Przyspieszenia poruszających się mas – zadanie 7

Witam ponownie i ponownie mamy proste zadanko z dynamiki, w którym obliczymy przyspieszenia poruszających się mas:

Do nieważkiego bębna o promieniu r przyłożono moment Mo. Na obu końcach cięgna nawiniętego na bęben zawieszono 2 masy m. Pomiędzy cięgnem a bębnem nie ma poślizgu.

dynamika4 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Autor zadaje pytanie:

Ile wyniosą przyspieszenia poruszających się mas?

 

Tyle wiadomo  teraz żeby się do tego zabrać to na wstępie:

Po pierwsze:

Trzeba założyć, w jaki sposób to wszystko się będzie poruszać.

Przyłożony moment obraca kołem zgodnie ze wskazówkami zegara, czyli można się domyśleć, że lewe pudło pojedzie w górę, a prawe pudło będzie zjeżdżać w dół. Ponieważ oba pudła są połączone nierozciągliwą liną, to jedno i drugie pudło będzie się poruszać z takim samym przyspieszeniem.

W drugim kroku:

Trzeba uwolnić od więzów wszystkie ciała, które mają masę

czyli to będzie lewe pudło i prawe pudło.dynamika5 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Uwalniamy od więzów, czyli zastępujemy linę siłą napięcia S1. Ciało posiada masę i dlatego w środku ciężkości przykładamy siłę ciężkości m*g. Z poprzedniego kroku zakładamy przyspieszenie ciała w górę.

Trzeci krok :

Jeżeli pudło uwolniliśmy od więzów to teraz piszemy równania dynamiczne pochodzące z II prawa dynamiki Newtona
ILOCZYN MASY CIAŁA I JEGO PRZYSPIESZENIA RÓWNA SIĘ SUMIE PRZYŁOŻONYCH DO NIEGO SIŁ.

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Należy zaznaczyć że siły leżą na kierunku przyspieszenia:
m * p = S1 – m*g [1]

dynamika6 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Analogicznie postępujemy z drugim pudłem czyli siłę w linie zastępujemy siłą S2 i przykładamy ciężar m*g. Równianie dynamiczne przyjmie postać:

m * p = m*g – S2 [2]

Mamy 2 równania dynamiczne i teraz liczymy niewiadome:
p , S1 , S2
czyli 3 niewiadome i 2 równania a więc

Czwarty krok:

Potrzebne jest dodatkowe równanie dynamiczne lub kinematyczne.

I tutaj warto wykorzystać krążek, do którego przyłożono moment – dla niego napiszemy równanie dynamiczne dla ruchu obrotowego:

dynamika3 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

J * e = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

Wiadomo że:

moment bezwładności krążka wynosi zero, ponieważ krążek jest nieważki:
J = 0

i wiadomo, jaka jest relacja między przyspieszeniami poruszających się mas:
– kątowym bębna
– i liniowym pudła:
p = ε * r
I z tego obliczymy przyspieszenie kątowe krążka:
ε = p : r
I teraz to co powyżej wstawiamy do równania [3]:
0 * p/r = S2 * r + Mo – S1 * r

0 = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

To jak już mamy 3 równania, to przyszła pora na

Piąty krok

Mamy układ 3 równań i z nich obliczamy przyspieszenia poruszających się mas.

Przyrównujemy stronami równania [1] i [2]:
S1 – m*g = m*g – S2
S1 = 2*m*g – S2 [1+2]

Z równania [3] wyciągamy siłę w linie S1:
S1 * r = S2 * r + Mo
S1 = S2 + Mo/r  [3]

Równania [1+2] oraz [3] odejmujemy stronami:
S1 – S1 = 2*m*g – S2 – S2 – Mo/r
0 = 2*m*g – 2*S2 – Mo/r
0 = m*g – S2 – 0,5*Mo/r
S2 = m*g – 0,5*Mo/r

Z równania [1] wyciągamy p, podstawiamy obliczone powyżej S2 i od razu dostajemy szukane przyspieszenie obu mas:
p = g – S2/m = g – ( m*g – 0,5*Mo/r )/m = 0,5*Mo/(r*m)

Dynamika – tarcie statyczne – zadanie 6

To może teraz zadanie z dynamiki w którym występuje tarcie statyczne:

NA POZIOMYM STOLE NA KARTCE LEŻY PUDEŁKO O MASIE m. WSPÓŁCZYNNIK TARCIA MIĘDZY KARTKĄ I PUDEŁKIEM WYNOSI µdynamika1 - Dynamika - tarcie statyczne - zadanie 6

I jak wiemy co tu się dzieje to teraz jest takie pytanie:

Z JAKIM PRZYSPIESZENIEM NALEŻY RUSZYĆ KARTKĄ, ŻEBY PUDEŁKO ZJECHAŁO Z KARTKI?

