Moc silnika windy – zadanie 58

Witam wszystkich i dzisiaj obliczymy moc silnika napędzającego windę osobową. Na poniższym szkicu widzisz schemat obciążenia windy jadącej w górę ze stałą prędkością.

mocsilnikawindy - Moc silnika windy - zadanie 58

Przyjmijmy, że prędkość wynosi:

V = 10 m/s

Załóżmy że masa windy wraz z pasażerami wyniesie

m = 800 kg

Na windę działa ciężar m*g oraz odpowiadająca mu siła naciągu liny S. Siły działające na windę równoważą się i w wyniku tego porusza się ona ruchem jednostajnym. Dlatego napiszemy równanie równowagi sił na oś y:

ΣPiy = S – m * g = 0

Z tego obliczymy siłę w linie:

S = m * g = 800 kg * 9,81 N/kg = 7848 N

Jeżeli już tyle wiadomo to możemy przejść do obliczenia wymaganej mocy napędu. Przypomnijmy że

moc N

jest ilorazem

wykonanej pracy W

przez czas t, w którym praca została wykonana:

Równoważność pracy i energii – zadanie 3

N = W : t

Jednocześnie wiemy, że praca jest iloczynem siły S (w naszym przypadku jest ona siłą naciągu liny) i przesunięcia h

W = S * h

Jeżeli wstawimy to do poprzedniego wzoru na moc:

N = (S * h) / t

to widać że powstał tutaj iloraz przesunięcia h oraz czasu t czyli prędkość. Wobec tego moc napędu (moc na końcu liny) jest iloczynem siły w linie S oraz prędkości windy V:

N = S * V = 7848 N * 10 m/s = 78 480 W = 78,48 kW

i jest to moc na końcu liny, ale nie jest to jeszcze moc silnika, ponieważ silnik napędza bęben zwijający linę poprzez przekładnie i w tej przekładni dodatkowo występują straty, przez co moc silnika musi być nieco większa. Matematycznie straty przeniesienia napędu opisuje się poprzez

sprawność

która jest ilorazem

mocy uzyskanej na końcu

do

mocy włożonej.

Bardzo ważne – ta sprawność nigdy nie przekracza liczby 1. W tego typu urządzeniach dźwigowych jak windy osobowe głównie stosuje się przekładnie pasowe z pasem klinowym. W tym przypadku sprawność wynosi około:

η = 0,94

Wobec tego wymagana moc silnika windy wyniesie:

Ns = N : η = 78,48 kW : 0,94 = 83,5 kW

Prawda że łatwe?

Obliczenie drogi hamowania pociągu – zadanie 57

Cześć wszystkim i dzisiaj będzie o podróżach a dokładnie obliczymy drogę hamowania pociągu. Podróżujemy coraz szybciej i to samo dotyczy pojazdów szynowych w postaci pociągów. Niektóre szybkie pociągi przekraczają 300 km/h i czy myślałeś kiedyś,

jakiej drogi potrzeba do zatrzymania takiego pociągu jadącego z prędkością na przykład :

V = 350 km/h = 97 m/s ?

Awaryjne hamowanie będzie zwykłą

zamianą energii kinetycznej na pracę siły tarcia

( pomiędzy kołami a szynami ) – wyszło na to , że mamy kolejne zadanie z energii. Wzdłuż ruchu pociągu działa jeszcze siła oporu powietrza, ale na potrzeby tego zadania pominiemy tę siłę , ponieważ wraz ze spadkiem prędkości będzie ona coraz mniejsza. W związku z tym jeszcze raz powiemy to głośno

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ POCIĄGU
BĘDZIE RÓWNA
PRACY SIŁ TARCIA I OPORU POWIETRZA

Dynamika – praca i energia – zadanie 30

Ek2 – Ek1 = Fh * s – Fop * s
gdzie:
Ek2 i Ek1 – energia kinetyczna na końcu  hamowania (na postoju) i na początku hamowania (z prędkością 350 km/h)
Fh – siła hamowania
s – szukana droga hamowania
Fop – siła oporu powietrza

Tak jak rozmawialiśmy wcześniej, w dalszych obliczeniach pominiemy pracę oporu powietrza:

Ek2 – Ek1 = Fh * s

Końcowa energia kinetyczna będzie równa zero, ponieważ wtedy pociąg już będzie stał w miejscu:

Ek2 = 0

Początkowa energia kinetyczna będzie się wiązać z prędkością 350km/h oraz dodatkowo masą pociągu:

Ek1 = m * V² / 2
gdzie :
m – masa pociągu
V = 350 km/h = 97 m/s – początkowa prędkość pociągu w chwili rozpoczęcia hamowania

Siła hamowania będzie równa sile tarcia pary koło-szyna:

Fh = m * N
gdzie:
μ = 0,16 – przybliżony współczynnik tarcia pary stal-stal
N – suma nacisków kół na szyny

drogahamowania 1024x436 - Obliczenie drogi hamowania pociągu - zadanie 57
Patrząc na powyższy szkic napiszemy sumę rzutów sił na oś y:

ΣPiy = N – m*g = 0

i z tego policzymy sumaryczny nacisk kół na szyny:

N = m * g

Teraz będzie można wszystko wstawić do początkowego wzoru z równoważności pracy i energii:

Ek2 – Ek1 = Fh * s

0 – m * V² / 2 = m * N * s

i wstawić wzór na nacisk

0 – m * V² / 2 = m * m*g * s

Po uproszczeniu i podzieleniu obu stron przez masę:

(-m) * V² / 2 = m * m*g * s
(- V² ) / 2 = m * g * s

dostaniemy obliczoną drogę hamowania pociągu:

s = V² / (2*m*g) = 97 2 / (2*0,16*9,81N/kg) = 2997m

Prawie 3 kilometry czyli warto rozejrzeć się przed niestrzeżonym przejazdem kolejowym

Napęd na obie osie pojazdu

Cześć wszystkim i dzisiaj udowodnimy, że pojazdy z napędem na obie osie mogą przenieść większą siłę napędową na nawierzchnię niż tradycyjne z napędem na 2 koła. Przypomnijmy, na jakie korzyści eksploatacyjne to się może przełożyć:
– łatwość przejazdu przez teren o dużym współczynniku oporu toczenia (mówiąc prosto chodzi o grząski teren w rodzaju błota, piasku lub innej gliny)
– możliwość ciągnięcia na przykład przyczepy o dużej masie
– osiągnięcie wyższego przyspieszenia na śliskiej nawierzchni

A dlaczego tak się dzieje?

Maksymalna siła napędowa którą koło może przenieść na drogę wynosi:

Fnmax = N * μ1

gdzie:
Fnmax – maksymalna siła napędowa
N – nacisk koła na nawierzchnię
μ1 – współczynnik przyczepności przylgowej czyli mówiąc prosto największy współczynnik tarcia między oponą a drogą

Na dobrą sprawę maksymalna siła napędowa równa się maksymalnej sile tarcia pary opona-jezdnia.
napedna4kola 1024x520 - Napęd na obie osie pojazdu
Spójrz na powyższy szkic obrazujący siły działające na samochód ruszający z miejsca. Oto użyte oznaczenia:
m*g – ciężar pojazdu
Np i Nt – nacisk na osie przednią i tylną
Fnp – siła napędowa na osi przedniej

Gdy przeanalizujemy sobie powyższą sytuację, to widać że całkowita siła napędowa równa się sile napędowej na osi przedniej:

Fn = Fnp = Np * μ1

To był przypadek pojazdu z napędem na jedną oś. A jak będzie wyglądała sytuacja dla układu napędu obu osi pojazdu – będzie podobnie jak poprzednio ale dodatkowo dojdzie siła napędowa kół tylnych:
napedna4kola2 1024x514 - Napęd na obie osie pojazdu
Dodatkowe oznaczenie które tutaj się pojawiło to:
Fnt – siła napędowa kół tylnych

Łatwo zauważysz że w tym przypadku całkowita siła napędowa jest równa sumie sił napędowych obu osi:

Fn4 = Fnp + Fnt = Np * μ1 + Nt * μ1

Porównując oba przypadki (patrząc na oba powyższe równania) zauważysz, że dla przypadku napędu obu osi siła napędowa będzie wyższa – tutaj dodatkowo występuje cząstka Nt*μ1 czyli siła
napędowa kół tylnych.

Prawda że łatwe?

Siła grawitacji – zadanie 56

Wiadomo że Księżyc wykonuje ruch obiegowy wokół Ziemi za sprawą siły grawitacji.

Prawo powszechnego ciążenia i stała grawitacji

Wiesz już, że siła ta zależy od odległości między ciałami posiadającymi masę. Wobec tego poruszając się między Ziemią a Księżycem w stronę naszego satelity siła grawitacji pochodząca od Ziemi spada , a ta pochodząca od Księżyca rośnie. Idąc tą drogą (może bardziej lecąc) napotkamy na punkt w którym

siła grawitacji od Księżyca będzie równa sile grawitacji Ziemi.

W tym zadaniu obliczymy, gdzie dokładnie ten punkt się znajduje. A więc działamy:
Masa mo znajduje się w punkcie, którego szukamy oddalonym o x od Księżyca.

silagrawitacji - Siła grawitacji  - zadanie 56

Logiczne jest, że ten punkt będzie bliższy Księżycowi.

