4 wzorki które wystarczą do zadań z ruchu płaskiego

Zadania z kinematyki z ruchu płaskiego są dużo łatwiejsze niż myślisz i tutaj zrobię co w mojej mocy, żeby tego dowieść –  wystarczą

TYLKO CZTERY WZORKI,

które użyjesz w odpowiednim miejscu.

Tu i teraz pokaże Ci to na prostym przykładzie.
RUCHPLASKI3 - 4 wzorki które wystarczą do zadań z ruchu płaskiego
Na powyższym obrazku widzisz toczącą się (bez poślizgu) szpulkę z nawiniętą nitką. Zewnętrzny promień szpulki wynosi 2*R, a na promieniu R nawinięto nitkę. Za koniec nitki ktoś ciągnie w prawo z prędkością V. Autor zadania stawia pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Z informacji że szpulka toczy się bez poślizgu wynika fakt, że punkt styku toczącej się szpulki z nieruchomym podłożem jest chwilowym środkiem obrotu (niech on się nazywa punktem C).
A więc prędkość chwilowego środka obrotu wynosi ZERO (bo szpulka styka się z nieruchomym podłożem). Wcześniej powiedziano że prędkość końca nitki wynosi V, a więc cała jej długość aż do pierwszego punktu styku ze szpulką (niech to będzie punkt B) ma też prędkość V
ruchplaski4 - 4 wzorki które wystarczą do zadań z ruchu płaskiego
Teraz przyjrzyj się uważnie powyższemu obrazkowi. Nie da się ukryć że punkty B i C(chwilowy środek obrotu) leżą na tej samej prostej. I teraz użyjemy pierwszy z 4 wzorków wystarczających do zadań z ruchu płaskiego.

Oto

WZOREK PIERWSZY

który jest zależnością prędkości kątowej od prędkości liniowej:

PRĘDKOŚĆ LINIOWA
RÓWNA SIĘ
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA
RAZY
ODLEGŁOŚĆ PUNKTU OD CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU

W naszym przypadku

V = ω * (r + 2*r)

gdzie :
V – prędkość liniowa – w tym przypadku i sznurka i punktu B
ω – prędkość kątowa szpulki – tej prędkości nie znasz i dlatego użyliśmy WZORKA PIERWSZEGO
r + 2*r – odległość punktu B od chwilowego środka obrotu

Teraz już możesz policzyć nieznaną prędkość kątową szpulki:

ω = V / (r+2*r) = V / (3*r)

Znając prędkość kątową można policzyć prędkość punktu A, ale w tym celu musimy znać odległość między punktem A i chwilowym środkiem obrotu:

AC = √2 * 2 * r

i ta odległość jest równa przekątnej kwadratu o boku 2*r. Wobec tego do obliczenia prędkości punktu A ponownie użyjemy WZORKA PIERWSZEGO

VA = ω * AB

gdzie:
VA – szukana prędkość liniowa punktu A
ω – obliczona prędkość kątowa szpulki
AB – odległość między punktem A i chwilowym środkiem obrotu

Można to zapisać prościej wstawiając wszystko co obliczyliśmy:

VA = V / (3*r) * √2 * 2 * r = V * √2 * 2/3

Obliczyliśmy prędkość to teraz przechodzimy do przyspieszeń i obliczymy je metodą bieguna.

W tym celu poznamy WZOREK DRUGI:

PRZYSPIESZENIE PUNKTU A
RÓWNA SIĘ
PRZYSPIESZENIE BIEGUNA
PLUS
PRZYSPIESZENIE PUNKTU A WZGLĘDEM BIEGUNA

Napiszemy to dla naszego przypadku i ustalmy, że biegunem tutaj będzie środek szpulki, ponieważ gdy szpulka się toczy, to środek cały czas jest na tej samej wysokości (na wysokości 2*r od ziemi):

__   __    ___
pA = pO + pA/O

i dodatkowo jest to suma wektorów, bo każdy z nich może lecieć w inną stronę.
Każde z przyspieszeń ( pO oraz pA/O ) może składać się z 2 składowych:
– składowej stycznej
– oraz składowej normalnej
i już mam dla Ciebie kolejne 2 wzorki.

