Kinematyka – ściąga – to tylko 7 wzorów

Trochę ostatnio zamieściłem na blogu zadań z kinematyki

Kinematyka – oblicz składowe przyspieszenia punktu

i teraz dobrze będzie wszystko zebrać do kupy, albo do ściągi. Już raz zebraliśmy do kupy całą statykę i podobnie zrobimy tu i teraz. Jak już wiadomo kinematyka zajmuje się ruchami przedmiotów i ruchy można podzielić w zależności od

– rodzaju ruchu – chodzi o ruch obrotowy i postępowy
kinematykasciaga 1024x515 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów

– zmian prędkości ponieważ prędkość może być stała (ruch jednostajny) lub zmienna (ruch przyspieszony albo opóźniony).

kinematykasciaga2 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów
Jak już mówimy o ruchu to wielkościami, które go opisują są:

prędkość liniowa dla ruchu postępowego – jaki dystans przedmiot przejeżdża w jednostce czasu (na sekundę , na godzinę i tak dalej). Mówiąc prosto jest to droga podzielona przez czas, jeżeli prędkość jest stała,
kinematykasciaga3 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów
lub przyspieszenie pomnożone przez czas, jeżeli jest to ruch zmienny (przyspieszony lub opóźniony).
kinematykasciaga4 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów

prędkość kątowa dla ruchu obrotowego – o jaki kąt przedmiot się obraca na przykład w ciągu sekundy. Prostym językiem to będzie kąt obrotu przez czas, w jakim to się obróciło:
kinematykasciaga5 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów
lub iloczyn przyspieszenia kątowego i czasu dla ruchu obrotowego przyspieszonego (lub opóźnionego)
kinematykasciaga6 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów

przyspieszenie – zmiana prędkości w jednostce czasu – chodzi tu zarówno o zmianę wartości (przyspieszenie styczne czyli o ile prędkość zwiększy się na przykład w ciągu sekundy) – zmiana prędkości podzielona przez czas
kinematykasciaga7 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów

ale również o kierunek prędkości (jazda po łuku i przyspieszenie normalne), kiedy przyspieszenie normalne wynosi tyle co kwadrat prędkości podzielony przez promień łuku.
kinematykasciaga8 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów
W tym miejscu trzeba podkreślić położenie wektorów przyspieszeń stycznego i normalnego.
kinematykasciaga10 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów
Wektor przyspieszenia stycznego jest styczny do toru ruchu (czyli drogi po której to coś się porusza.)
Wektor przyspieszenia normalnego jest prostopadły do stycznej i skierowany do środka zakrętu.

przyspieszenie kątowe w przypadku ruchu obrotowego – czyli o ile zmienia się prędkość kątowa na przykład w ciągu sekundy
kinematykasciaga9 1024x517 - Kinematyka - ściąga - to tylko 7 wzorów

I oto cała ściąga z kinematyki. Teraz widzimy, jakie to wszystko jest łatwe.

2 rodzaje energii mechanicznej i zasada zachowania energii

Cześć wszystkim i dzisiaj opowiemy coś o zasadzie zachowania energii mechanicznej. Na świecie występują różne rodzaje energii i na co dzień z tym się stykamy, na przykład
– energia chemiczna
– energia cieplna
– energia elektryczna
– energia mechaniczna
i temat tej ostatniej energii dzisiaj rozwiniemy.
Energia mechaniczna występuje na przykład pod postacią

ENERGII KINETYCZNEJ i POTENCJALNEJ.

I teraz małe przypomnienie energii kinetycznej:

Ek = 0,5 * m * V²

która zależy od masy ciała m i kwadratu jego prędkości V. O energii kinetycznej już kiedyś pisałem na tym blogu

Dynamika – praca i energia – zadanie 30

a teraz o

ENERGII POTENCJALNEJ:

Energia potencjalna wiąże się z polem potencjalnym (na przykład polem grawitacyjnym) i możliwością wykonania pracy w tym polu. Zależy ona od masy oraz wysokości położenia ciała h i wynosi:

Ep = m * g * h

gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie i jest w przybliżeniu wartością stałą.

