Kinematyka – oblicz składowe przyspieszenia punktu – zadanie 40

Witam wszystkich i dzisiaj w związku z kinematyką obliczymy prędkość i składowe przyspieszenia punktu A. Na poniższym rysunku widzimy mechanizm składający się z trzech elementów czyli trzech ogniw:

kinematyka7 - Kinematyka - oblicz składowe przyspieszenia punktu - zadanie 40
ogniwa napędowego 1 (o długości L) poruszającego się po prostej (naukowcy powiedzą – ruch postępowy)
ramienia 3 (o długości 2*L) obracającego się wokół punktu B
suwaka 2 łączącego ogniwo napędowe z ramieniem
Dana jest prędkość Vc (jest to prędkość punktu C i jednocześnie całego ogniwa napędowego). Jeżeli wiemy, jak to działa, to powiedzmy, o co pyta autor:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I SKŁADOWE PRZYSPIESZENIA PUNKTU A

Krok po kroku wytłumaczymy sobie, jak do tego podejść:

Krok pierwszy – wychodzimy od tego, co wiemy:

Znamy prędkość ogniwa napędowego 1 i jego wymiary. W chwili początkowej punkty B, D oraz C tworzą trójkąt równoramienny o podstawie L, dwóch kątach równych 45 stopni i jednym kącie prostym.
I teraz skupmy się na trójkącie BDC.
Ogniwo napędowe (czyli to z numerem 1) przesuwa się ze stałą prędkością Vc. Wynika z tego, że długość DC będzie się zwiększać o Vc*t. Wtedy długość podstawy BC (długość równa L) pozostanie bez zmian i kąt BCD również pozostanie 45 stopni. I co najlepsze to powstał nowy trójkąt, którego jedną z przyprostokątnych jest droga przebyta przez ogniwo napędowe równa Vc*t.

kinematyka8 - Kinematyka - oblicz składowe przyspieszenia punktu - zadanie 40
To teraz skorzystajmy z trygonometrii a dokładnie z tangensa kąta α:
tgα = Vc*t : BD
Widać że odległość BD jest przekątną kwadratu o boku 0,5*L:
BD = √2 * 0,5*L
czyli wracamy do tangensa kąta α:
tgα = Vc*t : (√2 * 0,5*L)
czyli kąt α wynosi:
α = arctg [ Vc*t : (√2 * 0,5*L]

Krok drugi

Zmiana kąta w czasie

nazywa się

prędkością kątową,

a mówiąc bardziej naukowo pochodną kąta po czasie jest prędkość kątowa. W tym przypadku mówimy o prędkości kątowej ogniwa nr 3:
ω3 = da / dt = d/dt ( arctg [ Vc*t : (√2 * 0,5*L) ] ) =
= d/dt ( arctg [ 1,4*Vc*t : L ] ) =

1,4*Vc / L
= —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)²

Krok trzeci – punkt A (koniec ogniwa nr 3) porusza się po okręgu o promieniu 2*L

a więc jego prędkość jest iloczynem prędkości kątowej i promienia okręgu:
VA = ω3 * 2 * L =

1,4*Vc / L * 2 * L
= —————————- =
1 + (1,4*Vc*t : L)2

2,8*Vc
= —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)2

Krok czwarty

Prędkość policzona to teraz przechodzimy do przyspieszeń. Przyspieszenie punktu A może (z akcentem na MOŻE) składać się z dwóch składowych:
– stycznego
– normalnego
No to liczymy:
Przyspieszenie styczne jest pochodną prędkości po czasie:
pAt = dVA / dt =

2,8*Vc
=d/dt —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)²

= 2,8*Vc * d/dt [ 1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ]  =

= 2,8*Vc * (-1) * [1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ²] * 2*(1,4*Vc*t : L) * 1,4*Vc/L = (-11) * Vc³ * t / L² * [ 1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ²]

Na koniec policzymy przyspieszenie normalne:
pAn = ω3² * 2 * L =

(1,4*Vc / L) ²
= ——————————— * 2 * L
(1 + (1,4*Vc*t : L)² ) ²

Obliczyliśmy 2 wektory przyspieszeń i sumaryczne przyspieszenie punktu A będzie sumą obu wektorów.

