Siła grawitacji – zadanie 56

Wiadomo że Księżyc wykonuje ruch obiegowy wokół Ziemi za sprawą siły grawitacji.

Prawo powszechnego ciążenia i stała grawitacji

Wiesz już, że siła ta zależy od odległości między ciałami posiadającymi masę. Wobec tego poruszając się między Ziemią a Księżycem w stronę naszego satelity siła grawitacji pochodząca od Ziemi spada , a ta pochodząca od Księżyca rośnie. Idąc tą drogą (może bardziej lecąc) napotkamy na punkt w którym

siła grawitacji od Księżyca będzie równa sile grawitacji Ziemi.

W tym zadaniu obliczymy, gdzie dokładnie ten punkt się znajduje. A więc działamy:
Masa mo znajduje się w punkcie, którego szukamy oddalonym o x od Księżyca.

silagrawitacji - Siła grawitacji  - zadanie 56

Logiczne jest, że ten punkt będzie bliższy Księżycowi.

Siła grawitacji pochodząca od Ziemi wyniesie:

Fgz = G * (M*mo) / (L-x)²

gdzie:
G = 6,674 08 * 10-11 m³/(kg*s²) – stała grawitacji
M = 5,9722 * 10 24 kg – masa Ziemi
L = 384 400km = 384 400 000m – odległość Ziemia – Księżyc

Siła grawitacji pochodząca od Księżyca:

Fgk = G * (m*mo) / x²

gdzie:
m = 7,3477 * 10 22 kg – masa Księżyca

Wobec powyższego wiemy, że w szukanym punkcie siły grawitacji od Ziemi i Księżyca zrównają się:

Fgz = Fgk
G * (M*mo) / (L-x)2 = G * (m*mo) / x²

Dzielimy obie strony równania przez stałą grawitacji G oraz masę mo:

(M) / (L-x)² = (m) / x²
M * x² = m * (L-x)²
M * x² = m * ( L² – 2*L*x + x² )
M * x² = m*L² – m*2*L*x + m*x²
m*L² – m*2*L*x + m*x² – M*x² = 0
m*x² -M*x² – m*2*L*x + m*L² = 0
(m-M)*x² – m*2*L*x + m*L² = 0

i powstało równanie kwadratowe – liczymy deltę i obliczamy szukaną odległość od Księżyca:

Δ = (m*2*L)² – 4*(m-M)*m*L² = m² * 4 * L² – 4*m²*L² + 4*M*m*L² =
= 4*M*m*L²

x = [ 2*m*L + √(4*M*m*L² ) ] : [2*(m-M)] =
= ( 2*m*L + 2*L * √(M*m) ) : 2*(m-M) =
= ( m*L + L * √(M*m) ) : (m-M) = [ 7,3477*1022 kg * 384 400 000 m +
+ 384 400 000m * √(5,9722 * 10 24 kg*7,3477 * 10 22 kg) ]:(7,3477*10 22kg – 5,9722 * 10 24 kg)  = 4795 633 m = 4795,6 km

Czyli w takiej odległości od Księżyca siły grawitacji Księżyca i Ziemi są jednakowe.

Pierwsze prawo Keplera – ruch obiegowy planet

Dzisiaj powrócimy do astronomii i dlatego poruszymy temat ruchu obiegowego planet wokół Słońca i związanego z tym pierwszego prawa Keplera.
Jak już wiesz, za ruch ciał niebieskich w przestrzeni odpowiada siła grawitacji

Ruch obiegowy księżyca wokół planety – dynamika – zadanie 55

i dlatego w centrum każdego układu planetarnego znajduje się gwiazda ( tak jak Słońce w Układzie słonecznym i na tym przykładzie tutaj się skupimy), wokół której planety wykonują ruch obiegowy po określonych orbitach.
Wbrew pozorom orbity planet nie są okręgami, o czym opowiada

PIERWSZE PRAWO KEPLERA

PLANETY PORUSZAJĄ SIĘ WOKÓŁ SŁOŃCA PO ELIPSACH
ORAZ
SŁOŃCE ZNAJDUJE SIĘ W JEDNYM Z OGNISK ELIPSY (TO OGNISKO JEST WSPÓLNE DLA WSZYSTKICH PLANET DANEGO UKŁADU).

Powyższe prawo mówi o planetach ale dotyczy również asteroid, planetoid, komet i innych ciał niebieskich obiegających Słońce.

prawokeplera1 1024x595 - Pierwsze prawo Keplera - ruch obiegowy planet

Na szkicu powyżej widać opisywany mechanizm i należy podkreślić że oś mała i oś wielka orbity planety (czyli elipsa) mogą niewiele się różnić, albo mogą być bardzo różne. Ta druga sytuacja dotyczy wielu komet, czyli ciał niebieskich poruszających się w układzie planetarnym po bardzo wydłużonych orbitach.

Jednocześnie w przypadku każdej orbity należy podkreślić 2 charakterystyczne punkty:
peryhelium czyli punkt najbliższy Słońcu
– oraz aphelium – punkt najdalszy od Słońca

Orbity planet jednego układu nie muszą leżeć dokładnie w jednej płaszczyźnie i mogą być lekko odchylone jedna od drugiej.