Dynamika – energia – zadanie 30

Dzisiaj zrobimy kolejne i trochę inne zadanie z energii:

Dynamika – energia – zadanie 21

Na rysunku widać że pudło startuje z prędkością początkową i zjeżdża po równi, w drugim etapie jedzie po drodze poziomej i w trzecim etapie wjeżdża po równi. Każdy z 3 odcinków odpowiada drodze s.

dynamika9

Pytanie na jakie szukamy odpowiedzi to:

JAKA MUSI BYĆ PRĘDKOŚĆ POCZĄTKOWA PUDŁA, ŻEBY PRZEJECHAŁO WSZYSTKIE 3 ODCINKI O DŁUGOŚCIACH s?

Po pierwsze

Ustalamy siły zewnętrzne działajace na pudło w każdym z 3 odcinków.

dynamika10

Jak widać na pudło działa:

  • ciężar m*g
  • nacisk N1 , N2 lub N3
  • tarcie μ*N1 , μ*N2 lub μ*N3

 

Po drugie

Piszemy równanie mówiące, że

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ UKŁADU

RÓWNA SIĘ

PRACY WYKONANEJ PRZEZ SIŁY ZEWNĘTRZNE

ΔEk = ∑L

Ponieważ w tym zadaniu mamy 3 odcinki, po których porusza się pudło, to będziemy mieć 3 etapy kiedy praca będzie przechodzic w energię.
dynamika11
Poszczególne odcinki oznaczono na CZERWONO:
1-2 – odcinek pierwszy – zjazd z równi
2-3 – odcinek drugi – ruch po drodze poziomej
3-4 – odcinek trzeci – wjazd na równię

Kolejno dla poszczególnych odcinków równoważność pracy i zmiany energii:

Ek2 – Ek1 = ∑L1-2
Ek3 – Ek2 = ∑L2-3
Ek4 – Ek3 = ∑L3-4

Energia kinetyczna pudła w punkcie 1 – początek zjazdu z równi:
Ek1 = m * V² / 2

Energia kinetyczna pudła w punkcie 2 – po zjeździe z równi:
Ek2 = m * V2² / 2

Energia kinetyczna pudła w punkcie 3 – na końcu odcinka poziomego:
Ek3 = m * V3² / 2

Energia kinetyczna pudła w punkcie 4 – po wjeździe na równię:
Ek4 = 0

Suma prac sił zewnętrznych na poszczególnych odcinkach:
Odcinek 1-2 – praca siły tarcia i ciężaru:
∑L1-2 = m*g*s*sinα – N1*m*s

Odcinek 2-3 – praca siły tarcia:
∑L2-3 = (-N2)*m*s

Odcinek 3-4 – praca siły tarcia i ciężaru:
∑L3-4 = (-m)*g*s*sinα – N3*m*s

Na podstawie tego co powyżej powstaną 3 równania równoważności pracy i energii – trzy bo są 3 odcinki ruchu pudła:

Pierwszy odcinek:
m*V2² / 2  – m*V² / 2 = m*g*s*sinα – N1*m*s

Drugi odcinek:
m*V3² / 2 – m*V2² / 2 = (-N2)*m*s

Trzeci odcinek:
0 – m*V3² / 2 = (-m)*g*s*sinα – N3*m*s

W ten sposób powstał układ 3 równań i teraz policzymy niewiadome:
V2 , V , N1 , V3 , N2 , N3
6 niewiadomych i 3 równania czyli potrzeba 3 dodatkowych równań. Najbardziej stosowne będzie obliczenie nacisków N1 , N2 oraz N3 na 3 kolejnych odcinkach.

dynamika10
Pierwszy odcinek – piszemy sumę rzutów sił na oś równoległą do niewiadomej N1:
∑Piy = N1 – m*g*cosα = 0
Nacisk podczas zjazdu z równi:
N1 = m*g*cosα

Drugi odcinek – piszemy sumę rzutów sił na oś równoległą do niewiadomej N2:
∑Piy = N2 – m*g = 0
Nacisk podczas jazdy po drodze poziomej:
N2 = m*g