Jeżeli przypomnieliśmy rodzaje energii jakie występują to teraz:

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ

oznacza, że suma energii potencjalnej i kinetycznej zawsze będzie stała (jeżeli pominiemy opory ruchu):

Ep + Ek = const

To było trochę zbyt naukowe, a teraz coś z życia:

Wyrzucamy z okna przedmiot i w chwili wyrzucania prędkość będzie równa ZERO (bo jeszcze nie zaczął się rozpędzać – ENERGIA KINETYCZNA równa się ZERO). Wtedy też ENERGIA POTENCJALNA jest maksymalna.

Przedmiot zaczyna swobodnie spadać w dół.
Zwiększa swoją prędkość, rośnie ENERGIA KINETYCZNA
i jednocześnie
spada ENERGIA POTENCJALNA.

Tuż przed zderzeniem z ziemią
ENERGIA POTENCJALNA spada do ZERA
a ENERGIA KINETYCZNA osiąga maksimum.

Na poniższym szkicu widzimy ilustrację opisanego zjawiska.

zasadazachowaniaenergii1 - 2 rodzaje energii mechanicznej i zasada zachowania energii

Powtórzmy to jeszcze raz głośno:
zgodnie z zasadą zachowania energii
ENERGIA POTENCJALNA
w całości zmieniła się w
ENERGIĘ KINETYCZNĄ

Zmiana ENERGII POTENCJALNEJ będzie równa zmianie ENERGII KINETYCZNEJ.

Prawda że łatwe?

Pęd i zasada zachowania pędu

Witam wszystkich i dzisiaj będzie o czymś nowym a mianowicie opowiemy, co to jest

PĘD

Wiąże się on z dynamiką, ponieważ ma na niego wpływ ruch ciała i masa ciała.

Każdy może tego doświadczyć że jeżeli coś ciężkiego spada, to może zrobić większą szkodę, ponieważ duża masa pomnożona przez prędkość jest dużą liczbą (duży pęd).

Podobnie kula karabinowa która nie ma ogromnej masy, ale jeżeli zostanie wystrzelona z ogromną prędkością to wynik mnożenia – pęd czyli masa razy prędkość – jest bardzo duży i sieje zniszczenie.

To teraz jeden prosty wzór i wszystko za chwilę będzie jasne –

PĘD jest iloczynem

MASY ciała

i jego PRĘDKOŚCI:

p = m * V

Już wiesz czym jest pęd, to teraz

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Na początek sucha definicja:

Jeżeli na układ ciał nie działają żadne siły zewnętrzne, lub siły działające się równoważą,

to

pęd układu nie zmienia się.

 

A tak prostymi słowami i na przykładzie:

Wyobraź sobie zamknięty układ w postaci dwóch kulek z plasteliny, z których każda ma masę m:

Jedna z kulek stoi nieruchomo, a druga leci poziomo z prędkością V1. Pęd ruchomej kulki wynosi:

m * V1

Pęd nieruchomej kulki wynosi ZERO (bo jej prędkość wynosi ZERO)

Za chwilę ruchoma kulka uderza w nieruchomą.

PO ZDERZENIU

obie kulki sklejają się (bo obie są z plasteliny) i lecą razem z prędkością V2.

PED1 1024x252 - Pęd i zasada zachowania pędu

Na powyższym szkicu widzimy sytuację PRZED ZDERZENIEM (po lewej) oraz PO ZDERZENIU (po prawej). PO ZDERZENIU pęd całego układu wynosi:- Pęd i zasada zachowania pędu

(m + m) * V2

Zgodnie z wcześniej przytoczoną zasadą zachowania pędu:

PĘD PRZED ZDERZENIEM = PĘD PO ZDERZENIU

czyli na wzorach to będzie:

m * V1 + m * 0 = (m + m) * V2

Przypominam , że ZERO po lewej stronie równania oznacza, że nieruchoma kulka miała prędkość równą ZERO (to jest oczywiste, ale lepiej przypomnieć dla jasności) .

