Dylatacja czasu i prędkość światła

Witam Was i dzisiaj opowiemy o tak zwanej dylatacji czasu i prędkości światła. Na pewno słyszałeś o Albercie Einsteinie. Może jednak nie słyszałeś, że upływ czasu zależy od prędkości. Klasyczna mechanika jest spełniona tylko przy prędkościach znacznie mniejszych od prędkości światła w próżni. Ktoś kiedyś mówił o tak zwanym paradoksie bliźniąt, ale jak tak naprawdę płynie czas gdybyśmy poruszali się z prędkością porównywalną z prędkością światła?

Rozwiązanie zawarte jest w tak zwanej szczególnej teorii względności i transformacji Lorentza:
Czas dla obiektu poruszającego się płynie wolniej niż czas dla obiektu w spoczynku. Jeżeli udałoby się rozpędzić statek kosmiczny do prędkości porównywalnej z prędkością światła (na przykład połowa czy trzy czwarte prędkości światła) to dojdzie do zjawiska

DYLATACJI CZASU

czyli różnicy w pomiarze czasu dla dwóch różnych układów odniesienia. Pisząc precyzyjnie to dylatacja czasu zachodzi zawsze, ale przy prędkościach znacznie mniejszych od prędkości światła jest tak niewielka, jakby jej nie było. Poniżej widzimy zależność upływu czasu w układzie nieruchomym z upływem czasu w układzie poruszającym się z ogromną prędkością:

dylatacja1 - Dylatacja czasu i prędkość światła
gdzie:
t oraz to – czas dla obserwatorów odpowiednio nieruchomego i poruszającego się
u – prędkość poruszania się układu/obserwatora ruchomego
c=300 000 000m/s – prędkość światła w próżni

Można zauważyć że jeżeli pod u podstawimy bardzo dużą liczbę (porównywalną z prędkością światła), to wyrażenie pod pierwiastkiem będzie znacznie mniejsze od 1, czyli cały pierwiastek też będzie dużo mniejszy od 1. Biorąc to wszystko pod uwagę jeżeli podzielimy czas obserwatora w ruchu przez jakiś ułamek, to okaże się że czas dla układu stojącego w miejscu będzie znacznie dłuższy.

Ruch obiegowy księżyca wokół planety – dynamika – zadanie 55

Witam wszystkich i dzisiaj zahaczymy o astronomię i dynamikę:
Księżyc o masie m obiega planetę o masie M w odległości L. Okres obiegu wynosi T.

ksiezycokrazaplanete - Ruch obiegowy księżyca wokół planety - dynamika - zadanie 55

Oblicz stosunek promieni ruchu (planety i księżyca) R/r wokół wspólnego środka masy.

Takie jest pytanie i na księżyc obiegający planetę działają:
– siła grawitacji Fg (z tego powodu że planeta go przyciąga )
– oraz siła odśrodkowa (ponieważ księżyc leci po okręgu)

To teraz zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

(masa razy przyspieszenie równa się sumie sił)

napiszemy równanie dynamiczne dla księżyca wykonującego ruch obiegowy wokół planety:

ksiezycokrazaplanete2 - Ruch obiegowy księżyca wokół planety - dynamika - zadanie 55

m * an = Fg

w którym występuje przyspieszenie normalne:

an = V² / R

oraz siła grawitacji:

Fg = G * M * m / L²

Okres T jest czasem jednego obiegu księżyca wokół planety. Przy założeniu że orbita jest okręgiem (to tylko założenie bo w rzeczywistości jest elipsą) prędkość obiegu wynosi:

V = 2 * π * R / T

Jak mamy wszystkie składniki, to wstawimy je do równania dynamicznego:

m * (2 * π * R / T)² / R = G * M * m / L²

i trochę to uprościmy:

m * 4 * π² * R / T² = G * M * m / L²

oraz podzielimy obie stromy przez masę m:

4 * π² * R / T² = G * M / L²

4 * π² * R * L² = G * M * T²

Z tego można policzyć promień na którym księżyc obiega wspólny środek masy:

R = ( 0,25 * G * M * T² ) / (π² * L²) = ( 0,025 * G * M * T² ) / L²

Różnica między daną odległością planeta-księżyc a obliczonym promieniem R daje (znacznie mniejszy) promień obiegu planety wokół wspólnego środka masy:

r = L – R = L – ( 0,025 * G * M * T² ) / L²

Stosunek promieni obiegu planety i księżyca wokół wspólnego środka masy wynosi:

r/R = [L – ( 0,025 * G * M * T² ) / L² ] / [( 0,025 * G * M * T² ) / L²]

Tyle wyszło, ale jedno jest pewne:
Wspólny środek masy (wokół którego oba ciała obiegają) znajduje się znacznie bliżej środka tego cięższego czyli planety. Sprawdzimy to na przykładzie Ziemi i księżyca dla następujących danych:

Stała grawitacji:
G = 6,67408 * 10-11 m3/(kg*s2)

Masa Ziemi:
M = 5,9722 * 10 24 kg

Okres obiegu:
T = 27,3 dnia = 655,2h = 2358 720s

Odległość Ziemia księżyc:
L = 384 400km = 384 400 000m

r/R = [L – ( 0,025 * G * M * T² ) / L² ] / [( 0,025 * G * M * T² ) / L²] =

= [384 400 000 +
– (0,025*6,67408*10-11 * 5,9722*10 24*2358720²) / 384400000²] /

/ [(0,025*6,67408*10-11 * 5,9722*10 24  * 2358720²  / 384400000²]  = =0,024 800 41
czyli odległość Ziemi od wspólnego środka masy wynosi około 2,5% odległości Ziemia-Księżyc czyli około 9,5km

Prawda że łatwe?

Siła naporu wiatru na parasol – dynamika – zadanie 54

Cześć Wam i teraz zrobimy zadanie z dynamiki z elementami aerodynamiki, które brzmi:

ILE RAZY OPÓR POWIETRZA (SIŁA NAPORU WIATRU) PARASOLA JEST WIĘKSZY NIŻ W PRZYPADKU ODWRÓCONEGO PARASOLA

silanaporuwiatru1 1024x389 - Siła naporu wiatru na parasol - dynamika - zadanie 54

Tak prostymi słowami, to zdarzyło Ci się, że przy porywistym wietrze parasol wywinął się w górę i o tę sytuację tutaj chodzi.

Przypomnijmy sobie jak się liczyło siłę oporu powietrza:

Prędkość spadania spadochroniarza – zadanie 50

Fop = ρ*V²/2 * A * Cx

gdzie:
ρ*V²/2 – ciśnienie dynamiczne
ρ=1,226kg/m3 – gęstość powietrza
V – prędkość wiatru
A – powierzchnia rzutu parasola
Cx – przybliżony współczynnik oporu powietrza czaszy parasola

Powierzchnia rzutu parasola to zwyczajnie powierzchnia koła o średnicy parasola. Można przyjąć średnicę parasola na :

D = 0,97 m

czyli powierzchnia rzutu wyniesie:

A = π/4 * D² = π/4 * 0,97² = 0,74m2

Współczynnik oporu powietrza czaszy parasola wynosi około:

Cx = 1,42

Dla porównania taki sam współczynnik dla parasola wywiniętego do góry:

Cx2 = 0,34

Teraz obliczymy siłę naporu na parasol dla wiatru (określanego jako silny) o prędkości

V = 49km/h = 13,6 m/s:

i jest to sytuacja, gdy podmuch próbuje wyrwać parasol z ręki,  w rezultacie przechyla go na bok i wieje wzdłuż uchwytu:

silanaporuwiatru2 - Siła naporu wiatru na parasol - dynamika - zadanie 54

Fop = ρ*V²/2 * A * Cx =
= 1,226kg/m3 *13,6² / 2 * 0,74m2 * 1,42 = 119N

czyli jest to już odczuwalna siła dla człowieka trzymającego parasol, pod warunkiem że parasol to wytrzyma i jego druciana konstrukcja nie ulegnie dewastacji.

