Obliczenie drogi hamowania pociągu – zadanie 57

Cześć wszystkim i dzisiaj będzie o podróżach a dokładnie obliczymy drogę hamowania pociągu. Podróżujemy coraz szybciej i to samo dotyczy pojazdów szynowych w postaci pociągów. Niektóre szybkie pociągi przekraczają 300 km/h i czy myślałeś kiedyś,

jakiej drogi potrzeba do zatrzymania takiego pociągu jadącego z prędkością na przykład :

V = 350 km/h = 97 m/s ?

Awaryjne hamowanie będzie zwykłą

zamianą energii kinetycznej na pracę siły tarcia

( pomiędzy kołami a szynami ) – wyszło na to , że mamy kolejne zadanie z energii. Wzdłuż ruchu pociągu działa jeszcze siła oporu powietrza, ale na potrzeby tego zadania pominiemy tę siłę , ponieważ wraz ze spadkiem prędkości będzie ona coraz mniejsza. W związku z tym jeszcze raz powiemy to głośno

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ POCIĄGU
BĘDZIE RÓWNA
PRACY SIŁ TARCIA I OPORU POWIETRZA

Dynamika – praca i energia – zadanie 30

Ek2 – Ek1 = Fh * s – Fop * s
gdzie:
Ek2 i Ek1 – energia kinetyczna na końcu  hamowania (na postoju) i na początku hamowania (z prędkością 350 km/h)
Fh – siła hamowania
s – szukana droga hamowania
Fop – siła oporu powietrza

Tak jak rozmawialiśmy wcześniej, w dalszych obliczeniach pominiemy pracę oporu powietrza:

Ek2 – Ek1 = Fh * s

Końcowa energia kinetyczna będzie równa zero, ponieważ wtedy pociąg już będzie stał w miejscu:

Ek2 = 0

Początkowa energia kinetyczna będzie się wiązać z prędkością 350km/h oraz dodatkowo masą pociągu:

Ek1 = m * V² / 2
gdzie :
m – masa pociągu
V = 350 km/h = 97 m/s – początkowa prędkość pociągu w chwili rozpoczęcia hamowania

Siła hamowania będzie równa sile tarcia pary koło-szyna:

Fh = m * N
gdzie:
μ = 0,16 – przybliżony współczynnik tarcia pary stal-stal
N – suma nacisków kół na szyny

drogahamowania 1024x436 - Obliczenie drogi hamowania pociągu - zadanie 57
Patrząc na powyższy szkic napiszemy sumę rzutów sił na oś y:

ΣPiy = N – m*g = 0

i z tego policzymy sumaryczny nacisk kół na szyny:

N = m * g

Teraz będzie można wszystko wstawić do początkowego wzoru z równoważności pracy i energii:

Ek2 – Ek1 = Fh * s

0 – m * V² / 2 = m * N * s

i wstawić wzór na nacisk

0 – m * V² / 2 = m * m*g * s

Po uproszczeniu i podzieleniu obu stron przez masę:

(-m) * V² / 2 = m * m*g * s
(- V² ) / 2 = m * g * s

dostaniemy obliczoną drogę hamowania pociągu:

s = V² / (2*m*g) = 97 2 / (2*0,16*9,81N/kg) = 2997m

Prawie 3 kilometry czyli warto rozejrzeć się przed niestrzeżonym przejazdem kolejowym

Napęd na obie osie pojazdu

Cześć wszystkim i dzisiaj udowodnimy, że pojazdy z napędem na obie osie mogą przenieść większą siłę napędową na nawierzchnię niż tradycyjne z napędem na 2 koła. Przypomnijmy, na jakie korzyści eksploatacyjne to się może przełożyć:
– łatwość przejazdu przez teren o dużym współczynniku oporu toczenia (mówiąc prosto chodzi o grząski teren w rodzaju błota, piasku lub innej gliny)
– możliwość ciągnięcia na przykład przyczepy o dużej masie
– osiągnięcie wyższego przyspieszenia na śliskiej nawierzchni

A dlaczego tak się dzieje?

