Masowy moment bezwładnosci

W zadaniach z dynamiki często spotykamy się z ruchem obrotowym lub/i z ruchem płaskim

Przyspieszenia liniowe i kątowe mas – dynamika – zadanie 37

i tam występuje pojęcie

masowego momentu bezwładności

Tę wielkość oznacza się  zwykle literą J. Można i należy zadać pytanie czym jest masowy moment bezwładności?

Jest to odpowiednik masy w ruchu obrotowym. Jak już wiesz, masa jest miarą bezwładności – jeżeli ktoś tego nie wie, to może poczuć – spróbuj ruszyć z miejsca samochód na gładkiej i poziomej drodze –

duża masa oznacza dużą bezwładność

i dlatego, żeby

rozpędzić pojazd musisz pokonać tę bezwładność.

Bezwładność warto zobrazować jako opór przed wprawianiem ciała w ruch. Takie działanie wymaga przyłożenia dużej siły w kierunku ruchu – to świetnie obrazuje

II zasada dynamiki Newtona.

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

Dlatego znacznie łatwiej jest ruszyć z miejsca wózek z supermarketu (nawet jeżeli jest wypełniony zakupami), ponieważ ma znacznie mniejszą masę i przez tą niższą bezwładność.

To był ruch ruch postępowy i analogicznie będzie w ruchu obrotowym – rozpędzenie dużej obracającej się masy wymaga pokonania jej dużej bezwładności i to wymaga przyłożenia sporego momentu. W tym miejscu przypominam o istnieniu

II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego.
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego – podstawy
Na koniec warto przytoczyć kilka przykładów masowych momentów bezwładności kilku brył:
– dla KULI o promieniu r i masie m:
J = 2/5 * m * r²

– dla WALCA o promieniu r i masie m:
J = 1/2 * m * r²

– dla RURY cienkościennej o promieniu r i masie m:
J = 1 * m * r²

Warto będzie wytłumaczyć przykładowy wzorek dla WALCA i w tym celu wyobraź sobie, że składa się on z BARDZO DUŻEJ liczby elementów rozłożonych wokół osi tego walca. W takim przypadku największa odległość elementu od osi wynosi r , a najmniejsza wynosi ZERO czyli element znajduje się w osi walca. Jeżeli mamy odległości elementów od osi od ZERA do r, to średnia odległość wynosi r/2 i dlatego we wzorku na walec widzimy liczbę 1/2.

Analogicznie ale trochę inaczej będzie w przypadku rury, gdzie wszystkie elementy są położone w odległości r od osi rury.

Z tych rozważań wynika konstruktywny wniosek:

Jeżeli konstruktor tworzy masę obrotową o jak największym masowym momencie bezwładności przy minimalnej masie, to będzie kierował się w stronę zależności na moment bezwładności rury cienkościennej – innymi słowami jak najwięcej masy rozłoży na jak największym promieniu. Takim obrazowym przykładem z życia jest koło zamachowe silnika spalinowego.

masowymomentbezwladnosci - Masowy moment bezwładnosci

Na zdjęciu powyżej widzisz stacjonarny jednocylindrowy silnik wysokoprężny Savoia pochodzący z 1920 roku. Kluczową cechą jest tylko jeden cylinder co wymaga (dla równomierności pracy) zastosowania koła zamachowego o dużym masowym momencie bezwładności. Patrząc na powyższy obrazek zwróć uwagę, że najwięcej materiału w kole zamachowym zostało zgromadzone na obwodzie czyli jest to tak zwany wieniec. Z osią obrotu wieniec łączą tylko drobne (w porównaniu z całą resztą) szprychy.  W ten sposób osiągnięto OGROMNY masowy moment bezwładności.

Prawda że łatwe?

Prawo powszechnego ciążenia i stała grawitacji

Wystarczy spojrzeć na ruch planet wokół gwiazd i ruch księżyców-satelitów wokół planet żeby stwierdzić że istnieje siła przyciągająca ciała niebieskie do siebie, a tą siłą jest

SIŁA GRAWITACJI

W XVII wieku Isaac Newton sformułował prawo powszechnego ciążenia mówiące

KAŻDE DWA CIAŁA POSIADAJĄCE MASĘ PRZYCIĄGAJĄ SIĘ SIŁĄ GRAWITACJI PROPORCJONALNĄ DO ICH MAS
I ODWROTNIE PROPORCJONALNĄ DO KWADRATU ODLEGŁOŚCI MIĘDZY NIMI

Brzmi to prosto, ale można i należy to zapisać jeszcze prostszym wzorem:

Fg = G * (M*m) / r²

gdzie:
G – stała grawitacji
M oraz m – masy przyciągających się ciał
r – odległość pomiędzy środkami ciężkości ciał
prawopowszechnegociazenia1 - Prawo powszechnego ciążenia i stała grawitacji
Oczywiście zgodnie z III zasada dynamiki Newtona

