Dynamika – energia – zadanie 21

Mamy takie oto zadanie z energii:

energia2

Większa masa wisi na linie, która jest na górze przełożona przez krążek i leci do mniejszej masy która leży na powierzchni. Tutaj współczynnik tarcia wynosi . autor zadaje pytanie:

JAKĄ PRĘDKOŚĆ OSIĄGNIE WIĘKSZA WISZĄCA MASA PO PRZEBYCIU DROGI H ?

 

Po pierwsze

 

To teraz ustalmy w którą stronę ten cały układ jedzie:

Nie ma mowy o żadnej prędkości , a więc wszystko startuje ze startu zatrzymanego.

Wisząca większa masa M pod własnym ciężarem spada w dół i ciągnie mniejszą masę, która jedzie w prawo. Ponieważ oba pudła połączono nierozciągliwą liną, to oba jadą z taką samą prędkością.

energia3

Po drugie

 

Jeżeli wiadomo, jak to działa, to zaznaczamy siły ZEWNĘTRZNE działające na układ. W tym przypadku są to:

– ciężar m*g działający na masę m

– nacisk N działający na masę m

– tarcie N* działające na masę m

– ciężar działajacy na masę M

 

Po trzecie

 

Z równoważności pracy i energii wynika że zmiana energii kinetycznej układu jest równa wykonanej pracy:

Ek2 – Ek1 = L

Układ rusza ze startu zatrzymanego, a więc początkowa energia kinetyczna:

Ek1 = 0

Energia kinetyczna końcowa będzie zwiazana z ruchem ciał posiadających masę:

Ek2 = M * V² / 2 + m * V² / 2

i tak jak napisano wcześniej obie masy, duża i mała, jadą z taką samą prędkością V.

I teraz prawa strona równania:

Pracę wykonują siły, które są RÓWNOLEGŁE do przesunięcia. W tym przypadku równoległe do przesunięcia są:

– ciężar wiszącego pudła – pudło jedzie w dół i jego ciężar też działa w dół

– tarcie działające na mniejsze pudło – pudło jedzie poziomo i tarcie też działa poziomo.

Praca równa się iloczynowi SIŁY razy PRZESUNIĘCIE, a więc prawa strona równania będzie wyglądać tak:

L = M * g * H – N * * H

Powyżej widać, że tarcie działa na takiej samej drodze H jak przesunięcie w pionie duzego pudła, ponieważ oba pudła połączono nierozciągliwą liną. Całe równanie będzie wyglądało tak:

M * V² / 2 + m * V² / 2 – 0 = M * g * H – N * * H

To teraz policzymy niewiadome:

Jak widać nie znamy prędkości V i nacisku N. Uwalniamy od więzów pudło o mniejszej masie m czyli:

energia4

– przykładamy ciężar m * g

– zastępujemy podłoże naciskiem N i tarciem N *

– zastępujęmy linę siłą naciągu S

Kolejno piszemy sumę rzutów na oś y, ponieważ tam występuje nieznany nacisk N:

Piy = N – m*g = 0

czyli nacisk na lżejsze pudło:

N = m * g

i wstawiamy to do ogólnego równania:

M * V² / 2 + m * V² / 2 – 0 = M * g * H – m * g * * H

Mnożymy obie strony równania przez 2:

M * V² + m * V² = 2 * M * g * H – 2 * m * g * * H

i wyciągamy kwadrat prędkości przed nawias:

V² * (M+m) = 2 * M * g * H – 2 * m * g * * H

i z tego wynika szukana prędkość V :

V² * (M+m) = 2*g*H * (M – m * )

V = √ [2*g*H*(M – m*) : (M+m)]

Kinematyka – ruch złożony – zadanie 19

A teraz będzie o ruchu ZŁOŻONYM:

Jak sama nazwa wskazuje mamy tutaj jakieś zlożenie, a dokładnie jest to złożenie 2 ruchów:

ruch unoszenia – na przykład płyta która porusza się po linii prostej lub się obraca wokół jakiegoś punktu

ruch własny – po tej płycie porusza się na przykład zwierzę – to już widać, że zwierzę jest znacznie mniejsze od płyty

Może być tak że płyta porusza się do przodu a zwierzę w bok ale znowu jest to tylko przykład.

Mówiąc i pisząc w jednym zdaniu ruch ZŁOŻONY jest wtedy gdy COŚ porusza się po CZYMŚ co też jedzie.

I teraz mamy takie zadanie z ruchu złożonego:

ruchzlozony1

Płyta obraca sie z prędkością kątową i po tej płycie ze środka startuje punkt A i jedzie z prędkością Vw wzdłuż promienia na zewnątrz. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Wektorowo prędkość punktu A jest sumą prędkości własnej i prędkości unoszenia:

VA = Vw + Vu

gdzie:

Vu – prędkość unoszenia

Tutaj ruch unoszenia jest obrotowy i w takim razie unoszenie jest ruchem po okręgu.

Vu = * AoA

Odległość AoA to droga punktu A w ruchu jednostajnym z prędkością Vw. A ponieważ jest to ruch jednostajny to droga wyniesie:

AoA = Vw * t

czyli prędkość unoszenia:

Vu = * Vw * t

ruchzlozony2

Jak widać wektory prędkości własnej i unoszenia są do siebie prostopadłe czyli wartość ich sumy można obliczyć z metody równoległoboku przy użyciu twierdzenia Pitagorasa:

ruchzlozony3

VA = √(Vw² + Vu² ) =

= √(Vw² + ² * Vw² * t² ) =

= Vw * √(1 + ² * t²)

 

To na razie tyle na temat prędkości a teraz obliczymy przyspieszenie.

Przyspieszenie punktu A jest sumą 3 wektorów przyspieszeń:

własnego – może się składać ze składowych stycznej i normalnej

unoszenia- może się składać ze składowych stycznej i normalnej

Coriolisa – jeżeli unoszenie jest ruchem obrotowym a w tym zadaniu tak jest.

 

Przyspieszenie własne normalne nie występuje ponieważ punkt A jedzie po prostej.

Przyspieszenie własne styczne nie wystąpi bo ruch własny odbywa się ze stałą prędkością Vw.

 

Przyspieszenie unoszenia normalne wynosi:

pun = Vu² / AoA = ( * Vw * t)² / (Vw * t) =

= ² * Vw * t

i wektor jest skierowany do środka łuku w ruchu unoszenia czyli do środka obrotowej tarczy

 

Przyspieszenie unoszenia styczne jest pochodną po czasie prędkości unoszenia:

put = dVu / dt = d/dt ( * Vw * t) = * Vw

i wektor jest styczny do łuku w ruchu unoszenia czyli prostopadły do promienia obrotowej tarczy.

 

Z przyspieszeniem Coriolisa jest trochę ciekawiej:

pc = 2 * * Vw * sin(<Vw,)

ten ostatni czynnik czyli sinus dotyczy kąta zawartego między wektorami:

– prędkości własnej Vw

– i prędkości kątowej unoszenia ω.

Wektor prędkości własnej leży na płaszczyźnie, a wektor prędkości kątowej leci pionowo w dół, czyli kąt między tymi wektorami jest 90 stopni. Sinus 90 stopni wynosi jeden, a więc przyspieszenie Coriolisa w tym przypadku:

pc = 2 * * Vw

I teraz powstaje pytanie, jak leci wektor przyspieszenia Coriolisa:coriolisaaccaleration

Wektor Coriolisa jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory oraz Vw. Pozostaje jeszcze pytanie w którą stronę ten wektor jest zwrócony:

Jakbyśmy kręcili śrubą prawoskrętną od ω do Vw, to kierunek wkręcania się śruby prawoskrętnej wskazuje na zwrot wektora przyspieszenia Coriolisa. Warto przypomnieć, że jak chcemy wkręcić śrubę w ścianę to kręcimy zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara. Z tego wszystkiego wynika że, przyspieszenie Coriolisa leży na płaszczyźnie i jest prostopadłe do wektora prędkości własnej.

I teraz jak wszystko wiadomo i się narysuje wszystkie wektory przyspieszeń to można obliczyć metodą równoległoboku sumę tych wektorów:

ruchzlozony4

pA = √ ((put+pc)² + pun² ) =

= √( (*Vw+2**Vw)² + (²*Vw*t)² ) =

= √ ((**Vw)² + (²*Vw*t)² ) 

Na powyższym rysunku wektor przyspieszenia punktu A oznaczono kolorem czerwonym.