Dla porównania obliczymy siłę naporu na parasol w pozycji odwiniętej do góry i w tym samym położeniu – i tutaj różny będzie jedynie współczynnik oporu powietrza wynikający z innego (odwrotnego) kształtu:

silanaporuwiatru3 - Siła naporu wiatru na parasol - dynamika - zadanie 54

Fop = ρ*V²/2 * A * Cx =
= 1,226kg/m3 *13,6² / 2 * 0,74m2 * 0,34 = 28N

Jak widać różnica jest ponad czterokrotna i dlatego wywinięty parasol jest łatwiej utrzymać na wietrze.

Prędkość satelity na orbicie – dynamika – zadanie 53

Nad naszymi głowami lata coraz więcej statków kosmicznych i satelitów i tutaj nasuwa się pytanie, z jaką prędkością porusza się taki pojazd żeby na takiej orbicie trwale się utrzymać, czyli okrążać Ziemię na określonej wysokości? Na tę okoliczność zrobimy zadanie pod tytułem

OBLICZ WYMAGANĄ PRĘDKOŚĆ SATELITY OKRĄŻAJĄCEGO ZIEMIĘ NA WYSOKOŚCI h=350km

pierwszapredkosckosmiczna1 - Prędkość satelity na orbicie - dynamika - zadanie 53

Wiemy, że promień Ziemi wynosi

R=6371km

a więc satelita będzie latać po okręgu o promieniu:

R + h = 6371km + 350km = 6721km

Wiadomo również że na satelitę będzie działać:
siła odśrodkowa (dlatego że leci po okręgu)
– oraz grawitacja (dlatego że lata w pobliżu Ziemi)

pierwszapredkosckosmiczna2 - Prędkość satelity na orbicie - dynamika - zadanie 53

Jeżeli te dwie powyższe siły będą równe, to satelita będzie latać wokół Ziemi na tej samej wysokości czyli na tak zwanej orbicie okołoziemskiej. I w ten sposób powstało równanie dynamiczne wynikające z II zasady dynamiki Newtona:

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

m * an = Fg

Po lewej stronie występuje

przyspieszenie normalne

wynikające z ruchu po okręgu:

an = V² / (R+h)

Jak teraz to wstawimy do równania dynamicznego to po jego lewej stronie zobaczymy siłę odśrodkową i o to chodziło

m * V² / (R+h) = Fg

Czas na

siłę grawitacji

i jest ona równa iloczynowi mas ciał pomnożonemu przez tak zwaną stałą grawitacji i podzielonemu przez kwadrat odległości między nimi :

Fg = G * M * m / (R+h)²

Wielkość zwana stałą grawitacji (jak wiele stałych fizycznych) jest dokładnie określoną liczbą, opisuje pole grawitacyjne i wynosi w przybliżeniu:

G = 6,674 08 * 10-11 m3/(kg*s2)

W jakiś sposób masa Ziemi również jest znana i wynosi w przybliżeniu:

M = 5,9722 * 10 24 kg

Jak wstawimy siłę grawitacji do równania dynamicznego:

m * V2 / (R+h) = G * M * m / (R+h)²

to pozostanie uprościć wszystko co możliwe (dzielimy obie strony przez m i mnożymy obie strony przez (R+h)):

V² = G * M / (R+h)

W rezultacie dostaniemy szukaną prędkość satelity na orbicie:

V = √[G * M / (R+h)] =

= √[6,67408*10-11 m³/(kg*s²) * 5,9722*10 24 kg / 6721 000m] = 7701m/s

Ta prędkość równa około 7,7km/s jest

pierwszą prędkością kosmiczną

czyli taką która zapewnia satelicie poruszanie się wokół Ziemi po zamkniętej orbicie. Jeżeli z dowolnej przyczyny prędkość zostanie zmniejszona, to rozpocznie się tak zwana deorbitacja czyli sprowadzenie statku kosmicznego z orbity. Metodą na zmniejszenie prędkości jest włączenie wstecznego ciągu silnika rakietowego.

Nowy środek transportu – Hyperloop – moc napędu – zadanie 52

Jak wiesz, w mediach ukazały się informacje na temat nowego środka transportu o nazwie Hyperloop, którego prędkość ma dochodzić do… 1200km/h. Pojazd będzie miał formę opływowej kapsuły mieszczącej maksymalnie 28 osób. Osiągnięcie tak wielkiej prędkości będzie możliwe, ponieważ  kapsuła będzie się poruszała wewnątrz tunelu-rury wewnątrz której ciśnienie zostanie znacznie obniżone. Planowane jest ustalenie ciśnienia na poziomie

p = 100Pa

gdzie ciśnienie powietrza na Ziemi na poziomie morza wynosi średnio

pa = 1013,25hPa = 101 325Pa

Obniżenie ciśnienia spowoduje korzystne obniżenie oporu powietrza, który ma znaczący udział przy poruszaniu się pojazdów i innych ciał w atmosferze.
Na tę okoliczność zrobimy zadanie, w którym obliczymy

MOC POTRZEBNĄ DO NAPĘDU KAPSUŁY HYPERLOOP

Wszyscy wiemy że:

moc

równa się

siła

razy

prędkość.

Prędkość już znamy i teraz skupimy się na obliczeniu siły. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona

jeżeli siły działające na pojazd będą się równoważyć
to
pojazd będzie się poruszać ze stałą prędkością.

A co to znaczy że siły się równoważą:

To znaczy że działają na to samo ciało i suma ich rzutów wynosi ZERO.

HYPERLOOP1 1024x179 - Nowy środek transportu - Hyperloop - moc napędu - zadanie 52

Na powyższym widzisz schemat obciążenia kapsuły poruszającej się ze stałą prędkością – działa na nią siła napędowa i taka sama co do wartości siła oporu. Zgodnie z tym suma rzutów sił na oś ruchu będzie wyglądać tak:

ΣPix = Fn – Fop = 0

czyli siła napędowa będzie równa sile oporu:

Fn = Fop

Ponieważ pojazd będzie się poruszać na poduszce magnetycznej, to opory tarcia zostaną wyeliminowane i jedynym oporem będzie siła oporu powietrza:

Fop = ρp*V² / 2 * A * Cx

gdzie:
ρp*V² / 2 – ciśnienie dynamiczne
ρp – gęstość powietrza w rurze
V=1200km/h=333m/s – prędkość
A – powierzchnia czołowa kapsuły
Cx=0,2 – przybliżony współczynnik oporu powietrza kapsuły

Średnica kapsuły ma wynieść 2,23m a więc powierzchnia czołowa:

A = 0,25 * π * 2,232 = 3,9m2

Zgodnie z równaniem stanu gazu doskonałego:

p * v = m * R * T

gdzie:
v – objętość gazu
m – masa
R – uniwersalna stała gazowa
T – temperatura gazu
jeżeli obniżymy ciśnienie gazu to tyle samo razy obniży się jego gęstość.
Ze wstępnych założeń wynika, że ciśnienie w rurze będzie około

pa/p = 101 325Pa / 100Pa = 1013

razy mniejsze niż atmosferyczne. Wobec tego gęstość powietrza w rurze będzie 1013 razy mniejsze niż gęstość atmosfery, która wynosi:

ρ=1,226kg/m3

Biorąc pod uwagę to co dotychczas wiadomo opór powietrza wyniesie:

Fop = 1/1013 * ρ * V² / 2 * A * Cx =
= 1/1013 * 1,226kg/m3 * 333² / 2 * 3,9m2 * 0,2 = 52N

Zwróćcie uwagę, że gdyby ruch odbywał się w atmosferze ziemskiej, to opór byłby… 1013 razy większy!!! – na tym ma polegać cała przewaga Hyperloop – poruszanie się w rurze gdzie ciśnienie jest mocno obniżone.

Z tego już możemy obliczyć moc napędu kapsuły potrzebna do jazdy ze stałą prędkością 1200km/h:

N = Fop * V = 52N * 333m/s = 17 316W

Nie jest dużo, ponieważ udało się zminimalizować opór aerodynamiczny