Wytrzymałość złożona – zadanie 23

Na blogu było już cos na temat rozciągania, zginania, skręcania i ścinania.

Wytrzymałość-rozciąganie-zadanie 9

Wytrzymałość-zginanie-zadanie 11

Wytrzymałość – zadanie 13 – skręcanie wału

Wytrzymałość – ścinanie – zadanie 15

Jak te wszystkie obciążenia połączy się razem to dojdziemy do wytrzymałości złożonej. I żeby to prosto wyjaśnić, to na początek takie zadanie:
zlozona1
Autor pyta nas:
OBLICZ MINIMALNĄ ŚREDNICĘ d

To co widzimy na rysunku to zwyczajna KORBA  wmurowana w ścianę i składająca sie z 3 prostopadłych odcinków:
A-B
B-C
C-D

I żeby było ciekawiej, to ktoś ciągnie za koniec korby siłę F. Na tę korbę możemy spojrzeć z boku

zlozona2

Po pierwsze

 

W każdym z 3 odcinków obliczymy siłę rozciągającą (niektórzy mówią SIŁA NORMALNA), a następnie naprężenia rozciągające. Bierzemy kawałek KARTKI i zasłaniamy KORBĘ w taki sposób, żeby było widać kawałek odcinka AB.zlozona3

Teraz patrzymy , jaka siła działa WZDŁUŻ odcinka – widać że jest to siła -F:
NAB = (-F)
bo siła działa wzdłuż odcinka AB

Analogicznie postępujemy z dwoma pozostałymi odcinkami:

zlozona4
NBC = 0
bo żadna siła nie działa WZDŁUŻ odcinka BCzlozona5

NCD = (-F)
bo siła działa WZDŁUŻ odcinka CD.
Wykorzystując to co obliczyliśmy powyżej, rysujemy wykres sił normalnych.

 

Po drugie

 

W każdym charakterystycznym punkcie (tu jest mowa o punktach A, B, C oraz D) obliczamy moment zginający i naprężenia zginające. Co to jest moment to już było mówione:
MOMENT = SIŁA x RAMIĘ

Tutaj postępujemy podobnie jak przed chwilą, czyli bierzemy kawałek kartki i odsłaniamy tylko kawałeczek odcinka AB, żeby widzieć tylko punkt A i nic więcej (dalsza część KORBY jest zasłonięta przez kartkę).zlozona6

I co widzimy – siła (-F) trafia dokładnie na punkt A czyli nie daje momentu względem punktu A:
MgA = 0

Analogicznie postępujemy z kolejnymi punktami:zlozona7
MgB = 0
siła przechodzi przez punkt B

ZLOZONA8

MgC = (-F) * L
bo siła działa względem punktu C na ramieniu L które jest PROSTOPADŁE do siły.zlozona9

MgD = (-F) * L
bo siła działa względem punktu C na ramieniu L które jest PROSTOPADŁE do siły.
Momenty gnące obliczone a więc rysujemy wykres.

 

Po trzecie

 

Sprawdzamy, czy siła powoduje skręcanie któregoś odcinka.

Do odcinka AB i do odcinka BD siła jest RÓWNOLEGŁA i dlatego tu skręcania nie ma.

Siła PRZECINA odcinek BC i dlatego tutaj też nie ma skręcania.

 

Po czwarte

 

Sprawdzamy po kolei każdy odcinek, czy siła powoduje ścinanie.
Siła ścina dany odcinek jeżeli działa PROSTOPADLE do tego odcinka. Widać że to nie wystąpi w pierwszym przedziale:

zlozona3

TAB = 0

Do drugiego odcinka siła jest PROSTOPADŁA, a więc ścinanie występuje:

zlozona4

TBC = -F

Ostatni odcinek CD nie będzie ścinany:

zlozona5

TCD = 0
i rysujemy wykres sił tnących.