Oto WZOREK TRZECI

PRZYSPIESZENIE STYCZNE
RÓWNA SIĘ
POCHODNEJ PRĘDKOŚCI PO CZASIE

oraz WZOREK CZWARTY

PRZYSPIESZENIE NORMALNE
RÓWNA SIĘ
KWADRAT PRĘDKOŚCI PUNKTU
PODZIELONY PRZEZ
ODLEGŁOŚĆ PUNKTU OD CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU

Jak teraz te ostatnie 2 wzorki zastosować?
Przyspieszenie bieguna pO nie posiada składowej stycznej, ponieważ szpulka toczy się ze stałą prędkością:

pOt = 0

Przyspieszenie normalne bieguna zgodnie z WZORKIEM CZWARTYM:

pOn = Vo² / (2*R)

gdzie:
Vo – prędkość bieguna czyli punktu O
2*R – odległość bieguna od chwilowego środka obrotu

Teraz wyszło, że nie mamy prędkości bieguna i obliczymy ją przy pomocy WZORKA PIERWSZEGO:

Vo = ω * 2*R = V / (3*R) * 2*R = 2/3 * V

i już można policzyć przyspieszenie normalne bieguna:

pOn = (2/3 * V)² / (2*R)

Kolejno przechodzimy do składowych przyspieszeń punktu A względem bieguna. To już było, ale z faktu że szpulka toczy się ze stałą prędkością wynika brak przyspieszenia stycznego punktu A względem bieguna:

pA/O = 0

Żeby policzyć składową przyspieszenia normalnego punktu A względem bieguna, to ponownie użyjemy WZORKA CZWARTEGO:

pA/On = VA/O² / (2*R)

Ponownie użyjemy WZORKA PIERWSZEGO żeby policzyć prędkość punktu A względem bieguna:

VA/O = ω * 2*R = V / (3*R) * 2*R = 2/3 * V

wobec tego przyspieszenie normalne punktu A względem bieguna wyniesie:

pA/On = (2/3 * V)² / (2*R)

Na koniec pozostaje zsumować dwie składowe przyspieszenia punktu A, czyli te które teraz policzyliśmy:
– przyspieszenie normalne bieguna pOn
– przyspieszenie normalne punktu A względem bieguna pA/On
ruchplaski5 1024x557 - 4 wzorki które wystarczą do zadań z ruchu płaskiego
Jak widzisz na powyższym szkicu, te wektory są prostopadłe do siebie, wobec tego dodamy je metodą równoległoboku:

pA = √(pA/On² + pOn²) = √ [((2/3 * V)²/(2*R))² + ((2/3 * V)²/(2*R))² ] =
= √ [2*(2/3 * V)² / (2*R) ]

Prawda że łatwe?

Jasne że łatwe – 4 wzorki i więcej nie potrzeba do zadań z ruchu płaskiego

Kinematyka – ściąga – to tylko 7 wzorów

Trochę ostatnio zamieściłem na blogu zadań z kinematyki

Kinematyka – oblicz składowe przyspieszenia punktu

i teraz dobrze będzie wszystko zebrać do kupy, albo do ściągi. Już raz zebraliśmy do kupy całą statykę i podobnie zrobimy tu i teraz. Jak już wiadomo kinematyka zajmuje się ruchami przedmiotów i ruchy można podzielić w zależności od

– rodzaju ruchu – chodzi o ruch obrotowy i postępowy
kinematykasciaga 1024x515 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów

– zmian prędkości ponieważ prędkość może być stała (ruch jednostajny) lub zmienna (ruch przyspieszony albo opóźniony).

kinematykasciaga2 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów
Jak już mówimy o ruchu to wielkościami, które go opisują są:

prędkość liniowa dla ruchu postępowego – jaki dystans przedmiot przejeżdża w jednostce czasu (na sekundę , na godzinę i tak dalej). Mówiąc prosto jest to droga podzielona przez czas, jeżeli prędkość jest stała,
kinematykasciaga3 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów
lub przyspieszenie pomnożone przez czas, jeżeli jest to ruch zmienny (przyspieszony lub opóźniony).
kinematykasciaga4 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów

prędkość kątowa dla ruchu obrotowego – o jaki kąt przedmiot się obraca na przykład w ciągu sekundy. Prostym językiem to będzie kąt obrotu przez czas, w jakim to się obróciło:
kinematykasciaga5 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów
lub iloczyn przyspieszenia kątowego i czasu dla ruchu obrotowego przyspieszonego (lub opóźnionego)
kinematykasciaga6 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów

przyspieszenie – zmiana prędkości w jednostce czasu – chodzi tu zarówno o zmianę wartości (przyspieszenie styczne czyli o ile prędkość zwiększy się na przykład w ciągu sekundy) – zmiana prędkości podzielona przez czas
kinematykasciaga7 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów

ale również o kierunek prędkości (jazda po łuku i przyspieszenie normalne), kiedy przyspieszenie normalne wynosi tyle co kwadrat prędkości podzielony przez promień łuku.
kinematykasciaga8 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów
W tym miejscu trzeba podkreślić położenie wektorów przyspieszeń stycznego i normalnego.
kinematykasciaga10 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów
Wektor przyspieszenia stycznego jest styczny do toru ruchu (czyli drogi po której to coś się porusza.)
Wektor przyspieszenia normalnego jest prostopadły do stycznej i skierowany do środka zakrętu.

przyspieszenie kątowe w przypadku ruchu obrotowego – czyli o ile zmienia się prędkość kątowa na przykład w ciągu sekundy
kinematykasciaga9 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów

I oto cała ściąga z kinematyki. Teraz widzimy, jakie to wszystko jest łatwe.

Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim – zadanie 44

Witam wszystkich i dzisiaj obliczymy prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim. Niedawno coś omawialiśmy z ruchu płaskiego,

https://blog-student.com/kinematyka-zadanie-3-obliczenie-przyspieszenia-w-ruchu-plaskim/

a dzisiaj mamy takie zadanie:ruchplaski1 - Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim - zadanie 44
Pierścień toczy się wewnętrzną powierzchnią po powierzchni nieruchomego walca. W punkcie S znajduje się chwilowy środek obrotu. Toczenie bez poślizgu odbywa się z prędkością kątową ω. Średnica nieruchomego walca równa się r. Średnice wewnętrzna i zewnętrzna pierścienia wynoszą odpowiednio 2*r oraz 3*r. Oto jakie jest pytanie

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Jeżeli w punkcie S mamy chwilowy środek obrotu,to tym prościej będzie obliczyć prędkość punktu A – obliczymy ją właśnie

METODĄ CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU.

Idąc tą drogą prędkość jest iloczynem

prędkości kątowej pierścienia
oraz
odległości punktu A od chwilowego środka obrotu:
VA = ω * SA

Temat prędkości zamknięty czyli przechodzimy do przyspieszeń – tę sprawę załatwimy

METODĄ BIEGUNA.

Przypomnijmy, że

biegun

jest takim punktem charakterystycznym (ciała poruszającego się), którego ruch można łatwo opisać.
Tutaj za biegun obierzemy środek pierścienia ponieważ
– jest on punktem charakterystycznym
– jest oddalony od chwilowego środka obrotu o znaną odległość i ta odległość wynosi 2*r

Wobec tego przyspieszenie punktu A jest sumą wektorów:
– przyspieszenia bieguna czyli punktu O
– oraz przyspieszenia punktu A względem bieguna
__    __       ___
pA  =  pO  +  pA/O

Każdy z powyższych dwóch wektorów MOŻE ale nie musi składać się z dwóch składowych:
– stycznej
– i normalnej
__    ___    ___    ___        ____
pA  =  pOt  +  pOn  +  pA/Ot  +  pA/On

Prędkość kątowa pierścienia jest stała, a więc przyspieszenie styczne bieguna jest równe zero (prędkość liniowa bieguna nie zmienia się)
pOt = 0

