Obliczenie średnicy nitu – zadanie 46

Cześć wszystkim,  dzisiaj kolejne zadanie ze ścinania – obliczymy średnicę nitów. Niedawno ten temat omawialiśmy

https://blog-student.com/wytrzymalosc-scinanie-zadanie-15/

na trochę innym przykładzie.
scinanienitow2 - Obliczenie średnicy nitu - zadanie 46
Na obrazku widzimy połączenie nitowe dwóch okrągłych płytek przy pomocy 4 nitów. Do każdej z płytek przyłożono moment M – dla równowagi jeden przeciwny do drugiego. Dana jest grubość płytek g oraz średnica położenia nitów D:
scinanienitow1 - Obliczenie średnicy nitu - zadanie 46
oraz dopuszczalne naprężenia ścinające dla materiału nitu kt.
Autor zadaje pytanie:

OBLICZ WYMAGANĄ ŚREDNICĘ d NITU

Jeżeli jest podane dopuszczalne naprężenie ścinające kt dla materiału nitu, to znaczy że potrzebujemy warunku wytrzymałościowego na ścinanie.
Oto jak należy do tego podejść:

Warunek wytrzymałościowy na ścinanie:
T / (4 * π*d²/4) < kt
gdzie

-T oznacza siłę ścinającą nit,
– liczba 4 oznacza występowania 4 nitów,
– π*d²/4 oznacza przekrój nitu o średnicy d (pole koła).

T / (π*d²) < kt
T = π*d² * kt
Po przekształceniu:
d = √[T / (π*kt)]

Nie znamy siły ścinającej T , która pochodzi od przyłożonego momentu M. Moment jest zrównoważony przez 4 jednakowe siły ścinające T działające na ramieniu D/2:
4 * T * D/2 = M
Kolejno mamy
– siła razy ramie czyli T*D/2
– i liczba 4 bo są cztery nity.

I to wszystko jest równe przyłożonemu momentowi M.
W związku z tym siła ścinająca wyniesie:
T = M / (4 * D/2) = M / (2 * D) = 0,5*M / D
i wstawiamy ją do wzoru na wymaganą średnicę nitu:

d =√[T/(π*kt) = √[(0,5*M/D) / (π*kt)]= √[(0,5*M) / (π*kt*D)]

Prawda że łatwe?

Trójkierunkowy stan naprężenia – zadanie 45

W nieodkształcalnym sześcianie o boku L wycięto rowek o szerokości 0,5*L i wsunięto prostopadłościan o wymiarach jak na poniższym rysunku.
uogolnioneprawohooke - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Prostopadłościan obciążono poziomą siłą P i z drugiej strony taka sama siła działa na nieodkształcalny sześcian.
Materiał prostopadłościanu posiada moduł Younga E oraz stałą Poissona ν . Jak widać początkowa wysokość prostopadłościanu wynosi L i wobec tego autor zadaje pytanie:

OBLICZ ZMIANĘ WYSOKOŚCI PROSTOPADŁOŚCIANU PO PRZYŁOŻENIU SIŁY P

Na sam początek ustalamy układ współrzędnych.
uogolnioneprawohooke2 - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Kolejno , jak zawsze w zadaniach tego typu, piszemy

3 równania opisujące trójkierunkowy stan naprężenia

εx = σx/E – ν*σy/E – ν*σz/E [1]
εy = σy/E – ν*σx/E – ν*σz/E [2]
εz = σz/E – ν*σx/E – ν*σy/E [3]

z których mamy 6 niewiadomych:
– odkształcenia względne wzdłuż 3 osi – εx, εy , εz
– naprężenia wzdłuż 3 osi – σx , σy , σz

Z prostej mechaniki wynika 6 równań oraz 6 niewiadomych, czyli potrzebujemy 3 dodatkowych równań. Oczywiście te dodatkowe równania będą związane z naprężeniami i względnymi odkształceniami.
Wiadomo że prostopadłościan nie odkształci się w kierunku y, ponieważ jest wciśnięty w wycięcie sześcianu. w związku z tym względne odkształcenie wzdłuż osi y wynosi ZERO:
εy = 0 [4]

