Wytrzymałość – trójkierunkowy stan naprężenia – zadanie 32

Witam ponownie i dzisiaj zrobimy zadanie z trójkierunkowego stanu naprężenia:

Mamy walec o średnicy D i wysokości 2*D i na ten walec od góry naciska siła F. Dany jest modul Younga E, stala Poissona dla materialu walca.

rozciaganie20

Autor zadaje pytanie:

OBLICZ ZMIANĘ POLA POWIERZCHNI WALCA PO PRZYŁOŻENIU SIŁY F

Warto sobie obrać układ współrzędnych i niech o osie x i y będą leciały równolegle do podstawy, a oś z będzie jednocześnie osią walca i będzie leciała do góry.

Na początek piszemy 3 równania opisujące trójkierunkowy stan naprężenia

x = x/E – *y/E – *z/E [1]

y = y/E – *x/E – *z/E [2]

z = z/E – *x/E – *y/E [3]

i tak jak wcześniej mówiliśmy te 3 równania ZAWSZE wystąpią w tego typu zadaniach. I teraz jak spojrzymy na nie dokładniej to widać że mamy 6 niewiadomych:

– odkształcenia względne wzdłuż 3 osi – x, y , z

– naprężenia wzdłuż 3 osi – x , y , z

I teraz to zaczyna być logiczne, że potrzebujemy 6 równań żeby policzyć 6 niewiadomych. A ponieważ już mamy 3 (te powyżej) , to musimy wymyśleć 3 dodatkowe.

Wiadomo że wzdłuż osi równoległych do podstawy naprężenie wynosi ZERO, ponieważ na tworzącą walca (boki walca) nic nie naciska.

x = 0 [4]

σy = 0  [5]

Wiadomo że naprężenie wzdłuż osi z (osi walca – w pionie) wyniesie tyle co siła F podzielona przez pole podstawy walca.

z = F : ( 0,25 * * D) = 1,3*F : D2

Mamy teraz 6 równań i 6 niewiadomych . Jak wstawimy równania [4] , [5] i [6] do równań [1] , [2] oraz [3] to dalej pójdzie z górki:

x = /E – */E – *1,3*F / ( E * D2 ) [1]

y = /E – */E – *1,3*F / ( E * D2 ) [2]

z = 1,3*F / ( E * D2 ) – */E – */E [3]

Po uproszczeniu to wygląda trochę lepiej:

x = (- *1,3*F / ( E * D2 ) [1]

y = (- *1,3*F / ( E * D2 ) [2]

z = 1,3*F / ( E * D2 ) [3]

Jak widać powyżej, mamy już policzone odkształcenia względne we wszystkich kierunkach, czyli o ile PROCENTOWO zmienią się wszystkie prostopadłe do siebie wymiary walca – średnica i wysokość.

Wiemy że średnica wynosiła D, a jak nacisnęliśmy walec od góry siła F to średnica (która się zwiększyła) wyniosła:

D + D * x = D + D* *1,3*F / ( E * D2 ) = D + * 1,3 * F / ( E * D )

czyli suma początkowej średnicy D i tego odcinka o ile ona się zwiększyła.

Wysokość zmniejszy się i wyniesie:

2*D – 2*D*z = 2*D – 2*D*1,3*F / ( E * D2 ) =

= 2*D – 2,6*F / ( E * D )

czyli początkowa wysokość 2*D minus to o ile walec zmniejszył wysokość.

Pole powierzchni jest sumą

powierzchni tworzącej

oraz

dwukrotnej powierzchni podstawy:

S = 2 * * D2 : 4 + D * * 2 * D = 0,25 * * D2 + * 2 * D2 =

= 2,25 * * D2

Po odkształceniu to samo pole wyniesie:

S + S = 2,25 * * ( D + * 1,3 * F / ( E * D ))2

Czyli zmiana pola wyniesie:

S = 2,25 * * ( D + * 1,3 * F / ( E * D ))2 – 2,25 * * D2

Prawda że łatwe?

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Connecting to %s