Zasady dynamiki Newtona – mechanika – podstawy

jedno ciało działa na drugie taką siłą grawitacji, z jaką drugie ciało działa na pierwsze ale przeciwnie zwróconą.
W powyższym wzorze wystąpiło coś nowego czyli

STAŁA GRAWITACJI

równa:

G = 6,674 08 * 10-11 m³/(kg*s²)

Jest to współczynnik proporcjonalności związany z przyciąganiem WSZYSTKICH ciał posiadających masę. Podkreślenie słowa ”wszystkich” jest jak najbardziej dosłowne, ponieważ podobnie przedmioty o niewielkiej masie przyciągają się siłą grawitacji, ALE przyciąganie na przykład dwóch piłek będzie znacznie słabsze niż siła grawitacji między Ziemią a Księżycem. Wynika to oczywiście z iloczynu mas przyciągających się ciał we wzorze na siłę grawitacji – czym większe czynniki tym większy iloczyn i tym wyższa siła grawitacji.

Prawda że łatwe?

Prawo Archimedesa

Cześć Wam i dzisiaj opowiemy sobie, w jaki sposób statki i łódki utrzymują się na powierzchni wody czyli o

prawie Archimedesa.

Do wytłumaczenia prostej zasady będzie potrzebny prosty przykład:
prawoarchimedesa1 1024x253 - Prawo Archimedesa
Na powyższym szkicu mamy kadłub łodzi zanurzony w wodzie w taki sposób, że poniżej linii wody znajduje się objętość V kadłuba. Znamy gęstość wody:

ρ = 1000kg/m³

oraz przyspieszenie ziemskie:

g = 9,81N/kg

Zadanie polega na obliczeniu siły utrzymującej łódź na wodzie czyli

OBLICZ SIŁĘ WYPORU

Tutaj drobne wyjaśnienie:

Siła wyporu

to jest taka siła, która jest przeciwna do ciężaru przedmiotu zanurzonego w cieczy – jeżeli siła wyporu NIE JEST mniejsza od ciężaru , to przedmiot nie utonie, tylko pozostanie na powierzchni (innymi słowami pewna jego część będzie zanurzona w cieczy)

Żeby to zrobić to musimy odwołać się do

PRAWA ARCHIMEDESA

które mówi, że (najprostszym językiem jak się tylko uda):

NA PRZEDMIOT ZANURZONY W CIECZY DZIAŁA SIŁA WYPORU O WARTOŚCI RÓWNEJ CIĘŻAROWI WYPARTEJ CIECZY

Jeżeli mówimy o ilości wypartej cieczy, to oczywiście chodzi, o objętość kadłuba znajdującą się PONIŻEJ linii wody. Prawo Archimedesa można wyrazić jednym prostym wzorem:

Fw = ρ * V * g

gdzie:
Fw – siła wyporu
ρ – gęstość cieczy
V – objętość przedmiotu zanurzona w cieczy
g = 9,81N/kg – przyspieszenie ziemskie

Patrząc na powyższy wzór wytłumaczymy go w sposób prosty, żeby nie pozostał suchym naukowym wzorem:
Pierwsze dwa czynniki (iloczyn gęstości cieczy i objętości przedmiotu w nim zanurzonego) oznaczają masę wypartej cieczy.

Dalej już jest z górki, ponieważ mnożąc masę przez przyspieszenie ziemskie zawsze dostaniemy siłę – warto przypomnieć II zasadę dynamiki Newtona.

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

prawoarchimedesa3 1024x509 - Prawo Archimedesa

Jeszcze bardziej obrazowo:
Patrzymy na nasza łódkę i w pewnej chwili ktoś ją DODATKOWO obciąża. Każdy wie , że łódź zanurzy się trochę bardziej, czyli wzrośnie jej objętość zanurzona w wodzie. Gęstość wody i przyspieszenie ziemskie pozostanie stałe, ale zwiększy się siła wyporu (bo cały iloczyn będzie większy) niwelując większe obciążenie łodzi.

Prawda że łatwe?

Jak już wszystko stało się jasne i proste to na poniższym zdjęciu mamy kolejny wynalazek (ten jest z XV wieku) wykorzystujący prawo Archimedesa.

prawoarchimedesa2 - Prawo Archimedesa

Jest to most pontonowy wynaleziony przez Leonardo da Vinci. Tutaj podobnie ciężar na przykład ludzi przechodzących przez most (i również ciężar całego mostu) jest niwelowany przez sumę sił wyporu działającą na wszystkie pontony podtrzymujące ten cały wynalazek.

