Wytrzymałość – skręcanie – zadanie 25

Witam ponownie i dzisiaj kolejne zadanie z wytrzymałości ze skręcania.

Wytrzymałość – zadanie 13 – skręcanie wału
skrecanie8
Mamy tutaj wał o podanym przekroju i długości L.

skrecanie11

Autor zadaje pytanie:

 

OBLICZ KĄT SKRĘCENIA ORAZ MAKSYMALNE NAPRĘŻENIE SKRĘCAJĄCE

 

Po pierwsze

 

Obliczamy położenie środka ciężkości przekroju. Ponieważ przekrój wałka ma pionową oś symetrii, to umieszczamy go w układzie współrzędnych nad osią x, tak żeby oś symetrii przekroju pokrywała się z osią y.

Mechanika – środek ciężkości – zadanie 16
skrecanie9

Współrzędna położenia środka ciężkości wyniesie:

yc = [ 0,5 * π * (2*a)² * (4*2*a / (3*π)) – 0,5*2*a*a*a/3 ] :
: [ 0,5 * π * (2*a)² – 0,5*2*a*a ] = 0,94 * a

W mianowniku mamy całkowite pole przekroju – pole półkola minus pole trójkąta. W liczniku jest po kolei:

– pole półkola razy współrzędna środka ciężkości półkola
czyli
odległość środka ciężkości od osi x
– i to samo dalej czyli minus (bo wycieli z półkola trójkąt) pole trójkąta razy współrzędna jego środka ciężkości

skrecanie10

Po drugie

 

Obliczamy momenty bezwładności przekroju na zginanie. Względem osi xc:
Jxc =  π * (4*a)4 : 128 + 0,5 *  π * (2*a)² * [ (4*2*a / (3* π) )  – 0,94*a ]² +
– [ 2*a* a³ : 36 + 0,5*2*a*a * ( 0,94*a – a/3 )² ] = 5,9 * a4

Powyżej widzimy jak zastosowano twierdzenie Steinera:

Moment bezwładności półkola

plus

jego pole

razy

odległość pomiędzy środkiem ciężkości półkola

a

środkiem ciężkości całego przekroju.

Dalej analogicznie minus i to samo co dotyczy trójkąta. Minus dlatego bo z półkola wycięto trójkąt. I to samo robimy względem osi yc:

Jyc = π * (4*a)4 : 128 – 2 * [ a * a³ : 36 + 0,5 * a * a * (a/3)² ] = 1,4 * a4

Biegunowy moment bezwładności przekroju jest sumą momentów bezwładności względem prostopadłych osi centralnych (w tym przypadku xc i prostopadły do niego yc).
Jo = Jxc + Jyc = 5,9 * a4  + 1,4 * a4  = 7,3 * a4

Maksymalna odległość przekroju od początku układu współrzędnych:
rmax = √[(0,94*a)²+(2*a)²] = a * √[0,94²+2²] = 2,2*a

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:
Wo = Jo : rmax = 7,3 * a4 : 2,2 * a = 3,3 * a³

Maksymalne naprężenia skręcające to iloraz momentu przez wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:
τs = M : Wo = M : 3,3 * a³ = 0,3 * M/a³

 

Zgodnie z prawem Hooke dla skręcania Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy kąt skręcenia wału wyniesie:

M * L
φ = ————- =
G * Jo

 

M * L
= ——————————- =
G * 7,3 * a4

= 0,14 * M * L / (G*a4)

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Connecting to %s