Równoważność pracy i energii – zadanie 3

Na początku była mowa o podstawach

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

ale dobrze będzie zrobić krok do przodu i dzisiaj powiemy o równoważności pracy i energii.

Mamy takie zadanie:

JAKĄ PRACĘ TRZEBA WYKONAĆ, ABY PRZEWRÓCIĆ NA BOK SZEŚCIAN O BOKU a I MASIE m ?

I na rysunku poniżej widać tę sytuację:

energia 1 - Równoważność pracy i energii - zadanie 3

I to jest bardzo proste: wystarczy przechylić sześcian, żeby stanął na kancie (lub KRAWĘDZI). Dalej już poleci sam i przewróci się na bok. Jedyna praca jaką trzeba wykonać to postawić sześcian na krawędzi. Żeby postawić sześcian na krawędzi to trzeba podnieść środek ciężkości o pewną wysokość – RÓŻNICĘ MIĘDZY POŁOWĄ BOKU A POŁOWĄ PRZEKĄTNEJ – widać to na załączonym szkicu POWYŻEJ. Jedyne czemu trzeba przeciwdziałać to siła ciężkości – trzeba pokonać pracę siły ciężkości, która działa w dół. Czyli praca wynosi:

SIŁA CIĘŻKOŚCI x PIONOWE PRZESUNIĘCIE ŚRODKA CIĘŻKOŚCI

L = m * g * [ 0,5 * a * √2  –  0,5 * a ]

W nawiasie ta pierwsza cząstka ( 0,5 * a * √2 ) to połowa przekątnej (przekątna kwadratu to bok razy pierwiastek z 2) , a druga ( 0,5 * a ) cząstka to połowa boku.

Wniosek wynikający z tego zadania to:

JEŻELI MAMY ZWIĘKSZYĆ ENERGIĘ UKŁADU TO MUSIMY WYKONAĆ PRACĘ MECHANICZNĄ

Mówiąc jeszcze inaczej, energia sama z siebie się nie zwiększy – żeby energia układu wzrosła, to musimy dostarczyć pracy – nie ma nic darmo.

Prawda ze proste?

Ruch płaski – obliczanie prędkości – kinematyka – zadanie 2

Tak żeby w praktyce sprawdzić podstawy, o których była mowa wcześniej,

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw  

dobrze będzie obliczyć prędkość w ruchu płaskim.

mechanika wstep 4 - Ruch płaski - obliczanie prędkości - kinematyka - zadanie 2

Oto typowe zadanie jakich tysiące:

Linka lub nić nawinięta na walec (lub szpulkę) o promieniu r. Koniec nici ma prędkość V. Widać że nić będzie się odwijać i walec będzie się toczyć w prawo. Walec się toczy a więc jednocześnie się obraca i przesuwa w prawo, czy li mamy ruch płaski i jest pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ PUNKTU A

Widać, że punkt A znajduje się na godzinie dziewiątej. Za chwile pojawi się takie określenie jak

TOCZENIE BEZ POŚLIZGU-

– to znaczy dokładnie tyle że walec toczy się po powierzchni i nic się wzajemnie nie ślizga. I teraz kolejne ważne określenie czyli

CHWILOWY ŚRODEK OBROTU

– to znaczy tyle że koło ma tylko jeden punkt styku z powierzchnią i to jest dokładnie ten ŚRODEK czyli punkt C, wokół którego cały walec się CHWILOWO kręci.

I to co bardzo ważne – CHWILOWY ŚRODEK OBROTU zawsze ma prędkość równą zero czyli Vc=0 – a to dlatego że TEN punkt styka się z powierzchnią, no to musi mieć taką samą prędkość jak powierzchnia ziemi – czyli ZERO.
Na początku ustaliliśmy, że walec porusza się ruchem PŁASKIM czyli jednocześnie ruchem POSTĘPOWYM i OBROTOWYM. A jeżeli jest ruch obrotowy to jest prędkość kątowa i trzeba ją policzyć żeby coś dalej ruszyć.