Czyli tradycyjnie:

  1. Uwalniamy pudełko od więzów,

czyli zastępujemy kartkę siłami:

– nacisku

– i tarcia ponieważ jest dany współczynnik tarcia 

dynamika2 - Dynamika - tarcie statyczne - zadanie 6

Siła tarcia jest w tą stronę co przyspieszenie ponieważ pudełko będzie chciało zjechać w stronę przeciwną – siła tarcia jest zawsze przeciwna do ruchu który ma nastąpić – przeszkadza ruchowi.

No i teraz piszemy:

2. Równanie dynamiczne

Równanie w kierunku zgodnym z przyspieszeniem:

m * p = N * µ [1] 

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Równanie w kierunku prostopadłym do przyspieszenia:

m * 0 = N – m*g [2]

Z drugiego równania obliczamy nacisk:

N = m*g

i wstawiamy do równania [1]:

m * p = m * g * µ

Dzielimy obie strony równania przez m i dostajemy przyspieszenie z jakim należy ruszyć kartką żeby pudełko zjechało z kartki:

p = g * µ 

I to jest odpowiedź na postawione pytanie. Prawda że proste?

Rozciąganie pręta – zadanie statycznie niewyznaczalne

Poprzednio rozpoczęliśmy podstawy wytrzymałości

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy a teraz może zadanie z rozciągania pręta i do tego statycznie niewyznaczalne:

rozciaganie1 - Rozciąganie pręta - zadanie statycznie niewyznaczalne

  Mamy dane przekroje pręta A, moduł Younga E, siłę P i długość l. Pytają się o reakcje utwierdzenia w suficie i podłodze

O co tutaj chodzi?

Ktoś wziął pręt o zmiennym przekroju, jednym końcem przyspawał do podłogi, a górnym końcem przyspawał do sufitu. Jak widać na rysunku całą wysokość pręta podzielono na 3 przedziały i na granicy pierwszego i drugiego oraz drugiego i trzeciego przedziału przyłożono siły 4*P oraz P.

Po pierwsze uwalniamy słup od więzów, czyli zastępujemy sufit i podłogę siłami utwierdzenia obojętnie w którą stronę, ale później się tego trzymamy.

Gdy są już reakcje utwierdzenia to można napisać:

Sumę rzutów sił na oś y, która leży w pionie (w osi słupa):

Piy = P + S1 – 4*P – S2 = 0

Przyjmujemy że siła do góry jest z PLUSEM a siła w dół jest z MINUSEM. Potem można powyższe równanie uprościć i dostaniemy to co poniżej:

Piy = S1 – 3*P – S2 = 0 (1)

W tym równaniu są 2 niewiadome: S1 i S2 czyli to zadanie jest statycznie niewyznaczalne.

Aby je obliczyć musi być kolejne równanie – tym razem GEOMETRYCZNE mówiące, że

suma wydłużeń poszczególnych odcinków (a są trzy i każdy o długości l) musi być równa ZERO.

To jest tak, że jak pierwszy odcinek wydłuży się o 1mm i drugi odcinek wydłuży się o 2mm, to w wyniku tego trzeci odcinek skróci się o 3mm. A to dlatego że odległość między podłogą i sufitem zawsze będzie 3*l:

l1 + l2 + l3 = 0

gdzie l to poszczególne wydłużenia poszczególnych odcinków

Teraz trzeba użyć prawa Hooke’a, które ściśle wiąże się z rozciąganiem pręta. Mówi ono że:

siła * długość pręta

wydłużenie      =    ————————————————————————–

moduł Younga * pole przekroju

Ponieważ mamy 3 przedziały, to w każdym z nich musimy określić siłę rozciągającą pręt czyli siłę normalną. Żeby sobie ułatwić to można użyć kawałka kartki, którym będziemy zakrywać część słupa.

