Wytrzymałość zmęczeniowa

Być może słyszałeś coś o

WYTRZYMAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ.

Co to właściwie znaczy?

Można usłyszeć o zniszczeniu jakiejś konstrukcji w wyniku zmęczenia materiału. Załóżmy, że dowolna stal charakteryzuje się granicą plastyczności Re oraz granicą wytrzymałości doraźnej Rm. Są to wartości stałe i znane dla konkretnego materiału. Zmęczenie materiału polega na spadku jego wytrzymałości w wyniku cyklicznie zmiennych obciążeń. Obciążenia zmieniają się od wartości maksymalnej σmax do minimalnej σmin, z tym że te naprężenia mogą przyjmować bardzo różne wartości.
zmeczeniowa1 1024x403 - Wytrzymałość zmęczeniowa
Na szkicu powyżej widać kilka przykładów przebiegu obciążeń. Naprężenie może zmieniać się:
– od większej wartości dodatniej do mniejszej wartości dodatniej (krzywa 1)
– od wartości dodatniej do zera (krzywa 4)
– od wartości dodatniej do wartości ujemnej (krzywa 3)
– szczególny przypadek poprzedniego przypadku to obciążenia symetryczne czyli σmax = -σmin (krzywa 2)

Jeżeli już tyle powiedzieliśmy, to powiedzmy, czym tak naprawdę jest wytrzymałość zmęczeniowa?

JEST TO TAKIE NAPRĘŻENIE DLA DANEGO CYKLU, PRZY KTÓRYM ELEMENT NIE ZOSTANIE ZNISZCZONY PO OSIĄGNIĘCIU UMOWNEJ LICZBY CYKLI Ng.

Pojęcie umownej liczby cykli odnosi się do konkretnego materiału i wynosi odpowiednio:
– dla stali i żeliwa – 10 000 000 cykli
– dla metali nieżelaznych – 100 000 000 cykli
– dla połączeń spawanych i nitowanych – 2 000 000 cykli

Należy zaznaczyć że istnieje zależność pomiędzy wielkością obciążenia, a tego ile cykli taki materiał wytrzyma. Mówiąc prościej jeżeli cyklicznie będziemy obciążać element mniejszym obciążeniem, to ten element wytrzyma większą liczbę cykli. To zjawisko obrazuje wykres Woehlera – ten poniżej dotyczy stali:
zmeczeniowa2 1024x457 - Wytrzymałość zmęczeniowa

Jak zauważyłeś, jeżeli liczba cykli osiągnie lub przekroczy wartość Ng, to wytrzymałość przestaje spadać. Dla innych materiałów jego przebieg będzie się lekko różnić.

Linia ugięcia belki – zadanie 48

Witam wszystkich i dzisiaj powrócimy do tematu linii ugięcia belki i zrobimy kolejne zadanie. Już o tym było wcześniej i dzisiaj spojrzymy na belkę z poniższego szkicu
liniaugieciabelki 1024x293 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Belkę oparto na dwóch podporach przegubowych i w połowie długości przyłożono moment. Autor zadania stawia pytanie:

WYZNACZ LINIĘ UGIĘCIA BELKI

Na początek

UWOLNIMY BELKĘ OD WIĘZÓW

czyli zastąpimy podpory reakcjami
liniaugieciabelki2 1024x314 - Linia ugięcia belki - zadanie 48

Następnie

OBLICZYMY REAKCJĘ

na jednym z końców belki. Wiadomo że jest to układ sił płaski rozbieżny (albo dowolny), czyli możemy napisać 3 równania równowagi:
– dwie sumy rzutów sił
– i suma momentów względem obranego punktu.
Aby pójść najkrótszą drogą wybierzemy tą ostatnią możliwość – obliczymy sumę momentów względem punktu C.
ΣMiC = RA * 2 * L + M = 0
RA * 2 * L = (-M)
z której wynika reakcja w lewej podporze:
RA = (-0,5) * M/L

Belka składa się z dwóch przedziałów:
– pierwszy – od lewej podpory A do przyłożonego momentu M
– drugi – od przyłożonego momentu do prawej podpory C
W każdym z tych przedziałów

