Obliczenie średnicy nitu – zadanie 46

Cześć wszystkim,  dzisiaj kolejne zadanie ze ścinania – obliczymy średnicę nitów. Niedawno ten temat omawialiśmy

https://blog-student.com/wytrzymalosc-scinanie-zadanie-15/

na trochę innym przykładzie.
scinanienitow2 - Obliczenie średnicy nitu - zadanie 46
Na obrazku widzimy połączenie nitowe dwóch okrągłych płytek przy pomocy 4 nitów. Do każdej z płytek przyłożono moment M – dla równowagi jeden przeciwny do drugiego. Dana jest grubość płytek g oraz średnica położenia nitów D:
scinanienitow1 - Obliczenie średnicy nitu - zadanie 46
oraz dopuszczalne naprężenia ścinające dla materiału nitu kt.
Autor zadaje pytanie:

OBLICZ WYMAGANĄ ŚREDNICĘ d NITU

Jeżeli jest podane dopuszczalne naprężenie ścinające kt dla materiału nitu, to znaczy że potrzebujemy warunku wytrzymałościowego na ścinanie.
Oto jak należy do tego podejść:

Warunek wytrzymałościowy na ścinanie:
T / (4 * π*d²/4) < kt
gdzie

-T oznacza siłę ścinającą nit,
– liczba 4 oznacza występowania 4 nitów,
– π*d²/4 oznacza przekrój nitu o średnicy d (pole koła).

T / (π*d²) < kt
T = π*d² * kt
Po przekształceniu:
d = √[T / (π*kt)]

Nie znamy siły ścinającej T , która pochodzi od przyłożonego momentu M. Moment jest zrównoważony przez 4 jednakowe siły ścinające T działające na ramieniu D/2:
4 * T * D/2 = M
Kolejno mamy
– siła razy ramie czyli T*D/2
– i liczba 4 bo są cztery nity.

I to wszystko jest równe przyłożonemu momentowi M.
W związku z tym siła ścinająca wyniesie:
T = M / (4 * D/2) = M / (2 * D) = 0,5*M / D
i wstawiamy ją do wzoru na wymaganą średnicę nitu:

d =√[T/(π*kt) = √[(0,5*M/D) / (π*kt)]= √[(0,5*M) / (π*kt*D)]

Prawda że łatwe?

Trójkierunkowy stan naprężenia – zadanie 45

W nieodkształcalnym sześcianie o boku L wycięto rowek o szerokości 0,5*L i wsunięto prostopadłościan o wymiarach jak na poniższym rysunku.
uogolnioneprawohooke - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Prostopadłościan obciążono poziomą siłą P i z drugiej strony taka sama siła działa na nieodkształcalny sześcian.
Materiał prostopadłościanu posiada moduł Younga E oraz stałą Poissona ν . Jak widać początkowa wysokość prostopadłościanu wynosi L i wobec tego autor zadaje pytanie:

OBLICZ ZMIANĘ WYSOKOŚCI PROSTOPADŁOŚCIANU PO PRZYŁOŻENIU SIŁY P

Na sam początek ustalamy układ współrzędnych.
uogolnioneprawohooke2 - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Kolejno , jak zawsze w zadaniach tego typu, piszemy

3 równania opisujące trójkierunkowy stan naprężenia

εx = σx/E – ν*σy/E – ν*σz/E [1]
εy = σy/E – ν*σx/E – ν*σz/E [2]
εz = σz/E – ν*σx/E – ν*σy/E [3]

z których mamy 6 niewiadomych:
– odkształcenia względne wzdłuż 3 osi – εx, εy , εz
– naprężenia wzdłuż 3 osi – σx , σy , σz

Z prostej mechaniki wynika 6 równań oraz 6 niewiadomych, czyli potrzebujemy 3 dodatkowych równań. Oczywiście te dodatkowe równania będą związane z naprężeniami i względnymi odkształceniami.
Wiadomo że prostopadłościan nie odkształci się w kierunku y, ponieważ jest wciśnięty w wycięcie sześcianu. w związku z tym względne odkształcenie wzdłuż osi y wynosi ZERO:
εy = 0 [4]

Po drugie widać że siła P działa na ściankę sześcianu

(o wymiarach 0,5*L x L)

wzdłuż osi x. Zatem naprężenie w kierunku x wyniesie tyle co siła podzielona przez powierzchnię:
σx = P : (0,5*L * L) = 2*P / L² [5]

W kierunku osi z na ścianki (o wymiarach 0,75*L x 0,5*L) nic nie naciska, a jak nic nie naciska, to w tym kierunku nie ma naprężenia:
σz = 0[6]

Teraz już pójdzie z górki, ponieważ wstawiamy powyższe równania do równań [1] , [2] oraz [3].

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E – ν*0/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*0/E [2]
εz = 0/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Po uproszczeniu:

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E [2]
εz = – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Wyciągamy σy z równania [2]:
σy/E = ν*(2*P / L²)/E
σy = ν*(2*P / L²)
i wstawiamy do równania [3] żeby obliczyć odkształcenie względne w kierunku pionowym:
εz = -ν * (2*P / L²)/E – ν/E * ν * (2*P /L²) = -ν*(2*P/L²)/E * (1+ν) =
= (1+ν)*ν*2*P / (E*L²)
Mnożąc

odkształcenie względne

przez

początkową wysokość L

obliczymy zmianę wysokości po przyłożeniu siły:
Δh = L*(1+ν)*ν*2*P / (E*L² ) = (1+ν)*ν *2*P / (E*L)
Prawda że łatwe?

Wytrzymałość złożona – rama obciążona siłami

Witam ponownie i dzisiaj zadanie z wytrzymałości złożonej, w którym rama zostanie obciążona dwiema siłami. Niedawno ten temat był tutaj poruszany

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zlozona-zadanie-29/

ale dzisiaj coś trochę innego. zlozona20 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Na szkicu widzimy ramę w kształcie litery T wmurowaną z jednej strony w ścianę (naukowcy to nazywają utwierdzeniem) i obciążoną na pozostałych końcach dwiema pionowymi siłami P oraz 2*P. Oto co mówi autor zadania:

NARYSUJ WYKRESY SIŁ WEWNĘTRZNYCH

Dla porządku oznaczymy sobie punkty charakterystyczne – te literki A, B, C oraz D na czerwono zlozona21 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłamiW ten sposób powstały 3 przedziały: A-C , B-C oraz C-D.

Warto będzie przypomnieć, że (tak jak w wytrzymałości złożonej) w każdym z przedziałów MOGĄ (ale nie muszą ) wystąpić następujące rodzaje obciążeń czyli siły wewnętrzne, o które pyta autor:
– rozciąganie lub ściskanie
– zginanie
– skręcanie
– ścinanie
Lecimy po kolei i zaczynamy od przedziału najbardziej ZEWNĘTRZNEGO od ściany czyli na przykład
AC.
Aby wszystko było jaśniejsze zasłaniamy ramę w taki sposób, żeby widzieć tylko odcinek AC – ta czerwona koperta jest po to, żeby zasłonić całą resztę ramy

zlozona22 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Czy w odcinku AC występuje zginanie? Tak występuje, ponieważ siła P działa PROSTOPADLE do odcinka AC. Moment zginający w punkcie A:
MgA = 0
W punkcie C:
MgC = P * L

Czy występuje rozciąganie? Nie występuje, bo żadna siła nie działa WZDŁUŻ odcinka AC.

Czy występuje skręcanie? Nie występuje, ponieważ jedyna siła P PRZECINA odcinek AC.

Czy występuje ścinanie? Tak występuje , ponieważ siła P działa PROSTOPADLE do odcinka AC:
TAC = P

Odcinek AC załatwiony a więc przechodzimy do odcinka
BC
i działamy w analogiczny sposób
zlozona23 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

Czy w odcinku BC jest zginanie? Tak ponieważ siła 2*P działa PROSTOPADLE do odcinka BC. Moment zginający w punkcie B:
MgB = 0
W punkcie C:
MgC = 2*P * L

Czy występuje rozciąganie? Nie występuje, bo żadna siła nie działa WZDŁUŻ odcinka.

Czy odcinek BC jest skręcany? Nie ponieważ jedyna siła 2*P PRZECINA odcinek BC.

Czy występuje ścinanie? Tak występuje , ponieważ siła 2*P działa PROSTOPADLE do odcinka BC:
TBC = 2*P

Odcinki AC oraz BC są załatwione, a więc idziemy dalej w kierunku ściany czyli do odcinka
CD
Zasłaniamy ramę w taki sposób, żeby widzieć wszystko poza punktem D czyli ścianą do której rama jest przymocowana.

ZLOZONA24 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Widzimy wszystkie 3 odcinki ramy ale również siły P oraz 2*P, które na nią działają. Wobec tego w analogiczny sposób jak wcześniej opowiemy sobie , jakie obciążenia działają na odcinek CD.
Czy jest rozciąganie? Nie ma ponieważ żadna siła nie działa wzdłuż odcinka CD

Czy jest zginanie? Widzimy że jest, ponieważ obie siły działają  W POPRZEK odcinka CD. Spójrzmy na to wszystko z boku:

zlozona25 1024x484 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłamiMoment gnący w punkcie C :
MgC = 0
Moment gnący przy samej ścianie – tutaj obie siły działają na ramieniu L:
MgD = 2*P*L + P*L = 3*P*L

Czy jest ścinanie? Jest, ponieważ jedna i druga siła działa w poprzek odcinka CD.
TCD = 2*P + P = 3*P

Czy jest skręcanie? Tak ponieważ są siły które nie przecinają odcinka CD i jednocześnie nie są do odcinka CD równoległe (jest mowa o sile P oraz o sile 2*P).
MsCD = 2*P*L – P*L = P*L

Mając obliczone wszystkie obciążenia można narysować wykresy sił tnących oraz momentów gnących i skręcających – już ustaliliśmy, że w żadnym odcinku nie ma rozciągania. Po kolei wykres momentu zginającego

zlozona26 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

momentu skręcającego

zlozona27 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

oraz siły tnącej.

zlozona28 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

I to wszystko – prawda że łatwe.

Zaprojektuj przekrój belki – zginanie – zadanie 39

Dzisiaj zrobimy zadanie ze zginania belek polegające na zaprojektowaniu przekroju belki. zginanie32 1024x462 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
I oto widzimy belkę składającą się z dwóch odcinków (przedziałów) połączonych przegubem. Lewy koniec lewego odcinka oparto na podporze przegubowej przesuwnej, a prawy koniec prawego odcinka wmurowano w ścianie. Belkę obciążono siłą i momentem. Przekrój belki jest prostokątem o podstawie a i wysokości 2*a, gdzie a jest niewiadomą.

zginanie41 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Belkę wykonano z materiału o dopuszczalnych naprężeniach zginających kg. Autor zadaje pytanie:

ZAPROJEKTUJ PRZEKRÓJ BELKI O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM 2a x a

Początek jest analogiczny do innych zadań ze zginania belek:

Krok pierwszy

Uwalniamy belkę od więzów, ale jest małe ALE.
To ALE jest, ponieważ mamy jedną reakcję w lewej podporze (podpora przegubowa przesuwna – jedna reakcja prostopadła do podłoża) i trzy reakcje w ścianie. Tylko żeby obliczyć momenty zginające belkę, to nie potrzebujemy reakcji na jednym końcu belki i dlatego obliczymy TYLKO reakcję w podporze przesuwnej. W tym celu uwolnimy od więzów LEWĄ część belkizginanie33 1024x619 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39Krok drugi

Piszemy równanie równowagi statycznej dla LEWEJ części belki, ALE będzie to wyłącznie równanie momentów względem punktu B, ponieważ w tym równaniu wystąpi TYLKO jedna niewiadoma RA, której szukamy:
ΣMiB = RA*L – P*L = 0
RA*L = P*L
Reakcja w podporze A wyniesie:
RA = P

Krok trzeci
Powracamy do belki jako całość i uwalniamy od więzów:zginanie34 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Krok czwarty
Ponieważ mamy obliczoną reakcję w podporze A, to zaczynamy obliczanie momentów od lewej strony. Zakrywamy kawałkiem KARTKI (ten czerwony prostokąt przekreślony na krzyż) całą belkę odsłaniając WYŁĄCZNIE punkt A i piszemy jaki moment widzimy:

zginanie35 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgA = P*L
i to jest jasne i proste, ponieważ widać tylko moment skupiony P*L, a siła RA działa na ramieniu o długości ZERO (odległość od siły RA do kartki).