Maksymalna siła napędowa którą koło może przenieść na drogę wynosi:

Fnmax = N * μ1

gdzie:
Fnmax – maksymalna siła napędowa
N – nacisk koła na nawierzchnię
μ1 – współczynnik przyczepności przylgowej czyli mówiąc prosto największy współczynnik tarcia między oponą a drogą

Na dobrą sprawę maksymalna siła napędowa równa się maksymalnej sile tarcia pary opona-jezdnia.
napedna4kola 1024x520 - Napęd na obie osie pojazdu
Spójrz na powyższy szkic obrazujący siły działające na samochód ruszający z miejsca. Oto użyte oznaczenia:
m*g – ciężar pojazdu
Np i Nt – nacisk na osie przednią i tylną
Fnp – siła napędowa na osi przedniej

Gdy przeanalizujemy sobie powyższą sytuację, to widać że całkowita siła napędowa równa się sile napędowej na osi przedniej:

Fn = Fnp = Np * μ1

To był przypadek pojazdu z napędem na jedną oś. A jak będzie wyglądała sytuacja dla układu napędu obu osi pojazdu – będzie podobnie jak poprzednio ale dodatkowo dojdzie siła napędowa kół tylnych:
napedna4kola2 1024x514 - Napęd na obie osie pojazdu
Dodatkowe oznaczenie które tutaj się pojawiło to:
Fnt – siła napędowa kół tylnych

Łatwo zauważysz że w tym przypadku całkowita siła napędowa jest równa sumie sił napędowych obu osi:

Fn4 = Fnp + Fnt = Np * μ1 + Nt * μ1

Porównując oba przypadki (patrząc na oba powyższe równania) zauważysz, że dla przypadku napędu obu osi siła napędowa będzie wyższa – tutaj dodatkowo występuje cząstka Nt*μ1 czyli siła
napędowa kół tylnych.

Prawda że łatwe?

Masowy moment bezwładnosci

W zadaniach z dynamiki często spotykamy się z ruchem obrotowym lub/i z ruchem płaskim

Przyspieszenia liniowe i kątowe mas – dynamika – zadanie 37

i tam występuje pojęcie

masowego momentu bezwładności

Tę wielkość oznacza się  zwykle literą J. Można i należy zadać pytanie czym jest masowy moment bezwładności?

Jest to odpowiednik masy w ruchu obrotowym. Jak już wiesz, masa jest miarą bezwładności – jeżeli ktoś tego nie wie, to może poczuć – spróbuj ruszyć z miejsca samochód na gładkiej i poziomej drodze –

duża masa oznacza dużą bezwładność

i dlatego, żeby

rozpędzić pojazd musisz pokonać tę bezwładność.

Bezwładność warto zobrazować jako opór przed wprawianiem ciała w ruch. Takie działanie wymaga przyłożenia dużej siły w kierunku ruchu – to świetnie obrazuje

II zasada dynamiki Newtona.

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

Dlatego znacznie łatwiej jest ruszyć z miejsca wózek z supermarketu (nawet jeżeli jest wypełniony zakupami), ponieważ ma znacznie mniejszą masę i przez tą niższą bezwładność.

To był ruch ruch postępowy i analogicznie będzie w ruchu obrotowym – rozpędzenie dużej obracającej się masy wymaga pokonania jej dużej bezwładności i to wymaga przyłożenia sporego momentu. W tym miejscu przypominam o istnieniu

II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego.
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego – podstawy
Na koniec warto przytoczyć kilka przykładów masowych momentów bezwładności kilku brył:
– dla KULI o promieniu r i masie m:
J = 2/5 * m * r²

– dla WALCA o promieniu r i masie m:
J = 1/2 * m * r²

– dla RURY cienkościennej o promieniu r i masie m:
J = 1 * m * r²

Warto będzie wytłumaczyć przykładowy wzorek dla WALCA i w tym celu wyobraź sobie, że składa się on z BARDZO DUŻEJ liczby elementów rozłożonych wokół osi tego walca. W takim przypadku największa odległość elementu od osi wynosi r , a najmniejsza wynosi ZERO czyli element znajduje się w osi walca. Jeżeli mamy odległości elementów od osi od ZERA do r, to średnia odległość wynosi r/2 i dlatego we wzorku na walec widzimy liczbę 1/2.

Analogicznie ale trochę inaczej będzie w przypadku rury, gdzie wszystkie elementy są położone w odległości r od osi rury.

Z tych rozważań wynika konstruktywny wniosek:

Jeżeli konstruktor tworzy masę obrotową o jak największym masowym momencie bezwładności przy minimalnej masie, to będzie kierował się w stronę zależności na moment bezwładności rury cienkościennej – innymi słowami jak najwięcej masy rozłoży na jak największym promieniu. Takim obrazowym przykładem z życia jest koło zamachowe silnika spalinowego.

masowymomentbezwladnosci - Masowy moment bezwładnosci

Na zdjęciu powyżej widzisz stacjonarny jednocylindrowy silnik wysokoprężny Savoia pochodzący z 1920 roku. Kluczową cechą jest tylko jeden cylinder co wymaga (dla równomierności pracy) zastosowania koła zamachowego o dużym masowym momencie bezwładności. Patrząc na powyższy obrazek zwróć uwagę, że najwięcej materiału w kole zamachowym zostało zgromadzone na obwodzie czyli jest to tak zwany wieniec. Z osią obrotu wieniec łączą tylko drobne (w porównaniu z całą resztą) szprychy.  W ten sposób osiągnięto OGROMNY masowy moment bezwładności.

Prawda że łatwe?

Przyspieszenie ziemskie a różnica między masą i ciężarem

Czy wiesz jaka jest różnica pomiędzy masą a ciężarem? Co to znaczy, że coś waży tyle albo tyle?
Warto wrócić myślami do

II zasady dynamiki Newtona

która mówi, że
siła

jest iloczynem
masy
i
przyspieszenia.
W tym przypadku chodzi o siłę ciężkości i przyspieszenie ziemskie:

Q = m * g

gdzie:
Q – siła ciężkości
m – masa
g=9,81N/kg – przyspieszenie ziemskie

Przyjrzyjmy się po kolei niektórym składnikom powyższego wyrażenia:
Masa jest charakterystyczna dla danego przedmiotu i jest miarą bezwładności. Dopiero gdy masę pomnożymy przez przyspieszenie (w tym miejscu jest to przyspieszenie ziemskie), to dostaniemy ciężar, czyli siłę z jaką na przykład Ziemia przyciąga daną rzecz albo przedmiot. To bardzo ważne, że

przedmiot ma taką samą masę na Ziemi na księżycu i w kosmosie.

Przyspieszenie ziemskie wiąże się z polem grawitacyjnym Ziemi. Takie pole grawitacyjne występuje na każdej planecie i innym ciele niebieskim – na przykład na Księżycu. Z tą różnicą że na każdej planecie to pole grawitacyjne będzie słabsze lub silniejsze. Zgodnie z

prawem powszechnego ciążenia

będzie ono silniejsze dla większej planety, bo większa masa planety przyciąga z większą siłą.

Teraz mówimy o Ziemi, a jak to jest na innych planetach i ciałach niebieskich? Dla przykładu przyjrzyjmy się Księżycowi :

Przyspieszenie ziemskie jest około 6 razy większe od przyspieszenia ”księżycowego” :

g = 6 * gk

gdzie:

gk – przyspieszenie występujące na Księżycu

Jeżeli złożymy do kupy wszystko co napisaliśmy powyżej, to ciężar przedmiotu na Księżycu będzie 6 razy mniejszy niż ciężar tego samego przedmiotu na Ziemi.

Prawda że łatwe?