Prawda że łatwe?

Równia pochyła i tarcie – zadanie 47

Witam wszystkich i dzisiaj zrobimy zadanie z tarciem i równią pochyłą.
tarcie1 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
Na równi pochyłej leży klocek o masie 2*m a za nim opierają się o niego dwa klocki (o masie m) leżące jeden na drugim i jest dany współczynnik tarcia między klockami oraz równią . Ten co wymyślił zadanie, zadaje pytanie:

JAKI MOŻE BYĆ MAKSYMALNY KĄT α, ŻEBY TO WSZYSTKO POZOSTAŁO NIERUCHOME

Łatwo sobie wyobrazić, że jeżeli kąt równi będzie za duży, to wszystko zjedzie na dół.
To co widzimy na obrazku, to jest

UKŁAD ZŁOŻONY

czyli w tym przypadku:

-duży klocek

-i dwa małe klocki.

Wobec tego przechodzimy do

KROKU PIERWSZEGO

Rozkładamy układ złożony na

UKŁADY PROSTE:

duży klocek
mały klocek
– drugi mały klocek

Rysujemy duży klocek i uwalniany od więzów
tarcie2 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
czyli rysujemy siły pochodzące od:
– ciężaru
– nacisków dwóch mniejszych klocków które go naciskają
– nacisku i tarcia od równi na której klocek stoi.

Łatwo zauważyć że jest to układ sił płaski zbieżny, a więc można napisać 2 równania równowagi:

– suma rzutów sił na oś x
– suma rzutów sił na oś y

https://blog-student.com/statyka-sciaga-podstawy/
Klocek i cała równia lecą pod kątem i dlatego obrócimy układ współrzędnych o kąt α:
I teraz równania równowagi:
ΣPix = m*N1 – N2 – N3 – 2*m*g*sinα = 0 [1]
ΣPiy = N1 – 2*m*g*cosα = 0 [2]

Duży klocek został uwolniony od więzów i równania napisane, to teraz analogicznie działamy z małym górnym klockiem:
tarcie3 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
Tutaj podobnie obrócimy układ współrzędnych i napiszemy równania równowagi statycznej:
ΣPix = m*N4 + N2 – m*g*sinα = 0 [3]
ΣPiy = N4 – m*g*cosα = 0 [4]

Analogicznie rozwiążemy temat małego dolnego klocka:

tarcie4 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
ΣPix = m*N5 – m*N4 + N3 – m*g*sinα = 0 [5]
ΣPiy = N5 – N4 – m*g*cosα = 0 [6]

W DRUGIM KROKU

obliczymy szukany kąt α równi z powyższych sześciu równań statycznych.

Dodajemy stronami równania [4] i [6] :
N4 – m*g*cosα + N5 – N4 – m*g*cosα= 0
(- m)*g*cosα + N5 – m*g*cosα= 0
Nacisk pomiędzy dolnym małym klockiem a równią:
N5 = 2*m*g*cosα

Z równania [4] obliczymy nacisk między dwoma małymi klockami:
N4 = m*g*cosα

Z równania [2] wynika nacisk równi na duży klocek:
N1 = 2*m*g*cosα

Z równania [5] :
μ*2*m*g*cosα – μ*m*g*cosα + N3 – m*g*sinα = 0
μ*m*g*cosα + N3 – m*g*sinα= 0
Nacisk między dużym a małym dolnym klockiem:
N3 = m*g*sinα – μ*m*g*cosα

Z równania [1] :
μ*N1 – N2 – N3 – 2*m*g*sinα = 0
μ*2*m*g*cosα – (m*g*sinα – μ*m*g*cosα ) – 2*m*g*sinα = N2
μ*2*m*g*cosα – m*g*sinα + μ*m*g*cosα – 2*m*g*sinα = N2
Nacisk między dużym a małym górnym klockiem:
N2 = μ*3*m*g*cosα – 3*m*g*sinα

Wszystko co udało się obliczyć wstawiamy do równania [3]:
μ*m*g*cosα + μ*3*m*g*cosα – 3*m*g*sinα – m*g*sinα = 0
μ*4*m*g*cosα – 4*m*g*sinα = 0
μ*4*m*g*cosα = 4*m*g*sinα
μ*cosα = sinα
Dzielimy obie strony równania przez cosα:
tgα = μ
Wobec tego szukany kąt, żeby te wszystkie klocki nie zjechały na dół wynosi:
α = arctg μ

Prawda że łatwe?

Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim – zadanie 44

Witam wszystkich i dzisiaj obliczymy prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim. Niedawno coś omawialiśmy z ruchu płaskiego,

https://blog-student.com/kinematyka-zadanie-3-obliczenie-przyspieszenia-w-ruchu-plaskim/

a dzisiaj mamy takie zadanie:ruchplaski1 - Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim - zadanie 44
Pierścień toczy się wewnętrzną powierzchnią po powierzchni nieruchomego walca. W punkcie S znajduje się chwilowy środek obrotu. Toczenie bez poślizgu odbywa się z prędkością kątową ω. Średnica nieruchomego walca równa się r. Średnice wewnętrzna i zewnętrzna pierścienia wynoszą odpowiednio 2*r oraz 3*r. Oto jakie jest pytanie

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Jeżeli w punkcie S mamy chwilowy środek obrotu,to tym prościej będzie obliczyć prędkość punktu A – obliczymy ją właśnie

METODĄ CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU.

Idąc tą drogą prędkość jest iloczynem

prędkości kątowej pierścienia
oraz
odległości punktu A od chwilowego środka obrotu:
VA = ω * SA

Temat prędkości zamknięty czyli przechodzimy do przyspieszeń – tę sprawę załatwimy

METODĄ BIEGUNA.

Przypomnijmy, że

biegun

jest takim punktem charakterystycznym (ciała poruszającego się), którego ruch można łatwo opisać.
Tutaj za biegun obierzemy środek pierścienia ponieważ
– jest on punktem charakterystycznym
– jest oddalony od chwilowego środka obrotu o znaną odległość i ta odległość wynosi 2*r

Wobec tego przyspieszenie punktu A jest sumą wektorów:
– przyspieszenia bieguna czyli punktu O
– oraz przyspieszenia punktu A względem bieguna
__    __       ___
pA  =  pO  +  pA/O

Każdy z powyższych dwóch wektorów MOŻE ale nie musi składać się z dwóch składowych:
– stycznej
– i normalnej
__    ___    ___    ___        ____
pA  =  pOt  +  pOn  +  pA/Ot  +  pA/On

Prędkość kątowa pierścienia jest stała, a więc przyspieszenie styczne bieguna jest równe zero (prędkość liniowa bieguna nie zmienia się)
pOt = 0

Podobnie przyspieszenie styczne punktu A względem bieguna równa się zero – również prędkość liniowa punktu A względem bieguna nie zmienia się:
pA/Ot = 0

Jeżeli dwa składniki przyspieszenia punktu A równają się zero, to całe przyspieszenie:
__ ____ ____
pA = pOn + pA/On

Teraz obliczymy obie składowe przyspieszenia:
Przyspieszenie normalne bieguna jest iloczynem
prędkości kątowej pierścienia
oraz
odległości bieguna od chwilowego środka obrotu
pOn = ω * 2 * r

Przyspieszenie normalne punktu A względem bieguna równa się iloczynowi
prędkości kątowej pierścienia
oraz
odległości punktu A względem bieguna
pA/On = ω * 3 * r
Jak już obliczyliśmy składowe przyspieszenia, to dobrze będzie te dwa wektory narysować
ruchplaski2 - Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim - zadanie 44
i już można je zsumować , żeby otrzymać przyspieszenie punktu A. Ponieważ oba wektory są prostopadłe do siebie , to dodamy je

METODĄ RÓWNOLEGŁOBOKU:
pA = √(pOn² + pA/On²) = √[(ω*2*r)²+(ω*3*r)²] = ω*r *√13
Prawda że łatwe?