Linia ugięcia belki – zadanie 48

Witam wszystkich i dzisiaj powrócimy do tematu linii ugięcia belki i zrobimy kolejne zadanie. Już o tym było wcześniej i dzisiaj spojrzymy na belkę z poniższego szkicu
liniaugieciabelki 1024x293 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Belkę oparto na dwóch podporach przegubowych i w połowie długości przyłożono moment. Autor zadania stawia pytanie:

WYZNACZ LINIĘ UGIĘCIA BELKI

Na początek

UWOLNIMY BELKĘ OD WIĘZÓW

czyli zastąpimy podpory reakcjami
liniaugieciabelki2 1024x314 - Linia ugięcia belki - zadanie 48

Następnie

OBLICZYMY REAKCJĘ

na jednym z końców belki. Wiadomo że jest to układ sił płaski rozbieżny (albo dowolny), czyli możemy napisać 3 równania równowagi:
– dwie sumy rzutów sił
– i suma momentów względem obranego punktu.
Aby pójść najkrótszą drogą wybierzemy tą ostatnią możliwość – obliczymy sumę momentów względem punktu C.
ΣMiC = RA * 2 * L + M = 0
RA * 2 * L = (-M)
z której wynika reakcja w lewej podporze:
RA = (-0,5) * M/L

Belka składa się z dwóch przedziałów:
– pierwszy – od lewej podpory A do przyłożonego momentu M
– drugi – od przyłożonego momentu do prawej podpory C
W każdym z tych przedziałów

OBLICZYMY MOMENT ZGINAJĄCY

Zakrywamy belkę w taki sposób, żeby było widać kawałek PIERWSZEGO PRZEDZIAŁU i piszemy moment zginający:

liniaugieciabelki3 1024x562 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Mg(x) = RA * x = (-0,5) * M/L * x

Podobnie działamy z DRUGIM PRZEDZIAŁEM:

liniaugieciabelki4 1024x426 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Mg(x) = RA * x + M = (-0,5) * M/L * x + M

Znamy momenty zginające, to teraz napiszemy

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINII UGIĘCIA

E * J * d²y/dx² = -Mg(x)
A tak to będzie wyglądać dla PIERWSZEGO PRZEDZIAŁU:
E * J * d²y/dx² = 0,5 * M/L * x
Jest to równanie różniczkowe stopnia drugiego, a więc dwa razy musimy je scałkować:
E * J * dy/dx = 0,5 * M/L * 1/2*x² + C1
E * J * dy/dx = 0,25 * M/L * x² + C1
E * J * y = 0,25 * M/L * 1/3 * x³ + C1*x + D1
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ + C1*x + D1

Tak samo zrobimy z DRUGIM PRZEDZIAŁEM:
E * J * d²y/dx² = 0,5 * M/L * x – M
E * J * dy/dx = 0,5 * M/L * 1/2 * x² – M * x + C2
E * J * dy/dx = 0,25 * M/L * x² – M * x + C2
E * J * y = 0,25 * M/L * 1/3 * x³ – M * 1/2 * x² + C2*x + D2
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ – M * 1/2 * x² + C2*x + D2

W dwóch obliczonych równaniach (dla PIERWSZEGO i DRUGIEGO PRZEDZIAŁU) mamy 4 niewiadome – stałe całkowania C1, D1, C2 oraz D2. Żeby to obliczyć to musimy napisać cztery (bo są cztery niewiadome)
WARUNKI BRZEGOWE
O warunkach brzegowych już kiedyś rozmawialiśmy
https://blog-student.com/wytrzymalosc-zginanie-zadanie-12-linia-ugiecia-belki/
i warto ten temat przypomnieć. Idąc po kolei przyjrzyjmy się PIERWSZEMU PRZEDZIAŁOWI – widać że w punkcie A (czyli dla współrzędnej x=0) belka nie zmieni swojego położenia w pionie (a to znaczy że y=0 – pierwszy warunek brzegowy).

liniaugieciabelki5 1024x349 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Po drugie widać że w punkcie B (dla x=L) położenie w pionie pierwszego i drugiego przedziału jest identyczne – mówiąc lub pisząc prościej w punkcie B PIERWSZY PRZEDZIAŁ belki styka się z DRUGIM PRZEDZIAŁEM (można to zapisać y1=y2 – drugi warunek brzegowy).

