Obliczenie połączenia nitowego – zadanie 15

To teraz może jakieś zadanie z obliczeń połączeń nitowych.scinanie1 - Obliczenie połączenia nitowego - zadanie 15

Tak jak widać na powyższym obrazku, 2 blachy połączono przy pomocy 3 nitów. Do blach przyłożono 2 siły próbując to wszystko rozerwać.

Autor pyta się 

JAKIE BĘDZIE NAPRĘŻENIE ŚCINAJĄCE W NITACH 

podając jednocześnie wartość siły F oraz średnice nitów d.

scinanie2 - Obliczenie połączenia nitowego - zadanie 15

Jeżeli siła F będzie zbyt duża, to może dojść do zniszczenia połączenia – nity zwyczajnie się zetną.

scinanie3 - Obliczenie połączenia nitowego - zadanie 15

To co widać powyżej to po ścięciu nitów lewa blacha poleciała w lewo, a prawa blacha poleciała w prawo.

Istotna jest powierzchnia ścinana – w tym przypadku to są 3 powierzchnie ścinane oznaczone trzema niebieskimi kółkami. Przekrój ściętych nitów jest równy trzem powierzchniom kół o średnicy nitu:

At = 3 * 1/4 * * d²

Naprężenie ścinające wyraża się ilorazem siły F przez powierzchnie ścinane:

= F : At

Mówiąc innymi słowami zaprojektowanie wytrzymałego połączenia polega na dobraniu takiego przekroju nitów, żeby naprężenia styczne nie przekroczyły dopuszczalnych dla danego materiału.

Trójkierunkowy stan naprężenia sześcianu- wytrzymałość – zadanie 14

Wcześniej omawialiśmy podstawy uogólnionego prawa Hooke’a i trójkierunkowy stan naprężenia,

Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy

a teraz jakieś zadanie w tym temacie z sześcianem pomiędzy dwiema nieodkształcalnymi ścianami:

Między 2 nieodkształcalne ściany wciśnięto sześcian o boku a. Sześcian jest materiału który może się odkształcić. Różnica między szczeliną między ścianami o długością boku sześcianu wynosi d. Dany jest moduł Younga i stała Poissona dla materiału sześcianu.

Pytają się o nacisk jednostkowy sześcianu na obie ściany , po tym jak go wcisnęli między te ściany.

rozciaganie51 - Trójkierunkowy stan naprężenia sześcianu- wytrzymałość - zadanie 14

Sprawa jest prosta, ponieważ trzeba sześcian ścisnąć o d zeby go wsunąć
miedzy 2 ściany.
Warto sobie obrać układ współrzędnych i niech osie ”x” i ”y” będą leciały równolegle do ściany (jedna w pionie druga w poziomie), a oś ”z” będzie do ścian prostopadła.

Po pierwsze

Na początek piszemy 3 równania opisujące trójkierunkowy stan naprężenia sześcianu
εx = σx/E – ν*σy/E – ν*σz/E [1]
εy = σy/E – ν*σx/E – ν*σz/E [2]
εz = σz/E – ν*σx/E – ν*σy/E [3]
i tak jak wcześniej mówiliśmy te 3 równania ZAWSZE wystąpią w tego typu zadaniach.

I teraz jak spojrzymy na nie dokładniej to widać że mamy 6 niewiadomych:
– odkształcenia względne wzdłuż 3 osi – εx,  εy , εz
– naprężenia wzdłuż 3 osi – σx , σy , σz
I teraz to zaczyna być logiczne, że potrzebujemy 6 równań żeby policzyć 6 niewiadomych. A ponieważ już mamy 3 (te powyżej) , to musimy wymyśleć 3 dodatkowe.

I teraz będzie część druga

Wiadomo że wzdłuż osi równoległych do ściany naprężenie wynosi ZERO, ponieważ na 4 powierzchnie nie stykające się ze ścianami  nic nie naciska.
σx = σy = 0 [4] i [5]
Wiadomo że w kierunku ”z” sześcian został ściśnięty o d na długości jego boku czyli a. To teraz obliczymy odkształcenie względne w kierunku ”z”:
εz = d/a [6]

Po trzecie – to już czysta matematyka
Mamy teraz 6 równań i 6 niewiadomych i wstawimy równania [4] , [5] i [6] do równań [1] , [2] oraz [3]. I dalej pójdzie z górki:
εx = 0/E – ν*0/E – ν*σz/E [1]
εy = 0/E – ν*0/E – ν*σz/E [2]
d/a = σz/E – ν*0/E – ν*0/E [3]
Po uproszczeniu to wygląda trochę lepiej:
εx =  – ν*σz/E [1]
εy = – ν*σz/E [2]
d/a = σz/E [3]

Z równania [3] obliczymy naprężenie w kierunku ”z” czyli nacisk jednostkowy na ściany:
σz = E * d/a

i o to pytał się autor zadania.
Dodatkowo z równań [1] i [2] obliczymy odkształcenia względne w kierunkach równoległych do ściany:
εy = εx = -ν*σz/E = -ν * ( E * d/a ) / E =  -ν * ( d/a )

Prawda że proste?

