Mechanika – podstawy – II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

I tak ponownie wracamy do podstaw, ponieważ o tych podstawach zdarza nam się zapominać. O zasadach dynamiki było już na samym początku i o II zasadzie również. Tylko że wtedy było to odniesione do ruchu postępowego:

F = m * a [1]

czyli jeżeli na ciało o masie m działa siła F, to to ciało jedzie z przyspieszeniem a.

 

A jak to będzie w przypadku ruchu obrotowego:

M = J * 

czyli jeżeli na ciało o masowym momencie bezwładności J działa moment M, to ciało obraca się z przyspieszeniem kątowym .

Jak patrzymy na wzór [1] i [2] to siłę F zamieniono na moment M (przy ruchu obrotowym sile odpowiada moment), zamiast masy jest masowy moment bezwładności, a zamiast przyspieszenia liniowego mamy przyspieszenie kątowe. I to właściwie tyle jeżeli chodzi o uzupełnienie II zasady dynamiki Newtona.

Dynamika- zadanie 7

Witam ponownie i ponownie mamy proste zadanko z dynamiki:

 

Do nieważkiego bębna o promieniu r przyłożono moment Mo. Na obu końcach cięgna nawiniętego na bęben zawieszono 2 masy m. Pomiędzy cięgnem a bębnem nie ma poślizgu.

dynamika4

Ile wyniosą przyspieszenia poruszających się mas?

 

Tyle wiadomo  teraz żeby się do tego zabrać to na wstępie:

Trzeba założyć, w jaki sposób to wszystko się będzie poruszać.

Przyłożony moment obraca kołem zgodnie ze wskazówkami zegara, czyli można się domyśleć, że lewe pudło pojedzie w górę, a prawe pudło będzie zjeżdżać w dół. Ponieważ oba pudła są połączone nierozciągliwą liną, to jedno i drugie pudło będzie się poruszać z takim samym przyspieszeniem.

W drugim kroku trzeba uwolnić od więzów wszystkie ciała, które mają masę, czyli to będzie lewe pudło i prawe pudło.dynamika5

Uwalniamy od więzów, czyli zastępujemy linę siłą napięcia S1 i ponieważ ciało posiada masę to w środku ciężkości przykładamy siłę ciężkości m*g. Z poprzedniego kroku zakładamy przyspieszenie ciała w górę.

Trzeci krok to jeżeli pudło uwolniliśmy od więzów to teraz piszemy równania dynamiczne pochodzące z II prawa dynamiki Newtona:
ILOCZYN MASY CIAŁA I JEGO PRZYSPIESZENIA RÓWNA SIĘ SUMIE PRZYŁOŻONYCH DO NIEGO SIŁ.
Należy zaznaczyć że siły leżą na kierunku przyspieszenia:
m * p = S1 – m*g [1]

dynamika6

Analogicznie postępujemy z drugim pudłem czyli siłę w linie zastępujemy siłą S2 i przykładamy ciężar m*g. Równianie dynamiczne przyjmie postać:

m * p = m*g – S2 [2]

Mamy 2 równania dynamiczne i teraz liczymy niewiadome:
p , S1 , S2
czyli 3 niewiadome i 2 równania a więc potrzebne jest dodatkowe równanie dynamiczne lub kinematyczne. I tutaj warto wykorzystać krążek, do którego przyłożono moment – dla niego napiszemy równanie dynamiczne dla ruchu obrotowego:

dynamika3

J * e = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

Wiadomo że moment bezwładności krążka wynosi zero, ponieważ krążek jest nieważki:
J = 0
I wiadomo, jaka jest relacja między przyspieszeniami:
– kątowym bębna
– i liniowym pudła:
p = ε * r
I z tego obliczymy przyspieszenie kątowe krążka:
ε = p : r
I teraz to co powyżej wstawiamy do równania [3]:
0 * p/r = S2 * r + Mo – S1 * r

0 = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

To jak już mamy 3 równania, to przyrównujemy stronami równania [1] i [2]:
S1 – m*g = m*g – S2
S1 = 2*m*g – S2 [1+2]

Z równania [3] wyciągamy siłę w linie S1:
S1 * r = S2 * r + Mo
S1 = S2 + Mo/r  [3]

Równania [1+2] oraz [3] odejmujemy stronami:
S1 – S1 = 2*m*g – S2 – S2 – Mo/r
0 = 2*m*g – 2*S2 – Mo/r
0 = m*g – S2 – 0,5*Mo/r
S2 = m*g – 0,5*Mo/r