Podobnie przyspieszenie styczne punktu A względem bieguna równa się zero – również prędkość liniowa punktu A względem bieguna nie zmienia się:
pA/Ot = 0

Jeżeli dwa składniki przyspieszenia punktu A równają się zero, to całe przyspieszenie:
__ ____ ____
pA = pOn + pA/On

Teraz obliczymy obie składowe przyspieszenia:
Przyspieszenie normalne bieguna jest iloczynem
prędkości kątowej pierścienia
oraz
odległości bieguna od chwilowego środka obrotu
pOn = ω * 2 * r

Przyspieszenie normalne punktu A względem bieguna równa się iloczynowi
prędkości kątowej pierścienia
oraz
odległości punktu A względem bieguna
pA/On = ω * 3 * r
Jak już obliczyliśmy składowe przyspieszenia, to dobrze będzie te dwa wektory narysować
ruchplaski2 - Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim - zadanie 44
i już można je zsumować , żeby otrzymać przyspieszenie punktu A. Ponieważ oba wektory są prostopadłe do siebie , to dodamy je

METODĄ RÓWNOLEGŁOBOKU:
pA = √(pOn² + pA/On²) = √[(ω*2*r)²+(ω*3*r)²] = ω*r *√13
Prawda że łatwe?

Ruch złożony – zadanie 41

Cześć wszystkim i dzisiaj zrobimy zadanie z ruchu złożonego. Oto trójkąt równoramienny prostokątny (o długości ramion równej b) obraca się wokół jednego z wierzchołków (punktu O) z prędkością kątową ω = 2 * t .

ruchzlozony5 - Ruch złożony - zadanie 41
Z drugiego wierzchołka wystartował punkt A i porusza się po przeciwległym boku z prędkości V. Twórca zadania zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Krok pierwszy – obliczamy prędkość

Przypomnijmy że mamy ruch własny z prędkością stałą równą V.

Z prędkości kątowej równej 2*t wynika, że ZMIENIA SIĘ ONA W CZASIE . To jest bardzo proste, ponieważ jeżeli będziemy mnożyć liczbę 2 przez kolejno upływające sekundy, to prędkość ω będzie coraz większa z każdą sekundą. Matematycy powiedzą jeszcze inaczej – jeżeli jest napisane
ω = 2 * t
to znaczy że prędkość kątowa ω jest funkcją czasu czyli zależy od czasu. A jak coś zależy od czasu, a czas ciągle biegnie do przodu, to będzie się ciągle zmieniać.

Ponieważ jest to zadanie z ruchu złożonego, to

prędkość punktu A

jest sumą wektorów
prędkości własnej
i
unoszenia.

https://blog-student.com/228/

Ruch unoszenia będzie ruchem po okręgu o promieniu OA.

ruchzlozony6 - Ruch złożony - zadanie 41
W taki ciekawy sposób powstał nowy trójkąt OAAo z jednym kątem wierzchołkowym równym 45º. Ważna uwaga to znamy drogę punktu A w czasie t, ponieważ punkt A jedzie ruchem jednostajnym. I ta droga wynosi V*t i jest ona jednocześnie jednym z boków trójkąta.

Teraz podzielimy trójkąt OAAo na dwa mniejsze i przyjrzymy się trójkątowi prostokątnemu AOA’.

ruchzlozony7 - Ruch złożony - zadanie 41Znając jego wysokość ( V*t*sin45º ) i podstawę ( b – V*t*cos45º ) obliczymy przeciwprostokątną, która dodatkowo jest jednocześnie długością OA. Użyjemy do tego twierdzenia Pitagorasa:

( V*t*sin45º )² + ( b – V*t*cos45º )² = OA²
V² * t² *sin²45º + b² – 2 * b * V * t *cos45º + V² * t² *cos²45º = OA²

V² * t² * (sin²45º + cos²45º) + b² – 2 * b * V * t *cos45º = OA²

V² * t² + b² – 2 * b * V * t *cos45º = OA²

Z tego długość OA wyniesie:

