Momenty gnące belkę i siły tnące w belce – zadanie 11

Witam ponownie i ponownie będziemy działać z belką z poprzedniego wpisu i  ponownie obliczymy momenty gnące i siły tnące.

Wytrzymałość-zginanie-zadanie 10

Tylko że tym razem użyjemy innej, trudniejszej i GORSZEJ metody.zginanie1 - Momenty gnące belkę i siły tnące w belce - zadanie 11

Wymiary belki i obciążenia są te same i to samo jest pytanie:

NARYSOWAĆ WYKRESY MOMENTU ZGINAJĄCEGO BELKĘ I SIŁY TNĄCEJ

Tak samo mamy 2 przedziały i w pierwszym przedziale x zawiera się w przedziale od 0 do a. A jak się zawiera od 0 do a, to może przyjąć każdą wartość z tego przedziału.

  1. Zaczynamy od momentów zginających belkę w punktach A, B i C , ponieważ są to początki i końce przedziałów

A więc zasłaniamy kartką (TEN CZERWONY PROSTOKĄT-KOPERTA) i  odsłaniamy tylko tyle belki z lewej strony, żeby widzieć całą tą wartość dla pierwszego przedziałuzginanie8 - Momenty gnące belkę i siły tnące w belce - zadanie 11

Czyli widzimy od lewej strony tylko belkę o długości x. Liczymy moment, jaki działa na kartkę:
Mg(x) = q * a² – q * x * x/2
Pierwsza pozycja jest bardzo przejrzysta bo jest to moment przyłożony na lewym końcu, a druga pozycja to siła razy ramię – siła to q*x (obciążenie ciągłe razy długość na której ono działa) a ramię to odległość od KARTKI do POŁOWY widocznej części obciążenia ciągłego.

zginanie9 - Momenty gnące belkę i siły tnące w belce - zadanie 11

Analogicznie przechodzimy do drugiego przedziału.

Tutaj zmienna x może wynosić od a do 2*a:
Mg(x) = q * a² – q * a * (x-a/2) + 4*q*a * (x-a)
Druga pozycja to siła q*a (obciążenie ciągłe razy długość na której ono działa – teraz widzimy całe obciążenie ciągłe q) razy ramię czyli odległość od KARTKI do POŁOWY widocznego obciążenia ciągłego.

I w ten sposób policzyliśmy momenty gnące w zależności od x i jak teraz się podstawi odpowiednie wartości takie jak 0, a oraz 2*a to wyjdzie to samo co przy pierwszej metodzie, ale w trochę bardziej zagmatwany sposób, na przykład dla pierwszego przedziału dla x=0 czyli dla punktu A:
Mg(x=0) = q * a² – q * x * x/2 = q * a2 – q * 0 * 0/2 = q * a²
teraz gołym okiem widać że wychodzi to samo co przy pierwszej metodzie:
MgA = q * a²

Dla punktu B:
Mg(x=a) = q * a² – q * a * a/2 = q * a2 – 0,5*q * a2 = 0,5*q * a²

Dla punktu C:
Mg(x=2*a) = q * a² – q * a * (x-a/2) + 4*q*a * (x-a) =
= q * a² – q * a * (2*a-a/2) + 4*q*a * (2*a-a) =
= q * a² – q * a * 1,5*a + 4*q*a * a = 3,5*q * a²zginanie5 - Momenty gnące belkę i siły tnące w belce - zadanie 11

2. Podobnie drugi GORSZY sposób wygląda dla sił tnących.

Dla pierwszego przedziału podobnie zakrywamy kartką i odsłaniamy tyle żeby widzieć lewy koniec belki o długości x. I jakie siły (poprzeczne do belki czyli pionowe) widzimy:

zginanie8 - Momenty gnące belkę i siły tnące w belce - zadanie 11
T(x) = (-q) * x

Tylko obciążenie q o długości x.

Podobnie postępujemy dla drugiego przedziału:

zginanie9 - Momenty gnące belkę i siły tnące w belce - zadanie 11
T(x) = (-q) * a + 4*q*a = 3*q*a

Podstawiając wartości x dla charakterystycznych punktów. Dla punktu A:
T(x=0) = (-q) * x = (-q) * 0 = 0

Dla punktu B z lewej strony:
T(x=a) = (-q) * a

Dla punktu B z prawej strony:
T(x=a) = 3*q*a

Dla punktu C:
T(x=2*a) = 3*q*a

zginanie7 - Momenty gnące belkę i siły tnące w belce - zadanie 11
Jak widać, w pierwszej metodzie wyszło dokładnie to samo, a więc momenty gnące i siły tnące w belce można liczyć i tak i tak.