Trzeci odcinek – piszemy sumę rzutów sił na oś równoległą do niewiadomej N3:
∑Piy = N3 – m*g*cosα = 0
Nacisk podczas wjazdu na równię:
N3 = m*g*cosα

To jak już mamy policzone wszystkie naciski N1 , N2 i N3 to teraz to wstawimy do równań równoważności pracy i energii:
m*V2² / 2 – m*V² / 2 = m*g*s*sinα – m*g*cosα*m*s [1]
m*V3² / 2 – m*V2² / 2 = (-m*g )*m*s [2]
0 – m*V3² / 2 = (-m)*g*s*sinα – m*g*cosα*m*s [3]

Na początek bierzemy równanie [3] i obliczymy z niego prędkość na końcu odcinka poziomego V3:
m*V3² / 2 = m*g*s*sinα + m*g*cosα*m*s
V3² / 2 = g*s*sinα + g*cosα*m * s
V3² = 2*g*s*sina + 2*g*cosα*m*s
V3² = 2*g*s* ( sina + cosα*m )
V3 = √ [2*g*s * ( sina + cosα*m )]

Jak wstawimy V3 do równania [2] to można obliczyć V2:
m*2*g*s* ( sinα + cosα*m ) / 2 – m*V2² / 2 = (-m*g )*m*s
m*2*g*s * ( sinα + cosα*m ) – m*V2² = 2*(-m*g )*m*s
2*g*s * ( sinα + cosα*m ) – V2² = 2*(-g )*m*s
V2² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m ) – 2*g*m*s
V2² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m – m )
V2  = √ [2 * g * s * ( sinα + cosα*m – m )]

Jak wstawimy V2 do równania [1] to obliczymy szukaną początkową prędkość V:
m*2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) / 2  – m*V² / 2 = m*g*s*sinα – m*g*cosα*m*s

m*2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) – m*V²  = 2*m*g*s*sinα – 2*m*g*cosα*m*s

2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) – V²  = 2*g*s*sinα – 2*g*cosα*m*s

V² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) – 2*g*s*sinα + 2*g*cosα*m*s

V² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m – m – sinα + cosα*m )
V² = 2*g*s*m * ( 2*cosα – 1 )

Czyli prędkość początkowa jaką musi mieć pudło, żeby dojechać do punktu 4 wynosi:

V = √[2*g*s*m * ( 2*cosα – 1 )]

Prawda że łatwe ?

Statyka – kratownica płaska – zadanie 28

Niedawno było jedno zadanie z kratownic.

Statyka – kratownica płaska – zadanie 22

Tamto rozwiązaliśmy metodą RÓWNOWAGI WĘZŁÓW, ponieważ chodziło o obliczenie sił we WSZYSTKICH prętach.

Jest kolejna droga do celu nazywana METODĄ PRZECIĘĆ i stosuje się ją wtedy, kiedy mamy obliczyć siłę w jednym lub kilku prętach, które znajdują się w dowolnym miejscu kratownicy. Po takim krótkim wstępie można przejść do zadania:

rozciaganie15

Jak widać jest kratownica i jest takie pytanie

OBLICZYĆ SIŁĘ W 2 PRĘTACH OZNACZONYCH LINIĄ PRZERYWANĄ

Po pierwsze

Uwalniamy kratownicę JAKO CAŁOŚĆ od więzów, żeby obliczyć reakcje podpór.

rozciaganie16

Od razu ważna uwaga:

NIE MUSIMY obliczać reakcji we wszystkich podporach – wystarczy obliczyć reakcję w jednej podporze – w tym przypadku najlepiej RA. W tym celu obliczamy sumę momentów względem punktu B:

MiB = RA * 3 * L + F * 2 * L + F * L = 0

Dzielimy obie strony równania przez L:

RA * 3 + F * 2 + F = 0

RA * 3 + F * 3 = 0

RA + F = 0

Reakcja w lewej podporze:

RA = (-F)

Po drugie

Na wstępie było powiedziane o METODZIE PRZECIĘĆ, a więc teraz przetniemy kratownicę przez te pręty, w których chcemy obliczyć siły. To tak jakbyśmy ją przecinali na dwie części, ale bardzo ważne żeby przecinać przez MAKSYMALNIE 3 PRĘTY – później okaże się w praktyce dlaczego tak.

rozciaganie17

Powyżej widzimy jedną z możliwości, jak będzie dobrze przeprowadzić linię cięcia – czerwona linia leci przez 2 pręty (w nich obliczymy siły – linia przerywana) i jeszcze jeden, który jest pod nimi.

Po trzecie

Uwalniamy od więzów tę część, która jest na lewo od czerwonej falistej linii – linii cięcia

rozciaganie18

Powyżej widać że mamy płaski ROZBIEŻNY układ sił, czyli możemy napisać 3 równania równowagi. To dlatego chodziło o przecięcie kratownicy maksymalnie przez 3 pręty.

rozciaganie19

Dobrze będzie zacząć od równania momentów względem punktu B (punkt przecięcia sił S2 oraz S3), ponieważ przez ten punkt przechodzą 2 niewiadome siły:

MiB = S1*L + F*L + RA*2*L = 0

S1*L + F*L + (-F)*2*L = 0

Dzielimy obie strony równania przez L:

S1 + F + (-F)*2 = 0

S1 – F = 0

Siła w pręcie nr 1:

S1 = F

Pozostała jeszcze do obliczenia siła S2 i w tym celu warto napisać sumę rzutów sił na oś y:

Piy = RA + F – S2*sin45o = 0

(-F) + F – S2*sin45o = 0

(- S2) * sin45o = 0

A więc siła w pręcie nr 2 wynosi:

S2 = 0

Jak widać dwa równania równowagi dla części kratownicy załatwiły wszystko.

Statyka – kratownica płaska – zadanie 22

O statyce już było i to nie raz ale teraz zadanie z kratownic. I na początek warto powiedzieć, co to jest kratownica:

Mówiąc prosto bierzemy kilka lub kilkanaście lub jeszcze więcej prętów i łączymy je przegubowo w taki sposób, że tworzą one sztywny element i przykładem pierwszym z brzegu niech będzie trójkąt stworzony z 3 prętów połączony przegubowo w 3 punktach.

statyka13

Te punkty połączenia dalej będziemy nazywać WĘZŁAMI. Jasna sprawa że większość kratownic to układy prętowe znacznie bardziej skomplikowane niż taki sobie zwykły trójkąt. I teraz może takie proste zadanie:

statyka14

Tak jak widać na rysunku powyżej mamy kratownicę zamocowaną w dwóch podporach (jednej stałej i drugiej przesuwnej) oraz obciążoną dwiema pionowymi siłami F. Autor zadania zadaje proste pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Zrobimy to w kilku prostych krokach metodą RÓWNOWAGI WĘZŁÓW.

 

Po pierwsze

 

Uwalniamy CAŁĄ kratownicę od więzów, czyli zastępujemy siłami to, co ją łączy ze światem zewnętrznym. W tym przypadku kratownica jest mocowana do podłoża dwiema podporami:

– podpora przegubowa stała – zamiast niej rysujemy 2 prostopadłe do siebie reakcje

– podpora przegubowa przesuwna – zastępujemy ją siłą prostopadłą do 2 równoległych kresek

statyka15

Po drugie

 

Piszemy równania równowagi statycznej i teraz spójrzmy jakie widzimy siły:

RA, RBx, RBy oraz 2 siły F i co najważniejsze te siły nie zbiegają się w jednym punkcie, czyli mamy układ PŁASKI ROZBIEŻNY – a więc piszemy 3 równania równowagi (2 sumy rzutów sił i sumę momentów).

