Kratownica przestrzenna – zadanie 42

Witam ponownie i dzisiaj zajmiemy się kratownicą przestrzenną. Nie tak dawno było coś o kratownicach płaskich i tutaj sposób postępowania będzie analogiczny. Tak samo mamy pręty połączone przegubowo i tak samo kratownica jest w określony sposób obciążona. Różnica polega na umieszczeniu prętów w przestrzeni (zamiast na płaszczyźnie).
A więc mamy taką oto kratownicę:

kratownica1 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42
i autor zadania zadaje pytanie

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Po pierwsze  uwalniamy od więzów kratownicę jako CAŁOŚĆ czyli zastępujemy podpory siłami.

Chodzi oczywiście chodzi tutaj o podpory, którymi kratownica łączy się ze światem zewnętrznym czyli podłożem. Łatwo zobaczyć że kratownicę przymocowano do podłoża trzema podporami przesuwnymi oraz jedną stałą.
Zamiast podpory przesuwnej dajemy JEDNĄ REAKCJĘ (prostopadłą do powierzchni do której podpora jest zamocowana).

Zamiast podpory stałej dajemy REAKCJE PROSTOPADŁE WZDŁUŻ KAŻDEJ OSI.

kratownica2 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42

Po drugie piszemy równania równowagi statycznej dla kratownicy jako całości:
∑Pix = RBx + RD – F = 0
∑Piy = RBy = 0
∑Piz = (-RA) – RC – RBz = 0
∑Mix = RC * a = 0 ==> RC=0
∑Miy = F * a – RBz * a = 0
∑Miz = RBy * a + RD * a = 0

Jak widać z powyższych równań, dwie reakcje już mamy obliczone. Z ostatniego równania obliczymy reakcję w podporze D:
RBy + RD = 0
RD = (-RBy) = 0

Z przedostatniego równania obliczymy pionową reakcję w podporze B:
F * a = RBz * a
RBz = F

Z trzeciego równania obliczymy reakcję w podporze A:
RA = (-RC) – RBz = 0 – F = (-F)

Z pierwszego równania obliczymy poziomą reakcję w podporze B:
RBx = (-RD) + F = 0 + F = F

Po trzecie numerujemy wszystkie pręty po kolei od 1 do 9, bo tyle ich jest.

KRATOWNICA3 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42

Po czwarte mając obliczone wszystkie reakcje podpór obliczymy reakcje w prętach metodą RÓWNOWAŻENIA WĘZŁÓW.

Na początek wybieramy taki węzeł, z którego wychodzą TRZY pręty, ponieważ dla jednego węzła możemy napisać TRZY równania równowagi statycznej:
– suma rzutów sił na oś x
– suma rzutów sił na oś y
– suma rzutów sił na oś z
ponieważ każdy oddzielny węzeł jest PRZESTRZENNYM ZBIEŻNYM układem sił (wszystkie siły wychodzące z węzła zbiegają się w jednym punkcie).

kratownica4 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42

Wobec tego co powyżej wybieramy
wezeł B
i na początek i piszemy równania równowagi:
∑Pix = RBx – S1 – S7 * cos45° = 0
∑Piy = RBy – S2 = 0
∑Piz = S7 * sin45° – RBz = 0

Korzystając z wcześniej obliczonych reakcji:
RBy = 0, RBz = F, RBx = F
z drugiego równania obliczamy siłę w pręcie nr 2:
S2 = RBy = 0
z trzeciego równania obliczymy siłę w pręcie nr 7:
S7 * sin45° = RBz
S7 * sin45° = F
S7 = F : sin45°
Z pierwszego równania obliczymy siłę w pręcie nr 1
S1 = RBx – S7 * cos45° = F – F : sin45° * cos45° =
= F – F = 0

Analogiczne podejście do
węzła A:
∑Pix = S1 + S4 * cos45° = 0
∑Piy = S3 + S4 * sin45° = 0
∑Piz = S6 – RA = 0

Z pierwszego równania:
(-S1) = S4 * cos45°
S4 = (-S1) : cos45° = 0 : cos45° = 0

Z drugiego równania:
S3 = (-S4) * sin45° = 0 * sin45° = 0

Z trzeciego równania:
S6 = RA = (-F)

Kolejno przechodzimy do
węzła C
w którym mamy tylko dwie niewiadome
∑Pix = S5 = 0
∑Piy = S3 + S8 * sin45° = 0
i dlatego nie napiszemy sumy rzutów sił na oś z. Z drugiego równania obliczymy siłę w pręcie nr 8.
(-S3) = S8 * sin45°
S8 = (-S3) : sin45°= 0 : sin45° = 0

Pozostało obliczyć siłę w pręcie nr 9 i zrobimy to przy użyciu
węzła D
pisząc tylko jedno równanie równowagi:
∑Piy = (-S2) – S4 * cos45° – S9 * cosβ * cos45° = 0
(-S2) – S4 * cos45° = S9 * cosβ * cos45°
(-S2):cos45° – S4 = S9 * cosβ
S9 = (-S2):(cos45°*cosβ) – S4:cosβ
Tutaj pojawia się kąt β zawarty pomiędzy podstawa sześcianu (w którym mieści się kratownica) a prętem nr 9. Znając przekątną
sześcianu ( √2 * a ) i jego wysokość
(a) policzymy ten kąt z funkcji arcustangens:
β = arctg [a : (a*√2)] = 35°
W związku z tym siła w pręcie nr 9 wyniesie:
S9 = (-S2):(cos45°*cosβ) – S4:cosβ =
= 0 : (cos45°*cosβ) – 0:cosβ = 0

W ten sposób obliczyliśmy wszystkie siły w prętach. Prawda że łatwe?

Ruch złożony – zadanie 41

Cześć wszystkim i dzisiaj zrobimy zadanie z ruchu złożonego. Oto trójkąt równoramienny prostokątny (o długości ramion równej b) obraca się wokół jednego z wierzchołków (punktu O) z prędkością kątową ω = 2 * t .

ruchzlozony5 - Ruch złożony - zadanie 41
Z drugiego wierzchołka wystartował punkt A i porusza się po przeciwległym boku z prędkości V. Twórca zadania zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Krok pierwszy – obliczamy prędkość

Przypomnijmy że mamy ruch własny z prędkością stałą równą V.

Z prędkości kątowej równej 2*t wynika, że ZMIENIA SIĘ ONA W CZASIE . To jest bardzo proste, ponieważ jeżeli będziemy mnożyć liczbę 2 przez kolejno upływające sekundy, to prędkość ω będzie coraz większa z każdą sekundą. Matematycy powiedzą jeszcze inaczej – jeżeli jest napisane
ω = 2 * t
to znaczy że prędkość kątowa ω jest funkcją czasu czyli zależy od czasu. A jak coś zależy od czasu, a czas ciągle biegnie do przodu, to będzie się ciągle zmieniać.

Ponieważ jest to zadanie z ruchu złożonego, to

prędkość punktu A

jest sumą wektorów
prędkości własnej
i
unoszenia.

https://blog-student.com/228/

Ruch unoszenia będzie ruchem po okręgu o promieniu OA.

ruchzlozony6 - Ruch złożony - zadanie 41
W taki ciekawy sposób powstał nowy trójkąt OAAo z jednym kątem wierzchołkowym równym 45º. Ważna uwaga to znamy drogę punktu A w czasie t, ponieważ punkt A jedzie ruchem jednostajnym. I ta droga wynosi V*t i jest ona jednocześnie jednym z boków trójkąta.

Teraz podzielimy trójkąt OAAo na dwa mniejsze i przyjrzymy się trójkątowi prostokątnemu AOA’.

ruchzlozony7 - Ruch złożony - zadanie 41Znając jego wysokość ( V*t*sin45º ) i podstawę ( b – V*t*cos45º ) obliczymy przeciwprostokątną, która dodatkowo jest jednocześnie długością OA. Użyjemy do tego twierdzenia Pitagorasa:

( V*t*sin45º )² + ( b – V*t*cos45º )² = OA²
V² * t² *sin²45º + b² – 2 * b * V * t *cos45º + V² * t² *cos²45º = OA²

V² * t² * (sin²45º + cos²45º) + b² – 2 * b * V * t *cos45º = OA²

V² * t² + b² – 2 * b * V * t *cos45º = OA²

Z tego długość OA wyniesie:

OA = √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Wobec tego prędkość unoszenia:
Vu = ω * OA = ω * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Mając prędkości własną i unoszenia możemy je dodać wektorowo.

https://blog-student.com/statyka-podstawy-dodawanie-wektorow-pod-roznymi-katami/

Żeby było łatwiej to zwróćmy uwagę na kąt, który powstał w trójkącie prostokątnym AOA’ i jest to kąt β – dla jaśniejszej jasności oznaczyłem go na czerwono.

ruchzlozony8 - Ruch złożony - zadanie 41

Jak skorzystamy z tego trójkąta prostokątnego i z tangensa, to ten kąt będzie równy:
β = arctg [ V*t*sin45o / ( b – V*t*cos45o ) ]
i jest ZMIENNY.
Ten sam kąt jest zawarty pomiędzy pionowym ramieniem trójkąta o długosci b a wektorem prędkości unoszenia Vu.

ruchzlozony9 - Ruch złożony - zadanie 41
Idąc dalej kąt zawarty między poziomym ramieniem trójkąta o długości b a wektorem prędkości własnej wynosi 45º i jest STAŁY. A wszystko po to żeby obliczyć kąt między wektorami prędkości unoszenia i własnej:
α = 90º – 45º – β = 45º – β =
= 45º – arctg [ V*t*sin45º / (b-V*t*cos45º) ]

To teraz dodamy wektory prędkości własnej i unoszenia metodą równoległoboku:

V = √[(Vu*cosβ+V*cos45º)² + (Vu*sinβ+V*sin45º)²]

Prędkości załatwione a więc czas na

Krok drugi – obliczamy przyspieszenia

Ponieważ ruch unoszenia jest ruchem obrotowym, to przyspieszenie punktu A jest sumą:
– przyspieszenia własnego (tutaj MOŻE wystąpić składowa styczna i normalna)
– przyspieszenia unoszenia (tutaj również MOŻE wystąpić składowa styczna i normalna)
– przyspieszenia Coriolisa (ono występuje w zadaniach z ruchu złożonego tylko wtedy, gdy ruch unoszenia jest ruchem obrotowym):
pA = pw + pu + pc
Po kolei rozpatrzymy każdą ze składowych:

Ruch własny odbywa się ze stałą prędkością V po prostej, a więc składowa styczna nie występuje (bo prędkość jest stała) i składowa normalna również nie występuje (bo punkt A jedzie po prostej):
pw = 0

Ruch unoszenia odbywa się po okręgu z prędkością kątową
ω = 2 * t, a wiec składowa normalna na pewno wystąpi (bo punkt A jedzie po okręgu):
pun = ω² * OA =

= 4 * t² * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Składowa styczna jest pochodną prędkości unoszenia po czasie:
put = dVu/dt = d/dt [2 * t * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)] =

= 2 * d/dt [t * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)] =

= 2 *  [t’ * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º) +

+ t * (√(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º))’ ] =

= 2 *  [1 * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º) +

+ t / [2*(√(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)]  ]

Przyspieszenie Coriolisa wyniesie:
pc = 2 * ω * V * sin (<ω , V) = 2 * 2 * t * V * sin (<ω , V) =
= 4 * t * V * sin90º = 4 * t * V

To teraz sobie narysujemy wszystkie obliczone wektory przyspieszeń, żeby móc obliczyć ich sumę.

ruchzlozony10 - Ruch złożony - zadanie 41
Rzuty wektorów na oś x wyniosą:
px = pun*cosβ + pc*cos45º + put*sinβ

Rzuty wektorów na oś y:
py = put*cosβ – pun*sinβ – pc*sin45º

Wypadkowe przyspieszenie punktu A wyniesie (metoda równoległoboku):
pA = √(px² + py²) =

=√[ (pun*cosβ+pc*cos45º+put*sinβ)²+(put*cosβ-pun*sinβ-pc*sin45º )²]

Prawda że łatwe?

Kinematyka – oblicz składowe przyspieszenia punktu

Witam wszystkich i dzisiaj w związku z kinematyką obliczymy prędkość i składowe przyspieszenia punktu A. Na poniższym rysunku widzimy mechanizm składający się z trzech elementów czyli trzech ogniw:

kinematyka7 - Kinematyka - oblicz składowe przyspieszenia punktu
ogniwa napędowego 1 (o długości L) poruszającego się po prostej (naukowcy powiedzą – ruch postępowy)
ramienia 3 (o długości 2*L) obracającego się wokół punktu B
suwaka 2 łączącego ogniwo napędowe z ramieniem
Dana jest prędkość Vc (jest to prędkość punktu C i jednocześnie całego ogniwa napędowego). Jeżeli wiemy, jak to działa, to powiedzmy, o co pyta autor:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I SKŁADOWE PRZYSPIESZENIA PUNKTU A

Krok po kroku wytłumaczymy sobie, jak do tego podejść:

Krok pierwszy – wychodzimy od tego, co wiemy:

Znamy prędkość ogniwa napędowego 1 i jego wymiary. Dodatkowo w chwili początkowej punkty B, D oraz C tworzą trójkąt równoramienny o podstawie L, dwóch kątach równych 45 stopni i jednym kącie prostym.
I teraz skupmy się na trójkącie BDC.
Ogniwo napędowe (czyli to z numerem 1) przesuwa się ze stałą prędkością Vc. Wynika z tego, że długość DC będzie się zwiększać o Vc*t. Wtedy długość podstawy BC (długość równa L) pozostanie bez zmian i dodatkowo  kąt BCD również pozostanie 45 stopni. I co najlepsze to powstał nowy trójkąt, którego jedną z przyprostokątnych jest droga przebyta przez ogniwo napędowe równa Vc*t.

kinematyka8 - Kinematyka - oblicz składowe przyspieszenia punktu
To teraz skorzystajmy z trygonometrii a dokładnie z tangensa kąta α:
tgα = Vc*t : BD
Widać że odległość BD jest przekątną kwadratu o boku 0,5*L:
BD = √2 * 0,5*L
czyli wracamy do tangensa kąta α:
tgα = Vc*t : (√2 * 0,5*L)
czyli kąt α wynosi:
α = arctg [ Vc*t : (√2 * 0,5*L]

Krok drugi

Zmiana kąta w czasie

nazywa się

prędkością kątową,

a mówiąc bardziej naukowo pochodną kąta po czasie jest prędkość kątowa. W tym przypadku mówimy o prędkości kątowej ogniwa nr 3:
ω3 = da / dt = d/dt ( arctg [ Vc*t : (√2 * 0,5*L) ] ) =
= d/dt ( arctg [ 1,4*Vc*t : L ] ) =

1,4*Vc / L
= —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)²

Krok trzeci – punkt A (koniec ogniwa nr 3) porusza się po okręgu o promieniu 2*L

a więc jego prędkość jest iloczynem prędkości kątowej i promienia okręgu:
VA = ω3 * 2 * L =

1,4*Vc / L * 2 * L
= —————————- =
1 + (1,4*Vc*t : L)2

2,8*Vc
= —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)2

Krok czwarty – prędkość policzona to teraz przechodzimy do przyspieszeń.

Przyspieszenie punktu A może (z akcentem na MOŻE) składać się z dwóch składowych:
– stycznego
– normalnego

https://blog-student.com/kinematyka-przyspieszenie-styczne-i-normalne-przypomnienie-podstaw/
No to liczymy:
Przyspieszenie styczne jest pochodną prędkości po czasie:
pAt = dVA / dt =

2,8*Vc
=d/dt —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)²

= 2,8*Vc * d/dt [ 1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ]  =

= 2,8*Vc * (-1) * [1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ²] * 2*(1,4*Vc*t : L) * 1,4*Vc/L = (-11) * Vc³ * t / L² * [ 1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ²]

Na koniec policzymy przyspieszenie normalne:
pAn = ω3² * 2 * L =

(1,4*Vc / L) ²
= ——————————— * 2 * L
(1 + (1,4*Vc*t : L)² ) ²

Obliczyliśmy 2 składowe przyspieszenia i sumaryczne przyspieszenie punktu A będzie sumą obu wektorów.

Przyspieszenia liniowe i kątowe mas – dynamika – zadanie 37

Witam ponownie i dzisiaj zrobimy zadanie z dynamiki, w którym obliczymy przyspieszenia liniowe i kątowe elementów posiadających masę. W niedalekiej przeszłości zamieściłem podobne zadanie

http://blog-student.com/dynamika-zadanie-7/

Na rysunku widzimy układ krążków, z których większy obraca się wokół punktu A (podpora przegubowa stała) i na na ten krążek nawinięto linkę.

dynamika14 1 1200x900 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37

Drugi koniec linki zamocowano w punkcie A i po drodze lina przechodzi przez mniejszy krążek.
Jak to działa?
Mniejszy krążek ruchem płaskim zjeżdża w dół rozwijając linkę, która jednocześnie obraca dużym krążkiem. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ PRZYSPIESZENIA PORUSZAJĄCYCH SIĘ CIAŁ

Po pierwsze

Ustalamy jak wszystko się będzie poruszać

Rysujemy poszczególne przyspieszenia:

dynamika14 150x150 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37

 

dynamika14 1024x768 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37

Duży krążek (masa 2*m) porusza się ruchem obrotowym, czyli dajemy przyspieszenie kątowe ε1, a mały krążek (masa m) porusza się ruchem płaskim (obraca się i jednocześnie zjeżdża w dół odwijając linkę ) czyli dajemy przyspieszenie liniowe a2 (na przykład w dół bo widać gołym okiem, że będzie zjeżdżać w dół) oraz przyspieszenie kątowe ε2.

Po drugie

Uwalniamy od więzów ciała, które mają masę i piszemy równania dynamiczne z II zasady dynamiki Newtona.
Mając na myśli ”ciała które mają masę” mówimy o obu krążkach. Na początek większy krążek poruszający się ruchem obrotowym:
dynamika19 300x225 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37
Zastępujemy linę siłą i piszemy równanie dynamiczne:
S1 * 2 * r = J1 * ε1 [1]
czyli suma momentów

równa się

momentowi bezwładności

razy

przyspieszenie kątowe.

Teraz mały krążek i postępujemy analogicznie:
dynamika17 300x225 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37
zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona pojawiła się ta sama siła w linie S1. Ponieważ linka przechodzi przez mały krążek, który POSIADA MASĘ, to z drugiej strony krążka mamy inną siłę oznaczoną S2. Tak jak napisaliśmy wcześniej, mały krążek porusza się ruchem PŁASKIM, w wyniku tego napiszemy 2 równania dynamiczne (dla ruchu POSTĘPOWEGO i dla ruchu OBROTOWEGO):
S1 * r – S2 * r = J2 * ε2 [2]
m * g – S1 – S2 = m * a2 [3]

Po trzecie

Piszemy masowe momenty bezwładności dla obu krążków:
J1 = 1/2 * 2*m * (2*r)²
J2 = 1/2 * m * r²

Po czwarte

Liczymy niewiadome występujące w 3 równaniach dynamicznych:
S1, ε1, S2, ε2, a2
a więc mamy 5 niewiadomych i 3 równania. Musimy stworzyć 2 związki kinematyczne.

A więc do dzieła:

Mniejszy krążek porusza się ruchem płaskim i posiada chwilowy środek obrotu w punkcie B. Mówiąc prościej, linka między punktami A i B wisi sobie nieruchomo, a to znaczy, że punkt B też jest nieruchomy . Punkt B jednocześnie jest punktem na lince i punktem na krążku. Jeżeli jest taki punkt na krążku, który jest chwilowo nieruchomy, to jest to CHWILOWY ŚRODEK OBROTU. Jest taka zależność, która wiąże przyspieszenia liniowe i kątowe:
a2 = ε2 * r [4]

Jest pierwszy związek kinematyczny, to teraz narysujmy sobie rozkład przyspieszeń na mniejszym krążku (to co poniżej jest zaznaczone na czerwono):
DYNAMIKA18 300x225 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37
Teraz jak się spojrzy na powyższy obrazek, to widać, że:
– w punkcie B mamy przyspieszenie równe zero (mówiąc inaczej jest to chwilowy środek obrotu),
– środek małego krążka porusza się z przyspieszeniem a2
– idąc dalej w prawo po średnicy małego krążka napotykamy na punkt C i widać, że on ma DWA RAZY większe przyspieszenie niż środek krążka ( 2*a2 ). To samo przyspieszenie ma punkt D na dużym krążku i można je zapisać inaczej i analogicznie do równania [4]:
2 * a2 = ε1 * 2 * r [5]
W ten sposób powstał układ 5 równań, z którego obliczymy 5 niewiadomych:
S1 * 2 * r = 1/2 * 2*m * (2*r)² *ε1 [1]
S1 * r – S2 * r = 1/2 * m * r² * ε2 [2]
m * g – S1 – S2 = m * a2 [3]
a2 = ε2 * r [4]
2 * a2 = ε1 * 2 * r [5]

S1 = m * 2*r *ε1 [1]
S1 – S2 = 1/2 * m * r * ε2 [2]
m * g – S1 – S2 = m * a2 [3]
a2 = ε2 * r [4]
a2 = ε1 * r [5]

Przyrównujemy do siebie równania [4] i [5]
ε2 * r [4]= ε1 * r [5]
ε2 = ε1

S1 = m * 2*r *ε1 [1]
S1 – S2 = 1/2 * m * r * ε2 [2]
m * g – S1 – S2 = m * a2 [3]
ε2 * r = ε1 * r [4] i [5] ==> ε2 = ε1

Odejmujemy stronami równania [1] oraz [2]:
S2 =1,5*m*r *ε1 [1 minus 2]

To co wyszło wraz z równaniem [1] wstawiamy do równania[3]
m * g – m * 2*r *ε1 – 1,5*m*r *ε1 = m * ε1 * r [3]
g = 4,5* ε1 * r [3]

Przyspieszenie kątowe dużego krążka (o masie 2*m) wyniesie:
ε1 = 0,22*g /r

a przyspieszenie liniowe małego krążka:
a2 = ε2 * r = ε1 * r = [0,22*g /r] * r = 0,22*g

Przyspieszenie kątowe małego krążka:
ε2 = ε1 = 0,22*g / (ε1*r)

Moment bezwładności przekroju i twierdzenie Steinera – zadanie 36

Witam ponownie i dzisiaj zrobimy zadanie ze środków ciężkości i momentów bezwładności używając twierdzenia Steinera.
Mamy taki przekrój jak widać na rysunku – dwa półkola złożone w taki oto ciekawy sposób.

srodekciezkosci5 300x225 - Moment bezwładności przekroju i twierdzenie Steinera - zadanie 36

Oto jakie pytanie zadaje autor:

OBLICZ POŁOŻENIE ŚRODKA CIĘŻKOŚCI I MOMENT BEZWŁADNOŚCI PRZEKROJU

Na początek obliczymy współrzędne położenia środka ciężkości:

 

Po pierwsze

Podobnie jak w poprzednim zadaniu

http://blog-student.com/mechanika-srodek-ciezkosci-zadanie-16/

Dzielimy figurę na prostsze elementy

Tutaj sprawa jest oczywista – półkole o promieniu a i drugie półkole o promieniu a.

srodekciezkosci6 300x225 - Moment bezwładności przekroju i twierdzenie Steinera - zadanie 36

Oczywiście znamy położenie środka ciężkości takich elementarnych figur jak półkole.

 

Po drugie

 Umieszczamy tak podzieloną figurę w układzie współrzędnych.

Tylko teraz powstaje pytanie, jak to umieścić?
Figura NIE JEST symetryczna i dlatego umieszczamy ją w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, żeby wszystkie współrzędne były na plusie.

srodekciezkosci7 300x225 - Moment bezwładności przekroju i twierdzenie Steinera - zadanie 36

Po trzecie

Kolejny etap to:

Działamy według prostego wzoru:

 

pole półkola1 * ś.c.półkola1 + pole półkola2 * ś.c.półkola2
xc = ——————————————————-
całkowite pole figury

 

i zaczniemy od współrzędnej x:

 

    0,5 * π * a2 * (a – 4*a/(3*π)) + 0,5 * π * a2 * (a + 4*a/(3*π))
xc = —————————————————-=
2 * 0,5 * π * a2

= a

 

To teraz mały komentarz do powyższego wzoru:

srodekciezkosci8 300x225 - Moment bezwładności przekroju i twierdzenie Steinera - zadanie 36
Środek ciężkości elementu składowego przekroju (w tym przypadku półkola) określamy w tym układzie współrzędnych, w którym tę figurę wstawiliśmy. Wiemy, że środek ciężkości półkola znajduje się 4*a/(3*π) od podstawy i jednocześnie w osi symetrii. Czyli w naszym przypadku środek ciężkości jednego półkola przypada w a – 4*a/(3*π), a drugiego półkola wypadnie w a + 4*a/(3*π)) (ilustracja powyżej).
To teraz przejdziemy do współrzędnej y:

0,5 * π * a2 * a + 0,5 * π * a2 * 2 * a
yc = ————————————————- = 1,5 * a
2 * 0,5 * π * a2

 

Po czwarte

 Wykorzystując twierdzenie Steinera

http://blog-student.com/twierdzenie-steinera-podstawy/

obliczymy momenty bezwładności przekroju.

Zaznaczam, że po to obliczyliśmy położenie środka ciężkości, żeby przez ten środek ciężkości przeprowadzić osie CENTRALNE xc i yc. I teraz w kolejnym kroku działamy WYŁĄCZNIE w układzie współrzędnych xc,yc. No to do dzieła:
Ten podział na 2 półkola dalej jest aktualny, a więc moment bezwładności przekroju będzie sumą momentów bezwładności jednego półkola plus drugiego półkola:
Jxc = π * (2*a)4 / 128 + 0,5 * π * a² * (1,5*a – a)² + π * (2*a)4 / 128 + 0,5 * π * a² * (1,5*a – 2*a) ² =
= π * 16 * a4 / 128 + 0,5 * π * a² * (0,5*a)² + π * 16 * a4 / 128 + 0,5 * π * a² * (0,5*a) ² = 0,5 * π * a4

O twierdzeniu Steinera już było, ale taki drobny komentarz do powyższych obliczeń:
Jasna sprawa że π*(2*a)4/128 oznacza moment bezwładności półkola.

srodekciezkosci9 300x225 - Moment bezwładności przekroju i twierdzenie Steinera - zadanie 36

Następnie 0,5 * π * a² oznacza pole półkola i ostatnia cząstka (1,5*a – a) to odległość środka ciężkości pierwszego półkola od osi centralnej całego przekroju (to pokazałem na powyższym szkicu). Teraz moment bezwładności względem osi yc i działamy analogicznie czyli stosujemy twierdzenie Steinera:
Jyc = π * (2*a)4 / 128 + 0,5 * π * a² * (a – 4*a/(3*π) – a) ² +
+ π * (2*a)4 / 128 + 0,5 * π * a² * (a – 4*a/(3*π) + a) ² = 6,4 * a4

Prawda że proste?