Następnie zakrywamy prawą połowę belki, żeby jednocześnie widzieć punkt B i piszemy moment w punkcie B:

zginanie36 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgB = P*L – RA*L = P*L – P*L = 0
Przypomnę, że w powyższym wzorze RA*L oznacza moment od siły RA działający na ramieniu L (odległość od siły RA do kartki).

Pozostało obliczyć moment zginający w punkcie C i w tym celu zasłaniamy tylko ścianę z prawej strony i punkt C:

zginanie37 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgC = P*L – RA*2*L + 4*P*L = P*L – P*2*L + 4*P*L = 3*P*L

Krok piąty
Tak samo idąc od lewej do prawej obliczymy siły tnące działające na belkę. Dla przypomnienia siła tnąca to jest taka siła, która działa w poprzek belki, czyli w naszym przypadku siła działająca w pionie (ponieważ w tym zadaniu belka leci poziomo). A więc do dzieła:
Zasłaniamy belkę kartką w taki sposób żeby widzieć kawałek lewego przedziału.

zginanie38 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Piszemy siły w poprzek belki, które widzimy:
TAB = (-RA) = (-P)

Kolejno zasłaniamy belkę, żeby widzieć cały lewy przedział i kawałek prawego.
zginanie39 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
Oto jakie siły widzimy, które działają w poprzek belki:
TBC = (-RA) + 4*P = (-P) + 4*P = 3*P
Obliczyliśmy siły tnące i momenty gnące, to można narysować wykresy.

zginanie40 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39Widać, że największy moment zginający występuje przy ścianie:
Mgmax = 3*P*L

Krok szósty
Teraz przejdziemy do prostokątnego przekroju belki i dla niego obliczymy moment bezwładności:
Jxc = a * (2*a)³ / 12 = 0,67 * a4
oraz wskaźnik wytrzymałości na zginanie:
Wx = Jxc : ymax = 0,67 * a4 : a = 0,67 * a³

Krok siódmy
Przyszedł czas na warunek wytrzymałościowy, który mówi, że maksymalne naprężenia zginające belkę muszą być mniejsze od dopuszczalnych kg:

https://blog-student.com/naprezenia-zginajace-podstawy/
Mgmax : Wx < kg
Wstawiamy do powyższego wzoru wskaźnik i wartość maksymalnego momentu gnącego:
3*P*L : ( 0,67 * a³ ) < kg
4,48*P*L / a³ < kg
Szukany minimalny wymiar przekroju wyniesie:
a = [ 4,48*P*L / kg ] 1/3

i w ten sposób zaprojektowaliśmy wymiary przekroju belki.

Naprężenia zginające – podstawy

Witam wszystkich i dzisiaj opowiemy o naprężeniach zginających. Kilka razy było o zginaniu belek

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zginanie-zadanie-11/

i naprężenia są tego konsekwencją. To teraz krok po kroku:
Naprężenia zginające są odmianą naprężeń normalnych czyli prostopadłych do przekroju.
zginanie31 300x225 - Naprężenia zginające - podstawy
Na powyższym szkicu widać naprężenia w belce o przekroju prostokątnym. W tym przypadku największe naprężenia występują w skrajnych punktach przekroju na górze i na dole. Zawsze najwyższe wartości zauważymy w najdalszej odległości od osi centralnej przekroju zginanego. Dlatego też zerowe wartości naprężeń wystąpią w okolicach środka ciężkości przekroju.
Jeżeli znamy moment zginający Mg, to maksymalne naprężenia zginające σgmax w przekroju zginanym są

ilorazem tego momentu

przez

wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie Wx:
σgmax = Mg : Wx
zginanie30 300x225 - Naprężenia zginające - podstawy
Miarą naprężeń zginających jest paskal [Pa].
Prawda że łatwe?