OBLICZYMY MOMENT ZGINAJĄCY

Zakrywamy belkę w taki sposób, żeby było widać kawałek PIERWSZEGO PRZEDZIAŁU i piszemy moment zginający:

liniaugieciabelki3 1024x562 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Mg(x) = RA * x = (-0,5) * M/L * x

Podobnie działamy z DRUGIM PRZEDZIAŁEM:

liniaugieciabelki4 1024x426 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Mg(x) = RA * x + M = (-0,5) * M/L * x + M

Znamy momenty zginające, to teraz napiszemy

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINII UGIĘCIA

E * J * d²y/dx² = -Mg(x)
A tak to będzie wyglądać dla PIERWSZEGO PRZEDZIAŁU:
E * J * d²y/dx² = 0,5 * M/L * x
Jest to równanie różniczkowe stopnia drugiego, a więc dwa razy musimy je scałkować:
E * J * dy/dx = 0,5 * M/L * 1/2*x² + C1
E * J * dy/dx = 0,25 * M/L * x² + C1
E * J * y = 0,25 * M/L * 1/3 * x³ + C1*x + D1
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ + C1*x + D1

Tak samo zrobimy z DRUGIM PRZEDZIAŁEM:
E * J * d²y/dx² = 0,5 * M/L * x – M
E * J * dy/dx = 0,5 * M/L * 1/2 * x² – M * x + C2
E * J * dy/dx = 0,25 * M/L * x² – M * x + C2
E * J * y = 0,25 * M/L * 1/3 * x³ – M * 1/2 * x² + C2*x + D2
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ – M * 1/2 * x² + C2*x + D2

W dwóch obliczonych równaniach (dla PIERWSZEGO i DRUGIEGO PRZEDZIAŁU) mamy 4 niewiadome – stałe całkowania C1, D1, C2 oraz D2. Żeby to obliczyć to musimy napisać cztery (bo są cztery niewiadome)
WARUNKI BRZEGOWE
O warunkach brzegowych już kiedyś rozmawialiśmy
https://blog-student.com/wytrzymalosc-zginanie-zadanie-12-linia-ugiecia-belki/
i warto ten temat przypomnieć. Idąc po kolei przyjrzyjmy się PIERWSZEMU PRZEDZIAŁOWI – widać że w punkcie A (czyli dla współrzędnej x=0) belka nie zmieni swojego położenia w pionie (a to znaczy że y=0 – pierwszy warunek brzegowy).

liniaugieciabelki5 1024x349 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Po drugie widać że w punkcie B (dla x=L) położenie w pionie pierwszego i drugiego przedziału jest identyczne – mówiąc lub pisząc prościej w punkcie B PIERWSZY PRZEDZIAŁ belki styka się z DRUGIM PRZEDZIAŁEM (można to zapisać y1=y2 – drugi warunek brzegowy).

liniaugieciabelki6 1024x392 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Czas na DRUGI PRZEDZIAŁ i co widzimy?
Widzimy, że w punkcie B (dla x=L) styczna do belki w PIERWSZYM PRZEDZIALE jest równoległa do stycznej do belki w DRUGIM PRZEDZIALE. Jeżeli styczne są równoległe do siebie, to pochodne są równe (y1′ = y2′ – trzeci warunek brzegowy).

liniaugieciabelki7 1024x477 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Dodatkowo widzimy że w punkcie C (dla x=2*L) belka nie zmieni położenia w pionie, ponieważ w tym punkcie jest zamocowana podporą przegubową (y=0 – czwarty warunek brzegowy).

liniaugieciabelki8 1024x399 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Mamy wszystkie warunki brzegowe i teraz wstawiamy
WARUNKI BRZEGOWE DO ODPOWIEDNICH RÓWNAŃ LINII UGIĘCIA
aby obliczyć stałe całkowania.
Pierwszy warunek brzegowy wstawiamy do równania pierwszego przedziału:
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ + C1*x + D1
E * J * 0 = M/L * 1/12 * 0³ + C1*0 + D1
D1=0

Drugi warunek brzegowy wstawiamy do równania pierwszego i drugiego przedziału:
M/L * 1/12 * x³ + C1*x + D1 = M/L * 1/12 * x³ – M * 1/2 * x² + C2*x + D2
M/L * 1/12 * L³ + C1*L = M/L * 1/12 * L³ – M * 1/2 * L² + C2*L + D2
M * 1/12 * L² + C1*L = M * 1/12 * L² – M * 1/2 * L² + C2*L + D2
C1*L = (- M) * 1/2 * L² + C2*L + D2
C1 = C2 + D2/L – M * 1/2 * L

