Kinematyka-przyspieszenie styczne i normalne – przypomnienie podstaw

O tym już było przy okazji zadań z ruchu płaskiego, ale zanim przejdziemy do trudniejszych, to warto przypomnieć jedną z podstaw kinematyki:

Wyobraźmy sobie, że pojazd jedzie po drodze i wjeżdża w zakręt o promieniu R i z prędkością V i wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne przyspieszenia:

kinematyka3

– styczne

– i normalne

Przyspieszenie styczne pt (jak wskazuje jego nazwa) jest STYCZNE do łuku drogi, po której jedzie. Jest ono równe pochodnej prędkości po czasie

pt = dV/dt

a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość się NIE ZMIENIA to przyspieszenie styczne jest równe ZERO.

Przyspieszenie normalne pn jest zwrócone do środka łuku, po którym pojazd jedzie i jest ono równe:

pn = V2 : R

Całkowite przyspieszenie punktu jadącego po łuku jest sumą obu wektorów przyspieszeń czyli stycznego i normalnego.

Kinematyka-zadanie 4-obliczenie przyspieszenia w ruchu płaskim

No to mamy zadanie następujące:

OBLICZYĆ PUNKTU A WALCA O PROMIENIU r PORUSZAJĄCEGO SIĘ RUCHEM PŁASKIM

Tutaj będzie znacznie lepsza zabawa niż przy obliczaniu prędkości punktu i dlatego, zanim przejdziemy do zadania, trzeba się odwołać do podstaw:
Załóżmy czy COŚ jedzie po okręgu o promieniu R i z prędkością Vp i wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne przyspieszenia:

– PRZYSPIESZENIE STYCZNE – którego wektor jest STYCZNY do toru ruchu (czyli śladu który robi punkt kiedy sobie jedzie – jak jedzie po łuku to robi łuk). Jest ono równe – UWAGA – pochodnej prędkości po czasie, a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość się nie zmienia to przyspieszenie styczne jest równe zero.

– PRZYSPIESZENIE NORMALNE  którego wektor jest skierowany do środka łuku i jest ono równe:
pn = Vp² : R

Streszczając to co jest napisane w powyższych 2 punktach

przyspieszenie styczne występuje kiedy prędkość się zmienia,

a przyspieszenie normalne występuje gdy ciało porusza się po łuku.

mechanika wstep 4

Jak już wiadomo jakie są rodzaje przyspieszeń, to można obliczyć przyspieszenie punktu A i zrobimy to METODĄ BIEGUNA. A co to znaczy:
pa = po + pa/o
Znaczy to tyle, że przyspieszenie punktu A jest sumą 2 wektorów przyspieszeń:
– WEKTORA przyspieszenia środka – punktu O – w tym przypadku punkt O wybraliśmy jako BIEGUN
– oraz WEKTORA przyspieszenia punktu A względem środka

I żeby było jeszcze śmieszniej to każdy z powyższych 2 wektorów MOŻE (ALE NIE MUSI) mieć składową styczną i składową normalną. To teraz można zapisać to wszystko w jednym równaniu (oczywiście wektorowo):
pa = pot + pon + pa/ot + pa/on
Przyspieszenie styczne środka będzie równe zero
pot = 0
ponieważ koło jedzie w prawo ze stałą prędkością.

Podobnie przyspieszenie styczne punktu A względem środka będzie równe zero
pa/ot = 0
ponieważ punkt A porusza się względem środka ze stałą prędkością.

Wobec tego sumaryczne przyspieszenie punktu A wyniesie (wektorowo):
pa = pon + pa/on
To teraz trzeba obliczyć poszczególne składniki:
Przyspieszenie normalne środka:
pon = ω² * r
Analogicznie obliczymy przyspieszenie punktu A względem środka:
pa/on = ω² * r

kinematyka1

A więc mamy 2 wektory przyspieszenia i teraz musimy je dodać.
Najprościej będzie to zrobić METODĄ RÓWNOLEGŁOBOKU:
Ustawiamy oba wektory tak, że wychodzą z jednego punktu (wierzchołka równoległoboku) i teraz widać, że tym równoległobokiem (w tym przypadku) jest zwykły prostokąt.

kinematyka2

Suma obu wektorów będzie przekątną wychodzącą z tego samego wierzchołka co 2 pozostałe. I teraz widać, że można do tego użyć twierdzenia Pitagorasa:
pa = [pon² + pa/on² ] ˆ1/2

(do potęgi 1/2 bo jest to pod pierwiastkiem)

Czyli podsumowując:

  • najpierw obliczamy poszczególne składowe przyspieszenia
  • a następnie dodajemy wektory składowych i suma będzie przyspieszeniem punktu

Kinematyka-zadanie 2-obliczenie prędkości w ruchu płaskim

Tak żeby w praktyce sprawdzić podstawy, o których była mowa wcześniej, dobrze będzie rozwiązać zadanie z kinematyki, a dokładniej z ruchu płaskiego.

mechanika wstep 4

Oto typowe zadanie jakich tysiące:

Linka lub nić nawinięta na walec (lub szpulkę) o promieniu r. Koniec nici ma prędkość V i widać że nić będzie się odwijać i walec będzie się toczyć w prawo. I jest pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ PUNKTU A

Widać, że punkt A znajduje się na godzinie dziewiątej. Za chwile pojawi się takie określenie jak

TOCZENIE BEZ POŚLIZGU-

– to znaczy dokładnie tyle że walec toczy się po powierzchni i nic się wzajemnie nie ślizga. I teraz kolejne ważne określenie czyli

CHWILOWY ŚRODEK OBROTU

– to znaczy tyle że koło ma tylko jeden punkt styku z powierzchnią i to jest dokładnie ten ŚRODEK czyli punkt C, wokół którego cały walec się CHWILOWO kręci.

I to co bardzo ważne – CHWILOWY ŚRODEK OBROTU zawsze ma prędkość równą zero czyli Vc=0 – a to dlatego że TEN punkt styka się z powierzchnią, no to musi mieć taką samą prędkość jak powierzchnia ziemi – czyli ZERO.
Na początku ustaliliśmy, że walec porusza się ruchem PŁASKIM czyli jednocześnie ruchem POSTĘPOWYM i OBROTOWYM. A jeżeli jest ruch obrotowy to jest prędkość kątowa i tą prędkość kątową trzeba policzyć żeby coś dalej ruszyć.

A co wiadomo na temat prędkości?

Wiadomo że koniec nici nawiniętej na walec jedzie z prędkością V, a ponieważ nitka się nie rozciąga to na całej długości mamy prędkość V, i tak samo z prędkością V porusza się najwyższy punkt koła czyli punkt B (  tak tak chodzi o ten punkt na godzinie dwunastej). A więc:

Vb = V

Jeżeli punkt jedzie w prawo z prędkością V a CHWILOWY ŚRODEK OBROTU ma prędkość zero, to można napisać zależność między prędkością liniową a kątową:
Vb = omega * 2*r
Czyli prędkość liniowa

to

iloczyn prędkości kątowej i odległości punktu od CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU

I z tego wzoru można obliczyć prędkość kątową walca:
omega = 0,5 * Vb : r
I jak już mamy prędkość kątową to można obliczyć prędkość punktu A z tej samej zależności – prędkość punktu A jest iloczynem prędkości kątowej walca i odległości punktu A od CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU:
Va = omega * OA

Teraz obliczyliśmy prędkość a następnym razem zajmiemy się przyspieszeniem.

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

Poprzednio zaczęliśmy od statyki a teraz:

KINEMATYKA

Zajmuje się ona wielkościami opisującymi ruch takimi jak:

  •  położenie
  • prędkość 
  • przyspieszenie

No dobrze tylko co to znaczy?

POŁOŻENIE – opisane współrzędnymi x oraz y mówi nam gdzie dane ciało , punkt, czy przedmiot się znajduje

PRĘDKOŚĆ – pochodna położenia po czasie (tak może zbyt teoretycznie) –  opisuje zmianę położenia w czasie –  opisuje jaką odległość obiekt przejechał w danym czasie

PRZYSPIESZENIE –  pochodna prędkości po czasie (znowu trochę teoretycznie) – opisuje zmianę prędkości w czasie – przyspieszenie opisuje o ile zmieniła się prędkość przez określony czas.

Na wstępie było powiedziane, że w kinematyce można się spotkać z różnymi określeniami dotyczącymi ruchu:

POSTĘPOWY

OBROTOWY

PŁASKI 

ZŁOŻONY

O co tu chodzi?

W najprostszym ujęciu to mamy 2 podstawowe ruchy:

 POSTĘPOWY

– COŚ się porusza po linii obojętnie jakiej czy prostej czy krzywej. Tym COŚ może być to co oficjalnie mówi się ,,punkt materialny,, a w rzeczywistości może to być piłka, zwierzę , pojazd lub cokolwiek.

 i OBROTOWY

-przedmiot kręci się (naukowcy powiedzą obraca) wokół dowolnej osi. Ten przedmiot to na przykład wskazówka zegara, wał silnika. I taka wskazówka obraca się z określoną prędkością kątową, czyli ileś stopni na sekundę lub jeszcze lepiej radianów na sekundę [rad/s]

 

To teraz mozna połączyć powyższe dwa rodzaje ruchów. Kombinacja ruchów POSTĘPOWEGO i OBROTOWEGO przynosi

ruch PŁASKI

-na przykład toczące się koło – to się nazywa toczenie bez poślizgumechanika wstep 4

– ruch obrotowy – żeby się toczyć to musi się kręcić wokół środka

– ruch postępowy – tocząc się podąża w jakimś kierunku. Żeby gdzieś dojechać to musi się przemieszczać i stąd ruch postępowy.

Na teraz to może tyle KINEMATYKI , to są tylko podstawy ale to wystarcza żeby rozwiązać zadanie lub problem mechaniczno-kinematyczny