Kratownica przestrzenna – zadanie 42

Witam ponownie i dzisiaj zajmiemy się kratownicą przestrzenną. Nie tak dawno było coś o kratownicach płaskich i tutaj sposób postępowania będzie analogiczny. Tak samo mamy pręty połączone przegubowo i tak samo kratownica jest w określony sposób obciążona. Różnica polega na umieszczeniu prętów w przestrzeni (zamiast na płaszczyźnie).
A więc mamy taką oto kratownicę:

kratownica1 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42
i autor zadania zadaje pytanie

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Po pierwsze  uwalniamy od więzów kratownicę jako CAŁOŚĆ czyli zastępujemy podpory siłami.

Chodzi oczywiście chodzi tutaj o podpory, którymi kratownica łączy się ze światem zewnętrznym czyli podłożem. Łatwo zobaczyć że kratownicę przymocowano do podłoża trzema podporami przesuwnymi oraz jedną stałą.
Zamiast podpory przesuwnej dajemy JEDNĄ REAKCJĘ (prostopadłą do powierzchni do której podpora jest zamocowana).

Zamiast podpory stałej dajemy REAKCJE PROSTOPADŁE WZDŁUŻ KAŻDEJ OSI.

kratownica2 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42

Po drugie piszemy równania równowagi statycznej dla kratownicy jako całości:
∑Pix = RBx + RD – F = 0
∑Piy = RBy = 0
∑Piz = (-RA) – RC – RBz = 0
∑Mix = RC * a = 0 ==> RC=0
∑Miy = F * a – RBz * a = 0
∑Miz = RBy * a + RD * a = 0

Jak widać z powyższych równań, dwie reakcje już mamy obliczone. Z ostatniego równania obliczymy reakcję w podporze D:
RBy + RD = 0
RD = (-RBy) = 0

Z przedostatniego równania obliczymy pionową reakcję w podporze B:
F * a = RBz * a
RBz = F

Z trzeciego równania obliczymy reakcję w podporze A:
RA = (-RC) – RBz = 0 – F = (-F)

Z pierwszego równania obliczymy poziomą reakcję w podporze B:
RBx = (-RD) + F = 0 + F = F

Po trzecie numerujemy wszystkie pręty po kolei od 1 do 9, bo tyle ich jest.

KRATOWNICA3 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42

Po czwarte mając obliczone wszystkie reakcje podpór obliczymy reakcje w prętach metodą RÓWNOWAŻENIA WĘZŁÓW.

Na początek wybieramy taki węzeł, z którego wychodzą TRZY pręty, ponieważ dla jednego węzła możemy napisać TRZY równania równowagi statycznej:
– suma rzutów sił na oś x
– suma rzutów sił na oś y
– suma rzutów sił na oś z
ponieważ każdy oddzielny węzeł jest PRZESTRZENNYM ZBIEŻNYM układem sił (wszystkie siły wychodzące z węzła zbiegają się w jednym punkcie).

kratownica4 - Kratownica przestrzenna - zadanie 42

Wobec tego co powyżej wybieramy
wezeł B
i na początek i piszemy równania równowagi:
∑Pix = RBx – S1 – S7 * cos45° = 0
∑Piy = RBy – S2 = 0
∑Piz = S7 * sin45° – RBz = 0

Korzystając z wcześniej obliczonych reakcji:
RBy = 0, RBz = F, RBx = F
z drugiego równania obliczamy siłę w pręcie nr 2:
S2 = RBy = 0
z trzeciego równania obliczymy siłę w pręcie nr 7:
S7 * sin45° = RBz
S7 * sin45° = F
S7 = F : sin45°
Z pierwszego równania obliczymy siłę w pręcie nr 1
S1 = RBx – S7 * cos45° = F – F : sin45° * cos45° =
= F – F = 0

Analogiczne podejście do
węzła A:
∑Pix = S1 + S4 * cos45° = 0
∑Piy = S3 + S4 * sin45° = 0
∑Piz = S6 – RA = 0

Z pierwszego równania:
(-S1) = S4 * cos45°
S4 = (-S1) : cos45° = 0 : cos45° = 0

Z drugiego równania:
S3 = (-S4) * sin45° = 0 * sin45° = 0

Z trzeciego równania:
S6 = RA = (-F)

Kolejno przechodzimy do
węzła C
w którym mamy tylko dwie niewiadome
∑Pix = S5 = 0
∑Piy = S3 + S8 * sin45° = 0
i dlatego nie napiszemy sumy rzutów sił na oś z. Z drugiego równania obliczymy siłę w pręcie nr 8.
(-S3) = S8 * sin45°
S8 = (-S3) : sin45°= 0 : sin45° = 0

Pozostało obliczyć siłę w pręcie nr 9 i zrobimy to przy użyciu
węzła D
pisząc tylko jedno równanie równowagi:
∑Piy = (-S2) – S4 * cos45° – S9 * cosβ * cos45° = 0
(-S2) – S4 * cos45° = S9 * cosβ * cos45°
(-S2):cos45° – S4 = S9 * cosβ
S9 = (-S2):(cos45°*cosβ) – S4:cosβ
Tutaj pojawia się kąt β zawarty pomiędzy podstawa sześcianu (w którym mieści się kratownica) a prętem nr 9. Znając przekątną
sześcianu ( √2 * a ) i jego wysokość
(a) policzymy ten kąt z funkcji arcustangens:
β = arctg [a : (a*√2)] = 35°
W związku z tym siła w pręcie nr 9 wyniesie:
S9 = (-S2):(cos45°*cosβ) – S4:cosβ =
= 0 : (cos45°*cosβ) – 0:cosβ = 0

W ten sposób obliczyliśmy wszystkie siły w prętach. Prawda że łatwe?

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *