Ruch złożony – zadanie 41

Cześć wszystkim i dzisiaj zrobimy zadanie z ruchu złożonego. Oto trójkąt równoramienny prostokątny (o długości ramion równej b) obraca się wokół jednego z wierzchołków (punktu O) z prędkością kątową ω = 2 * t .

ruchzlozony5 - Ruch złożony - zadanie 41
Z drugiego wierzchołka wystartował punkt A i porusza się po przeciwległym boku z prędkości V. Twórca zadania zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Krok pierwszy – obliczamy prędkość

Przypomnijmy że mamy ruch własny z prędkością stałą równą V.

Z prędkości kątowej równej 2*t wynika, że ZMIENIA SIĘ ONA W CZASIE . To jest bardzo proste, ponieważ jeżeli będziemy mnożyć liczbę 2 przez kolejno upływające sekundy, to prędkość ω będzie coraz większa z każdą sekundą. Matematycy powiedzą jeszcze inaczej – jeżeli jest napisane
ω = 2 * t
to znaczy że prędkość kątowa ω jest funkcją czasu czyli zależy od czasu. A jak coś zależy od czasu, a czas ciągle biegnie do przodu, to będzie się ciągle zmieniać.

Ponieważ jest to zadanie z ruchu złożonego, to

prędkość punktu A

jest sumą wektorów
prędkości własnej
i
unoszenia.

https://blog-student.com/228/

Ruch unoszenia będzie ruchem po okręgu o promieniu OA.

ruchzlozony6 - Ruch złożony - zadanie 41
W taki ciekawy sposób powstał nowy trójkąt OAAo z jednym kątem wierzchołkowym równym 45º. Ważna uwaga to znamy drogę punktu A w czasie t, ponieważ punkt A jedzie ruchem jednostajnym. I ta droga wynosi V*t i jest ona jednocześnie jednym z boków trójkąta.

Teraz podzielimy trójkąt OAAo na dwa mniejsze i przyjrzymy się trójkątowi prostokątnemu AOA’.

ruchzlozony7 - Ruch złożony - zadanie 41Znając jego wysokość ( V*t*sin45º ) i podstawę ( b – V*t*cos45º ) obliczymy przeciwprostokątną, która dodatkowo jest jednocześnie długością OA. Użyjemy do tego twierdzenia Pitagorasa:

( V*t*sin45º )² + ( b – V*t*cos45º )² = OA²
V² * t² *sin²45º + b² – 2 * b * V * t *cos45º + V² * t² *cos²45º = OA²

V² * t² * (sin²45º + cos²45º) + b² – 2 * b * V * t *cos45º = OA²

V² * t² + b² – 2 * b * V * t *cos45º = OA²

Z tego długość OA wyniesie:

OA = √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Wobec tego prędkość unoszenia:
Vu = ω * OA = ω * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Mając prędkości własną i unoszenia możemy je dodać wektorowo.

https://blog-student.com/statyka-podstawy-dodawanie-wektorow-pod-roznymi-katami/

Żeby było łatwiej to zwróćmy uwagę na kąt, który powstał w trójkącie prostokątnym AOA’ i jest to kąt β – dla jaśniejszej jasności oznaczyłem go na czerwono.

ruchzlozony8 - Ruch złożony - zadanie 41

Jak skorzystamy z tego trójkąta prostokątnego i z tangensa, to ten kąt będzie równy:
β = arctg [ V*t*sin45o / ( b – V*t*cos45o ) ]
i jest ZMIENNY.
Ten sam kąt jest zawarty pomiędzy pionowym ramieniem trójkąta o długosci b a wektorem prędkości unoszenia Vu.

ruchzlozony9 - Ruch złożony - zadanie 41
Idąc dalej kąt zawarty między poziomym ramieniem trójkąta o długości b a wektorem prędkości własnej wynosi 45º i jest STAŁY. A wszystko po to żeby obliczyć kąt między wektorami prędkości unoszenia i własnej:
α = 90º – 45º – β = 45º – β =
= 45º – arctg [ V*t*sin45º / (b-V*t*cos45º) ]

To teraz dodamy wektory prędkości własnej i unoszenia metodą równoległoboku:

V = √[(Vu*cosβ+V*cos45º)² + (Vu*sinβ+V*sin45º)²]

Prędkości załatwione a więc czas na

Krok drugi – obliczamy przyspieszenia

Ponieważ ruch unoszenia jest ruchem obrotowym, to przyspieszenie punktu A jest sumą:
– przyspieszenia własnego (tutaj MOŻE wystąpić składowa styczna i normalna)
– przyspieszenia unoszenia (tutaj również MOŻE wystąpić składowa styczna i normalna)
– przyspieszenia Coriolisa (ono występuje w zadaniach z ruchu złożonego tylko wtedy, gdy ruch unoszenia jest ruchem obrotowym):
pA = pw + pu + pc
Po kolei rozpatrzymy każdą ze składowych:

Ruch własny odbywa się ze stałą prędkością V po prostej, a więc składowa styczna nie występuje (bo prędkość jest stała) i składowa normalna również nie występuje (bo punkt A jedzie po prostej):
pw = 0

Ruch unoszenia odbywa się po okręgu z prędkością kątową
ω = 2 * t, a wiec składowa normalna na pewno wystąpi (bo punkt A jedzie po okręgu):
pun = ω² * OA =

= 4 * t² * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Składowa styczna jest pochodną prędkości unoszenia po czasie:
put = dVu/dt = d/dt [2 * t * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)] =

= 2 * d/dt [t * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)] =

= 2 *  [t’ * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º) +

+ t * (√(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º))’ ] =

= 2 *  [1 * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º) +

+ t / [2*(√(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)]  ]

Przyspieszenie Coriolisa wyniesie:
pc = 2 * ω * V * sin (<ω , V) = 2 * 2 * t * V * sin (<ω , V) =
= 4 * t * V * sin90º = 4 * t * V

To teraz sobie narysujemy wszystkie obliczone wektory przyspieszeń, żeby móc obliczyć ich sumę.

ruchzlozony10 - Ruch złożony - zadanie 41
Rzuty wektorów na oś x wyniosą:
px = pun*cosβ + pc*cos45º + put*sinβ

Rzuty wektorów na oś y:
py = put*cosβ – pun*sinβ – pc*sin45º

Wypadkowe przyspieszenie punktu A wyniesie (metoda równoległoboku):
pA = √(px² + py²) =

=√[ (pun*cosβ+pc*cos45º+put*sinβ)²+(put*cosβ-pun*sinβ-pc*sin45º )²]

Prawda że łatwe?