Ponieważ nie mamy skręcania, więc jeżeli spojrzymy jednocześnie na 3 wykresy:

zlozona12

– siły normalnej N
– siły tnącej T
– i momentu gnącego Mg
to widać gołym okiem, że maksymalne wartości dla wszystkich 3 wykresów występują w punkcie C. Wobec tego trzeba obliczyć naprężenia rozciągające, tnące i zginające w punkcie C dla przedziału DRUGIEGO oraz dla przedziału TRZECIEGO.
Dla pręta o średnicy d przekrój wyniesie:

A = π * d² / 4

Naprężenia rozciągające w punkcie C przedziału trzeciego to iloraz siły rozciągającej i przekroju pręta:
σrC3 = N : A = 4 * (-F) : (π * d²)

 

Naprężenia tnące w punkcie C przedziału drugiego to iloraz siły ścinającej i przekroju pręta:
τC2 = T : A = 4 * (-F) : (π * d²) = 1,3 * (-F) : d²

 

Wskaźnik wytrzymałości na zginanie dla pręta o średnicy d:
W = π * d³ : 32
Naprężenia zginające w punkcie C to iloraz momentu gnącego i wskaźnika wytrzymałości przekroju na zginanie:
σgC = MgC : W = 32 * (-F) * L : (π * d³) = 10,2 * (-F) * L : d³

 

Jeżeli są już policzone wszystkie naprężenia w punkcie C, to obliczamy naprężenia zredukowane czyli takie które łączą w sobie wszystkie rodzaje naprężeń. W punkcie C przedziału drugiego:
σredC2 = √[(σr+σg)² +3*( τs + τ )²]
To co powyżej to jest ogólny wzór w którym:
σr – naprężenia rozciągające
σg – naprężenia zginające
τs – naprężenia skręcające
τ – naprężenia ścinające
σredC2 =√[σg² +3*τ² ]
Teraz widać, że zginęły naprężenia rozciągające i skręcające, ponieważ w drugim przedziale nie ma rozciągania i nie ma skręcania.
σredC2 = √[σgC2² +3*τD2² ]  =
=√[(10,2*F*L:d³)² +3*(1,3*F:d² )² ]  =
= F/d2 * √[(10,2*L/d)² +3*(1,3)²]

Analogicznie postępujemy z punktem C przedziału trzeciego i tutaj nie będzie naprżeń tnących, ale pojawią się rozciągające:
σredC3 = √[(σr+σg)² +3*(τs+τ)² ] =
= √[(σrC3+σg)²] = σrC3 + σgC =
= 4 * F : (π * d ²) + 10,2 * F * L : d³ =
= 1,3 * F :  d² + 10,2 * F * L : d³ =
= F/d² * (1,3 + 10,2 * L / d)
I dalej to już jest zwykła matematyka:
Średnica d która spełnia oba powyższe równania jest minimalną średnicą pręta

Statyka – kratownica płaska – zadanie 22

O statyce już było i to nie raz ale teraz zadanie z kratownic. I na początek warto powiedzieć, co to jest kratownica:

Mówiąc prosto bierzemy kilka lub kilkanaście lub jeszcze więcej prętów i łączymy je przegubowo w taki sposób, że tworzą one sztywny element i przykładem pierwszym z brzegu niech będzie trójkąt stworzony z 3 prętów połączony przegubowo w 3 punktach.

statyka13

Te punkty połączenia dalej będziemy nazywać WĘZŁAMI. Jasna sprawa że większość kratownic to układy prętowe znacznie bardziej skomplikowane niż taki sobie zwykły trójkąt. I teraz może takie proste zadanie:

statyka14

Tak jak widać na rysunku powyżej mamy kratownicę zamocowaną w dwóch podporach (jednej stałej i drugiej przesuwnej) oraz obciążoną dwiema pionowymi siłami F. Autor zadania zadaje proste pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Zrobimy to w kilku prostych krokach metodą RÓWNOWAGI WĘZŁÓW.