Ruch obiegowy księżyca wokół planety – zadanie 55

Witam wszystkich i dzisiaj zahaczymy o astronomię i dynamikę:
Księżyc o masie m wykonuje ruch obiegowy wokół planety o masie M w odległości L. Okres obiegu wynosi T.

ksiezycokrazaplanete - Ruch obiegowy księżyca wokół planety - zadanie 55

Oblicz stosunek promieni ruchu (planety i księżyca) R/r wokół wspólnego środka masy.

Takie jest pytanie i na księżyc obiegający planetę działają:
– siła grawitacji Fg (z tego powodu że planeta go przyciąga )
– oraz siła odśrodkowa (ponieważ księżyc leci po okręgu)

To teraz zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

(masa razy przyspieszenie równa się sumie sił)

napiszemy równanie dynamiczne dla księżyca wykonującego ruch obiegowy wokół planety:

ksiezycokrazaplanete2 - Ruch obiegowy księżyca wokół planety - zadanie 55

m * an = Fg

w którym występuje przyspieszenie normalne:

an = V² / R

oraz siła grawitacji:

Fg = G * M * m / L²

Okres T jest czasem jednego obiegu księżyca wokół planety. Przy założeniu że orbita jest okręgiem (to tylko założenie bo w rzeczywistości jest elipsą) prędkość obiegu wynosi:

V = 2 * π * R / T

Jak mamy wszystkie składniki, to wstawimy je do równania dynamicznego:

m * (2 * π * R / T)² / R = G * M * m / L²

i trochę to uprościmy:

m * 4 * π² * R / T² = G * M * m / L²

oraz podzielimy obie stromy przez masę m:

4 * π² * R / T² = G * M / L²

4 * π² * R * L² = G * M * T²

Z tego można policzyć promień na którym księżyc obiega wspólny środek masy:

R = ( 0,25 * G * M * T² ) / (π² * L²) = ( 0,025 * G * M * T² ) / L²

Różnica między daną odległością planeta-księżyc a obliczonym promieniem R daje (znacznie mniejszy) promień obiegu planety wokół wspólnego środka masy:

r = L – R = L – ( 0,025 * G * M * T² ) / L²

Stosunek promieni obiegu planety i księżyca wokół wspólnego środka masy wynosi:

r/R = [L – ( 0,025 * G * M * T² ) / L² ] / [( 0,025 * G * M * T² ) / L²]

Tyle wyszło, ale jedno jest pewne:
Wspólny środek masy (wokół którego oba ciała obiegają) znajduje się znacznie bliżej środka tego cięższego czyli planety. Sprawdzimy to na przykładzie Ziemi i Księżyca dla następujących danych:

Stała grawitacji:
G = 6,67408 * 10-11 m3/(kg*s2)

Prawo powszechnego ciążenia i stała grawitacji

Masa Ziemi:
M = 5,9722 * 10 24 kg

Okres obiegu:
T = 27,3 dnia = 655,2h = 2358 720s

Odległość Ziemia księżyc:
L = 384 400km = 384 400 000m

r/R = [L – ( 0,025 * G * M * T² ) / L² ] / [( 0,025 * G * M * T² ) / L²] =

= [384 400 000 +
– (0,025*6,67408*10-11 * 5,9722*10 24*2358720²) / 384400000²] /

/ [(0,025*6,67408*10-11 * 5,9722*10 24  * 2358720²  / 384400000²]  = =0,024 800 41
czyli odległość Ziemi od wspólnego środka masy wynosi około 2,5% odległości Ziemia-Księżyc czyli około 9,5km. Innymi słowami lżejsze ciało niebieskie leci po większym promieniu, a cięższe ciało (w tym przykładzie znacznie cięższe) leci po mniejszym promieniu.

Prawda że łatwe?

Gdy już rozmawiamy o Księżycu, to podczas misji kosmicznych człowiek zabrał ze sobą na Ziemię próbki gruntu tego ciała niebieskiego.

ksiezyc1 - Ruch obiegowy księżyca wokół planety - zadanie 55

Na zdjęciu powyżej widzisz kawałek skały pobranej z doliny Taurus-Littrow.