Po drugie widać że siła P działa na ściankę sześcianu

(o wymiarach 0,5*L x L)

wzdłuż osi x. Zatem naprężenie w kierunku x wyniesie tyle co siła podzielona przez powierzchnię:
σx = P : (0,5*L * L) = 2*P / L² [5]

W kierunku osi z na ścianki (o wymiarach 0,75*L x 0,5*L) nic nie naciska, a jak nic nie naciska, to w tym kierunku nie ma naprężenia:
σz = 0[6]

Teraz już pójdzie z górki, ponieważ wstawiamy powyższe równania do równań [1] , [2] oraz [3].

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E – ν*0/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*0/E [2]
εz = 0/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Po uproszczeniu:

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E [2]
εz = – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Wyciągamy σy z równania [2]:
σy/E = ν*(2*P / L²)/E
σy = ν*(2*P / L²)
i wstawiamy do równania [3] żeby obliczyć odkształcenie względne w kierunku pionowym:
εz = -ν * (2*P / L²)/E – ν/E * ν * (2*P /L²) = -ν*(2*P/L²)/E * (1+ν) =
= (1+ν)*ν*2*P / (E*L²)
Mnożąc

odkształcenie względne

przez

początkową wysokość L

obliczymy zmianę wysokości po przyłożeniu siły:
Δh = L*(1+ν)*ν*2*P / (E*L² ) = (1+ν)*ν *2*P / (E*L)
Prawda że łatwe?

Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim – zadanie 44

Witam wszystkich i dzisiaj obliczymy prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim. Niedawno coś omawialiśmy z ruchu płaskiego,

https://blog-student.com/kinematyka-zadanie-3-obliczenie-przyspieszenia-w-ruchu-plaskim/

a dzisiaj mamy takie zadanie:ruchplaski1 - Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim - zadanie 44
Pierścień toczy się wewnętrzną powierzchnią po powierzchni nieruchomego walca. W punkcie S znajduje się chwilowy środek obrotu. Toczenie bez poślizgu odbywa się z prędkością kątową ω. Średnica nieruchomego walca równa się r. Średnice wewnętrzna i zewnętrzna pierścienia wynoszą odpowiednio 2*r oraz 3*r. Oto jakie jest pytanie

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Jeżeli w punkcie S mamy chwilowy środek obrotu,to tym prościej będzie obliczyć prędkość punktu A – obliczymy ją właśnie

METODĄ CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU.

Idąc tą drogą prędkość jest iloczynem

prędkości kątowej pierścienia
oraz
odległości punktu A od chwilowego środka obrotu:
VA = ω * SA

Temat prędkości zamknięty czyli przechodzimy do przyspieszeń – tę sprawę załatwimy

METODĄ BIEGUNA.

Przypomnijmy, że

biegun

jest takim punktem charakterystycznym (ciała poruszającego się), którego ruch można łatwo opisać.
Tutaj za biegun obierzemy środek pierścienia ponieważ
– jest on punktem charakterystycznym
– jest oddalony od chwilowego środka obrotu o znaną odległość i ta odległość wynosi 2*r

Wobec tego przyspieszenie punktu A jest sumą wektorów:
– przyspieszenia bieguna czyli punktu O
– oraz przyspieszenia punktu A względem bieguna
__    __       ___
pA  =  pO  +  pA/O

Każdy z powyższych dwóch wektorów MOŻE ale nie musi składać się z dwóch składowych:
– stycznej
– i normalnej
__    ___    ___    ___        ____
pA  =  pOt  +  pOn  +  pA/Ot  +  pA/On

Prędkość kątowa pierścienia jest stała, a więc przyspieszenie styczne bieguna jest równe zero (prędkość liniowa bieguna nie zmienia się)
pOt = 0