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

Sumę momentów warto obliczyć względem punktu, przez który przechodzi NAJWIĘCEJ niewiadomych – w tym przypadku będzie to punkt B – RBx oraz RBy

MiB = F * L + F * 2 * L + RA * 3 * L = 0

ponieważ w ten sposób od razu obliczymy reakcję w drugiej podporze:

F * 3 * L + RA * 3 * L = 0

F + RA = 0

która wynosi:

RA = (-F)

Następnie piszemy sumy rzutów sił na osie , z których obliczymy reakcje w podporze B:

Pix = RBx = 0

Piy = (-RA) – F – F – RBy = 0

RBy = (-(-F)) – F – F = (-F)

 

Po trzecie

 

Jak już są obliczone reakcje zewnętrzne działające na kratownicę jako całość, to rozkładamy układ ZŁOŻONY – całą kratownicę na układy PROSTE – poszczególne węzły. W tym celu warto oznaczyć każdy z węzłów literą, a każdy z prętów cyfrą. 

statyka16

UWALNIAMY OD WIĘZÓW każdy węzeł czyli ZASTĘPUJEMY siłami pręty, które do niego dochodzą. Na wstępie możemy zacząć od węzła A, ponieważ dochodzą do niego DWA pręty, czyli w równaniach równowagi będą DWIE niewiadome siły.

statyka17

Jak mamy taki węzeł A uwolniony od więzów, to widać, że wszystkie siły zbiegają się w jednym punkcie, czyli mamy układ PŁASKI ZBIEŻNY – wobec tego piszemy DWA równania równowagi – sumy rzutów sił na osie. I teraz równania równowagi:

Piy = S2 * cos45o – RA = 0

Z pierwszego równania obliczamy siłę w pierwszym pręcie:

S2 * cos45º = RA

S2 = RA : cos45º = (-F) : cos45º = (-1,4*F)

Pix = S1 + S2 * sin45º = 0

S1 = (-S2) * sin45º = (-(-1,4*F)) * sin45º = F

I teraz przechodzimy do węzła C, ponieważ mając siłę w drugim pręcie będziemy mieć 2 niewiadome.

statyka18

Czyli od teraz do samego końca wszystko będzie przebiegać analogicznie:

Pix = S3 – S2 * sin45º = 0

S3 = S2 * sin45º = (-1,4*F) * sin45º = (-F)

Piy = (-S4) – S2 * cos45º = 0

S4 = (-S2) * cos45º = (-(-1,4*F)) * cos45º = F

Analogicznie postępujemy dla pozostałych węzłów:

 

Węzeł D:

statyka19

Piy = S4 – F + S6 * cos45º = 0

(-S4) + F = S6 * cos45º

(-F) + F = S6 * cos45º==> S6 = 0

Pix = S5 – S1 + S6 * sin45º = 0

S5 – F + 0 * sin45º = 0

S5 = F

 

Węzeł E:

Pix = S7 * sin45º – S5 =0

S7 * sin45º = S5

S7 = S5 : sin45º = F : sin45º = 1,4*F

Piy = S7 * cos45º + S8 = 0

S8 = (-S7) * cos45º = (-1,4*F) * cos45º = (-F)

 

Węzeł B:

statyka21

Ostatni węzeł i tu wystarczy suma rzutów sił na oś x, bo pozostała do obliczenia jeszcze jedna siła w pręcie:

Pix = RBx – S9 – S7 * sin45º = 0

0 – S9 – 1,4 * F * sin45º = 0

S9 = (-1,4) * F * sin45º = (-F)

I w taki prosty sposób obliczyliśmy siły we wszystkich prętach

Dynamika – energia – zadanie 21

Mamy takie oto zadanie z energii:

energia2

Większa masa wisi na linie, która jest na górze przełożona przez krążek i leci do mniejszej masy która leży na powierzchni. Tutaj współczynnik tarcia wynosi . autor zadaje pytanie:

JAKĄ PRĘDKOŚĆ OSIĄGNIE WIĘKSZA WISZĄCA MASA PO PRZEBYCIU DROGI H ?

 

Po pierwsze

 

To teraz ustalmy w którą stronę ten cały układ jedzie:

Nie ma mowy o żadnej prędkości , a więc wszystko startuje ze startu zatrzymanego.