 

Po pierwsze

 

Uwalniamy CAŁĄ kratownicę od więzów, czyli zastępujemy siłami to, co ją łączy ze światem zewnętrznym. W tym przypadku kratownica jest mocowana do podłoża dwiema podporami:

– podpora przegubowa stała – zamiast niej rysujemy 2 prostopadłe do siebie reakcje

– podpora przegubowa przesuwna – zastępujemy ją siłą prostopadłą do 2 równoległych kresek

statyka15

Po drugie

 

Piszemy równania równowagi statycznej i teraz spójrzmy jakie widzimy siły:

RA, RBx, RBy oraz 2 siły F i co najważniejsze te siły nie zbiegają się w jednym punkcie, czyli mamy układ PŁASKI ROZBIEŻNY – a więc piszemy 3 równania równowagi (2 sumy rzutów sił i sumę momentów).

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

Sumę momentów warto obliczyć względem punktu, przez który przechodzi NAJWIĘCEJ niewiadomych – w tym przypadku będzie to punkt B – RBx oraz RBy

MiB = F * L + F * 2 * L + RA * 3 * L = 0

ponieważ w ten sposób od razu obliczymy reakcję w drugiej podporze:

F * 3 * L + RA * 3 * L = 0

F + RA = 0

która wynosi:

RA = (-F)

Następnie piszemy sumy rzutów sił na osie , z których obliczymy reakcje w podporze B:

Pix = RBx = 0

Piy = (-RA) – F – F – RBy = 0

RBy = (-(-F)) – F – F = (-F)

 

Po trzecie

 

Jak już są obliczone reakcje zewnętrzne działające na kratownicę jako całość, to rozkładamy układ ZŁOŻONY – całą kratownicę na układy PROSTE – poszczególne węzły. W tym celu warto oznaczyć każdy z węzłów literą, a każdy z prętów cyfrą. 

statyka16

UWALNIAMY OD WIĘZÓW każdy węzeł czyli ZASTĘPUJEMY siłami pręty, które do niego dochodzą. Na wstępie możemy zacząć od węzła A, ponieważ dochodzą do niego DWA pręty, czyli w równaniach równowagi będą DWIE niewiadome siły.

statyka17

Jak mamy taki węzeł A uwolniony od więzów, to widać, że wszystkie siły zbiegają się w jednym punkcie, czyli mamy układ PŁASKI ZBIEŻNY – wobec tego piszemy DWA równania równowagi – sumy rzutów sił na osie. I teraz równania równowagi:

Piy = S2 * cos45o – RA = 0

Z pierwszego równania obliczamy siłę w pierwszym pręcie:

S2 * cos45º = RA

S2 = RA : cos45º = (-F) : cos45º = (-1,4*F)

Pix = S1 + S2 * sin45º = 0

S1 = (-S2) * sin45º = (-(-1,4*F)) * sin45º = F

I teraz przechodzimy do węzła C, ponieważ mając siłę w drugim pręcie będziemy mieć 2 niewiadome.

statyka18

Czyli od teraz do samego końca wszystko będzie przebiegać analogicznie:

Pix = S3 – S2 * sin45º = 0

S3 = S2 * sin45º = (-1,4*F) * sin45º = (-F)

Piy = (-S4) – S2 * cos45º = 0

S4 = (-S2) * cos45º = (-(-1,4*F)) * cos45º = F

Analogicznie postępujemy dla pozostałych węzłów:

 

Węzeł D:

statyka19

Piy = S4 – F + S6 * cos45º = 0

(-S4) + F = S6 * cos45º

(-F) + F = S6 * cos45º==> S6 = 0

Pix = S5 – S1 + S6 * sin45º = 0

S5 – F + 0 * sin45º = 0

S5 = F

 

Węzeł E:

Pix = S7 * sin45º – S5 =0

S7 * sin45º = S5

S7 = S5 : sin45º = F : sin45º = 1,4*F

Piy = S7 * cos45º + S8 = 0

S8 = (-S7) * cos45º = (-1,4*F) * cos45º = (-F)

 

Węzeł B:

statyka21

Ostatni węzeł i tu wystarczy suma rzutów sił na oś x, bo pozostała do obliczenia jeszcze jedna siła w pręcie:

Pix = RBx – S9 – S7 * sin45º = 0

0 – S9 – 1,4 * F * sin45º = 0

S9 = (-1,4) * F * sin45º = (-F)

I w taki prosty sposób obliczyliśmy siły we wszystkich prętach

Dynamika – energia – zadanie 21

Mamy takie oto zadanie z energii:

energia2

Większa masa wisi na linie, która jest na górze przełożona przez krążek i leci do mniejszej masy która leży na powierzchni. Tutaj współczynnik tarcia wynosi . autor zadaje pytanie:

JAKĄ PRĘDKOŚĆ OSIĄGNIE WIĘKSZA WISZĄCA MASA PO PRZEBYCIU DROGI H ?

 

Po pierwsze

 

To teraz ustalmy w którą stronę ten cały układ jedzie:

Nie ma mowy o żadnej prędkości , a więc wszystko startuje ze startu zatrzymanego.

Wisząca większa masa M pod własnym ciężarem spada w dół i ciągnie mniejszą masę, która jedzie w prawo. Ponieważ oba pudła połączono nierozciągliwą liną, to oba jadą z taką samą prędkością.

energia3

Po drugie

 

Jeżeli wiadomo, jak to działa, to zaznaczamy siły ZEWNĘTRZNE działające na układ. W tym przypadku są to:

– ciężar m*g działający na masę m

– nacisk N działający na masę m

– tarcie N* działające na masę m

– ciężar działajacy na masę M

 

Po trzecie

 

Z równoważności pracy i energii wynika że zmiana energii kinetycznej układu jest równa wykonanej pracy:

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Ek2 – Ek1 = L

Układ rusza ze startu zatrzymanego, a więc początkowa energia kinetyczna:

Ek1 = 0

Energia kinetyczna końcowa będzie zwiazana z ruchem ciał posiadających masę:

Ek2 = M * V² / 2 + m * V² / 2

i tak jak napisano wcześniej obie masy, duża i mała, jadą z taką samą prędkością V.

I teraz prawa strona równania:

Pracę wykonują siły, które są RÓWNOLEGŁE do przesunięcia. W tym przypadku równoległe do przesunięcia są:

– ciężar wiszącego pudła – pudło jedzie w dół i jego ciężar też działa w dół

– tarcie działające na mniejsze pudło – pudło jedzie poziomo i tarcie też działa poziomo.

Praca równa się iloczynowi SIŁY razy PRZESUNIĘCIE, a więc prawa strona równania będzie wyglądać tak:

L = M * g * H – N * * H

Powyżej widać, że tarcie działa na takiej samej drodze H jak przesunięcie w pionie duzego pudła, ponieważ oba pudła połączono nierozciągliwą liną. Całe równanie będzie wyglądało tak:

M * V² / 2 + m * V² / 2 – 0 = M * g * H – N * * H

To teraz policzymy niewiadome:

Jak widać nie znamy prędkości V i nacisku N. Uwalniamy od więzów pudło o mniejszej masie m czyli:

energia4

– przykładamy ciężar m * g

– zastępujemy podłoże naciskiem N i tarciem N *

– zastępujęmy linę siłą naciągu S

Kolejno piszemy sumę rzutów na oś y, ponieważ tam występuje nieznany nacisk N:

Piy = N – m*g = 0

czyli nacisk na lżejsze pudło:

N = m * g

i wstawiamy to do ogólnego równania:

M * V² / 2 + m * V² / 2 – 0 = M * g * H – m * g * * H

Mnożymy obie strony równania przez 2:

M * V² + m * V² = 2 * M * g * H – 2 * m * g * * H

i wyciągamy kwadrat prędkości przed nawias:

V² * (M+m) = 2 * M * g * H – 2 * m * g * * H

i z tego wynika szukana prędkość V :

V² * (M+m) = 2*g*H * (M – m * )

V = √ [2*g*H*(M – m*) : (M+m)]

Dynamika – regulator – zadanie 20

Mamy taki regulator, w którym masa M jest umieszczona na końcu belki o masie m.

dynamika7

Całość połączono przegubowo z wałem w odległości a od jego osi obrotu. Wał obraca się z prędkością kątową ω . Autor zadaje pytanie:

O JAKI KĄT ODCHYLI SIĘ BELKA?