Siła grawitacji pochodząca od Ziemi wyniesie:

Fgz = G * (M*mo) / (L-x)²

gdzie:
G = 6,674 08 * 10-11 m³/(kg*s²) – stała grawitacji
M = 5,9722 * 10 24 kg – masa Ziemi
L = 384 400km = 384 400 000m – odległość Ziemia – Księżyc

Siła grawitacji pochodząca od Księżyca:

Fgk = G * (m*mo) / x²

gdzie:
m = 7,3477 * 10 22 kg – masa Księżyca

Wobec powyższego wiemy, że w szukanym punkcie siły grawitacji od Ziemi i Księżyca zrównają się:

Fgz = Fgk
G * (M*mo) / (L-x)2 = G * (m*mo) / x²

Dzielimy obie strony równania przez stałą grawitacji G oraz masę mo:

(M) / (L-x)² = (m) / x²
M * x² = m * (L-x)²
M * x² = m * ( L² – 2*L*x + x² )
M * x² = m*L² – m*2*L*x + m*x²
m*L² – m*2*L*x + m*x² – M*x² = 0
m*x² -M*x² – m*2*L*x + m*L² = 0
(m-M)*x² – m*2*L*x + m*L² = 0

i powstało równanie kwadratowe – liczymy deltę i obliczamy szukaną odległość od Księżyca:

Δ = (m*2*L)² – 4*(m-M)*m*L² = m² * 4 * L² – 4*m²*L² + 4*M*m*L² =
= 4*M*m*L²

x = [ 2*m*L + √(4*M*m*L² ) ] : [2*(m-M)] =
= ( 2*m*L + 2*L * √(M*m) ) : 2*(m-M) =
= ( m*L + L * √(M*m) ) : (m-M) = [ 7,3477*1022 kg * 384 400 000 m +
+ 384 400 000m * √(5,9722 * 10 24 kg*7,3477 * 10 22 kg) ]:(7,3477*10 22kg – 5,9722 * 10 24 kg)  = 4795 633 m = 4795,6 km

Czyli w takiej odległości od Księżyca siły grawitacji Księżyca i Ziemi są jednakowe.

Masowy moment bezwładnosci

W zadaniach z dynamiki często spotykamy się z ruchem obrotowym lub/i z ruchem płaskim

Przyspieszenia liniowe i kątowe mas – dynamika – zadanie 37

i tam występuje pojęcie

masowego momentu bezwładności

Tę wielkość oznacza się  zwykle literą J. Można i należy zadać pytanie czym jest masowy moment bezwładności?

Jest to odpowiednik masy w ruchu obrotowym. Jak już wiesz, masa jest miarą bezwładności – jeżeli ktoś tego nie wie, to może poczuć – spróbuj ruszyć z miejsca samochód na gładkiej i poziomej drodze –

duża masa oznacza dużą bezwładność

i dlatego, żeby

rozpędzić pojazd musisz pokonać tę bezwładność.

Bezwładność warto zobrazować jako opór przed wprawianiem ciała w ruch. Takie działanie wymaga przyłożenia dużej siły w kierunku ruchu – to świetnie obrazuje

II zasada dynamiki Newtona.

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

Dlatego znacznie łatwiej jest ruszyć z miejsca wózek z supermarketu (nawet jeżeli jest wypełniony zakupami), ponieważ ma znacznie mniejszą masę i przez tą niższą bezwładność.

To był ruch ruch postępowy i analogicznie będzie w ruchu obrotowym – rozpędzenie dużej obracającej się masy wymaga pokonania jej dużej bezwładności i to wymaga przyłożenia sporego momentu. W tym miejscu przypominam o istnieniu

II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego.
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego – podstawy
Na koniec warto przytoczyć kilka przykładów masowych momentów bezwładności kilku brył:
– dla KULI o promieniu r i masie m:
J = 2/5 * m * r²

– dla WALCA o promieniu r i masie m:
J = 1/2 * m * r²

– dla RURY cienkościennej o promieniu r i masie m:
J = 1 * m * r²

Warto będzie wytłumaczyć przykładowy wzorek dla WALCA i w tym celu wyobraź sobie, że składa się on z BARDZO DUŻEJ liczby elementów rozłożonych wokół osi tego walca. W takim przypadku największa odległość elementu od osi wynosi r , a najmniejsza wynosi ZERO czyli element znajduje się w osi walca. Jeżeli mamy odległości elementów od osi od ZERA do r, to średnia odległość wynosi r/2 i dlatego we wzorku na walec widzimy liczbę 1/2.

Analogicznie ale trochę inaczej będzie w przypadku rury, gdzie wszystkie elementy są położone w odległości r od osi rury.

Z tych rozważań wynika konstruktywny wniosek:

Jeżeli konstruktor tworzy masę obrotową o jak największym masowym momencie bezwładności przy minimalnej masie, to będzie kierował się w stronę zależności na moment bezwładności rury cienkościennej – innymi słowami jak najwięcej masy rozłoży na jak największym promieniu. Takim obrazowym przykładem z życia jest koło zamachowe silnika spalinowego.

masowymomentbezwladnosci - Masowy moment bezwładnosci

Na zdjęciu powyżej widzisz stacjonarny jednocylindrowy silnik wysokoprężny Savoia pochodzący z 1920 roku. Kluczową cechą jest tylko jeden cylinder co wymaga (dla równomierności pracy) zastosowania koła zamachowego o dużym masowym momencie bezwładności. Patrząc na powyższy obrazek zwróć uwagę, że najwięcej materiału w kole zamachowym zostało zgromadzone na obwodzie czyli jest to tak zwany wieniec. Z osią obrotu wieniec łączą tylko drobne (w porównaniu z całą resztą) szprychy.  W ten sposób osiągnięto OGROMNY masowy moment bezwładności.

Prawda że łatwe?