Jak obliczyć przyspieszenie kątowe – podstawy

Dzisiaj będzie krótko i treściwie, ale sprawa jest istotna – jak obliczyć przyspieszenie kątowe ?:

Przy okazji omawiania podstaw pisaliśmy o przyspieszeniu liniowym  które oznacza zmianę prędkości w czasie i dotyczy ruchu postępowego.

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

A jak to wygląda w przypadku ruchu obrotowego?

 

Po pierwsze

Położeniu w ruchu obrotowym odpowiada KĄT (wyrażony w radianach [rad]).

 

Po drugie

Prędkości w ruchu obrotowym odpowiada PRĘDKOŚĆ KĄTOWA (wyrażona w radianach na sekundę [rad/s]) i oznacza zmianę położenia kątowego w czasie:

=  / t

gdzie:

Δ∝ – zmiana położenia kątowego czegoś tam na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana położenia nastąpiła

 

Przyspieszeniu w ruchu obrotowym odpowiada PRZYSPIESZENIE KĄTOWE (wyrażone w radianach na sekundę do kwadratu [rad/s2] i oznacza zmianę prędkości kątowej w czasie:

=  / t

gdzie:

Δω – zmiana prędkości kątowej czegoś co się obraca – na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana prędkości kątowej nastąpiła

Przyspieszenie styczne i normalne w ruchu po okręgu – kinematyka

O tym już było przy okazji zadań z ruchu płaskiego,

https://blog-student.com/kinematyka-zadanie-3-obliczenie-przyspieszenia-w-ruchu-plaskim/

ale zanim przejdziemy do trudniejszych, to warto przypomnieć jedną z podstaw kinematyki – jak obliczyć przyspieszenia styczne i normalne w ruchu po okręgu.

Wyobraźmy sobie, że pojazd jedzie po drodze i wjeżdża w zakręt o promieniu R. Wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne wektory przyspieszeń:

kinematyka3 - Przyspieszenie styczne i normalne w ruchu po okręgu - kinematyka

– styczne pt

– i normalne pn

Przyspieszenie styczne (jak wskazuje jego nazwa i jak widać na powyższym szkicu) jest STYCZNE do łuku drogi, po której jedzie. Jest ono równe pochodnej prędkości po czasie

pt = dV/dt

a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość (wartość prędkości) się NIE ZMIENIA to przyspieszenie styczne jest równe ZERO. Pisząc innymi słowami (prostymi słowami) przyspieszenie styczne opisuje zmiana prędkości. 

Przyspieszenie normalne jest zwrócone do środka łuku, po którym pojazd jedzie i jest ono równe:

pn = V² : R

Całkowite przyspieszenie punktu jadącego po łuku jest sumą obu wektorów przyspieszeń czyli stycznego i normalnego.

Ruch płaski – przyspieszenie – kinematyka – zadanie 4

Kilka wpisów wcześniej zajmowaliśmy się prędkością, a dzisiaj opowiemy sobie jak obliczyć przyspieszenie w ruchu płaskim.

No to mamy zadanie następujące:

OBLICZYĆ PRZYSPIESZENIE PUNKTU A WALCA O PROMIENIU r PORUSZAJĄCEGO SIĘ RUCHEM PŁASKIM

Tutaj będzie znacznie lepsza zabawa niż przy obliczaniu prędkości punktu i dlatego, zanim przejdziemy do zadania, trzeba się odwołać do podstaw:

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

Załóżmy czy COŚ jedzie po okręgu o promieniu R i z prędkością Vp i wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne przyspieszenia:

PRZYSPIESZENIE STYCZNE – którego wektor jest STYCZNY do toru ruchu (czyli śladu który robi punkt kiedy sobie jedzie – jak jedzie po łuku to robi łuk). Jest ono równe – UWAGA – pochodnej prędkości po czasie, a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość się nie zmienia to przyspieszenie styczne jest równe zero.

PRZYSPIESZENIE NORMALNE  którego wektor jest skierowany do środka łuku i jest ono równe:
pn = Vp² : R

Streszczając to co jest napisane w powyższych 2 punktach

przyspieszenie styczne występuje kiedy prędkość się zmienia (dokładnie mówiąc wartość prędkości),

a przyspieszenie normalne występuje gdy ciało porusza się po łuku.

mechanika wstep 4 - Ruch płaski - przyspieszenie - kinematyka - zadanie 4

Jak już wiadomo jakie są rodzaje przyspieszeń, to można obliczyć przyspieszenie punktu A i zrobimy to METODĄ BIEGUNA.

A co to znaczy METODA BIEGUNA?

pa = po + pa/o
Znaczy to tyle, że przyspieszenie punktu A jest sumą 2 wektorów:
– WEKTORA przyspieszenia środka – punktu O – w tym przypadku punkt O wybraliśmy jako BIEGUN
– oraz WEKTORA przyspieszenia punktu A względem środka

I żeby było jeszcze śmieszniej to każdy z powyższych 2 wektorów MOŻE (ALE NIE MUSI) mieć składową styczną i składową normalną. To teraz można zapisać to wszystko w jednym równaniu (oczywiście wektorowo):
pa = pot + pon + pa/ot + pa/on
Przyspieszenie styczne środka będzie równe zero
pot = 0
ponieważ koło jedzie w prawo ze stałą prędkością.

Podobnie przyspieszenie styczne punktu A względem środka będzie równe zero
pa/ot = 0
ponieważ punkt A porusza się względem środka ze stałą prędkością.

Wobec tego sumaryczne przyspieszenie punktu A wyniesie (wektorowo):
pa = pon + pa/on
To teraz trzeba obliczyć poszczególne składniki:
Przyspieszenie normalne środka:
pon = ω² * r
Analogicznie obliczymy przyspieszenie punktu A względem środka:
pa/on = ω² * r

kinematyka1 - Ruch płaski - przyspieszenie - kinematyka - zadanie 4

A więc mamy 2 wektory przyspieszenia i teraz musimy je dodać.
Najprościej będzie to zrobić METODĄ RÓWNOLEGŁOBOKU:
Ustawiamy oba wektory tak, że wychodzą z jednego punktu (wierzchołka równoległoboku) i teraz widać, że tym równoległobokiem (w tym przypadku) jest zwykły prostokąt.

kinematyka2 - Ruch płaski - przyspieszenie - kinematyka - zadanie 4

Suma obu wektorów będzie przekątną wychodzącą z tego samego wierzchołka co 2 pozostałe. I teraz widać, że można do tego użyć twierdzenia Pitagorasa. Wobec tego

PRZYSPIESZENIE PUNKTU A WALCA PORUSZAJĄCEGO SIĘ RUCHEM PŁASKIM WYNIESIE:
pa = √[pon² + pa/on² ]

 

Czyli podsumowując:

  • najpierw obliczamy poszczególne składowe przyspieszenia
  • a następnie dodajemy wektory składowych i suma będzie przyspieszeniem punktu

Ruch płaski – obliczanie prędkości – kinematyka – zadanie 2

Tak żeby w praktyce sprawdzić podstawy, o których była mowa wcześniej,

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw  

dobrze będzie obliczyć prędkość w ruchu płaskim.

mechanika wstep 4 - Ruch płaski - obliczanie prędkości - kinematyka - zadanie 2

Oto typowe zadanie jakich tysiące:

Linka lub nić nawinięta na walec (lub szpulkę) o promieniu r. Koniec nici ma prędkość V. Widać że nić będzie się odwijać i walec będzie się toczyć w prawo. Walec się toczy a więc jednocześnie się obraca i przesuwa w prawo, czy li mamy ruch płaski i jest pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ PUNKTU A

Widać, że punkt A znajduje się na godzinie dziewiątej. Za chwile pojawi się takie określenie jak

TOCZENIE BEZ POŚLIZGU-

– to znaczy dokładnie tyle że walec toczy się po powierzchni i nic się wzajemnie nie ślizga. I teraz kolejne ważne określenie czyli

CHWILOWY ŚRODEK OBROTU

– to znaczy tyle że koło ma tylko jeden punkt styku z powierzchnią i to jest dokładnie ten ŚRODEK czyli punkt C, wokół którego cały walec się CHWILOWO kręci.