OA = √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Wobec tego prędkość unoszenia:
Vu = ω * OA = ω * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Mając prędkości własną i unoszenia możemy je dodać wektorowo.

https://blog-student.com/statyka-podstawy-dodawanie-wektorow-pod-roznymi-katami/

Żeby było łatwiej to zwróćmy uwagę na kąt, który powstał w trójkącie prostokątnym AOA’ i jest to kąt β – dla jaśniejszej jasności oznaczyłem go na czerwono.

ruchzlozony8 - Ruch złożony - zadanie 41

Jak skorzystamy z tego trójkąta prostokątnego i z tangensa, to ten kąt będzie równy:
β = arctg [ V*t*sin45o / ( b – V*t*cos45o ) ]
i jest ZMIENNY.
Ten sam kąt jest zawarty pomiędzy pionowym ramieniem trójkąta o długosci b a wektorem prędkości unoszenia Vu.

ruchzlozony9 - Ruch złożony - zadanie 41
Idąc dalej kąt zawarty między poziomym ramieniem trójkąta o długości b a wektorem prędkości własnej wynosi 45º i jest STAŁY. A wszystko po to żeby obliczyć kąt między wektorami prędkości unoszenia i własnej:
α = 90º – 45º – β = 45º – β =
= 45º – arctg [ V*t*sin45º / (b-V*t*cos45º) ]

To teraz dodamy wektory prędkości własnej i unoszenia metodą równoległoboku:

V = √[(Vu*cosβ+V*cos45º)² + (Vu*sinβ+V*sin45º)²]

Prędkości załatwione a więc czas na

Krok drugi – obliczamy przyspieszenia

Ponieważ ruch unoszenia jest ruchem obrotowym, to przyspieszenie punktu A jest sumą:
– przyspieszenia własnego (tutaj MOŻE wystąpić składowa styczna i normalna)
– przyspieszenia unoszenia (tutaj również MOŻE wystąpić składowa styczna i normalna)
– przyspieszenia Coriolisa (ono występuje w zadaniach z ruchu złożonego tylko wtedy, gdy ruch unoszenia jest ruchem obrotowym):
pA = pw + pu + pc
Po kolei rozpatrzymy każdą ze składowych:

Ruch własny odbywa się ze stałą prędkością V po prostej, a więc składowa styczna nie występuje (bo prędkość jest stała) i składowa normalna również nie występuje (bo punkt A jedzie po prostej):
pw = 0

Ruch unoszenia odbywa się po okręgu z prędkością kątową
ω = 2 * t, a wiec składowa normalna na pewno wystąpi (bo punkt A jedzie po okręgu):
pun = ω² * OA =

= 4 * t² * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Składowa styczna jest pochodną prędkości unoszenia po czasie:
put = dVu/dt = d/dt [2 * t * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)] =

= 2 * d/dt [t * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)] =

= 2 *  [t’ * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º) +

+ t * (√(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º))’ ] =

= 2 *  [1 * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º) +

+ t / [2*(√(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)]  ]

Przyspieszenie Coriolisa wyniesie:
pc = 2 * ω * V * sin (<ω , V) = 2 * 2 * t * V * sin (<ω , V) =
= 4 * t * V * sin90º = 4 * t * V

To teraz sobie narysujemy wszystkie obliczone wektory przyspieszeń, żeby móc obliczyć ich sumę.

ruchzlozony10 - Ruch złożony - zadanie 41
Rzuty wektorów na oś x wyniosą:
px = pun*cosβ + pc*cos45º + put*sinβ

Rzuty wektorów na oś y:
py = put*cosβ – pun*sinβ – pc*sin45º

Wypadkowe przyspieszenie punktu A wyniesie (metoda równoległoboku):
pA = √(px² + py²) =

=√[ (pun*cosβ+pc*cos45º+put*sinβ)²+(put*cosβ-pun*sinβ-pc*sin45º )²]

Prawda że łatwe?