Wisząca większa masa M pod własnym ciężarem spada w dół i ciągnie mniejszą masę, która jedzie w prawo. Ponieważ oba pudła połączono nierozciągliwą liną, to oba jadą z taką samą prędkością.

energia3

Po drugie

 

Jeżeli wiadomo, jak to działa, to zaznaczamy siły ZEWNĘTRZNE działające na układ. W tym przypadku są to:

– ciężar m*g działający na masę m

– nacisk N działający na masę m

– tarcie N* działające na masę m

– ciężar działajacy na masę M

 

Po trzecie

 

Z równoważności pracy i energii wynika że zmiana energii kinetycznej układu jest równa wykonanej pracy:

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Ek2 – Ek1 = L

Układ rusza ze startu zatrzymanego, a więc początkowa energia kinetyczna:

Ek1 = 0

Energia kinetyczna końcowa będzie zwiazana z ruchem ciał posiadających masę:

Ek2 = M * V² / 2 + m * V² / 2

i tak jak napisano wcześniej obie masy, duża i mała, jadą z taką samą prędkością V.

I teraz prawa strona równania:

Pracę wykonują siły, które są RÓWNOLEGŁE do przesunięcia. W tym przypadku równoległe do przesunięcia są:

– ciężar wiszącego pudła – pudło jedzie w dół i jego ciężar też działa w dół

– tarcie działające na mniejsze pudło – pudło jedzie poziomo i tarcie też działa poziomo.

Praca równa się iloczynowi SIŁY razy PRZESUNIĘCIE, a więc prawa strona równania będzie wyglądać tak:

L = M * g * H – N * * H

Powyżej widać, że tarcie działa na takiej samej drodze H jak przesunięcie w pionie duzego pudła, ponieważ oba pudła połączono nierozciągliwą liną. Całe równanie będzie wyglądało tak:

M * V² / 2 + m * V² / 2 – 0 = M * g * H – N * * H

To teraz policzymy niewiadome:

Jak widać nie znamy prędkości V i nacisku N. Uwalniamy od więzów pudło o mniejszej masie m czyli:

energia4

– przykładamy ciężar m * g

– zastępujemy podłoże naciskiem N i tarciem N *

– zastępujęmy linę siłą naciągu S

Kolejno piszemy sumę rzutów na oś y, ponieważ tam występuje nieznany nacisk N:

Piy = N – m*g = 0

czyli nacisk na lżejsze pudło:

N = m * g

i wstawiamy to do ogólnego równania:

M * V² / 2 + m * V² / 2 – 0 = M * g * H – m * g * * H

Mnożymy obie strony równania przez 2:

M * V² + m * V² = 2 * M * g * H – 2 * m * g * * H

i wyciągamy kwadrat prędkości przed nawias:

V² * (M+m) = 2 * M * g * H – 2 * m * g * * H

i z tego wynika szukana prędkość V :

V² * (M+m) = 2*g*H * (M – m * )

V = √ [2*g*H*(M – m*) : (M+m)]

Kinematyka – ruch złożony – zadanie 19

A teraz będzie o ruchu ZŁOŻONYM:

Jak sama nazwa wskazuje mamy tutaj jakieś zlożenie, a dokładnie jest to złożenie 2 ruchów:

ruch unoszenia – na przykład płyta która porusza się po linii prostej lub się obraca wokół jakiegoś punktu

ruch własny – po tej płycie porusza się na przykład zwierzę – to już widać, że zwierzę jest znacznie mniejsze od płyty

Może być tak że płyta porusza się do przodu a zwierzę w bok ale znowu jest to tylko przykład.

Mówiąc i pisząc w jednym zdaniu ruch ZŁOŻONY jest wtedy gdy COŚ porusza się po CZYMŚ co też jedzie.

I teraz mamy takie zadanie z ruchu złożonego:

ruchzlozony1

Płyta obraca sie z prędkością kątową i po tej płycie ze środka startuje punkt A i jedzie z prędkością Vw wzdłuż promienia na zewnątrz. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Wektorowo prędkość punktu A jest sumą prędkości własnej i prędkości unoszenia:

VA = Vw + Vu

gdzie:

Vu – prędkość unoszenia

Tutaj ruch unoszenia jest obrotowy i w takim razie unoszenie jest ruchem po okręgu.