 

Po pierwsze

 

Całość uwalniamy od więzów

dynamika8

czyli:

– zastępujemy przegub dwiema prostopadłymi reakcjami Rx oraz Ry

– przykładamy ciężary do belki i masy M

– ponieważ całość obraca się to do obu mas przykładamy siły odśrodkowe bezwładności

 

Po drugie

 

Piszemy równania równowagi:

∑Pix = B – Rx +∫dB = 0 [1]

∑Piy = Ry – M*g – m*g = 0 [2]

∑Mio = ∫dB*x*cosα – m*g*0,5*L*sinα + B*L*cosα – M*g*L*sinα = 0 [3]

 

Po trzecie

 

W powyższych równaniach pojawiła się całka i teraz warto ją do końca policzyć, ale na początek dobrze będzie zająć się elementarną siłą dB czyli siłą odśrodkową bezwładności:

dB = dm * 2 *(a+x*cosα)

 

Teraz stworzymy zależność która mówi, że:

Elementarna masa dm ma się tak do całej masy belki m,

jak

elementarna długość dx do całkowitej długości L:

dm/m = dx / L

z tego wyciągamy elementarną masę dm:

dm = m * dx / L

i wstawiamy do obliczonej wcześniej elementarnej siły bezwładnosci dB:

dB = m/L * 2 * ( a + x * sinα ) * dx

Następnie robimy z tego całkę (na całą długość belki L) i obliczamy ją:

∫m/L*ω² *( a + x * sinα ) dx =

= ∫( m/L*ω² * a + m/L*ω² * x*sinα ) dx =

= ∫m/L*ω² * a dx +∫m/L*ω² * x*sinα dx =

= m/L*ω² * a*L + m/L*ω² * sinα*0,5*L²

 

Po drodze pojawia się jeszcze siła odśrodkowa bezwładności działająca na skupioną masę M:

B = M * 2 * (a+L*sinα)

I teraz można to co wyszło z całki wstawić do równania równowagi na oś x:

ΣPix = M * ω² * (a+L*sinα) – Rx + m/L *ω² * a * L + m/L * ω² * sinα * 0,5 * L² = 0

I jak to sie to uprości to mamy coś takiego

ΣPix = (M+m)*ω² *a + (M+0,5*m)*ω²*L*sinα – Rx = 0 [1]

W sumie momentów pojawia się kolejna, trochę bardziej skomplikowana całka:

∫dB*x*cosα = ∫[m/L * ω² * (a+x*sinα) * dx] * x * cosα =

=∫[m/L *ω² * (a+x*sinα) * dx ] * x * cosα =

=∫[m/L *ω² * a + m/L *ω² * x * sinα] * x * cosα dx = 

= ∫m/L *ω² * a * x * cosα dx +∫m/L *ω² * sinα * x² * cosα dx =

=m/L *ω² * a * 0,5 * L² * cosα + m/L *ω² * sinα * 1/3 * L³ * cosα

 

I to co wyszło wstawiamy do równania momentów:

m/L *ω² * a * 0,5 * L² *  cosα +

+ m/L *ω² * sinα * 1/3 * L3 * cosα- m * g * 0,5 * L * sinα +

+ M *ω² * (a+L*sinα) * L * cosα – M * g * L * sinα = 0 [3]

 

I jak się uprości to i tamto to dostaniemy soś takiego:

(0,5*m+M) *ω² * a * cosα- (0,5*m+M) * g * sinα +

+ (M+1/3*m) *ω² * sinα* L * cosα = 0 [3]

 

Czyli mamy 3 równania równowagi oraz 3 niewiadome:α , Rx oraz Ry

(M+m) *ω² * a + (M+0,5*m) *2 * L * sinα – Rx = 0 [1]

Piy = Ry – M*g – m*g = 0 [2]

 

(0,5*m+M) *ω² * a * cosα- (0,5*m+M) * g * sinα +

+ (M+1/3*m) *ω² * sinα* L * cosα = 0 [3]

 

czyli z tego układu równań można już obliczyć szukany kąt odchylenia belki regulatora.