Jak obliczyć przyspieszenie kątowe – podstawy

Dzisiaj będzie krótko i treściwie, ale sprawa jest istotna – jak obliczyć przyspieszenie kątowe ?:

Przy okazji omawiania podstaw pisaliśmy o przyspieszeniu liniowym  które oznacza zmianę prędkości w czasie i dotyczy ruchu postępowego.

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

A jak to wygląda w przypadku ruchu obrotowego?

 

Po pierwsze

Położeniu w ruchu obrotowym odpowiada KĄT (wyrażony w radianach [rad]).

 

Po drugie

Prędkości w ruchu obrotowym odpowiada PRĘDKOŚĆ KĄTOWA (wyrażona w radianach na sekundę [rad/s]) i oznacza zmianę położenia kątowego w czasie:

=  / t

gdzie:

Δ∝ – zmiana położenia kątowego czegoś tam na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana położenia nastąpiła

 

Przyspieszeniu w ruchu obrotowym odpowiada PRZYSPIESZENIE KĄTOWE (wyrażone w radianach na sekundę do kwadratu [rad/s2] i oznacza zmianę prędkości kątowej w czasie:

=  / t

gdzie:

Δω – zmiana prędkości kątowej czegoś co się obraca – na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana prędkości kątowej nastąpiła

Skręcanie – wytrzymałość materiałów – zadanie 13

Ponownie wytrzymałość materiałów i dzisiaj będzie o skręcaniu wału. Poniżej mamy taki przykład:shaft for torsing - Skręcanie - wytrzymałość materiałów - zadanie 13

Jak widać posiada on zmienną średnicę a poza tym na początkowym odcinku jest drążony. Teraz jak może wyglądać zadanie ze skręcania wału:skrecanie1 - Skręcanie - wytrzymałość materiałów - zadanie 13

Wał został umieszczony pomiędzy dwiema ścianami – do lewej ściany jest on sztywno przymocowany i do prawej ściany również jest sztywno przymocowany. To przymocowanie często nazywają UTWIERDZENIEM albo WMUROWANIEM. Widać jego długości i średnice i widać również, że można go podzielić na 3 przedziały:

– lewy przedział DRĄŻONY o średnicy zewnętrznej 2*D

– drugi środkowy przekrój PEŁNY o średnicy zewnętrznej 2*D

– trzeci prawy przedział o średnicy D

Zauważmy, że na granicy pierwszego i drugiego przedziału przyłożono moment. Autor zadania chce żebyśmy narysowali wykresy momentów i naprężeń skręcających.

I teraz jak się zabrać do takiego zadania z wytrzymałości ze skręcania:

 

1. Uwalniamy wał od więzów

czyli ZASTĘPUJEMY ŚCIANY MOMENTAMI UTWIERDZENIA MA oraz MB. 

skrecanie2 - Skręcanie - wytrzymałość materiałów - zadanie 13

Jak już wiadomo uwalnianie od więzów to tradycja przy wielu zadaniach z wytrzymałości.

 

2. Tak się składa że mamy skręcanie wału, a więc piszemy jakie będą momenty w poszczególnych przedziałach.

I jedziemy po kolei:

Zasłaniamy większą część wału tak, żeby widzieć tylko kawałek pierwszego lewego przedziału.

skrecanie3 - Skręcanie - wytrzymałość materiałów - zadanie 13

Widzimy tylko moment utwierdzenia w lewej ścianie:

Ms1 = MA

To samo z drugim przedziałem – odsłaniamy cały lewy przedział i kawałek drugiego – widzimy moment utwierdzenia w lewej ścianie i przyłożony momentskrecanie4 - Skręcanie - wytrzymałość materiałów - zadanie 13

Ms2 = MA + M

To samo widać w przypadku trzeciego przedziału:skrecanie5 - Skręcanie - wytrzymałość materiałów - zadanie 13

Ms3 = MA + M

 

3. Piszemy równanie równowagi

sumę momentów względem osi wału:

Mix = MA + M + MD = 0

Jak widać mamy równanie z dwiema niewiadomymi (momenty utwierdzenia MA i MD) a więc jest to zadanie STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE – potrzebujemy jeszcze jedno równanie oprócz równania równowagi. Wobec tego przechodzimy do punktu czwartego:

 

4. Piszemy równanie geometryczne:

1 + 2 + 3 = 0

To znaczy dokładnie tyle, że jeżeli pierwszy przedział zostanie skręcony o 1 stopień i drugi przedział zostanie skręcony również o 1 stopień, to trzeci przedział musi się skręcić o MINUS 2 stopnie ponieważ lewa ściana i prawa ściana zawsze będą stały nieruchomo.

