Mechanika – środek ciężkości – zadanie 16

Na początek powiedzmy sobie co to jest środek ciężkości:

Bierzemy do ręki kawałek płaskiej blachy albo deski i jeżeli podeprzemy gdzieś pod spodem tak, żeby to się nie przewróciło, to w tym miejscu będzie środek ciężkości.

srodekciezkosci1

I tutaj mamy taki element o podanych wymiarach. Oto jak sobie poradzić z obliczeniem środka ciężkości:

1. Dzielimy go na kilka prostszych elementów, czyli w tym przypadku na przykład trójkąt (o podstawie 2*a i wysokości a) i półkole o promieniu a.

srodkiciezkosci2

To wszystko dlatego, że znamy położenie środka ciężkości prostych elementów takich jak koło, prostokąt czy trójkąt.

 

2. Umieszczamy tak podzieloną figurę w układzie współrzędnych. Tylko teraz powstaje pytanie jak to umieścić?

srodkiciezkosci3

Najlepiej umieścić figurę nad osia x i jeżeli figura jest symetryczna, to oś symetrii powinna pokrywac się z osią ”y”.

3. Kolejny etap to działamy według prostego wzoru

 

pole półkola * ś.c.półkola + pole trójkąta * ś.c.trójkąta

yc = ———————————————————————————————

całkowite pole figury

 

To teraz mały komentarz do powyższego wzoru:

Środek ciężkości na przykład półkola lub trójkąta określamy w tym układzie współrzędnych, w którym tę figurę wstawiliśmy. Wiemy że środek ciężkości trójkąta jest 1/3 wysokości od podstawy, ale w tym przypadku ma on współrzędną równą 2/3*a, ponieważ trójkąt stoi podstawą do góry.

Środek ciężkości półkola znajduje się 4*a/(3*) od podstawy czyli w naszym przypadku współrzędna wynosi (a + 4*a/(3*)) , ponieważ samo pólkole jest w odległości a od osi ”x”.

I teraz wprowadzamy poszczególne wartości do wzoru na współrzędną ”yc” środka ciężkości:

 

1/2**a2 * (a + 4*a/(3*) + 1/2*2*a*a * 2/3*a

yc = ———————————————————————————–

1/2**a2 + 1/2*2*a*a

 

To teraz po kolei co wpisalismy do licznika:

– 1/2**a2 to pole półkola o promieniu a.

– (a + 4*a/(3* to wspólrzedna ”y” środka ciężkości półkola czyli odległość od osi ”x”

– 1/2*2*a*a  to pole trójkąta

– 2/3*a  to współrzędna ”y” środka ciężkości trójkąta

W mianowniku mamy sumaryczne pole figury.

Po uproszczeniu mamy coś takiego:

 

1/2**a + 4/3*a

yc = ——————————— = 1,1*a

1/2* + 1

srodkiciezkosci4

I jest to współrzędna ”y” środka ciężkości figury.

Ponieważ figura ma oś symetrii pokrywającą się z osią ”y” , to współrzędna ”x” środka ciężkości wynosi

xc = 0

Kinematyka – podstawy – ruch obrotowy – przyspieszenie kątowe

Dzisiaj będzie krótko i treściwie, ale sprawa jest istotna:

Przy okazji omawiania podstaw kinematyki pisaliśmy o przyspieszeniu liniowym  które oznacza zmianę prędkości w czasie i dotyczy ruchu postępowego.

A jak to wygląda w przypadku ruchu obrotowego?

 

Po pierwsze

Położeniu w ruchu obrotowym odpowiada KĄT (wyrażony w radianach [rad]).

 

Po drugie

Prędkości w ruchu obrotowym odpowiada PRĘDKOŚĆ KĄTOWA (wyrażona w radianach na sekundę [rad/s]) i oznacza zmianę położenia kątowego w czasie:

=  / t

gdzie:

Δ∝ – zmiana położenia kątowego czegoś tam na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana położenia nastąpiła

 

Przyspieszeniu w ruchu obrotowym odpowiada PRZYSPIESZENIE KĄTOWE (wyrażone w radianach na sekundę do kwadratu [rad/s2]. Oznacza ono zmianę prędkości kątowej w czasie:

=  / t

gdzie:

Δω – zmiana prędkości kątowej czegoś co się obraca – na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana prędkości kątowej nastąpiła

Mechanika – podstawy – II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

I tak ponownie wracamy do podstaw, ponieważ o tych podstawach zdarza nam się zapominać. O zasadach dynamiki było już na samym początku i o II zasadzie również. Tylko że wtedy było to odniesione do ruchu postępowego:

F = m * a [1]

czyli jeżeli na ciało o masie m działa siła F, to to ciało jedzie z przyspieszeniem a.

 

A jak to będzie w przypadku ruchu obrotowego:

M = J * 

czyli jeżeli na ciało o masowym momencie bezwładności J działa moment M, to ciało obraca się z przyspieszeniem kątowym .

Jak patrzymy na wzór [1] i [2] to siłę F zamieniono na moment M (przy ruchu obrotowym sile odpowiada moment), zamiast masy jest masowy moment bezwładności, a zamiast przyspieszenia liniowego mamy przyspieszenie kątowe. I to właściwie tyle jeżeli chodzi o uzupełnienie II zasady dynamiki Newtona.

Statyka – podstawy – dodawanie wektorów pod różnymi kątami

Drobna wzmianka na temat sumy wektorów pojawiła się przy okazji rozkładu siły na składowe

statyka11

tylko, że to było proste, ponieważ mieliśmy 2 wektory do siebie prostopadłe.

Innym razem może się zdarzyć że trzeba dodać 2 wektory ustawione względem siebie o kąt . I co wtedy:

statyka6

Mamy 2 wektory i ustawiamy je w taki sposób, żeby ich początki były w jednym punkcie.

statyka7

Jak oba wektory wychodzą z jednego punktu, to tworzą 2 boki równoległoboku. Przekątna tego równoległoboku wychodząca z tego samego wierzchołka, co 2 dodawane wektory jest sumą tych wektorów.

statyka8

To wiemy już jak to narysować, a teraz jak obliczyć wartość sumy wektorów czyli długość tej przekątnej?

Jak dodajemy dwie siły i któraś z nich leci pod kątem, to tą siłę która jest pod kątem rozkładamy na 2 składowe (pionową i poziomą) – o tym już niedawno pisaliśmy.

statyka9

To teraz widzimy 2 składowe siły F1 oraz siłę F2. Następnie wszystkie składowe poziome dodajemy do siebie i wszystkie składowe pionowe też dodajemy do siebie (wyjątkowo w tym przypadku:

– w poziomie są 2 siły

– i w pionie jest jedna siła).

statyka10

I teraz to się zrobiło jeszcze łatwiejsze:

Składowe poziome leżą na jednym boku, a składowe pionowe leżą na drugim przyległym boku prostokąta. Teraz widać, że suma wektorów jest przekątną prostokąta i można ją obliczyć w taki sam sposób jak przy sumie 2 wektorów prostopadłych do siebie:

statyka12

Kinematyka-przyspieszenie styczne i normalne – przypomnienie podstaw

O tym już było przy okazji zadań z ruchu płaskiego, ale zanim przejdziemy do trudniejszych, to warto przypomnieć jedną z podstaw kinematyki:

Wyobraźmy sobie, że pojazd jedzie po drodze i wjeżdża w zakręt o promieniu R i z prędkością V i wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne przyspieszenia:

kinematyka3

– styczne

– i normalne

Przyspieszenie styczne pt (jak wskazuje jego nazwa) jest STYCZNE do łuku drogi, po której jedzie. Jest ono równe pochodnej prędkości po czasie

pt = dV/dt

a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość się NIE ZMIENIA to przyspieszenie styczne jest równe ZERO.

Przyspieszenie normalne pn jest zwrócone do środka łuku, po którym pojazd jedzie i jest ono równe:

pn = V2 : R

Całkowite przyspieszenie punktu jadącego po łuku jest sumą obu wektorów przyspieszeń czyli stycznego i normalnego.

Statyka-zadanie 8

Dobrze będzie teraz powrócić do statyki i teraz zrobimy takie zadanie:

Jest sobie belka oparta na dwóch podporach (w punktach A i B) – to tak jakby ktoś wziął szynę tramwajową i położył na dwóch cegłach.

W punkcie A jest podpora PRZEGUBOWA STAŁA czyli pozwalająca tylko na obrót belki wokół punktu A. A więc lewy koniec belki NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie.

W punkcie B jest podpora PRZEGUBOWA PRZESUWNA (bo widać tutaj dwie poziome kreski) pozwalająca na obrót belki wokół punktu B oraz przesuw poziomy (poziomy bo są dwie poziome kreski). A więc w punkcie B belka NIE MOŻE pojechać w pionie.

Teraz uwalniamy belkę od więzówstatyka5

czyli zastępujemy dwie podpory (A i B) siłami . Jak napisano trochę wcześniej lewy koniec belki (w punkcie A) NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie i dlatego rysujemy DWIE reakcje (pionową i poziomą – nieważne czy prawo czy lewo i czy góra czy dół) działające na belkę. Krótko mówiąc reakcje działające na belkę pokazują, w którą stronę belka NIE MOŻE pojechać.

Tak samo w punkcie B rysujemy reakcję pionową bo w pionie belka NIE MOŻE pojechać.

Teraz kolej na równania równowagi. Ponieważ wszystkie siły leżą na płaszczyźnie i nie przecinają się w jednym punkcie to jest to układ sił PŁASKI ROZBIEŻNY. Dla układu płaskiego rozbieżnego piszemy TRZY równania równowagi:

suma rzutów sił na oś poziomą (przeważnie x)

i na oś pionową (przeważnie y)

oraz moment sił względem dowolnego punktu.

Na jednej osi wszystko wytłumaczymy i dalej wszystko będzie bardzo proste. Suma rzutów sił na oś x to suma wszystkich sił poziomych i rzutów sił poziomych.

Z sumy rzutów sił na oś x:

Pix = (-RAx) – F1*cos = 0 [1]

Z sumy rzutów sił na oś y:

Piy = RAy – F1*sin+ F2 + F3 + RB = 0 [2]

Z sumy momentów względem punktu A:

MiA = F1*sin*1 – F2*2 – RB*4 – F3*5 = 0 [3]

Przekształcając równanie [3] otrzymujemy:

4*RB = F1*sin*1 – F2*2 – F3*5

Reakcja w podporze przegubowej przesuwnej wynosi:

RB = 0,25*F1*sin – 0,5*F2 – 1,25*F3

Z [2] równania obliczymy reakcję pionową w podporze przegubowej stałej:

RAy = F1*sin– F2 – F3 – RB

Z równania [1] obliczymy reakcję poziomą w lewej podporze:

RAx = (-F1)*cosα

Kolejne trudniejsze zadania w następnym odcinku

 

Dynamika- zadanie 7

Witam ponownie i ponownie mamy proste zadanko z dynamiki:

 

Do nieważkiego bębna o promieniu r przyłożono moment Mo. Na obu końcach cięgna nawiniętego na bęben zawieszono 2 masy m. Pomiędzy cięgnem a bębnem nie ma poślizgu.

dynamika4

Ile wyniosą przyspieszenia poruszających się mas?

 

Tyle wiadomo  teraz żeby się do tego zabrać to na wstępie:

Trzeba założyć, w jaki sposób to wszystko się będzie poruszać.

Przyłożony moment obraca kołem zgodnie ze wskazówkami zegara, czyli można się domyśleć, że lewe pudło pojedzie w górę, a prawe pudło będzie zjeżdżać w dół. Ponieważ oba pudła są połączone nierozciągliwą liną, to jedno i drugie pudło będzie się poruszać z takim samym przyspieszeniem.

W drugim kroku trzeba uwolnić od więzów wszystkie ciała, które mają masę, czyli to będzie lewe pudło i prawe pudło.dynamika5

Uwalniamy od więzów, czyli zastępujemy linę siłą napięcia S1 i ponieważ ciało posiada masę to w środku ciężkości przykładamy siłę ciężkości m*g. Z poprzedniego kroku zakładamy przyspieszenie ciała w górę.

Trzeci krok to jeżeli pudło uwolniliśmy od więzów to teraz piszemy równania dynamiczne pochodzące z II prawa dynamiki Newtona:
ILOCZYN MASY CIAŁA I JEGO PRZYSPIESZENIA RÓWNA SIĘ SUMIE PRZYŁOŻONYCH DO NIEGO SIŁ.
Należy zaznaczyć że siły leżą na kierunku przyspieszenia:
m * p = S1 – m*g [1]

dynamika6

Analogicznie postępujemy z drugim pudłem czyli siłę w linie zastępujemy siłą S2 i przykładamy ciężar m*g. Równianie dynamiczne przyjmie postać:

m * p = m*g – S2 [2]

Mamy 2 równania dynamiczne i teraz liczymy niewiadome:
p , S1 , S2
czyli 3 niewiadome i 2 równania a więc potrzebne jest dodatkowe równanie dynamiczne lub kinematyczne. I tutaj warto wykorzystać krążek, do którego przyłożono moment – dla niego napiszemy równanie dynamiczne dla ruchu obrotowego:

dynamika3

J * e = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

Wiadomo że moment bezwładności krążka wynosi zero, ponieważ krążek jest nieważki:
J = 0
I wiadomo, jaka jest relacja między przyspieszeniami:
– kątowym bębna
– i liniowym pudła:
p = ε * r
I z tego obliczymy przyspieszenie kątowe krążka:
ε = p : r
I teraz to co powyżej wstawiamy do równania [3]:
0 * p/r = S2 * r + Mo – S1 * r

0 = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

To jak już mamy 3 równania, to przyrównujemy stronami równania [1] i [2]:
S1 – m*g = m*g – S2
S1 = 2*m*g – S2 [1+2]

Z równania [3] wyciągamy siłę w linie S1:
S1 * r = S2 * r + Mo
S1 = S2 + Mo/r  [3]

Równania [1+2] oraz [3] odejmujemy stronami:
S1 – S1 = 2*m*g – S2 – S2 – Mo/r
0 = 2*m*g – 2*S2 – Mo/r
0 = m*g – S2 – 0,5*Mo/r
S2 = m*g – 0,5*Mo/r

Z równania [1] wyciągamy p, podstawiamy obliczone powyżej S2 i od razu dostajemy szukane przyspieszenie:
p = g – S2/m = g – ( m*g – 0,5*Mo/r )/m = g – ( g – 0,5*Mo/(r*m) )  =
= 0,5*Mo/(r*m)