Kinematyka – ruch złożony – zadanie 19

A teraz będzie o ruchu ZŁOŻONYM:

Jak sama nazwa wskazuje mamy tutaj jakieś zlożenie, a dokładnie jest to złożenie 2 ruchów:

ruch unoszenia – na przykład płyta która porusza się po linii prostej lub się obraca wokół jakiegoś punktu

ruch własny – po tej płycie porusza się na przykład zwierzę – to już widać, że zwierzę jest znacznie mniejsze od płyty

Może być tak że płyta porusza się do przodu a zwierzę w bok ale znowu jest to tylko przykład.

Mówiąc i pisząc w jednym zdaniu ruch ZŁOŻONY jest wtedy gdy COŚ porusza się po CZYMŚ co też jedzie.

I teraz mamy takie zadanie z ruchu złożonego:

ruchzlozony1

Płyta obraca sie z prędkością kątową i po tej płycie ze środka startuje punkt A i jedzie z prędkością Vw wzdłuż promienia na zewnątrz. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Wektorowo prędkość punktu A jest sumą prędkości własnej i prędkości unoszenia:

VA = Vw + Vu

gdzie:

Vu – prędkość unoszenia

Tutaj ruch unoszenia jest obrotowy i w takim razie unoszenie jest ruchem po okręgu.

Vu = * AoA

Odległość AoA to droga punktu A w ruchu jednostajnym z prędkością Vw. A ponieważ jest to ruch jednostajny to droga wyniesie:

AoA = Vw * t

czyli prędkość unoszenia:

Vu = * Vw * t

ruchzlozony2

Jak widać wektory prędkości własnej i unoszenia są do siebie prostopadłe czyli wartość ich sumy można obliczyć z metody równoległoboku przy użyciu twierdzenia Pitagorasa:

ruchzlozony3

VA = √(Vw² + Vu² ) =

= √(Vw² + ² * Vw² * t² ) =

= Vw * √(1 + ² * t²)

 

To na razie tyle na temat prędkości a teraz obliczymy przyspieszenie.

Przyspieszenie punktu A jest sumą 3 wektorów przyspieszeń:

własnego – może się składać ze składowych stycznej i normalnej

unoszenia- może się składać ze składowych stycznej i normalnej

Coriolisa – jeżeli unoszenie jest ruchem obrotowym a w tym zadaniu tak jest.

 

Przyspieszenie własne normalne nie występuje ponieważ punkt A jedzie po prostej.

Przyspieszenie własne styczne nie wystąpi bo ruch własny odbywa się ze stałą prędkością Vw.

 

Przyspieszenie unoszenia normalne wynosi:

pun = Vu² / AoA = ( * Vw * t)² / (Vw * t) =

= ² * Vw * t

i wektor jest skierowany do środka łuku w ruchu unoszenia czyli do środka obrotowej tarczy

 

Przyspieszenie unoszenia styczne jest pochodną po czasie prędkości unoszenia:

put = dVu / dt = d/dt ( * Vw * t) = * Vw

i wektor jest styczny do łuku w ruchu unoszenia czyli prostopadły do promienia obrotowej tarczy.

 

Z przyspieszeniem Coriolisa jest trochę ciekawiej:

pc = 2 * * Vw * sin(<Vw,)

ten ostatni czynnik czyli sinus dotyczy kąta zawartego między wektorami:

– prędkości własnej Vw

– i prędkości kątowej unoszenia ω.