Prawo Pascala i chwytak próżniowy

Dzisiaj przejdziemy do hydrostatyki i prawa Pascala oraz opowiemy jak działa próżniowy chwytak. Każdy z nas używa lub używał układu hamulcowego w samochodzie, podnośnika hydraulicznego, młota pneumatycznego i innych przyrządów działających dzięki ciśnieniu cieczy lub gazu. Nie myślimy o tym, że te wszystkie wynalazki działają dzięki

prawu Pascala.

Na początek może suche sformułowanie:

CIŚNIENIE CIECZY LUB GAZU ROZCHODZI SIĘ RÓWNOMIERNIE WE WSZYSTKICH KIERUNKACH (JEŻELI POMINĄĆ WPŁYW GRAWITACJI)

Wyobraź sobie , że bierzesz do ręki nożną pompkę i pompujesz oponę w samochodzie do ciśnienia na przykład 0,2MPa czyli 200 000Pa. Kiedy już tego dokonasz , to

ciśnienie w całej objętości wewnątrz opony będzie takie samo

i dokładnie równe 200 000Pa – i o to chodzi w prawie Pascala.

Niby proste ale o co tutaj chodzi:
Powiedzmy sobie co to jest ciśnienie – jest to określona siła rozłożona na określonej powierzchni:

p = F / S

gdzie:
p – ciśnienie wyrażone w pascalach [Pa]
F – siła wyrażona w niutonach [N]
S – pole powierzchni (wyrażone w metrach kwadratowych [m2] ) na którą działa siła
prawopascala1 - Prawo Pascala i chwytak próżniowy
Mały przykład praktyczny i na powyższym szkicu mamy tłok o powierzchni S poruszający się w cylindrze. Na tłok działa siła F i w wyniku tego ciśnienie gazu sprężanego w cylindrze wyniesie p. Tak jak w powyższej zależności ciśnienie będzie ilorazem siły przez pole powierzchni tłoka.

Dużo już wiemy to teraz przykład chwytaka próżniowego czyli takiej potężniejszej przyssawki do szyby. Przy pomocy takiego chwytaka można podnosić całkiem pokaźne ciężary. Załóżmy, ze przy jego pomocy mamy podnieść masę

m=155kg

i wymiary elementu roboczego (tej dużej i silnej przyssawki) wyniosą 500x500mm. Zakładając takie dane obliczymy sobie
jakie musi być ciśnienie robocze chwytaka.
prawopascala2 - Prawo Pascala i chwytak próżniowy
Na szkicu widzimy schemat obciążenia podnoszonej masy, na którą działają siła ciężkości m*g, oraz dodatkowo dwa różne ciśnienia z dwóch różnych stron:
– cisnienie atmosferyczne pa=1013,25hPa = 101 325Pa
– ciśnienie robocze chwytaka pp

Rzut elementu roboczego chwytaka na powierzchnię wynosi:

A = 0,5m * 0,5m = 0,25m²

Wiedząc tyle ile wiemy napiszemy sumę rzutów sił na oś y:

ΣPiy = (-m*g) + pa*A – pp*A = 0
(-m*g) + pa*A = pp*A

i z tego wyliczymy wymagane ciśnienie robocze:

pp = pa – m*g/A = 101 325Pa – 155kg*9,81N/kg/0,25m² =
= 101 325Pa – 155kg*9,81N/kg/0,25m2 = 95 243Pa

Wynika że ciśnienie robocze wymagane do podniesienia masy 155kg musi być niewiele niższe od atmosferycznego.

Moc mechaniczna a moc elektryczna

Cześć wszystkim i dzisiaj ponownie pogadamy o podstawach a dokładnie o mocy zarówno tej mechanicznej ale również – i to będzie coś nowego – o mocy elektrycznej. Doskonale wiesz że

moc mechaniczna,

to iloraz pracy

przez czas w jakim ta praca została wykonana:

N = W / t

Równoważność pracy i energii – zadanie 3

gdzie:
N – moc mechaniczna
W – praca mechaniczna
t – czas

Tak dla przykładu jeżeli ciało o ciężarze 1 niutona zostanie podniesione o 1 metr w górę w ciągu 1 sekundy, to w tym przypadku moc wyniesie 1 wat.

A jak to będzie w przypadku mocy elektrycznej? Dla uproszczenia opowiemy sobie jak to będzie w przypadku prądu stałego.
Analogicznie tutaj również moc oznacza pracę (tutaj pracę prądu elektrycznego) wykonaną w czasie i wyniesie tyle co

iloczyn natężenia prądu przez napięcie:

Ne = U * I

gdzie:
U – napięcie
I – natężenie prądu

Jasna sprawa że moc elektryczna może zostać zamieniona na moc mechaniczną, czego przykładem są pojazdy elektryczne, których widzimy na ulicach coraz więcej. Należy zaznaczyć że taka zamiana jednej postaci mocy w drugą postać wiąże się ze stratami. I o tych stratach mówi tak zwana sprawność, ale do tego jeszcze wrócimy, jeżeli temat spotka się z Waszym zainteresowaniem.