Moment zginający belkę – zadanie 10

Witam ponownie, dzisiaj przejdziemy do wytrzymałości i momentów zginających belkę. Tutaj będzie trzeba obliczyć momenty gnące, siły tnące i narysować wykresy. Ale po kolei:

Mamy belkę wmurowaną ścianę i obciążoną momentem, siłą i obciążeniem ciągłym. I widać tutaj 2 przedziały : od punktu A do B i od B do C.

zginanie1 - Moment zginający belkę - zadanie 10

Ponieważ reakcje w ścianie są na końcu belki, to nie ma sensu ich obliczać . W tym konkretnym przypadku wyjątkowo możemy nie uwalniać belki od więzów. 

I jedziemy od lewej strony:

  1. Obliczamy momenty zginające belkę w 3 charakterystycznych punktach na początku i końcu przedziałów: A, B i C.

Aby obliczyć moment zginający belkę w punkcie A zasłaniamy prawie całą belkę tak żeby było widać tylko punkt A i sam początek belki.

zginanie2 - Moment zginający belkę - zadanie 10

I co widać – moment skupiony w punkcie A:

MgA = q * a2

Tak samo postępujemy z punktem B – odsłaniamy tylko punkt B i wszystko co jest na lewo od niego.

zginanie3 - Moment zginający belkę - zadanie 10

Oprócz momentu skupionego w punkcie A pojawia się obciążenie ciągłe:

MgB = q * a² – q * a * a/2 = 0,5*q*a²

i teraz po kolei druga część czyli siła od obciążenia ciągłego q*a razy ramię a/2 czyli odległość połowy (obciążenia ciągłego q) do punktu B. A z tymi znakami to jest tak, że q*a² jest na plusie, bo próbuje PODNIEŚĆ koniec belki, a obciążenie ciągłe jest na minusie, bo chce OPUŚCIĆ koniec belki. Mówiąc inaczej q*a² kręci ZGODNIE ze wskazówkami zegara, a obciążenie ciągłe kręci PRZECIWNIE do zegara.

I dochodzimy do ściany czyli prawie do punktu C odsłaniając całą belkę oprócz punktu C. To tak jakbyśmy chcieli złapać za sam prawy koniec BELKI przy samej ścianie.

zginanie4 - Moment zginający belkę - zadanie 10

MgC = q * a² – q * a * 1,5*a + 4*q*a * a = 3,5*q*a²

Po kolei idąc to pierwsza cząstka pozostaje bez zmian i dalej siła od obciążenia ciągłego działa teraz na ramieniu 1,5*a, bo odległość ściany od środka obciążenia ciągłego jest 1,5*a. Siła 4*q*a działa na ramieniu a.

Rysujemy to co obliczyliśmy i poniżej powstał wykres momentu zginającego belkę:

zginanie5 - Moment zginający belkę - zadanie 10

2. Teraz kolej na siły tnące i analogicznie idziemy od lewej strony:

zginanie2 - Moment zginający belkę - zadanie 10

TA = 0

Zasłaniamy prawie całą belkę i tylko odsłaniamy kawałek lewego przedziału tuż przy punkcie A – widać że żadna siła nie działa w poprzek belki (czyli w pionie-siła tnąca).

Przechodzimy do punktu B z lewej strony czyli odsłaniamy cały lewy przedział w taki sposób, aby nie było widać punktu B:

zginanie6 - Moment zginający belkę - zadanie 10

TBL = -q * a

Jedyna poprzeczna do belki siła (siła tnąca czyli w poprzek belki) którą widzimy to siła od obciążenia ciągłego q. Siła działa w dół i dlatego sobie przyjęliśmy minus

Przemieszczamy się kawałek w prawo, aby było widać cały lewy przedział oraz punkt B i wtedy widać siłę tnącą z prawej strony punktu B:

zginanie3 - Moment zginający belkę - zadanie 10

TBP = -q * a + 4*q*a = 3*q*a

Oprócz obciążenia ciągłego w poprzek belki działa jeszcze 4*q*a.