Wektor prędkości własnej leży na płaszczyźnie, a wektor prędkości kątowej leci pionowo w dół, czyli kąt między tymi wektorami jest 90 stopni. Sinus 90 stopni wynosi jeden, a więc przyspieszenie Coriolisa w tym przypadku:

pc = 2 * * Vw

I teraz powstaje pytanie, jak leci wektor przyspieszenia Coriolisa:coriolisaaccaleration

Wektor Coriolisa jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory oraz Vw. Pozostaje jeszcze pytanie w którą stronę ten wektor jest zwrócony:

Jakbyśmy kręcili śrubą prawoskrętną od ω do Vw, to kierunek wkręcania się śruby prawoskrętnej wskazuje na zwrot wektora przyspieszenia Coriolisa. Warto przypomnieć, że jak chcemy wkręcić śrubę w ścianę to kręcimy zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara. Z tego wszystkiego wynika że, przyspieszenie Coriolisa leży na płaszczyźnie i jest prostopadłe do wektora prędkości własnej.

I teraz jak wszystko wiadomo i się narysuje wszystkie wektory przyspieszeń to można obliczyć metodą równoległoboku sumę tych wektorów:

ruchzlozony4

pA = √ ((put+pc)² + pun² ) =

= √( (*Vw+2**Vw)² + (²*Vw*t)² ) =

= √ ((**Vw)² + (²*Vw*t)² ) 

Na powyższym rysunku wektor przyspieszenia punktu A oznaczono kolorem czerwonym.

Wytrzymałość – rozciąganie – układ statycznie niewyznaczalny – zadanie 18

Tutaj mamy zadanie z układem statycznie niewyznaczalnym, gdzie do poziomej sztywnej belki przymocowano przegubowo 2 odkształcalne pręty, z których jeden jest pionowo, a drugi leci pod kątem.
rozciaganie6
Co ciekawe to oba pręty przymocowano do tego samego punktu sztywnej belki, ORAZ po zmontowaniu skośny pręt podgrzano o temperaturę ΔT. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Gołym okiem widać, że jak się podgrzeje skośny pręt to on sie wydłuży i bedzie za długi żeby całość zachowała początkowe wymiary.

Po pierwsze
Uwalniamy układ od więzów czyli zastępujemy pręty i podporę przegubową siłami.
rozciaganie7
Po drugie
Piszemy równania równowagi.

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

ΣPix = S2 * sin45º – Rx = 0
ΣPiy = Ry – S1 – S2 * cos45º = 0
ΣMiB = S1 * L + S2 * cos45º * L = 0
Jak widać mamy 3 równania i 4 niewiadome ( Rx , Ry , S1 , S2 ) a więc potrzebne jest dodatkowe równanie geometryczne.

Po trzecie
Zakładamy w jaki sposób belka obróci się względem punktu B po podgrzaniu skośnego pręta.
Wiadomo, że jak skośny pręt się podgrzeje, to się wydłuży i będzie sie starał podnieść DO GÓRY prawy wolny koniec belki. Wtedy belka obróci się o niewielki kąt względem osi obrotu (punkt B). I tutaj jest ważne założenie:

PUNKT MOCOWANIA PRĘTÓW (tutaj punkt C) PRZEMIEŚCI SIĘ PO PROSTEJ PROSTOPADŁEJ
DO
LINII ŁĄCZĄCEJ PUNKT MOCOWANIA PRĘTÓW  (tutaj punkt C)
Z OSIĄ OBROTU BELKI (tutaj punkt B).

I teraz jest najlepsze:

Odległość CC’ wynosi tyle ile wydłużył się pionowy pręt czyli:
CC’ = ΔL1

Ze skośnym prętem będzie trochę trudniej ponieważ leci on po skosie a po drugie to jest podgrzewany. I to jest tak że skośny pręt pod wpływem temperatury (albo zmiany temperatury) wydłuży się o ΔLt:

ΔLt = ΔT * a * √2   * L

ale do tego wydłużonego skośnego pręta drugi pionowy pręt będzie za długi i teraz zajdzie zajdzie ciekawe zjawisko:
– pionowy pręt trochę się wydłuży
– skośny pręt ( wcześniej wydłuzony o ΔLt ) troche  się  skróci aby oba prety mogły się  spotkać w jednym miejscu – punkcie mocowania prętów do belki (punkt C’)
rozciaganie8
Na powyższym rysunku widzimy dwa skośne pręty:
– zielony PRZED odkształceniem
– i ten sam ale niebieski – PO odkształceniu

I teraz wyszło że powstał trójkąt w którym:
– jeden z boków odpowiada ΔLt-ΔL2
– drugi z boków odpowiada przemieszczeniu punktu C czyli CC’
– kąt 45º odpowiada połozeniu skośnego pręta
rozciaganie9
Jak się narysuje ten trójkąt większy , to więcej widać i widać też że można tu zastosować najprostszą trygonometrię:
cos45º = (ΔLt – ΔL2) / CC’
a można to zapisać tak:
cos45º * CC’ = ΔLt – ΔL2

 

Po czwarte
I teraz w to można i trzeba wmanewrować prawo Hooke

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy

 

siła w pręcie  x  długość pręta
wydłużenie = ——————————————————————————-
moduł Younga  x  przekrój

 

i dla pręta skośnego wydłużenie mechaniczne będzie wyglądac w następujący sposób:

 

                  S2  * √2   *  L

ΔL2 = —————————————————————————

E  *  A

 

a dla pręta pionowego którego wydłużenie równa się przemieszczeniu punktu CC’:

 

               S1   *  L

ΔL1 = ———————————————————————————–

E  *  A

 

I to wszystko można teraz wstawić do wzoru na cos45º :

cos45º * CC’ = ΔLt – ΔL2

cos45º * S1*L / (E*A) = ΔT*a * √2  * L – S2 * √2  * L / (E*A)

Dzielimy obie strony przez L i mnożymy przez E*A:

0,5 * √2 * S1 = ΔT * a * √2 * E * A – S2 * √2

Dzielimy przez pierwiastek z 2:

0,5 * S1 = ΔT * a * E * A – S2

Jak się wyliczy S1 z trzeciego równania statycznego na sumę momentów:
S1*L + S2 * cos45º * L = 0
S1 + S2 * cos45º = 0
S1 = (-S2) * cos45º

i wstawi do równania geometrycznego:

0,5 * (-S2) * cos45º = ΔT * a * E * A – S2

To można obliczyć siłę w pręcie skośnym:
(-0,35) * S2 = ΔT * a * E * A – S2
0,65 * S2 = ΔT * a * E * A
S2 = 1,5 * ΔT * a * E * A

I również z równania na sumę momentów wyliczamy siłą w pręcie pionowym:
S1 = (-S2)*cos45º = (-1,5) * ΔT * a * E * A * cos45º =
= (-1,1) * ΔT * a * E * A

Kinematyka – zadanie 17

Zadanie jest bardzo proste i dotyczy podstaw kinematyki:

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

Pod sufitem wisi lampa i spod tej lampy startuje człowiek idąc w prawo ze stałą prędkością V.

kinematyka4

Lampa się świeci, a więc człowiek rzuca cień. Idąc w prawo człowiek oddala się od lampy i cień będzie coraz dłuższy. Wysokość człowieka wynosi hc, a lampa wisi na wysokości H. I teraz jest pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ KOŃCA CIENIA

Człowiek idzie ruchem jednostajnym czyli można obliczyć jego drogę w czasie t:

s = V * t

kinematyka5

I teraz można przez sc oznaczyć drogę końca cienia.

kinematyka6

Teraz mamy same długości czyli jest to czysta geometria i widać że można użyć tutaj twierdzenie Talesa:

 

H-hc           H

———-  =  ——-

V*t              sc

 

Z tego już się obliczy drogę końca cienia:

sc = V*t*H / ( H-hc )

Jak już jest droga końca cienia, to można obliczyć prędkość końca cienia i jest to pochodna drogi po czasie:

Vc = = V*H / ( H-hc )

Prawda że proste?