dół. Ponieważ oba pudła są połączone nierozciągliwą liną, to jedno i drugie pudło będzie się poruszać z takim samym przyspieszeniem.

W drugim kroku trzeba uwolnić od więzów wszystkie ciała, które mają masę, czyli to będzie lewe pudło i prawe pudło.dynamika5

Uwalniamy od więzów, czyli zastępujemy linę siłą napięcia S1 i ponieważ ciało posiada masę to w środku ciężkości przykładamy siłę ciężkości m*g. Z poprzedniego kroku zakładamy przyspieszenie ciała w górę.

Trzeci krok to jeżeli pudło uwolniliśmy od więzów to teraz piszemy równania dynamiczne pochodzące z II prawa dynamiki Newtona:
ILOCZYN MASY CIAŁA I JEGO PRZYSPIESZENIA RÓWNA SIĘ SUMIE PRZYŁOŻONYCH DO NIEGO SIŁ.
Należy zaznaczyć że siły leżą na kierunku przyspieszenia:
m * p = S1 – m*g [1]

dynamika6

Analogicznie postępujemy z drugim pudłem czyli siłę w linie zastępujemy siłą S2 i przykładamy ciężar m*g. Równianie dynamiczne przyjmie postać:

m * p = m*g – S2 [2]

Mamy 2 równania dynamiczne i teraz liczymy niewiadome:
p , S1 , S2
czyli 3 niewiadome i 2 równania a więc potrzebne jest dodatkowe równanie dynamiczne lub kinematyczne. I tutaj warto wykorzystać krążek, do którego przyłożono moment – dla niego napiszemy równanie dynamiczne dla ruchu obrotowego:

dynamika3

J * e = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

Wiadomo że moment bezwładności krążka wynosi zero, ponieważ krążek jest nieważki:
J = 0
I wiadomo, jaka jest relacja między przyspieszeniami:
– kątowym bębna
– i liniowym pudła:
p = ε * r
I z tego obliczymy przyspieszenie kątowe krążka:
ε = p : r
I teraz to co powyżej wstawiamy do równania [3]:
0 * p/r = S2 * r + Mo – S1 * r

0 = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

To jak już mamy 3 równania, to przyrównujemy stronami równania [1] i [2]:
S1 – m*g = m*g – S2
S1 = 2*m*g – S2 [1+2]

Z równania [3] wyciągamy siłę w linie S1:
S1 * r = S2 * r + Mo
S1 = S2 + Mo/r  [3]

Równania [1+2] oraz [3] odejmujemy stronami:
S1 – S1 = 2*m*g – S2 – S2 – Mo/r
0 = 2*m*g – 2*S2 – Mo/r
0 = m*g – S2 – 0,5*Mo/r
S2 = m*g – 0,5*Mo/r

Z równania [1] wyciągamy p, podstawiamy obliczone powyżej S2 i od razu dostajemy szukane przyspieszenie:
p = g – S2/m = g – ( m*g – 0,5*Mo/r )/m = g – ( g – 0,5*Mo/(r*m) )  =
= 0,5*Mo/(r*m)

Dynamika-zadanie 6

To może teraz zadanie z dynamiki takie oto:

NA POZIOMYM STOLE NA KARTCE LEŻY PUDEŁKO O MASIE m. WSPÓŁCZYNNIK TARCIA MIĘDZY KARTKĄ I PUDEŁKIEM WYNOSI µdynamika1

I jak wiemy co tu się dzieje to teraz jest takie pytanie:

Z JAKIM PRZYSPIESZENIEM NALEŻY RUSZYĆ KARTKĄ, ŻEBY PUDEŁKO ZJECHAŁO Z KARTKI?

Czyli tradycyjnie uwalniamy pudełko od więzów, czyli zastępujemy kartkę siłami:

– nacisku

– i tarcia ponieważ jest dany współczynnik tarcia 

dynamika2

Siła tarcia jest w tą stronę co przyspieszenie ponieważ pudełko będzie chciało zjechać w stronę przeciwną – siła tarcia jest zawsze przeciwna do ruchu który ma nastąpic – przeszkadza ruchowi.

No i teraz piszemy równania dynamiczne:

Równanie w kierunku zgodnym z przyspieszeniem:

m * p = N * µ [1] 

Równanie w kierunku prostopadłym do przyspieszenia:

m * 0 = N – m*g [2]

Z drugiego równania obliczamy nacisk:

N = m*g

i wstawiamy do równania [1]:

m * p = m * g * µ

Dzielimy obie strony równania przez m i dostajemy przyspieszenie z jakim należy ruszyć kartką żeby pudełko zjechało z kartki:

p = g * µ 

Kinematyka-zadanie 4-obliczenie przyspieszenia w ruchu płaskim

No to mamy zadanie następujące:

OBLICZYĆ PUNKTU A WALCA O PROMIENIU r PORUSZAJĄCEGO SIĘ RUCHEM PŁASKIM

Tutaj będzie znacznie lepsza zabawa niż przy obliczaniu prędkości punktu i dlatego, zanim przejdziemy do zadania, trzeba się odwołać do podstaw:
Załóżmy czy COŚ jedzie po okręgu o promieniu R i z prędkością Vp i wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne przyspieszenia:

– PRZYSPIESZENIE STYCZNE – którego wektor jest STYCZNY do toru ruchu (czyli śladu który robi punkt kiedy sobie jedzie – jak jedzie po łuku to robi łuk). Jest ono równe – UWAGA – pochodnej prędkości po czasie, a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość się nie zmienia to przyspieszenie styczne jest równe zero.