Podobnie przyspieszenie styczne punktu A względem bieguna równa się zero – również prędkość liniowa punktu A względem bieguna nie zmienia się:
pA/Ot = 0

Jeżeli dwa składniki przyspieszenia punktu A równają się zero, to całe przyspieszenie:
__ ____ ____
pA = pOn + pA/On

Teraz obliczymy obie składowe przyspieszenia:
Przyspieszenie normalne bieguna jest iloczynem
prędkości kątowej pierścienia
oraz
odległości bieguna od chwilowego środka obrotu
pOn = ω * 2 * r

Przyspieszenie normalne punktu A względem bieguna równa się iloczynowi
prędkości kątowej pierścienia
oraz
odległości punktu A względem bieguna
pA/On = ω * 3 * r
Jak już obliczyliśmy składowe przyspieszenia, to dobrze będzie te dwa wektory narysować
ruchplaski2 - Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim - zadanie 44
i już można je zsumować , żeby otrzymać przyspieszenie punktu A. Ponieważ oba wektory są prostopadłe do siebie , to dodamy je

METODĄ RÓWNOLEGŁOBOKU:
pA = √(pOn² + pA/On²) = √[(ω*2*r)²+(ω*3*r)²] = ω*r *√13
Prawda że łatwe?

Wytrzymałość złożona – rama obciążona siłami

Witam ponownie i dzisiaj zadanie z wytrzymałości złożonej, w którym rama zostanie obciążona dwiema siłami. Niedawno ten temat był tutaj poruszany

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zlozona-zadanie-29/

ale dzisiaj coś trochę innego. zlozona20 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Na szkicu widzimy ramę w kształcie litery T wmurowaną z jednej strony w ścianę (naukowcy to nazywają utwierdzeniem) i obciążoną na pozostałych końcach dwiema pionowymi siłami P oraz 2*P. Oto co mówi autor zadania:

NARYSUJ WYKRESY SIŁ WEWNĘTRZNYCH

Dla porządku oznaczymy sobie punkty charakterystyczne – te literki A, B, C oraz D na czerwono zlozona21 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłamiW ten sposób powstały 3 przedziały: A-C , B-C oraz C-D.

Warto będzie przypomnieć, że (tak jak w wytrzymałości złożonej) w każdym z przedziałów MOGĄ (ale nie muszą ) wystąpić następujące rodzaje obciążeń czyli siły wewnętrzne, o które pyta autor:
– rozciąganie lub ściskanie
– zginanie
– skręcanie
– ścinanie
Lecimy po kolei i zaczynamy od przedziału najbardziej ZEWNĘTRZNEGO od ściany czyli na przykład
AC.
Aby wszystko było jaśniejsze zasłaniamy ramę w taki sposób, żeby widzieć tylko odcinek AC – ta czerwona koperta jest po to, żeby zasłonić całą resztę ramy

zlozona22 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Czy w odcinku AC występuje zginanie? Tak występuje, ponieważ siła P działa PROSTOPADLE do odcinka AC. Moment zginający w punkcie A:
MgA = 0
W punkcie C:
MgC = P * L

Czy występuje rozciąganie? Nie występuje, bo żadna siła nie działa WZDŁUŻ odcinka AC.

Czy występuje skręcanie? Nie występuje, ponieważ jedyna siła P PRZECINA odcinek AC.

Czy występuje ścinanie? Tak występuje , ponieważ siła P działa PROSTOPADLE do odcinka AC:
TAC = P

Odcinek AC załatwiony a więc przechodzimy do odcinka
BC
i działamy w analogiczny sposób
zlozona23 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

Czy w odcinku BC jest zginanie? Tak ponieważ siła 2*P działa PROSTOPADLE do odcinka BC. Moment zginający w punkcie B:
MgB = 0
W punkcie C:
MgC = 2*P * L

Czy występuje rozciąganie? Nie występuje, bo żadna siła nie działa WZDŁUŻ odcinka.

Czy odcinek BC jest skręcany? Nie ponieważ jedyna siła 2*P PRZECINA odcinek BC.

Czy występuje ścinanie? Tak występuje , ponieważ siła 2*P działa PROSTOPADLE do odcinka BC:
TBC = 2*P

Odcinki AC oraz BC są załatwione, a więc idziemy dalej w kierunku ściany czyli do odcinka
CD
Zasłaniamy ramę w taki sposób, żeby widzieć wszystko poza punktem D czyli ścianą do której rama jest przymocowana.

ZLOZONA24 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Widzimy wszystkie 3 odcinki ramy ale również siły P oraz 2*P, które na nią działają. Wobec tego w analogiczny sposób jak wcześniej opowiemy sobie , jakie obciążenia działają na odcinek CD.
Czy jest rozciąganie? Nie ma ponieważ żadna siła nie działa wzdłuż odcinka CD

Czy jest zginanie? Widzimy że jest, ponieważ obie siły działają  W POPRZEK odcinka CD. Spójrzmy na to wszystko z boku:

zlozona25 1024x484 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłamiMoment gnący w punkcie C :
MgC = 0
Moment gnący przy samej ścianie – tutaj obie siły działają na ramieniu L:
MgD = 2*P*L + P*L = 3*P*L

Czy jest ścinanie? Jest, ponieważ jedna i druga siła działa w poprzek odcinka CD.
TCD = 2*P + P = 3*P

Czy jest skręcanie? Tak ponieważ są siły które nie przecinają odcinka CD i jednocześnie nie są do odcinka CD równoległe (jest mowa o sile P oraz o sile 2*P).
MsCD = 2*P*L – P*L = P*L

Mając obliczone wszystkie obciążenia można narysować wykresy sił tnących oraz momentów gnących i skręcających – już ustaliliśmy, że w żadnym odcinku nie ma rozciągania. Po kolei wykres momentu zginającego

zlozona26 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

momentu skręcającego

zlozona27 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

oraz siły tnącej.

zlozona28 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

I to wszystko – prawda że łatwe.

Kratownica przestrzenna – zadanie 42

Witam ponownie i dzisiaj zajmiemy się kratownicą przestrzenną. Nie tak dawno było coś o kratownicach płaskich i tutaj sposób postępowania będzie analogiczny. Tak samo mamy pręty połączone przegubowo i tak samo kratownica jest w określony sposób obciążona. Różnica polega na umieszczeniu prętów w przestrzeni (zamiast na płaszczyźnie).
A więc mamy taką oto kratownicę:

kratownica1 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42
i autor zadania zadaje pytanie

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Po pierwsze  uwalniamy od więzów kratownicę jako CAŁOŚĆ czyli zastępujemy podpory siłami.

Chodzi oczywiście chodzi tutaj o podpory, którymi kratownica łączy się ze światem zewnętrznym czyli podłożem. Łatwo zobaczyć że kratownicę przymocowano do podłoża trzema podporami przesuwnymi oraz jedną stałą.
Zamiast podpory przesuwnej dajemy JEDNĄ REAKCJĘ (prostopadłą do powierzchni do której podpora jest zamocowana).

Zamiast podpory stałej dajemy REAKCJE PROSTOPADŁE WZDŁUŻ KAŻDEJ OSI.

kratownica2 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42

Po drugie piszemy równania równowagi statycznej dla kratownicy jako całości:
∑Pix = RBx + RD – F = 0
∑Piy = RBy = 0
∑Piz = (-RA) – RC – RBz = 0
∑Mix = RC * a = 0 ==> RC=0
∑Miy = F * a – RBz * a = 0
∑Miz = RBy * a + RD * a = 0

Jak widać z powyższych równań, dwie reakcje już mamy obliczone. Z ostatniego równania obliczymy reakcję w podporze D:
RBy + RD = 0
RD = (-RBy) = 0

Z przedostatniego równania obliczymy pionową reakcję w podporze B:
F * a = RBz * a
RBz = F

Z trzeciego równania obliczymy reakcję w podporze A:
RA = (-RC) – RBz = 0 – F = (-F)

Z pierwszego równania obliczymy poziomą reakcję w podporze B:
RBx = (-RD) + F = 0 + F = F

Po trzecie numerujemy wszystkie pręty po kolei od 1 do 9, bo tyle ich jest.