Vu = * AoA

Odległość AoA to droga punktu A w ruchu jednostajnym z prędkością Vw. A ponieważ jest to ruch jednostajny to droga wyniesie:

AoA = Vw * t

czyli prędkość unoszenia:

Vu = * Vw * t

ruchzlozony2

Jak widać wektory prędkości własnej i unoszenia są do siebie prostopadłe czyli wartość ich sumy można obliczyć z metody równoległoboku przy użyciu twierdzenia Pitagorasa:

ruchzlozony3

VA = √(Vw² + Vu² ) =

= √(Vw² + ² * Vw² * t² ) =

= Vw * √(1 + ² * t²)

 

To na razie tyle na temat prędkości a teraz obliczymy przyspieszenie.

Przyspieszenie punktu A jest sumą 3 wektorów przyspieszeń:

własnego – może się składać ze składowych stycznej i normalnej

unoszenia- może się składać ze składowych stycznej i normalnej

Coriolisa – jeżeli unoszenie jest ruchem obrotowym a w tym zadaniu tak jest.

 

Przyspieszenie własne normalne nie występuje ponieważ punkt A jedzie po prostej.

Przyspieszenie własne styczne nie wystąpi bo ruch własny odbywa się ze stałą prędkością Vw.

 

Przyspieszenie unoszenia normalne wynosi:

pun = Vu² / AoA = ( * Vw * t)² / (Vw * t) =

= ² * Vw * t

i wektor jest skierowany do środka łuku w ruchu unoszenia czyli do środka obrotowej tarczy

 

Przyspieszenie unoszenia styczne jest pochodną po czasie prędkości unoszenia:

put = dVu / dt = d/dt ( * Vw * t) = * Vw

i wektor jest styczny do łuku w ruchu unoszenia czyli prostopadły do promienia obrotowej tarczy.

 

Z przyspieszeniem Coriolisa jest trochę ciekawiej:

pc = 2 * * Vw * sin(<Vw,)

ten ostatni czynnik czyli sinus dotyczy kąta zawartego między wektorami:

– prędkości własnej Vw

– i prędkości kątowej unoszenia ω.

Wektor prędkości własnej leży na płaszczyźnie, a wektor prędkości kątowej leci pionowo w dół, czyli kąt między tymi wektorami jest 90 stopni. Sinus 90 stopni wynosi jeden, a więc przyspieszenie Coriolisa w tym przypadku:

pc = 2 * * Vw

I teraz powstaje pytanie, jak leci wektor przyspieszenia Coriolisa:coriolisaaccaleration

Wektor Coriolisa jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory oraz Vw. Pozostaje jeszcze pytanie w którą stronę ten wektor jest zwrócony:

Jakbyśmy kręcili śrubą prawoskrętną od ω do Vw, to kierunek wkręcania się śruby prawoskrętnej wskazuje na zwrot wektora przyspieszenia Coriolisa. Warto przypomnieć, że jak chcemy wkręcić śrubę w ścianę to kręcimy zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara. Z tego wszystkiego wynika że, przyspieszenie Coriolisa leży na płaszczyźnie i jest prostopadłe do wektora prędkości własnej.

I teraz jak wszystko wiadomo i się narysuje wszystkie wektory przyspieszeń to można obliczyć metodą równoległoboku sumę tych wektorów:

ruchzlozony4

pA = √ ((put+pc)² + pun² ) =

= √( (*Vw+2**Vw)² + (²*Vw*t)² ) =

= √ ((**Vw)² + (²*Vw*t)² ) 

Na powyższym rysunku wektor przyspieszenia punktu A oznaczono kolorem czerwonym.

Kinematyka – zadanie 17

Zadanie jest bardzo proste i dotyczy podstaw kinematyki:

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

Pod sufitem wisi lampa i spod tej lampy startuje człowiek idąc w prawo ze stałą prędkością V.

kinematyka4

Lampa się świeci, a więc człowiek rzuca cień. Idąc w prawo człowiek oddala się od lampy i cień będzie coraz dłuższy. Wysokość człowieka wynosi hc, a lampa wisi na wysokości H. I teraz jest pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ KOŃCA CIENIA

Człowiek idzie ruchem jednostajnym czyli można obliczyć jego drogę w czasie t:

s = V * t

kinematyka5

I teraz można przez sc oznaczyć drogę końca cienia.

kinematyka6

Teraz mamy same długości czyli jest to czysta geometria i widać że można użyć tutaj twierdzenie Talesa:

 

H-hc           H

———-  =  ——-

V*t              sc

 

Z tego już się obliczy drogę końca cienia:

sc = V*t*H / ( H-hc )

Jak już jest droga końca cienia, to można obliczyć prędkość końca cienia i jest to pochodna drogi po czasie:

Vc = = V*H / ( H-hc )

Prawda że proste?

Mechanika – środek ciężkości – zadanie 16

Na początek powiedzmy sobie co to jest środek ciężkości:

Bierzemy do ręki kawałek płaskiej blachy albo deski i jeżeli podeprzemy gdzieś pod spodem tak, żeby to się nie przewróciło, to w tym miejscu gdzie podparliśmy będzie środek ciężkości.

srodekciezkosci1

I tutaj mamy taki element o podanych wymiarach. Oto jak sobie poradzić z obliczeniem środka ciężkości:

1. Dzielimy go na kilka prostszych elementów, czyli w tym przypadku na przykład trójkąt (o podstawie 2*a i wysokości a) i półkole o promieniu a.

srodkiciezkosci2

To wszystko dlatego, że znamy położenie środka ciężkości prostych elementów takich jak koło, prostokąt czy trójkąt.

 

2. Umieszczamy tak podzieloną figurę w układzie współrzędnych. Tylko teraz powstaje pytanie jak to umieścić?

srodkiciezkosci3

Najlepiej umieścić figurę nad osia x i jeżeli figura jest symetryczna, to oś symetrii powinna pokrywac się z osią ”y”.

3. Kolejny etap to działamy według prostego wzoru

 

pole półkola * ś.c.półkola + pole trójkąta * ś.c.trójkąta

yc = ———————————————————————————————

całkowite pole figury

 

To teraz mały komentarz do powyższego wzoru:

Środek ciężkości na przykład półkola lub trójkąta określamy w tym układzie współrzędnych, w którym tę figurę wstawiliśmy. Wiemy że środek ciężkości trójkąta jest 1/3 wysokości od podstawy, ale w tym przypadku ma on współrzędną równą 2/3*a, ponieważ trójkąt stoi podstawą do góry.

Środek ciężkości półkola znajduje się 4*a/(3*) od podstawy czyli w naszym przypadku współrzędna wynosi (a + 4*a/(3*)) , ponieważ samo pólkole jest w odległości a od osi ”x”.

I teraz wprowadzamy poszczególne wartości do wzoru na współrzędną ”yc” środka ciężkości:

 

1/2**a2 * (a + 4*a/(3*) + 1/2*2*a*a * 2/3*a

yc = ———————————————————————————–

1/2**a2 + 1/2*2*a*a

 

To teraz po kolei co wpisalismy do licznika:

– 1/2**a2 to pole półkola o promieniu a.

– (a + 4*a/(3* to wspólrzedna ”y” środka ciężkości półkola czyli odległość od osi ”x”

– 1/2*2*a*a  to pole trójkąta

– 2/3*a  to współrzędna ”y” środka ciężkości trójkąta

W mianowniku mamy sumaryczne pole figury.

Po uproszczeniu mamy coś takiego:

 

1/2**a + 4/3*a

yc = ——————————— = 1,1*a

1/2* + 1

srodkiciezkosci4

I jest to współrzędna ”y” środka ciężkości figury.

Ponieważ figura ma oś symetrii pokrywającą się z osią ”y” , to współrzędna ”x” środka ciężkości wynosi

xc = 0