– PRZYSPIESZENIE NORMALNE  którego wektor jest skierowany do środka łuku i jest ono równe:
pn = Vp² : R

Streszczając to co jest napisane w powyższych 2 punktach

przyspieszenie styczne występuje kiedy prędkość się zmienia,

a przyspieszenie normalne występuje gdy ciało porusza się po łuku.

mechanika wstep 4

Jak już wiadomo jakie są rodzaje przyspieszeń, to można obliczyć przyspieszenie punktu A i zrobimy to METODĄ BIEGUNA. A co to znaczy:
pa = po + pa/o
Znaczy to tyle, że przyspieszenie punktu A jest sumą 2 wektorów przyspieszeń:
– WEKTORA przyspieszenia środka – punktu O – w tym przypadku punkt O wybraliśmy jako BIEGUN
– oraz WEKTORA przyspieszenia punktu A względem środka

I żeby było jeszcze śmieszniej to każdy z powyższych 2 wektorów MOŻE (ALE NIE MUSI) mieć składową styczną i składową normalną. To teraz można zapisać to wszystko w jednym równaniu (oczywiście wektorowo):
pa = pot + pon + pa/ot + pa/on
Przyspieszenie styczne środka będzie równe zero
pot = 0
ponieważ koło jedzie w prawo ze stałą prędkością.

Podobnie przyspieszenie styczne punktu A względem środka będzie równe zero
pa/ot = 0
ponieważ punkt A porusza się względem środka ze stałą prędkością.

Wobec tego sumaryczne przyspieszenie punktu A wyniesie (wektorowo):
pa = pon + pa/on
To teraz trzeba obliczyć poszczególne składniki:
Przyspieszenie normalne środka:
pon = ω² * r
Analogicznie obliczymy przyspieszenie punktu A względem środka:
pa/on = ω² * r

kinematyka1

A więc mamy 2 wektory przyspieszenia i teraz musimy je dodać.
Najprościej będzie to zrobić METODĄ RÓWNOLEGŁOBOKU:
Ustawiamy oba wektory tak, że wychodzą z jednego punktu (wierzchołka równoległoboku) i teraz widać, że tym równoległobokiem (w tym przypadku) jest zwykły prostokąt.

kinematyka2

Suma obu wektorów będzie przekątną wychodzącą z tego samego wierzchołka co 2 pozostałe. I teraz widać, że można do tego użyć twierdzenia Pitagorasa:
pa = [pon² + pa/on² ] ˆ1/2

(do potęgi 1/2 bo jest to pod pierwiastkiem)

Czyli podsumowując:

  • najpierw obliczamy poszczególne składowe przyspieszenia
  • a następnie dodajemy wektory składowych i suma będzie przyspieszeniem punktu

Praca i energia-zadanie 3

Na początku była mowa o podstawach i również o pracy i energii i dobrze będzie te podstawy przypomnieć w praktyce czyli na prostym zadaniu.

Mamy takie zadanie z pracy i energii:

JAKĄ PRACĘ TRZEBA WYKONAĆ, ABY PRZEWRÓCIĆ NA BOK SZEŚCIAN O BOKU a I MASIE m ?

I na rysunku poniżej widać tę sytuację:

energia 1

I to jest bardzo proste: wystarczy przechylić sześcian, żeby stanął na kancie (lub KRAWĘDZI) i dalej już poleci sam i przewróci sią na bok. Jedyna praca jaką trzeba wykonać to postawić sześcian na krawędzi. Żeby postawić sześcian na krawędzi to trzeba podnieść środek ciężkości o pewną wysokość – RÓŻNICĘ MIĘDZY POŁOWĄ BOKU A POŁOWĄ PRZEKĄTNEJ – widać to na załączonym szkicu POWYŻEJ. Jedyna czemu trzeba przeciwdziałać to siła ciężkości – trzeba pokonać pracę siły ciężkości, która działa w dół. Czyli praca wynosi:

SIŁA CIĘŻKOŚCI x PIONOWE PRZESUNIĘCIE ŚRODKA CIĘŻKOŚCI

L = m * g * [ 0,5 * a * 2ˆ1/2 – 0,5 * a ]

W nawiasie ta pierwsza cząstka to połowa przekątnej (przekątna kwadratu to bok razy pierwiastek z 2) , a druga cząstka to połowa boku.