Przesuwamy się jeszcze dalej w prawo aż dojdziemy prawie do ściany czyli tuż na lewo od ściany:

zginanie4 - Moment zginający belkę - zadanie 10

TC = -q * a + 4*q*a = 3*q*a

Rysujemy to co obliczyliśmy i powstał wykres siły tnącej:

zginanie7 - Moment zginający belkę - zadanie 10

I to jest pierwsza metoda, a w kolejnym odcinku trochę inna i trudniejsza metoda

 

Rozciąganie prętów – wytrzymałość – zadanie 9

Mamy kolejne trudniejsze zadanie z rozciągania prętów

rozciaganie2 - Rozciąganie prętów - wytrzymałość - zadanie 9

To teraz trzeba jasno powiedzieć, jak to działa:
Pozioma sztywna belka (to poziome najgrubsze od punktu A do punktu B) ma oś obrotu w połowie długości w punkcie O (podpora PRZEGUBOWA STAŁA). Do obu końców belki w punktach A i B przymocowano 2 PRĘTY ( na przykład cienkie druty). Lewa linka leci pionowo do samej ziemi i tam jest przymocowana. Prawa linka idzie pod kątem 60 stopni do poziomu i też jest przymocowana do ziemi. Tylko jak dobrze widać, to prawa linka jest dłuższa, bo leci pod kątem. I do belki sztywnej przyłożono moment M, czyli ktoś próbuje kręcić belką przeciwnie do wskazówek zegara. I tu trzeba położyć akcent na PRÓBUJE KRĘCIĆ ponieważ te 2 cięgna nie pozwalają i utrzymują belkę prawie że w poziomie. A dlaczego prawie:
Ponieważ zgodnie z prawem Hooke’a cięgna trochę zmienią długość i belka MINIMALNIE odchyli się od poziomu.

Jak wiadomo, jak to wszystko działa, to uwalniamy belkę sztywną od więzów, czyli zastępujemy cięgna i podporę przegubową siłami:

rozciaganie3 - Rozciąganie prętów - wytrzymałość - zadanie 9

W podporze są dwie reakcje bo jest to podpora PRZEGUBOWA STAŁA.
Piszemy równania równowagi, a będą ich TRZY, ponieważ jest to układ sił PŁASKI ROZBIEŻNY (rozbieżny bo wszystkie siły nie zbiegają się w jednym punkcie)
ΣPix = Rx + S2*cos60stopni = 0 [1]
ΣPiy = (-S1) – Ry – S2*sin60stopni = 0 [2]
ΣMio = M + S1*l – S2*sin60stopni * l = 0 [3]
Jak widać są trzy równania i cztery niewiadome – a więc mamy zadanie STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE. Potrzebne jest kolejne równanie, w tym przypadku przeprowadzimy analizę odkształceń.

rozciaganie4 - Rozciąganie prętów - wytrzymałość - zadanie 9

Rysujemy sobie belkę w 2 położeniach:
– przed odkształceniem – to jest to poziome zaczynające się w punkcie A przechodzące przez O i dochodzące do B
– po odkształceniu – to co jest pod kątem i przechodzi przez punkt O

W tym miejscu należy postawić dwa założenia:
– po pierwsze punkt A nie porusza się po łuku tylko po prostej AA’ (i tak samo jest z punktem B)
– po drugie kąt pręta 2 (tego prawego) do poziomu nie zmienia się po odkształceniu – jak było 60° do poziomu, tak również jest 60° do poziomu po odkształceniu – i to jak widać powyżej, widzimy 2 równoległe pręty – pręt przed odkształceniem i pręt po odkształceniu

Z twierdzenia Talesa:

l          l
—- = ——-
Δl1    BB’

Z trójkąta BB’C:

sin60° =  Δl2 / BB’

BB’ = Δl2 / sin60°

Wprowadzając do równania z twierdzenia Talesa:

l                  l
—– = ——————
Δl1       Δl2/sin60°

Jeżeli ułamki są równe to ich mianowniki też są równe:
Δl1 = Δl2/sin60°

Zmiany długości prętów Δl1 i Δl2 obliczamy z prawa Hooke’a mówiącego o rozciąganiu prętów:

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy

 

          S1 * l
Δl1 = ———-
E * F

         S2 * l2
Δl2 = ————
E * F

gdzie: l2- długość pręta 2

sin60° = l / l2

l2 = l / sin60°

     S2 * l
Δl2 = ——————-
E*F*sin60°

Wracając do twierdzenia Talesa:

S1*l            S2 * l
——– = ——————-
E*F         E*F*sin60°

Dzielimy obie strony powyższego równania przez l i mnożymy przez (E*F)
S1 = S2/ sin60°

Powstało [4] równanie obok [1] [2] i [3] i można obliczyć wszystkie niewiadome S1 , S2 , Rx , Ry.

Rx + S2 * cos60° = 0 [1]
(-S1) – Ry – S2 * sin60° = 0 [2]
M + S1*l – S2*sin60° * l = 0 [3]
sin60° * S1 = S2 [4]

Wstawiamy równanie [4] do [3]:
M + S1*l – sin60° * S1*sin60° * l = 0 [3]
M + S1*l*(1-sin60°) = 0 [3]
M = S1*l*(sin60° – 1) = S1 * l * ( -0,25 ) [3]
Z tego obliczymy siłę w lewym pręcie:
S1 = (-4*M) : l
I na koniec z równania [3] obliczymy siłę w prawym skośnym pręcie:
M + S1*l = S2*sin60°*l
S2 = M : ( l*sin60° ) + S1: ( sin60° ) =
= M : ( l*sin60° ) + (-4*M) : ( l * sin60° ) = (-3*M) : ( l*sin60° )=
= (-3,5*M) : l

Rozciąganie pręta – zadanie statycznie niewyznaczalne

Poprzednio rozpoczęliśmy podstawy wytrzymałości

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy a teraz może zadanie z rozciągania pręta i do tego statycznie niewyznaczalne:

rozciaganie1 - Rozciąganie pręta - zadanie statycznie niewyznaczalne

  Mamy dane przekroje pręta A, moduł Younga E, siłę P i długość l. Pytają się o reakcje utwierdzenia w suficie i podłodze

O co tutaj chodzi?

Ktoś wziął pręt o zmiennym przekroju, jednym końcem przyspawał do podłogi, a górnym końcem przyspawał do sufitu. Jak widać na rysunku całą wysokość pręta podzielono na 3 przedziały i na granicy pierwszego i drugiego oraz drugiego i trzeciego przedziału przyłożono siły 4*P oraz P.

Po pierwsze uwalniamy słup od więzów, czyli zastępujemy sufit i podłogę siłami utwierdzenia obojętnie w którą stronę, ale później się tego trzymamy.

Gdy są już reakcje utwierdzenia to można napisać:

Sumę rzutów sił na oś y, która leży w pionie (w osi słupa):

Piy = P + S1 – 4*P – S2 = 0

Przyjmujemy że siła do góry jest z PLUSEM a siła w dół jest z MINUSEM. Potem można powyższe równanie uprościć i dostaniemy to co poniżej:

Piy = S1 – 3*P – S2 = 0 (1)

W tym równaniu są 2 niewiadome: S1 i S2 czyli to zadanie jest statycznie niewyznaczalne.

Aby je obliczyć musi być kolejne równanie – tym razem GEOMETRYCZNE mówiące, że

suma wydłużeń poszczególnych odcinków (a są trzy i każdy o długości l) musi być równa ZERO.

To jest tak, że jak pierwszy odcinek wydłuży się o 1mm i drugi odcinek wydłuży się o 2mm, to w wyniku tego trzeci odcinek skróci się o 3mm. A to dlatego że odległość między podłogą i sufitem zawsze będzie 3*l:

l1 + l2 + l3 = 0

gdzie l to poszczególne wydłużenia poszczególnych odcinków

Teraz trzeba użyć prawa Hooke’a, które ściśle wiąże się z rozciąganiem pręta. Mówi ono że:

siła * długość pręta

wydłużenie      =    ————————————————————————–

moduł Younga * pole przekroju

Ponieważ mamy 3 przedziały, to w każdym z nich musimy określić siłę rozciągającą pręt czyli siłę normalną. Żeby sobie ułatwić to można użyć kawałka kartki, którym będziemy zakrywać część słupa.