Ruch złożony – kinematyka – zadanie 19

Powracamy do kinematyki i dzisiaj będzie o ruchu ZŁOŻONYM:

Jak sama nazwa wskazuje mamy tutaj jakieś złożenie, a dokładnie jest to złożenie 2 ruchów (jak to w kinematyce):

ruch unoszenia – na przykład płyta która porusza się po linii prostej lub się obraca wokół jakiegoś punktu

ruch własny – po tej płycie porusza się na przykład zwierzę – to już widać, że zwierzę jest znacznie mniejsze od płyty

Może być tak że płyta porusza się do przodu a zwierzę w bok ale znowu jest to tylko przykład.

Mówiąc i pisząc w jednym zdaniu ruch ZŁOŻONY jest wtedy gdy COŚ porusza się po CZYMŚ co też jedzie.

I teraz mamy takie zadanie z kinematyki i ruchu złożonego:

ruchzlozony1 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

Płyta obraca sie z prędkością kątową i po tej płycie ze środka startuje punkt A i jedzie z prędkością Vw wzdłuż promienia na zewnątrz. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

1.Wektorowo prędkość punktu A jest sumą prędkości własnej i prędkości unoszenia:

VA = Vw + Vu

gdzie:

Vu – prędkość unoszenia

2.Tutaj ruch unoszenia jest obrotowy i w takim razie unoszenie jest ruchem po okręgu.

Vu = * AoA

Odległość AoA to droga punktu A w ruchu jednostajnym z prędkością Vw. A ponieważ jest to ruch jednostajny to droga wyniesie:

AoA = Vw * t

czyli prędkość unoszenia:

Vu = * Vw * t

ruchzlozony2 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

3.Jak widać wektory prędkości własnej i unoszenia są do siebie prostopadłe czyli wartość ich sumy można obliczyć z metody równoległoboku przy użyciu twierdzenia Pitagorasa:

ruchzlozony3 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

VA = √(Vw² + Vu² ) =

= √(Vw² + ² * Vw² * t² ) =

= Vw * √(1 + ² * t²)

 

To na razie tyle na temat prędkości a teraz obliczymy przyspieszenie.

4.Przyspieszenie punktu A jest sumą 3 wektorów przyspieszeń:

własnego – może się składać ze składowych stycznej i normalnej

https://blog-student.com/kinematyka-przyspieszenie-styczne-i-normalne-przypomnienie-podstaw/

unoszenia- podobnie jak własne może się składać ze składowych stycznej i normalnej

Coriolisa – jeżeli unoszenie jest ruchem obrotowym a w tym zadaniu tak jest.

 

Przyspieszenie własne normalne nie występuje ponieważ punkt A jedzie po prostej, a przyspieszenie własne styczne nie wystąpi bo ruch własny odbywa się ze stałą prędkością Vw.

 

Przyspieszenie unoszenia normalne wynosi:

pun = Vu² / AoA = ( * Vw * t)² / (Vw * t) =

= ² * Vw * t

i wektor jest skierowany do środka łuku w ruchu unoszenia czyli do środka obrotowej tarczy

 

Przyspieszenie unoszenia styczne jest pochodną po czasie prędkości unoszenia:

put = dVu / dt = d/dt ( * Vw * t) = * Vw

i wektor jest styczny do łuku w ruchu unoszenia czyli prostopadły do promienia obrotowej tarczy.

 

Z przyspieszeniem Coriolisa jest trochę ciekawiej:

pc = 2 * * Vw * sin(<Vw,)

ten ostatni czynnik czyli sinus dotyczy kąta zawartego między wektorami:

– prędkości własnej Vw

– i prędkości kątowej unoszenia ω.

Wektor prędkości własnej leży na płaszczyźnie, a wektor prędkości kątowej leci pionowo w dół, czyli kąt między tymi wektorami jest 90 stopni. Sinus 90 stopni wynosi jeden, a więc przyspieszenie Coriolisa w tym przypadku:

pc = 2 * * Vw

I teraz powstaje pytanie, jak leci wektor przyspieszenia Coriolisa:coriolisaaccaleration - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

Wektor Coriolisa jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory oraz Vw. Pozostaje jeszcze pytanie w którą stronę ten wektor jest zwrócony:

Jakbyśmy kręcili śrubą prawoskrętną od ω do Vw, to kierunek wkręcania się śruby prawoskrętnej wskazuje na zwrot wektora przyspieszenia Coriolisa. Warto przypomnieć, że jak chcemy wkręcić śrubę w ścianę to kręcimy zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara. Z tego wszystkiego wynika że, przyspieszenie Coriolisa leży na płaszczyźnie i jest prostopadłe do wektora prędkości własnej.

I teraz jak wszystko wiadomo i się narysuje wszystkie wektory przyspieszeń to można obliczyć metodą równoległoboku sumę tych wektorów:

ruchzlozony4 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

pA = √ ((put+pc)² + pun² ) =

= √( (*Vw+2**Vw)² + (²*Vw*t)² ) =

= √ ((**Vw)² + (²*Vw*t)² ) 

Na powyższym rysunku wektor przyspieszenia punktu A oznaczono kolorem czerwonym.

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym – zadanie 17

Zadanie jest bardzo proste i dotyczy podstaw kinematyki i prędkości w ruchu jednostajnym prostoliniowym:

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

Pod sufitem wisi lampa i spod tej lampy startuje człowiek idąc w prawo ze stałą prędkością V.

kinematyka4 - Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym - zadanie 17

Lampa się świeci i dlatego człowiek rzuca cień. Idąc w prawo człowiek oddala się od lampy i cień będzie coraz dłuższy. Wysokość człowieka wynosi hc, a lampa wisi na wysokości H. I teraz jest pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ KOŃCA CIENIA

1.Człowiek idzie ruchem jednostajnym czyli ze stałą prędkością, a więc można obliczyć jego drogę w czasie t:

s = V * t

kinematyka5 - Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym - zadanie 17

I teraz można przez sc oznaczyć drogę końca cienia.

kinematyka6 - Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym - zadanie 17

2. Teraz mamy same długości czyli jest to czysta geometria i widać że można użyć tutaj twierdzenie Talesa:

 

H-hc           H

———-  =  ——-

V*t              sc

 

Z tego już się obliczy drogę końca cienia:

sc = V*t*H / ( H-hc )

Jak już jest droga końca cienia, to można obliczyć prędkość końca cienia i jest to pochodna drogi po czasie:

Vc = = V*H / ( H-hc )

Prawda że proste?

Jak obliczyć przyspieszenie kątowe – podstawy

Dzisiaj będzie krótko i treściwie, ale sprawa jest istotna – jak obliczyć przyspieszenie kątowe ?:

Przy okazji omawiania podstaw pisaliśmy o przyspieszeniu liniowym  które oznacza zmianę prędkości w czasie i dotyczy ruchu postępowego.

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

A jak to wygląda w przypadku ruchu obrotowego?

 

Po pierwsze

Położeniu w ruchu obrotowym odpowiada KĄT (wyrażony w radianach [rad]).

 

Po drugie

Prędkości w ruchu obrotowym odpowiada PRĘDKOŚĆ KĄTOWA (wyrażona w radianach na sekundę [rad/s]) i oznacza zmianę położenia kątowego w czasie:

=  / t

gdzie:

Δ∝ – zmiana położenia kątowego czegoś tam na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana położenia nastąpiła

 

Przyspieszeniu w ruchu obrotowym odpowiada PRZYSPIESZENIE KĄTOWE (wyrażone w radianach na sekundę do kwadratu [rad/s2] i oznacza zmianę prędkości kątowej w czasie:

=  / t

gdzie:

Δω – zmiana prędkości kątowej czegoś co się obraca – na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana prędkości kątowej nastąpiła

Przyspieszenie styczne i normalne w ruchu po okręgu – kinematyka

O tym już było przy okazji zadań z ruchu płaskiego,

https://blog-student.com/kinematyka-zadanie-3-obliczenie-przyspieszenia-w-ruchu-plaskim/

ale zanim przejdziemy do trudniejszych, to warto przypomnieć jedną z podstaw kinematyki – jak obliczyć przyspieszenia styczne i normalne w ruchu po okręgu.

Wyobraźmy sobie, że pojazd jedzie po drodze i wjeżdża w zakręt o promieniu R. Wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne wektory przyspieszeń:

kinematyka3 - Przyspieszenie styczne i normalne w ruchu po okręgu - kinematyka

– styczne pt

– i normalne pn

Przyspieszenie styczne (jak wskazuje jego nazwa i jak widać na powyższym szkicu) jest STYCZNE do łuku drogi, po której jedzie. Jest ono równe pochodnej prędkości po czasie

pt = dV/dt

a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość (wartość prędkości) się NIE ZMIENIA to przyspieszenie styczne jest równe ZERO. Pisząc innymi słowami (prostymi słowami) przyspieszenie styczne opisuje zmiana prędkości. 

Przyspieszenie normalne jest zwrócone do środka łuku, po którym pojazd jedzie i jest ono równe:

pn = V² : R

Całkowite przyspieszenie punktu jadącego po łuku jest sumą obu wektorów przyspieszeń czyli stycznego i normalnego.