Trzeci warunek brzegowy wstawiamy do równania pierwszego stopnia pierwszego i drugiego przedziału:
0,25 * M/L * x² + C1 = 0,25 * M/L * x² – M * x + C2
C1 = (- M) * x + C2
C1 = (- M) * L + C2

Wobec powyższego odejmiemy stronami związki z drugiego i trzeciego warunku brzegowego:
C1 = C2 + D2/L – M * 1/2 * L
C1 = (- M) * L + C2

C1 – C1 = C2 + D2/L – M * 1/2 * L – [(- M) * L + C2 ]
0 = D2/L – M * 1/2 * L + M * L
0 = D2/L + M * 1/2 * L
0 = D2 + M * 1/2 * L²
D2 = (-M/2) * L²

Czwarty warunek brzegowy wstawiamy do równania drugiego przedziału:
E * J * 0 = M/L * 1/12 * (2*L)³ – M * 1/2 * (2*L)² + C2*2*L + (-M/2) * L²
0 = M/L * 1/12 * 8*L³ – M * 1/2 * 4*L² + C2*2*L – M/2 * L²
0 = M * 8/12*L² – M * 4/2 *L² + C2*2*L – M/2 * L2
0 = M * 4/6 * L² – M * 12/6 * L² + C2*2*L – M * 3/6 * L²
0 = (- M )* 11/6 * L² + C2*2*L
0 = (- M) * 11/12 * L + C2
C2 = M * 11/12 * L

Powracamy do drugiego warunku brzegowego:
C1 = (- M) * L + C2 = (- M) * L + M * 11/12 * L =
= (- M/12) * L

Wszystkie stałe całkowania są policzone, czyli możemy je wstawić do wcześniej scałkowanych równań.

Pierwszy przedział:
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ + (- M/12) * L*x + 0
y1 = [M/L * 1/12 * x³ – M/12 * L*x] : (E * J)

I drugi przedział:
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ – M * 1/2 * x² + M * 11/12 * L*x + (-M/2) * L²
y = [M/L*1/12*x³ – M/2*x² + M*11/12*L*x – M/2 * L² ] : (E * J)
Teraz dopiero widać jakie to jest łatwe!

Obliczenie średnicy nitu – zadanie 46

Cześć wszystkim,  dzisiaj kolejne zadanie ze ścinania – obliczymy średnicę nitów. Niedawno ten temat omawialiśmy

https://blog-student.com/wytrzymalosc-scinanie-zadanie-15/

na trochę innym przykładzie.
scinanienitow2 - Obliczenie średnicy nitu - zadanie 46
Na obrazku widzimy połączenie nitowe dwóch okrągłych płytek przy pomocy 4 nitów. Do każdej z płytek przyłożono moment M – dla równowagi jeden przeciwny do drugiego. Dana jest grubość płytek g oraz średnica położenia nitów D:
scinanienitow1 - Obliczenie średnicy nitu - zadanie 46
oraz dopuszczalne naprężenia ścinające dla materiału nitu kt.
Autor zadaje pytanie:

OBLICZ WYMAGANĄ ŚREDNICĘ d NITU

Jeżeli jest podane dopuszczalne naprężenie ścinające kt dla materiału nitu, to znaczy że potrzebujemy warunku wytrzymałościowego na ścinanie.
Oto jak należy do tego podejść:

Warunek wytrzymałościowy na ścinanie:
T / (4 * π*d²/4) < kt
gdzie

-T oznacza siłę ścinającą nit,
– liczba 4 oznacza występowania 4 nitów,
– π*d²/4 oznacza przekrój nitu o średnicy d (pole koła).

T / (π*d²) < kt
T = π*d² * kt
Po przekształceniu:
d = √[T / (π*kt)]

Nie znamy siły ścinającej T , która pochodzi od przyłożonego momentu M. Moment jest zrównoważony przez 4 jednakowe siły ścinające T działające na ramieniu D/2:
4 * T * D/2 = M
Kolejno mamy
– siła razy ramie czyli T*D/2
– i liczba 4 bo są cztery nity.

I to wszystko jest równe przyłożonemu momentowi M.
W związku z tym siła ścinająca wyniesie:
T = M / (4 * D/2) = M / (2 * D) = 0,5*M / D
i wstawiamy ją do wzoru na wymaganą średnicę nitu:

d =√[T/(π*kt) = √[(0,5*M/D) / (π*kt)]= √[(0,5*M) / (π*kt*D)]

Prawda że łatwe?

Trójkierunkowy stan naprężenia – zadanie 45

W nieodkształcalnym sześcianie o boku L wycięto rowek o szerokości 0,5*L i wsunięto prostopadłościan o wymiarach jak na poniższym rysunku.
uogolnioneprawohooke - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Prostopadłościan obciążono poziomą siłą P i z drugiej strony taka sama siła działa na nieodkształcalny sześcian.
Materiał prostopadłościanu posiada moduł Younga E oraz stałą Poissona ν . Jak widać początkowa wysokość prostopadłościanu wynosi L i wobec tego autor zadaje pytanie:

OBLICZ ZMIANĘ WYSOKOŚCI PROSTOPADŁOŚCIANU PO PRZYŁOŻENIU SIŁY P

Na sam początek ustalamy układ współrzędnych.
uogolnioneprawohooke2 - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Kolejno , jak zawsze w zadaniach tego typu, piszemy

3 równania opisujące trójkierunkowy stan naprężenia

εx = σx/E – ν*σy/E – ν*σz/E [1]
εy = σy/E – ν*σx/E – ν*σz/E [2]
εz = σz/E – ν*σx/E – ν*σy/E [3]

z których mamy 6 niewiadomych:
– odkształcenia względne wzdłuż 3 osi – εx, εy , εz
– naprężenia wzdłuż 3 osi – σx , σy , σz

Z prostej mechaniki wynika 6 równań oraz 6 niewiadomych, czyli potrzebujemy 3 dodatkowych równań. Oczywiście te dodatkowe równania będą związane z naprężeniami i względnymi odkształceniami.
Wiadomo że prostopadłościan nie odkształci się w kierunku y, ponieważ jest wciśnięty w wycięcie sześcianu. w związku z tym względne odkształcenie wzdłuż osi y wynosi ZERO:
εy = 0 [4]

Po drugie widać że siła P działa na ściankę sześcianu

(o wymiarach 0,5*L x L)

wzdłuż osi x. Zatem naprężenie w kierunku x wyniesie tyle co siła podzielona przez powierzchnię:
σx = P : (0,5*L * L) = 2*P / L² [5]

W kierunku osi z na ścianki (o wymiarach 0,75*L x 0,5*L) nic nie naciska, a jak nic nie naciska, to w tym kierunku nie ma naprężenia:
σz = 0[6]

Teraz już pójdzie z górki, ponieważ wstawiamy powyższe równania do równań [1] , [2] oraz [3].

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E – ν*0/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*0/E [2]
εz = 0/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Po uproszczeniu:

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E [2]
εz = – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Wyciągamy σy z równania [2]:
σy/E = ν*(2*P / L²)/E
σy = ν*(2*P / L²)
i wstawiamy do równania [3] żeby obliczyć odkształcenie względne w kierunku pionowym:
εz = -ν * (2*P / L²)/E – ν/E * ν * (2*P /L²) = -ν*(2*P/L²)/E * (1+ν) =
= (1+ν)*ν*2*P / (E*L²)
Mnożąc

odkształcenie względne

przez

początkową wysokość L

obliczymy zmianę wysokości po przyłożeniu siły:
Δh = L*(1+ν)*ν*2*P / (E*L² ) = (1+ν)*ν *2*P / (E*L)
Prawda że łatwe?

Wytrzymałość złożona – rama obciążona siłami

Witam ponownie i dzisiaj zadanie z wytrzymałości złożonej, w którym rama zostanie obciążona dwiema siłami. Niedawno ten temat był tutaj poruszany

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zlozona-zadanie-29/

ale dzisiaj coś trochę innego. zlozona20 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Na szkicu widzimy ramę w kształcie litery T wmurowaną z jednej strony w ścianę (naukowcy to nazywają utwierdzeniem) i obciążoną na pozostałych końcach dwiema pionowymi siłami P oraz 2*P. Oto co mówi autor zadania:

NARYSUJ WYKRESY SIŁ WEWNĘTRZNYCH

Dla porządku oznaczymy sobie punkty charakterystyczne – te literki A, B, C oraz D na czerwono zlozona21 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłamiW ten sposób powstały 3 przedziały: A-C , B-C oraz C-D.

Warto będzie przypomnieć, że (tak jak w wytrzymałości złożonej) w każdym z przedziałów MOGĄ (ale nie muszą ) wystąpić następujące rodzaje obciążeń czyli siły wewnętrzne, o które pyta autor:
– rozciąganie lub ściskanie
– zginanie
– skręcanie
– ścinanie
Lecimy po kolei i zaczynamy od przedziału najbardziej ZEWNĘTRZNEGO od ściany czyli na przykład
AC.
Aby wszystko było jaśniejsze zasłaniamy ramę w taki sposób, żeby widzieć tylko odcinek AC – ta czerwona koperta jest po to, żeby zasłonić całą resztę ramy

zlozona22 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Czy w odcinku AC występuje zginanie? Tak występuje, ponieważ siła P działa PROSTOPADLE do odcinka AC. Moment zginający w punkcie A:
MgA = 0
W punkcie C:
MgC = P * L

Czy występuje rozciąganie? Nie występuje, bo żadna siła nie działa WZDŁUŻ odcinka AC.

Czy występuje skręcanie? Nie występuje, ponieważ jedyna siła P PRZECINA odcinek AC.

Czy występuje ścinanie? Tak występuje , ponieważ siła P działa PROSTOPADLE do odcinka AC:
TAC = P

Odcinek AC załatwiony a więc przechodzimy do odcinka
BC
i działamy w analogiczny sposób
zlozona23 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

Czy w odcinku BC jest zginanie? Tak ponieważ siła 2*P działa PROSTOPADLE do odcinka BC. Moment zginający w punkcie B:
MgB = 0
W punkcie C:
MgC = 2*P * L

Czy występuje rozciąganie? Nie występuje, bo żadna siła nie działa WZDŁUŻ odcinka.

Czy odcinek BC jest skręcany? Nie ponieważ jedyna siła 2*P PRZECINA odcinek BC.

Czy występuje ścinanie? Tak występuje , ponieważ siła 2*P działa PROSTOPADLE do odcinka BC:
TBC = 2*P

Odcinki AC oraz BC są załatwione, a więc idziemy dalej w kierunku ściany czyli do odcinka
CD
Zasłaniamy ramę w taki sposób, żeby widzieć wszystko poza punktem D czyli ścianą do której rama jest przymocowana.

ZLOZONA24 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Widzimy wszystkie 3 odcinki ramy ale również siły P oraz 2*P, które na nią działają. Wobec tego w analogiczny sposób jak wcześniej opowiemy sobie , jakie obciążenia działają na odcinek CD.
Czy jest rozciąganie? Nie ma ponieważ żadna siła nie działa wzdłuż odcinka CD

Czy jest zginanie? Widzimy że jest, ponieważ obie siły działają  W POPRZEK odcinka CD. Spójrzmy na to wszystko z boku:

zlozona25 1024x484 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłamiMoment gnący w punkcie C :
MgC = 0
Moment gnący przy samej ścianie – tutaj obie siły działają na ramieniu L:
MgD = 2*P*L + P*L = 3*P*L

Czy jest ścinanie? Jest, ponieważ jedna i druga siła działa w poprzek odcinka CD.
TCD = 2*P + P = 3*P

Czy jest skręcanie? Tak ponieważ są siły które nie przecinają odcinka CD i jednocześnie nie są do odcinka CD równoległe (jest mowa o sile P oraz o sile 2*P).
MsCD = 2*P*L – P*L = P*L

Mając obliczone wszystkie obciążenia można narysować wykresy sił tnących oraz momentów gnących i skręcających – już ustaliliśmy, że w żadnym odcinku nie ma rozciągania. Po kolei wykres momentu zginającego

zlozona26 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

momentu skręcającego

zlozona27 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

oraz siły tnącej.

zlozona28 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

I to wszystko – prawda że łatwe.