Kinematyka – zadanie 17

Zadanie jest bardzo proste i dotyczy podstaw kinematyki:

Pod sufitem wisi lampa i spod tej lampy startuje człowiek idąc w prawo ze stałą prędkością V.

kinematyka4

Lampa się świeci, a więc człowiek rzuca cień. Idąc w prawo człowiek oddala się od lampy i cień będzie coraz dłuższy. Wysokość człowieka wynosi hc, a lampa wisi na wysokości H. I teraz jest pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ KOŃCA CIENIA

Człowiek idzie ruchem jednostajnym czyli można obliczyć jego drogę w czasie t:

s = V * t

kinematyka5

I teraz można przez sc oznaczyć drogę końca cienia.

kinematyka6

Teraz mamy same długości czyli jest to czysta geometria i widać że można użyć tutaj twierdzenie Talesa:

 

H-hc           H

———-  =  ——-

V*t              sc

 

Z tego już się obliczy drogę końca cienia:

sc = V*t*H / ( H-hc )

Jak już jest droga końca cienia, to można obliczyć prędkość końca cienia i jest to pochodna drogi po czasie:

Vc = = V*H / ( H-hc )

Prawda że proste?

Mechanika – środek ciężkości – zadanie 16

Na początek powiedzmy sobie co to jest środek ciężkości:

Bierzemy do ręki kawałek płaskiej blachy albo deski i jeżeli podeprzemy gdzieś pod spodem tak, żeby to się nie przewróciło, to w tym miejscu będzie środek ciężkości.

srodekciezkosci1

I tutaj mamy taki element o podanych wymiarach. Oto jak sobie poradzić z obliczeniem środka ciężkości:

1. Dzielimy go na kilka prostszych elementów, czyli w tym przypadku na przykład trójkąt (o podstawie 2*a i wysokości a) i półkole o promieniu a.

srodkiciezkosci2

To wszystko dlatego, że znamy położenie środka ciężkości prostych elementów takich jak koło, prostokąt czy trójkąt.

 

2. Umieszczamy tak podzieloną figurę w układzie współrzędnych. Tylko teraz powstaje pytanie jak to umieścić?

srodkiciezkosci3

Najlepiej umieścić figurę nad osia x i jeżeli figura jest symetryczna, to oś symetrii powinna pokrywac się z osią ”y”.

3. Kolejny etap to działamy według prostego wzoru

 

pole półkola * ś.c.półkola + pole trójkąta * ś.c.trójkąta

yc = ———————————————————————————————

całkowite pole figury

 

To teraz mały komentarz do powyższego wzoru:

Środek ciężkości na przykład półkola lub trójkąta określamy w tym układzie współrzędnych, w którym tę figurę wstawiliśmy. Wiemy że środek ciężkości trójkąta jest 1/3 wysokości od podstawy, ale w tym przypadku ma on współrzędną równą 2/3*a, ponieważ trójkąt stoi podstawą do góry.

Środek ciężkości półkola znajduje się 4*a/(3*) od podstawy czyli w naszym przypadku współrzędna wynosi (a + 4*a/(3*)) , ponieważ samo pólkole jest w odległości a od osi ”x”.

I teraz wprowadzamy poszczególne wartości do wzoru na współrzędną ”yc” środka ciężkości:

 

1/2**a2 * (a + 4*a/(3*) + 1/2*2*a*a * 2/3*a

yc = ———————————————————————————–

1/2**a2 + 1/2*2*a*a

 

To teraz po kolei co wpisalismy do licznika:

– 1/2**a2 to pole półkola o promieniu a.

– (a + 4*a/(3* to wspólrzedna ”y” środka ciężkości półkola czyli odległość od osi ”x”

– 1/2*2*a*a  to pole trójkąta

– 2/3*a  to współrzędna ”y” środka ciężkości trójkąta

W mianowniku mamy sumaryczne pole figury.

Po uproszczeniu mamy coś takiego:

 

1/2**a + 4/3*a

yc = ——————————— = 1,1*a

1/2* + 1

srodkiciezkosci4

I jest to współrzędna ”y” środka ciężkości figury.

Ponieważ figura ma oś symetrii pokrywającą się z osią ”y” , to współrzędna ”x” środka ciężkości wynosi

xc = 0

Kinematyka – podstawy – ruch obrotowy – przyspieszenie kątowe

Dzisiaj będzie krótko i treściwie, ale sprawa jest istotna:

Przy okazji omawiania podstaw kinematyki pisaliśmy o przyspieszeniu liniowym  które oznacza zmianę prędkości w czasie i dotyczy ruchu postępowego.

A jak to wygląda w przypadku ruchu obrotowego?

 

Po pierwsze

Położeniu w ruchu obrotowym odpowiada KĄT (wyrażony w radianach [rad]).

 

Po drugie

Prędkości w ruchu obrotowym odpowiada PRĘDKOŚĆ KĄTOWA (wyrażona w radianach na sekundę [rad/s]) i oznacza zmianę położenia kątowego w czasie:

=  / t

gdzie:

Δ∝ – zmiana położenia kątowego czegoś tam na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana położenia nastąpiła

 

Przyspieszeniu w ruchu obrotowym odpowiada PRZYSPIESZENIE KĄTOWE (wyrażone w radianach na sekundę do kwadratu [rad/s2]. Oznacza ono zmianę prędkości kątowej w czasie:

=  / t

gdzie:

Δω – zmiana prędkości kątowej czegoś co się obraca – na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana prędkości kątowej nastąpiła

Mechanika – podstawy – II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

I tak ponownie wracamy do podstaw, ponieważ o tych podstawach zdarza nam się zapominać. O zasadach dynamiki było już na samym początku i o II zasadzie również. Tylko że wtedy było to odniesione do ruchu postępowego:

F = m * a [1]

czyli jeżeli na ciało o masie m działa siła F, to to ciało jedzie z przyspieszeniem a.

 

A jak to będzie w przypadku ruchu obrotowego:

M = J * 

czyli jeżeli na ciało o masowym momencie bezwładności J działa moment M, to ciało obraca się z przyspieszeniem kątowym .

Jak patrzymy na wzór [1] i [2] to siłę F zamieniono na moment M (przy ruchu obrotowym sile odpowiada moment), zamiast masy jest masowy moment bezwładności, a zamiast przyspieszenia liniowego mamy przyspieszenie kątowe. I to właściwie tyle jeżeli chodzi o uzupełnienie II zasady dynamiki Newtona.

Statyka – podstawy – dodawanie wektorów pod różnymi kątami

Drobna wzmianka na temat sumy wektorów pojawiła się przy okazji rozkładu siły na składowe

statyka11

tylko, że to było proste, ponieważ mieliśmy 2 wektory do siebie prostopadłe.

Innym razem może się zdarzyć że trzeba dodać 2 wektory ustawione względem siebie o kąt . I co wtedy:

statyka6

Mamy 2 wektory i ustawiamy je w taki sposób, żeby ich początki były w jednym punkcie.

statyka7

Jak oba wektory wychodzą z jednego punktu, to tworzą 2 boki równoległoboku. Przekątna tego równoległoboku wychodząca z tego samego wierzchołka, co 2 dodawane wektory jest sumą tych wektorów.

statyka8

To wiemy już jak to narysować, a teraz jak obliczyć wartość sumy wektorów czyli długość tej przekątnej?

Jak dodajemy dwie siły i któraś z nich leci pod kątem, to tą siłę która jest pod kątem rozkładamy na 2 składowe (pionową i poziomą) – o tym już niedawno pisaliśmy.

statyka9

To teraz widzimy 2 składowe siły F1 oraz siłę F2. Następnie wszystkie składowe poziome dodajemy do siebie i wszystkie składowe pionowe też dodajemy do siebie (wyjątkowo w tym przypadku:

– w poziomie są 2 siły

– i w pionie jest jedna siła).

statyka10

I teraz to się zrobiło jeszcze łatwiejsze:

Składowe poziome leżą na jednym boku, a składowe pionowe leżą na drugim przyległym boku prostokąta. Teraz widać, że suma wektorów jest przekątną prostokąta i można ją obliczyć w taki sam sposób jak przy sumie 2 wektorów prostopadłych do siebie:

statyka12