KRATOWNICA3 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42

Po czwarte mając obliczone wszystkie reakcje podpór obliczymy reakcje w prętach metodą RÓWNOWAŻENIA WĘZŁÓW.

Na początek wybieramy taki węzeł, z którego wychodzą TRZY pręty, ponieważ dla jednego węzła możemy napisać TRZY równania równowagi statycznej:
– suma rzutów sił na oś x
– suma rzutów sił na oś y
– suma rzutów sił na oś z
ponieważ każdy oddzielny węzeł jest PRZESTRZENNYM ZBIEŻNYM układem sił (wszystkie siły wychodzące z węzła zbiegają się w jednym punkcie).

kratownica4 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42

Wobec tego co powyżej wybieramy
wezeł B
i na początek i piszemy równania równowagi:
∑Pix = RBx – S1 – S7 * cos45° = 0
∑Piy = RBy – S2 = 0
∑Piz = S7 * sin45° – RBz = 0

Korzystając z wcześniej obliczonych reakcji:
RBy = 0, RBz = F, RBx = F
z drugiego równania obliczamy siłę w pręcie nr 2:
S2 = RBy = 0
z trzeciego równania obliczymy siłę w pręcie nr 7:
S7 * sin45° = RBz
S7 * sin45° = F
S7 = F : sin45°
Z pierwszego równania obliczymy siłę w pręcie nr 1
S1 = RBx – S7 * cos45° = F – F : sin45° * cos45° =
= F – F = 0

Analogiczne podejście do
węzła A:
∑Pix = S1 + S4 * cos45° = 0
∑Piy = S3 + S4 * sin45° = 0
∑Piz = S6 – RA = 0

Z pierwszego równania:
(-S1) = S4 * cos45°
S4 = (-S1) : cos45° = 0 : cos45° = 0

Z drugiego równania:
S3 = (-S4) * sin45° = 0 * sin45° = 0

Z trzeciego równania:
S6 = RA = (-F)

Kolejno przechodzimy do
węzła C
w którym mamy tylko dwie niewiadome
∑Pix = S5 = 0
∑Piy = S3 + S8 * sin45° = 0
i dlatego nie napiszemy sumy rzutów sił na oś z. Z drugiego równania obliczymy siłę w pręcie nr 8.
(-S3) = S8 * sin45°
S8 = (-S3) : sin45°= 0 : sin45° = 0

Pozostało obliczyć siłę w pręcie nr 9 i zrobimy to przy użyciu
węzła D
pisząc tylko jedno równanie równowagi:
∑Piy = (-S2) – S4 * cos45° – S9 * cosβ * cos45° = 0
(-S2) – S4 * cos45° = S9 * cosβ * cos45°
(-S2):cos45° – S4 = S9 * cosβ
S9 = (-S2):(cos45°*cosβ) – S4:cosβ
Tutaj pojawia się kąt β zawarty pomiędzy podstawa sześcianu (w którym mieści się kratownica) a prętem nr 9. Znając przekątną
sześcianu ( √2 * a ) i jego wysokość
(a) policzymy ten kąt z funkcji arcustangens:
β = arctg [a : (a*√2)] = 35°
W związku z tym siła w pręcie nr 9 wyniesie:
S9 = (-S2):(cos45°*cosβ) – S4:cosβ =
= 0 : (cos45°*cosβ) – 0:cosβ = 0

W ten sposób obliczyliśmy wszystkie siły w prętach. Prawda że łatwe?