Kinematyka – oblicz składowe przyspieszenia punktu

Witam wszystkich i dzisiaj w związku z kinematyką obliczymy prędkość i składowe przyspieszenia punktu A. Na poniższym rysunku widzimy mechanizm składający się z trzech elementów czyli trzech ogniw:

kinematyka7 - Kinematyka - oblicz składowe przyspieszenia punktu
ogniwa napędowego 1 (o długości L) poruszającego się po prostej (naukowcy powiedzą – ruch postępowy)
ramienia 3 (o długości 2*L) obracającego się wokół punktu B
suwaka 2 łączącego ogniwo napędowe z ramieniem
Dana jest prędkość Vc (jest to prędkość punktu C i jednocześnie całego ogniwa napędowego). Jeżeli wiemy, jak to działa, to powiedzmy, o co pyta autor:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I SKŁADOWE PRZYSPIESZENIA PUNKTU A

Krok po kroku wytłumaczymy sobie, jak do tego podejść:

Krok pierwszy – wychodzimy od tego, co wiemy:

Znamy prędkość ogniwa napędowego 1 i jego wymiary. Dodatkowo w chwili początkowej punkty B, D oraz C tworzą trójkąt równoramienny o podstawie L, dwóch kątach równych 45 stopni i jednym kącie prostym.
I teraz skupmy się na trójkącie BDC.
Ogniwo napędowe (czyli to z numerem 1) przesuwa się ze stałą prędkością Vc. Wynika z tego, że długość DC będzie się zwiększać o Vc*t. Wtedy długość podstawy BC (długość równa L) pozostanie bez zmian i dodatkowo  kąt BCD również pozostanie 45 stopni. I co najlepsze to powstał nowy trójkąt, którego jedną z przyprostokątnych jest droga przebyta przez ogniwo napędowe równa Vc*t.

kinematyka8 - Kinematyka - oblicz składowe przyspieszenia punktu
To teraz skorzystajmy z trygonometrii a dokładnie z tangensa kąta α:
tgα = Vc*t : BD
Widać że odległość BD jest przekątną kwadratu o boku 0,5*L:
BD = √2 * 0,5*L
czyli wracamy do tangensa kąta α:
tgα = Vc*t : (√2 * 0,5*L)
czyli kąt α wynosi:
α = arctg [ Vc*t : (√2 * 0,5*L]

Krok drugi

Zmiana kąta w czasie

nazywa się

prędkością kątową,

a mówiąc bardziej naukowo pochodną kąta po czasie jest prędkość kątowa. W tym przypadku mówimy o prędkości kątowej ogniwa nr 3:
ω3 = da / dt = d/dt ( arctg [ Vc*t : (√2 * 0,5*L) ] ) =
= d/dt ( arctg [ 1,4*Vc*t : L ] ) =

1,4*Vc / L
= —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)²

Krok trzeci – punkt A (koniec ogniwa nr 3) porusza się po okręgu o promieniu 2*L

a więc jego prędkość jest iloczynem prędkości kątowej i promienia okręgu:
VA = ω3 * 2 * L =

1,4*Vc / L * 2 * L
= —————————- =
1 + (1,4*Vc*t : L)2

2,8*Vc
= —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)2

Krok czwarty – prędkość policzona to teraz przechodzimy do przyspieszeń.

Przyspieszenie punktu A może (z akcentem na MOŻE) składać się z dwóch składowych:
– stycznego
– normalnego

https://blog-student.com/kinematyka-przyspieszenie-styczne-i-normalne-przypomnienie-podstaw/
No to liczymy:
Przyspieszenie styczne jest pochodną prędkości po czasie:
pAt = dVA / dt =

2,8*Vc
=d/dt —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)²

= 2,8*Vc * d/dt [ 1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ]  =

= 2,8*Vc * (-1) * [1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ²] * 2*(1,4*Vc*t : L) * 1,4*Vc/L = (-11) * Vc³ * t / L² * [ 1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ²]

Na koniec policzymy przyspieszenie normalne:
pAn = ω3² * 2 * L =

(1,4*Vc / L) ²
= ——————————— * 2 * L
(1 + (1,4*Vc*t : L)² ) ²

Obliczyliśmy 2 składowe przyspieszenia i sumaryczne przyspieszenie punktu A będzie sumą obu wektorów.