Z równania [1] wyciągamy p, podstawiamy obliczone powyżej S2 i od razu dostajemy szukane przyspieszenie:
p = g – S2/m = g – ( m*g – 0,5*Mo/r )/m = g – ( g – 0,5*Mo/(r*m) )  =
= 0,5*Mo/(r*m)

Dynamika-zadanie 6

To może teraz zadanie z dynamiki takie oto:

NA POZIOMYM STOLE NA KARTCE LEŻY PUDEŁKO O MASIE m. WSPÓŁCZYNNIK TARCIA MIĘDZY KARTKĄ I PUDEŁKIEM WYNOSI µdynamika1

I jak wiemy co tu się dzieje to teraz jest takie pytanie:

Z JAKIM PRZYSPIESZENIEM NALEŻY RUSZYĆ KARTKĄ, ŻEBY PUDEŁKO ZJECHAŁO Z KARTKI?

Czyli tradycyjnie uwalniamy pudełko od więzów, czyli zastępujemy kartkę siłami:

– nacisku

– i tarcia ponieważ jest dany współczynnik tarcia 

dynamika2

Siła tarcia jest w tą stronę co przyspieszenie ponieważ pudełko będzie chciało zjechać w stronę przeciwną – siła tarcia jest zawsze przeciwna do ruchu który ma nastąpic – przeszkadza ruchowi.

No i teraz piszemy równania dynamiczne:

Równanie w kierunku zgodnym z przyspieszeniem:

m * p = N * µ [1] 

Równanie w kierunku prostopadłym do przyspieszenia:

m * 0 = N – m*g [2]

Z drugiego równania obliczamy nacisk:

N = m*g

i wstawiamy do równania [1]:

m * p = m * g * µ

Dzielimy obie strony równania przez m i dostajemy przyspieszenie z jakim należy ruszyć kartką żeby pudełko zjechało z kartki:

p = g * µ 

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

A więc dzisiaj będzie o:

DYNAMICE

– zajmuje się ona działającymi siłami i ruchem ciał. Tutaj spełniona jest

 DRUGA ZASADA DYNAMIKI NEWTONA

Jeżeli na ciało o masie m działa stała siła F

to

ciało porusza się z przyspieszeniem p = F/m

MECHANIKA WSTEP 5

 

Jak już doszliśmy do dynamiki to za chwilę pojawiają się 3 pojęcia:

PRACA

ENERGIA

MOC

I dokładnie w tej kolejności – praca, potem energia a dopiero na końcu moc.

Zacznijmy od tego czym jest praca – tak bardzo prosto to

 ILOCZYN SIŁY I PRZESUNIĘCIA

przy czym i siła i przesunięcie są do siebie równoległe.

Jeżeli siła i przesunięcie NIE są równoległe

to

rzutujemy siłę na prostą wzdłuż której przesunięcie następuje i praca równa się:

RZUT SIŁY x PRZESUNIĘCIE

Przy ruchu obrotowym praca równa się iloczynowi momentu i kąta obrotu.

Jak już wiadomo czym jest praca to tym bardziej będzie wiadomo czym jest energia:

ENERGIA TO MOŻLIWOŚĆ WYKONANIA PRACY

I żeby było jeszcze ciekawiej to i pracę i energię mierzymy w dżulach (J). Zarówno energia może przechodzić w pracę, jak i praca może wywołać wzrost energii (na przykład wzrost energii jakiegoś ciała o jakiejś masie).
W zadaniach z dynamiki które robi się metodą energetyczną występuje równanie:

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ = PRACA WYKONANA

I to jest świetna ilustracja poprzedniego zdania – praca przeszła w energię lub odwrotnie.

Na przykład:

Kula o masie M spada z dachu o wysokości H. I teraz zadajemy sobie pytanie:

DLACZEGO KULA SPADA?

I to też jest proste: kula spada bo działa na nią siła grawitacji. Grawitacja działa w dół i kula też spada w dół czyli i siła i przesunięcie są do siebie równoległe :

PRACA SIŁY CIĘŻKOŚCI = SIŁA CIĘŻKOŚCI x PRZESUNIĘCIE

Jeżeli siła ciężkości wykonała pracę

to

musiała się zmienić energia kinetyczna kuli – no i się zmieniła dokładnie o tyle ile pracy zostało wykonane:

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ = SIŁA CIĘŻKOŚCI x PRZESUNIĘCIE

Prawda że proste?

I to będzie jeszcze prostsze jak przejdziemy to zadań.