 

5. Liczymy biegunowe momenty bezwładności przekrojów w kolejnych przedziałach 

to jest taka wielkość przekroju wałka która dotyczy skręcania i w której jest zawarta jego średnica:

Jo1 = * (2*D): 32 –  * D4 : 32 = /32 * (16*D4 – D4 ) =

/32 * 15*D4 = 15/32 * * D4

 

Jo2 = * (2*D)4 : 32 = 16/32 * * D4 = 0,5 * * D4

Jo3 = * D4 : 32

 

6. Do równania geometrycznego trzeba wmontować prawo Hooke dla skręcania.

Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy

Dla kolejnych przedziałów zgodnie z prawem Hooke’a kąty skręcenia wału wyniosą:

 

Ms1 * L      MA * L * 32

1 = ————- = ———————–

G * Jo1    G * 15 * * D4

 

Ms2 * L     (MA+M) * L * 2

2 = ————- = ———————–

G * Jo2      G * * D4

 

Ms3 * L    (MA+M) * L * 32

3 = ————- = ————————

G * Jo3     G * * D4

 

Wszystkie 3 powyższe równania wstawiamy do równania geometrycznego:

 

MA * L * 32     (MA+M) * L * 2      (MA+M) * L * 32

—————– + ———————— + ————————- =0

G*15**D4       G * * D4          G * * D4

 

Teraz to wszystko można uprościć dzieląc obie strony przez L oraz mnożąc przez G * * D4

MA * 32/15 + (MA+M) * 2 + (MA+M) * 32 = 0

I jak opuścimy nawiasy:

MA*32/15 + MA*2 + M*2 + MA*32 + M*32 = 0

to pozostanie uprościć i tak już proste równanie:

MA*36,1 + M*34 = 0

MA*36,1 = (-M)*34

Wobec tego moment utwierdzenia w lewej ścianie:

MA = (-0,94)*M

 

7. Wstawiamy obliczony moment utwierdzenia do momentów skręcających w poszczególnych przedziałach:

Ms1 = MA = (-0,94)*M

Ms2 = MA + M = (-0,94)*M + M = 0,06*M

Ms3 = MA + M = 0,06*M

I teraz można już narysować wykres momentów:

skrecanie6 - Skręcanie - wytrzymałość materiałów - zadanie 13

8. Obliczamy wskaźniki wytrzymałości przekrojów na skręcanie 

dzielimy obliczony wcześniej biegunowy moment bezwładności przez maksymalny promień przekroju (jeżeli pierwszy przedział ma średnicę 2*D to maksymalny promień będzie D):

Wo1 = Jo1 : rmax = 0,47 * * D4 : D = 0,47 * * D3

Wo2 = Jo2 : rmax = 0,5 * * D4 : D = 0,5 * * D3

Wo3 = Jo3 : rmax = 0,031 * * D4 : (0,5*D) = 0,062 * * D3

 

9. Obliczamy naprężenia skręcające, które są iloczynem momentu przez wskaźnik:

s1 = Ms1 : Wo1 = (-0,94*M) : (0,47 * * D3 ) = (-0,64) * M/D3

s2 = Ms2 : Wo2 = 0,06*M : (0,5 * * D3 ) = 0,038 * M/D3

s3 = Ms3 : Wo3 = 0,06*M : (0,062 * * D3 ) = 0,31 * M/D3

skrecanie7 - Skręcanie - wytrzymałość materiałów - zadanie 13

I po narysowaniu wykresów widać jak prosty jest to temat

Prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy

Witam i dzisiaj będzie o prawie Hooke’a dla skręcania. O prawie Hooke dla rozciągania to już było na samym początku zabawy z wytrzymałością materiałów:

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy

Tutaj przypomnimy sobie jak to po kolei wygląda:

 

                        siła * długość pręta

wydłużenie = ———————————————
moduł Younga * pole przekroju

 

Można zauważyć pewną analogię, jeżeli spojrzymy na odmianę tego samego prawa dla skręcania. Podobnie odnosimy się do pręta, jednak w tym przypadku jest on skręcany:

 

                                moment skręcający * długość pręta
kąt skręcenia      = —————————————————–
G * Jo

 

gdzie:
G – moduł sprężystości postaciowej
Jo – biegunowy moment bezwładności

 

To teraz proponuję spojrzeć powyżej na jeden i drugi wzór:
– kąt skręcenia odpowiada wydłużeniu,
–  moment odpowiada sile,
– moduł sprężystości postaciowej odpowiada modułowi Younga,
– biegunowy moment bezwładności odpowiada przekrojowi.

Moduł sprężystości postaciowej to jest taka właściwość MATERIAŁU, która odpowiada za jego sprężystość podczas skręcania na przykład wałka. Biegunowy moment bezwładności dotyczy przekroju poprzecznego wałka, jego kształtu oraz wymiarów.

Następnym razem zastosujemy to prawo w zadaniu.