liniaugieciabelki6 1024x392 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Czas na DRUGI PRZEDZIAŁ i co widzimy?
Widzimy, że w punkcie B (dla x=L) styczna do belki w PIERWSZYM PRZEDZIALE jest równoległa do stycznej do belki w DRUGIM PRZEDZIALE. Jeżeli styczne są równoległe do siebie, to pochodne są równe (y1′ = y2′ – trzeci warunek brzegowy).

liniaugieciabelki7 1024x477 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Dodatkowo widzimy że w punkcie C (dla x=2*L) belka nie zmieni położenia w pionie, ponieważ w tym punkcie jest zamocowana podporą przegubową (y=0 – czwarty warunek brzegowy).

liniaugieciabelki8 1024x399 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Mamy wszystkie warunki brzegowe i teraz wstawiamy
WARUNKI BRZEGOWE DO ODPOWIEDNICH RÓWNAŃ LINII UGIĘCIA
aby obliczyć stałe całkowania.
Pierwszy warunek brzegowy wstawiamy do równania pierwszego przedziału:
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ + C1*x + D1
E * J * 0 = M/L * 1/12 * 0³ + C1*0 + D1
D1=0

Drugi warunek brzegowy wstawiamy do równania pierwszego i drugiego przedziału:
M/L * 1/12 * x³ + C1*x + D1 = M/L * 1/12 * x³ – M * 1/2 * x² + C2*x + D2
M/L * 1/12 * L³ + C1*L = M/L * 1/12 * L³ – M * 1/2 * L² + C2*L + D2
M * 1/12 * L² + C1*L = M * 1/12 * L² – M * 1/2 * L² + C2*L + D2
C1*L = (- M) * 1/2 * L² + C2*L + D2
C1 = C2 + D2/L – M * 1/2 * L

Trzeci warunek brzegowy wstawiamy do równania pierwszego stopnia pierwszego i drugiego przedziału:
0,25 * M/L * x² + C1 = 0,25 * M/L * x² – M * x + C2
C1 = (- M) * x + C2
C1 = (- M) * L + C2

Wobec powyższego odejmiemy stronami związki z drugiego i trzeciego warunku brzegowego:
C1 = C2 + D2/L – M * 1/2 * L
C1 = (- M) * L + C2

C1 – C1 = C2 + D2/L – M * 1/2 * L – [(- M) * L + C2 ]
0 = D2/L – M * 1/2 * L + M * L
0 = D2/L + M * 1/2 * L
0 = D2 + M * 1/2 * L²
D2 = (-M/2) * L²

Czwarty warunek brzegowy wstawiamy do równania drugiego przedziału:
E * J * 0 = M/L * 1/12 * (2*L)³ – M * 1/2 * (2*L)² + C2*2*L + (-M/2) * L²
0 = M/L * 1/12 * 8*L³ – M * 1/2 * 4*L² + C2*2*L – M/2 * L²
0 = M * 8/12*L² – M * 4/2 *L² + C2*2*L – M/2 * L2
0 = M * 4/6 * L² – M * 12/6 * L² + C2*2*L – M * 3/6 * L²
0 = (- M )* 11/6 * L² + C2*2*L
0 = (- M) * 11/12 * L + C2
C2 = M * 11/12 * L

Powracamy do drugiego warunku brzegowego:
C1 = (- M) * L + C2 = (- M) * L + M * 11/12 * L =
= (- M/12) * L

Wszystkie stałe całkowania są policzone, czyli możemy je wstawić do wcześniej scałkowanych równań.

Pierwszy przedział:
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ + (- M/12) * L*x + 0
y1 = [M/L * 1/12 * x³ – M/12 * L*x] : (E * J)

I drugi przedział:
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ – M * 1/2 * x² + M * 11/12 * L*x + (-M/2) * L²
y = [M/L*1/12*x³ – M/2*x² + M*11/12*L*x – M/2 * L² ] : (E * J)
Teraz dopiero widać jakie to jest łatwe!