I to co bardzo ważne – CHWILOWY ŚRODEK OBROTU zawsze ma prędkość równą zero czyli Vc=0 – a to dlatego że TEN punkt styka się z powierzchnią, no to musi mieć taką samą prędkość jak powierzchnia ziemi – czyli ZERO.
Na początku ustaliliśmy, że walec porusza się ruchem PŁASKIM czyli jednocześnie ruchem POSTĘPOWYM i OBROTOWYM. A jeżeli jest ruch obrotowy to jest prędkość kątowa i trzeba ją policzyć żeby coś dalej ruszyć.

A co wiadomo na temat prędkości?

Wiadomo że koniec nici nawiniętej na walec jedzie z prędkością V, a ponieważ nitka się nie rozciąga to na całej długości mamy prędkość V, i tak samo z prędkością V porusza się najwyższy punkt koła czyli punkt B (  tak tak chodzi o ten punkt na godzinie dwunastej). A więc:

Vb = V

Jeżeli punkt jedzie w prawo z prędkością V a CHWILOWY ŚRODEK OBROTU stoi w miejscu, to można napisać zależność między prędkością liniową a kątową:
Vb = ω * 2*r
Czyli prędkość liniowa

to

iloczyn prędkości kątowej i odległości punktu od CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU

I z tego wzoru można obliczyć prędkość kątową walca:
ω = 0,5 * Vb : r
I jak już to obliczyliśmy,  to można obliczyć prędkość punktu A z tej samej zależności – prędkość punktu A jest iloczynem prędkości kątowej walca i odległości punktu A od CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU:
Va = ω * OA

Następnym razem zajmiemy się przyspieszeniem.

Kinematyka – mechanika – podstawy

Poprzednio zaczęliśmy od zasad dynamiki Newtona

https://blog-student.com/mechanika-statyka-zaczynamy-od-podstaw/

a teraz podstawy

KINEMATYKI

Co to jest ta kinematyka?

Zajmuje się ona wielkościami opisującymi ruch takimi jak:

  •  położenie
  • prędkość 
  • przyspieszenie

No dobrze tylko co to znaczy?

POŁOŻENIE – opisane współrzędnymi x oraz y mówi nam gdzie dane ciało , punkt, czy przedmiot się znajduje

PRĘDKOŚĆ – pochodna położenia po czasie (tak może zbyt teoretycznie) –  opisuje zmianę położenia w czasie –  opisuje jaką odległość obiekt przejechał w danym czasie

PRZYSPIESZENIE –  pochodna prędkości po czasie (znowu trochę teoretycznie) – opisuje zmianę prędkości w czasie – przyspieszenie opisuje o ile zmieniła się prędkość przez określony czas.

Na wstępie było powiedziane, że w kinematyce można się spotkać z różnymi określeniami dotyczącymi ruchu:

POSTĘPOWY

OBROTOWY

PŁASKI 

ZŁOŻONY

O co tu chodzi?

W najprostszym ujęciu to mamy 2 podstawowe ruchy:

 POSTĘPOWY

– COŚ się porusza po linii obojętnie jakiej czy prostej czy krzywej. Tym COŚ może być to co oficjalnie mówi się ,,punkt materialny,, a w rzeczywistości może to być piłka, zwierzę , pojazd lub cokolwiek.

 i OBROTOWY

-przedmiot kręci się (naukowcy powiedzą obraca) wokół dowolnej osi. Ten przedmiot to na przykład wskazówka zegara, wał silnika. I taka wskazówka obraca się z określoną prędkością kątową, czyli ileś stopni na sekundę lub jeszcze lepiej radianów na sekundę [rad/s]

 

To teraz można połączyć powyższe dwa rodzaje ruchów. Kombinacja ruchów POSTĘPOWEGO i OBROTOWEGO przynosi

ruch PŁASKI

-na przykład toczące się koło – to się nazywa toczenie bez poślizgumechanika wstep 4 - Kinematyka - mechanika - podstawy

– ruch obrotowy – żeby się toczyć to musi się kręcić wokół środka

– ruch postępowy – tocząc się podąża w jakimś kierunku. Żeby gdzieś dojechać to musi się przemieszczać i stąd ruch postępowy.

Na teraz to może tyle podstaw

KINEMATYKI

Tak to są tylko podstawy ale to wystarcza żeby rozwiązać zadanie lub problem mechaniczno-kinematyczny