Dla pierwszego przedziału (patrząc od góry) zakrywamy tak, żeby widzieć kawałek tego pierwszego przedziału.

Teraz przepisujemy siły, które widzimy – no i widzimy S1:

N1 = S1

Następnie odsłaniamy trochę więcej słupa w taki sposób, żeby widzieć pierwszy przedział (licząc od góry) i kawałek drugiego przedziału. I oto co widzimy:

N2 = S1 – 4*P

W kolejnym kroku odsłaniamy jeszcze więcej słupa, tak żeby całkowicie widzieć pierwszy i drugi przedział (licząc od góry) oraz kawałek trzeciego. Siły normalne w trzecim przedziale:

N3 = S1 – 4*P + P = S1 – 3*P

Teraz już mając siły w poszczególnych przedziałach (N), długości tych przedziałów (l), moduł Younga (E) oraz przekroje (A) w każdym z przedziałów można to wszystko wstawić do prawa Hooke i równania geometrycznego:

 

N1*l             N2*l              N3*l

———- + ————– + ————- = 0

E*2*A         E*2*A            E*A

 

Po wstawieniu wartości sił normalnych wyjdzie coś takiego:

 

S1*l            (S1-4*P)*l            (S1-3*P)*l

———- + ——————– + ——————– = 0

E*2*A              E*2*A                   E*A

 

Teraz dobrze będzie to wszystko uprościć, czyli mnożymy obie strony przez (E*A) i dzielimy przez l:

 

S1             (S1-4*P)        S1-3*P

—– + —————— + —————- = 0 (2)

2                   2                    1

 

Z tego wszystkiego można wyciągnąć reakcję utwierdzenia S1:

2*S1 = 5*P

S1 = 2,5*P

Reakcję S1 wstawiamy do sumy rzutów na oś y i obliczamy z tego S2:

S1 – 3*P – S2 = 0

S1 – 3*P = S2

S2 = 2,5*P – 3*P = (-0,5*P)

Reakcje utwierdzenia wynoszą: S1 = 2,5*P oraz S2 = (-0,5*P).

To nie jest jedyny typ zadania statycznie niewyznaczalnego (z rozciągania prętów) ale o tym innym razem

 

Rozciąganie i prawo Hooke’a – wytrzymałość materiałów – podstawy

Nie tak dawno omawialiśmy podstawy mechaniki, a teraz dobrze będzie płynnie przejść do wytrzymałości materiałów, a dokładnie do prawa Hooke’a.

Wytrzymałość wcale nie jest tak skomplikowana jak niektórzy ją malują i zajmuje się:

–  siłami działającymi na ciała

– i wywołanymi tym naprężeniami i odkształceniami.

Można tę wiedzę podzielić na kilka prostych rozdziałów:

– rozciąganie

– zginanie

– skręcanie

– ścinanie

Z ROZCIĄGANIEM jest bardzo prosto, bo to jest tak jakbyśmy złapali za 2 końce sznurka (albo jeszcze lepiej gumy) i próbowali go rozerwać. I zanim się uda go rozerwać to na początku delikatnie się rozciągnie, chociaż może na oko tego nie widać (albo widać jeżeli weźmiemy gumę).

I tu dochodzimy do bardzo ważnego prawa HOOKE’a , które opisuje:

O ILE ROZCIĄGNIE SIĘ COŚ POD WPŁYWEM SIŁY ROZCIĄGAJĄCEJ S.

To o ile się rozciągnie nazywają wydłużeniem. W najprostszym ujęciu wydłużenie jest równe:

 

                  S * L

l  =  —————-

          E * A

 

gdzie:

L – długość sznurka albo gumy lub pręta

E – moduł Younga

A – przekrój poprzeczny

Długość sznurka nie wymaga komentarza ale należy powiedzieć słowo o module Younga, który opisuje sprężystość materiału. Jeden materiał można łatwo rozciągać (jak na przykład guma), a inny materiał nie bardzo się nadaje do rozciągania – na przykład beton. No i na końcu mamy przekrój poprzeczny czyli pole przekroju.

To tyle wstępu na temat ROZCIĄGANIA a następnym razem zrobimy jakieś proste zadanie z prawa Hooke’a, żeby to jeszcze lepiej zrozumieć.