A co wiadomo na temat prędkości?

Wiadomo że koniec nici nawiniętej na walec jedzie z prędkością V, a ponieważ nitka się nie rozciąga to na całej długości mamy prędkość V, i tak samo z prędkością V porusza się najwyższy punkt koła czyli punkt B (  tak tak chodzi o ten punkt na godzinie dwunastej). A więc:

Vb = V

Jeżeli punkt jedzie w prawo z prędkością V a CHWILOWY ŚRODEK OBROTU stoi w miejscu, to można napisać zależność między prędkością liniową a kątową:
Vb = ω * 2*r
Czyli prędkość liniowa

to

iloczyn prędkości kątowej i odległości punktu od CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU

I z tego wzoru można obliczyć prędkość kątową walca:
ω = 0,5 * Vb : r
I jak już to obliczyliśmy,  to można obliczyć prędkość punktu A z tej samej zależności – prędkość punktu A jest iloczynem prędkości kątowej walca i odległości punktu A od CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU:
Va = ω * OA

Następnym razem zajmiemy się przyspieszeniem.

Rzutowanie siły na oś-siła i jej składowe – statyka

Dobrze będzie zająć się sprawą, która wynikła w zadaniach ze statyki czyli rzutowanie siły na oś oraz rozkładanie jej na składowe. Tutaj warto zwrócić uwagę na sytuację, gdy siła:

  • leży pod pewnym kątem do osi
  • i nie jest to kąt prosty.
    statyka3 - Rzutowanie siły na oś-siła i jej składowe - statyka
    Na rysunku powyżej widać siłę F, która jest pod kątem α do osi x.

Pionowo nad siłą F świeci LAMPA .

A że LAMPA świeci, to pod nią na osi x powstaje CIEŃ siły F, który jest od siły F krótszy i ma długość F*cosα – jest to RZUT siły F na oś x (dlaczego cosinus to za chwilę).

Tak w rzeczywistości to ten rzut siły na oś x (tak tak chodzi o ten cień) jest składową poziomą siły F.
I teraz trzeba głośno powiedzieć, że każdą siłę (która leży na płaszczyźnie) można rozłożyć na 2 składowe.

Tak jak na rysunku poniżej, jak mamy siłę F pod kątem α do poziomu, to możemy ją zastąpić dwiema składowymi:
F*cosa
F*sina
statyka4 - Rzutowanie siły na oś-siła i jej składowe - statyka
A dlatego cosinus lub sinus bo, jak wynika z trygonometrii, bok przyległy do kąta to cosinus, a przeciwległy to sinus.

Tego się ciągle używa przy równaniach równowagi – kolejna PODSTAWA

Tarcie statyczne – zadanie 1

Poprzednio zaczęliśmy omawiać podstawy,  a teraz warto będzie sprawdzić, jak to działa w praktyce i zaczynamy od zadania w którym wystąpi tarcie statyczne.

Co to jest tarcie statyczne?

Tarcie statyczne występuje między dwoma stykającymi się przedmiotami, jeżeli nie przemieszczają się one względem siebie.

To już wiemy o czym będzie mowa. Czas na pierwsze zadanie i autor zadaje pytanie:

Oblicz jaka musi być siła F6, aby ciało o ciężarze G pozostało w spoczynku

Czyli jak widać, na równi pochyłej ktoś położył pudło i pomiędzy pudłem a równią jest siła tarcia, ale to tarcie jest zbyt małe aby utrzymać pudło w miejscu. I dlatego żeby nie zjechało, to trzeba je lekko podtrzymywać siłą F6 i trzeba tę siłę policzyć.

statyka1 - Tarcie statyczne - zadanie 1

  1. Uwalniamy pudło od więzów

czyli

równię zastępujemy siłami nacisku i tarcia. Zwrot siły tarcia jest przeciwny do planowanego ruchu (czyli w tym przypadku zjazdu w dół pod własnym ciężarem). Jeżeli pudło ma ciężar G, to siła G działa pionowo w dół i jest przyłożona w środku ciężkości pudła. I jeszcze jest siła F6, którą mamy policzyć.

statyka2 - Tarcie statyczne - zadanie 1

Wszystkie siły zbiegają się w jednym punkcie (wszystkie przechodzą przez pudło) a więc mamy PŁASKI ZBIEŻNY układ sił. Ciało pozostaje w spoczynku, jeżeli sumy rzutów sił na obie osie układu współrzędnych równają się zero.

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

Dla wygody oś x możemy sobie ustawić zgodnie z pochyleniem równi czyli pod kątem α.  I teraz jak widać siłę G można rozłożyć na 2 składowe – G*sinα oraz G*cosα – które dadzą rzuty na odpowiednie osie czyli piszemy:

2. Równania równowagi
∑Pix = G*sinα – F6 – N*μ = 0 [1]
∑Piy = N – G*cosα = 0 [2]

Z [2] równania wychodzi siła nacisku:
N = G*cosα
którą wstawiamy do równania [1]:
G*sinα – F6 – G*cosα*μ = 0

Wymagana siła przyłożona do ciała (aby ono pozostało w spoczynku) wynosi:
F6 = G*sinα – G*cosα*μ = G*(sinα – cosα*μ)

To teraz widać że w zadaniu pojawiło się kilka nowych pojęć:

Ale o tym innym razem

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

A więc dzisiaj będzie o podstawach

DYNAMIKI

– zajmuje się ona działającymi siłami i ruchem ciał i tutaj spełniona jest

 DRUGA ZASADA DYNAMIKI NEWTONA

Jeżeli na ciało o masie m działa stała siła F

to

ciało porusza się z przyspieszeniem p = F/m

mechanika wstep 5 - Dynamika - druga zasada Newtona - podstawy

 

Jak już doszliśmy do dynamiki to za chwilę pojawiają się 3 pojęcia:

PRACA

ENERGIA

MOC

I dokładnie w tej kolejności – praca, potem energia a dopiero na końcu moc.

Zacznijmy od tego czym jest praca – tak bardzo prosto to

 ILOCZYN SIŁY I PRZESUNIĘCIA

przy czym i siła i przesunięcie są do siebie równoległe.

Jeżeli siła i przesunięcie NIE są równoległe

to

rzutujemy siłę na prostą wzdłuż której przesunięcie następuje i praca równa się:

RZUT SIŁY x PRZESUNIĘCIE

Przy ruchu obrotowym praca równa się iloczynowi momentu i kąta obrotu.

Jak już wiadomo czym jest praca to tym bardziej będzie wiadomo czym jest energia:

ENERGIA TO MOŻLIWOŚĆ WYKONANIA PRACY

I żeby było jeszcze ciekawiej to i pracę i energię mierzymy w dżulach (J). Zarówno energia może przechodzić w pracę, jak i praca może wywołać wzrost energii (na przykład wzrost energii jakiegoś ciała o jakiejś masie).
W zadaniach z dynamiki które robi się metodą energetyczną występuje równanie:

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ = PRACA WYKONANA

I to jest świetna ilustracja poprzedniego zdania – praca przeszła w energię lub odwrotnie.

Na przykład:

Kula o masie M spada z dachu o wysokości H. I teraz zadajemy sobie pytanie:

DLACZEGO KULA SPADA?

I to też jest proste: kula spada bo działa na nią siła grawitacji. Grawitacja działa w dół i kula też spada w dół czyli i siła i przesunięcie są do siebie równoległe :

PRACA SIŁY CIĘŻKOŚCI = SIŁA CIĘŻKOŚCI x PRZESUNIĘCIE

Jeżeli siła ciężkości wykonała pracę

to

musiała się zmienić energia kinetyczna kuli – no i się zmieniła dokładnie o tyle ile pracy zostało wykonane:

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ = SIŁA CIĘŻKOŚCI x PRZESUNIĘCIE

Prawda że proste?

To na razie tyle podstaw i drugiej zasady dynamiki Newtona.

I to będzie jeszcze prostsze jak przejdziemy to zadań.