Dla pierwszego przedziału (patrząc od góry) zakrywamy tak, żeby widzieć kawałek tego pierwszego przedziału.

Teraz przepisujemy siły, które widzimy – no i widzimy S1:

N1 = S1

Następnie odsłaniamy trochę więcej słupa w taki sposób, żeby widzieć pierwszy przedział (licząc od góry) i kawałek drugiego przedziału. I oto co widzimy:

N2 = S1 – 4*P

W kolejnym kroku odsłaniamy jeszcze więcej słupa, tak żeby całkowicie widzieć pierwszy i drugi przedział (licząc od góry) oraz kawałek trzeciego. Siły normalne w trzecim przedziale:

N3 = S1 – 4*P + P = S1 – 3*P

Teraz już mając siły w poszczególnych przedziałach (N), długości tych przedziałów (l), moduł Younga (E) oraz przekroje (A) w każdym z przedziałów można to wszystko wstawić do prawa Hooke i równania geometrycznego:

 

N1*l             N2*l              N3*l

———- + ————– + ————- = 0

E*2*A         E*2*A            E*A

 

Po wstawieniu wartości sił normalnych wyjdzie coś takiego:

 

S1*l            (S1-4*P)*l            (S1-3*P)*l

———- + ——————– + ——————– = 0

E*2*A              E*2*A                   E*A

 

Teraz dobrze będzie to wszystko uprościć, czyli mnożymy obie strony przez (E*A) i dzielimy przez l:

 

S1             (S1-4*P)        S1-3*P

—– + —————— + —————- = 0 (2)

2                   2                    1

 

Z tego wszystkiego można wyciągnąć reakcję utwierdzenia S1:

2*S1 = 5*P

S1 = 2,5*P

Reakcję S1 wstawiamy do sumy rzutów na oś y i obliczamy z tego S2:

S1 – 3*P – S2 = 0

S1 – 3*P = S2

S2 = 2,5*P – 3*P = (-0,5*P)

Reakcje utwierdzenia wynoszą: S1 = 2,5*P oraz S2 = (-0,5*P).

To nie jest jedyny typ zadania statycznie niewyznaczalnego (z rozciągania prętów) ale o tym innym razem

 

Rozciąganie i prawo Hooke’a – wytrzymałość materiałów – podstawy

Nie tak dawno omawialiśmy podstawy mechaniki, a teraz dobrze będzie płynnie przejść do wytrzymałości materiałów, a dokładnie do prawa Hooke’a.

Wytrzymałość wcale nie jest tak skomplikowana jak niektórzy ją malują i zajmuje się:

–  siłami działającymi na ciała

– i wywołanymi tym naprężeniami i odkształceniami.

Można tę wiedzę podzielić na kilka prostych rozdziałów:

– rozciąganie

– zginanie

– skręcanie

– ścinanie

Z ROZCIĄGANIEM jest bardzo prosto, bo to jest tak jakbyśmy złapali za 2 końce sznurka (albo jeszcze lepiej gumy) i próbowali go rozerwać. I zanim się uda go rozerwać to na początku delikatnie się rozciągnie, chociaż może na oko tego nie widać (albo widać jeżeli weźmiemy gumę).

I tu dochodzimy do bardzo ważnego prawa HOOKE’a , które opisuje:

O ILE ROZCIĄGNIE SIĘ COŚ POD WPŁYWEM SIŁY ROZCIĄGAJĄCEJ S.

To o ile się rozciągnie nazywają wydłużeniem. W najprostszym ujęciu wydłużenie jest równe:

 

                  S * L

l  =  —————-

          E * A

 

gdzie:

L – długość sznurka albo gumy lub pręta

E – moduł Younga

A – przekrój poprzeczny

Długość sznurka nie wymaga komentarza ale należy powiedzieć słowo o module Younga, który opisuje sprężystość materiału. Jeden materiał można łatwo rozciągać (jak na przykład guma), a inny materiał nie bardzo się nadaje do rozciągania – na przykład beton. No i na końcu mamy przekrój poprzeczny czyli pole przekroju.

To tyle wstępu na temat ROZCIĄGANIA a następnym razem zrobimy jakieś proste zadanie z prawa Hooke’a, żeby to jeszcze lepiej zrozumieć.

Ruch płaski – przyspieszenie – kinematyka – zadanie 4

Kilka wpisów wcześniej zajmowaliśmy się prędkością, a dzisiaj opowiemy sobie jak obliczyć przyspieszenie w ruchu płaskim.

No to mamy zadanie następujące:

OBLICZYĆ PRZYSPIESZENIE PUNKTU A WALCA O PROMIENIU r PORUSZAJĄCEGO SIĘ RUCHEM PŁASKIM

Tutaj będzie znacznie lepsza zabawa niż przy obliczaniu prędkości punktu i dlatego, zanim przejdziemy do zadania, trzeba się odwołać do podstaw:

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

Załóżmy czy COŚ jedzie po okręgu o promieniu R i z prędkością Vp i wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne przyspieszenia:

PRZYSPIESZENIE STYCZNE – którego wektor jest STYCZNY do toru ruchu (czyli śladu który robi punkt kiedy sobie jedzie – jak jedzie po łuku to robi łuk). Jest ono równe – UWAGA – pochodnej prędkości po czasie, a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość się nie zmienia to przyspieszenie styczne jest równe zero.

PRZYSPIESZENIE NORMALNE  którego wektor jest skierowany do środka łuku i jest ono równe:
pn = Vp² : R

Streszczając to co jest napisane w powyższych 2 punktach

przyspieszenie styczne występuje kiedy prędkość się zmienia (dokładnie mówiąc wartość prędkości),

a przyspieszenie normalne występuje gdy ciało porusza się po łuku.

mechanika wstep 4 - Ruch płaski - przyspieszenie - kinematyka - zadanie 4

Jak już wiadomo jakie są rodzaje przyspieszeń, to można obliczyć przyspieszenie punktu A i zrobimy to METODĄ BIEGUNA.

A co to znaczy METODA BIEGUNA?

pa = po + pa/o
Znaczy to tyle, że przyspieszenie punktu A jest sumą 2 wektorów:
– WEKTORA przyspieszenia środka – punktu O – w tym przypadku punkt O wybraliśmy jako BIEGUN
– oraz WEKTORA przyspieszenia punktu A względem środka

I żeby było jeszcze śmieszniej to każdy z powyższych 2 wektorów MOŻE (ALE NIE MUSI) mieć składową styczną i składową normalną. To teraz można zapisać to wszystko w jednym równaniu (oczywiście wektorowo):
pa = pot + pon + pa/ot + pa/on
Przyspieszenie styczne środka będzie równe zero
pot = 0
ponieważ koło jedzie w prawo ze stałą prędkością.

Podobnie przyspieszenie styczne punktu A względem środka będzie równe zero
pa/ot = 0
ponieważ punkt A porusza się względem środka ze stałą prędkością.

Wobec tego sumaryczne przyspieszenie punktu A wyniesie (wektorowo):
pa = pon + pa/on
To teraz trzeba obliczyć poszczególne składniki:
Przyspieszenie normalne środka:
pon = ω² * r
Analogicznie obliczymy przyspieszenie punktu A względem środka:
pa/on = ω² * r

kinematyka1 - Ruch płaski - przyspieszenie - kinematyka - zadanie 4

A więc mamy 2 wektory przyspieszenia i teraz musimy je dodać.
Najprościej będzie to zrobić METODĄ RÓWNOLEGŁOBOKU:
Ustawiamy oba wektory tak, że wychodzą z jednego punktu (wierzchołka równoległoboku) i teraz widać, że tym równoległobokiem (w tym przypadku) jest zwykły prostokąt.

kinematyka2 - Ruch płaski - przyspieszenie - kinematyka - zadanie 4

Suma obu wektorów będzie przekątną wychodzącą z tego samego wierzchołka co 2 pozostałe. I teraz widać, że można do tego użyć twierdzenia Pitagorasa. Wobec tego

PRZYSPIESZENIE PUNKTU A WALCA PORUSZAJĄCEGO SIĘ RUCHEM PŁASKIM WYNIESIE:
pa = √[pon² + pa/on² ]

 

Czyli podsumowując:

  • najpierw obliczamy poszczególne składowe przyspieszenia
  • a następnie dodajemy wektory składowych i suma będzie przyspieszeniem punktu