4 wzorki które wystarczą do zadań z ruchu płaskiego

Zadania z kinematyki z ruchu płaskiego są dużo łatwiejsze niż myślisz i tutaj zrobię co w mojej mocy, żeby tego dowieść –  wystarczą

TYLKO CZTERY WZORKI,

które użyjesz w odpowiednim miejscu.

Tu i teraz pokaże Ci to na prostym przykładzie.
RUCHPLASKI3 - 4 wzorki które wystarczą do zadań z ruchu płaskiego
Na powyższym obrazku widzisz toczącą się (bez poślizgu) szpulkę z nawiniętą nitką. Zewnętrzny promień szpulki wynosi 2*R, a na promieniu R nawinięto nitkę. Za koniec nitki ktoś ciągnie w prawo z prędkością V. Autor zadania stawia pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Z informacji że szpulka toczy się bez poślizgu wynika fakt, że punkt styku toczącej się szpulki z nieruchomym podłożem jest chwilowym środkiem obrotu (niech on się nazywa punktem C).
A więc prędkość chwilowego środka obrotu wynosi ZERO (bo szpulka styka się z nieruchomym podłożem). Wcześniej powiedziano że prędkość końca nitki wynosi V, a więc cała jej długość aż do pierwszego punktu styku ze szpulką (niech to będzie punkt B) ma też prędkość V
ruchplaski4 - 4 wzorki które wystarczą do zadań z ruchu płaskiego
Teraz przyjrzyj się uważnie powyższemu obrazkowi. Nie da się ukryć że punkty B i C(chwilowy środek obrotu) leżą na tej samej prostej. I teraz użyjemy pierwszy z 4 wzorków wystarczających do zadań z ruchu płaskiego.

Oto

WZOREK PIERWSZY

który jest zależnością prędkości kątowej od prędkości liniowej:

PRĘDKOŚĆ LINIOWA
RÓWNA SIĘ
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA
RAZY
ODLEGŁOŚĆ PUNKTU OD CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU

W naszym przypadku

V = ω * (r + 2*r)

gdzie :
V – prędkość liniowa – w tym przypadku i sznurka i punktu B
ω – prędkość kątowa szpulki – tej prędkości nie znasz i dlatego użyliśmy WZORKA PIERWSZEGO
r + 2*r – odległość punktu B od chwilowego środka obrotu

Teraz już możesz policzyć nieznaną prędkość kątową szpulki:

ω = V / (r+2*r) = V / (3*r)

Znając prędkość kątową można policzyć prędkość punktu A, ale w tym celu musimy znać odległość między punktem A i chwilowym środkiem obrotu:

AC = √2 * 2 * r

i ta odległość jest równa przekątnej kwadratu o boku 2*r. Wobec tego do obliczenia prędkości punktu A ponownie użyjemy WZORKA PIERWSZEGO

VA = ω * AB

gdzie:
VA – szukana prędkość liniowa punktu A
ω – obliczona prędkość kątowa szpulki
AB – odległość między punktem A i chwilowym środkiem obrotu

Można to zapisać prościej wstawiając wszystko co obliczyliśmy:

VA = V / (3*r) * √2 * 2 * r = V * √2 * 2/3

Obliczyliśmy prędkość to teraz przechodzimy do przyspieszeń i obliczymy je metodą bieguna.

W tym celu poznamy WZOREK DRUGI:

PRZYSPIESZENIE PUNKTU A
RÓWNA SIĘ
PRZYSPIESZENIE BIEGUNA
PLUS
PRZYSPIESZENIE PUNKTU A WZGLĘDEM BIEGUNA

Napiszemy to dla naszego przypadku i ustalmy, że biegunem tutaj będzie środek szpulki, ponieważ gdy szpulka się toczy, to środek cały czas jest na tej samej wysokości (na wysokości 2*r od ziemi):

__   __    ___
pA = pO + pA/O

i dodatkowo jest to suma wektorów, bo każdy z nich może lecieć w inną stronę.
Każde z przyspieszeń ( pO oraz pA/O ) może składać się z 2 składowych:
– składowej stycznej
– oraz składowej normalnej
i już mam dla Ciebie kolejne 2 wzorki.

Oto WZOREK TRZECI

PRZYSPIESZENIE STYCZNE
RÓWNA SIĘ
POCHODNEJ PRĘDKOŚCI PO CZASIE

oraz WZOREK CZWARTY

PRZYSPIESZENIE NORMALNE
RÓWNA SIĘ
KWADRAT PRĘDKOŚCI PUNKTU
PODZIELONY PRZEZ
ODLEGŁOŚĆ PUNKTU OD CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU

Jak teraz te ostatnie 2 wzorki zastosować?
Przyspieszenie bieguna pO nie posiada składowej stycznej, ponieważ szpulka toczy się ze stałą prędkością:

pOt = 0

Przyspieszenie normalne bieguna zgodnie z WZORKIEM CZWARTYM:

pOn = Vo² / (2*R)

gdzie:
Vo – prędkość bieguna czyli punktu O
2*R – odległość bieguna od chwilowego środka obrotu

Teraz wyszło, że nie mamy prędkości bieguna i obliczymy ją przy pomocy WZORKA PIERWSZEGO:

Vo = ω * 2*R = V / (3*R) * 2*R = 2/3 * V

i już można policzyć przyspieszenie normalne bieguna:

pOn = (2/3 * V)² / (2*R)

Kolejno przechodzimy do składowych przyspieszeń punktu A względem bieguna. To już było, ale z faktu że szpulka toczy się ze stałą prędkością wynika brak przyspieszenia stycznego punktu A względem bieguna:

pA/O = 0

Żeby policzyć składową przyspieszenia normalnego punktu A względem bieguna, to ponownie użyjemy WZORKA CZWARTEGO:

pA/On = VA/O² / (2*R)

Ponownie użyjemy WZORKA PIERWSZEGO żeby policzyć prędkość punktu A względem bieguna:

VA/O = ω * 2*R = V / (3*R) * 2*R = 2/3 * V

wobec tego przyspieszenie normalne punktu A względem bieguna wyniesie:

pA/On = (2/3 * V)² / (2*R)

Na koniec pozostaje zsumować dwie składowe przyspieszenia punktu A, czyli te które teraz policzyliśmy:
– przyspieszenie normalne bieguna pOn
– przyspieszenie normalne punktu A względem bieguna pA/On
ruchplaski5 1024x557 - 4 wzorki które wystarczą do zadań z ruchu płaskiego
Jak widzisz na powyższym szkicu, te wektory są prostopadłe do siebie, wobec tego dodamy je metodą równoległoboku:

pA = √(pA/On² + pOn²) = √ [((2/3 * V)²/(2*R))² + ((2/3 * V)²/(2*R))² ] =
= √ [2*(2/3 * V)² / (2*R) ]

Prawda że łatwe?

Jasne że łatwe – 4 wzorki i więcej nie potrzeba do zadań z ruchu płaskiego

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *