Ponownie dynamika i mamy taki regulator poruszający się ruchem obrotowym, w którym masa M jest umieszczona na końcu belki. Podobnie belka również posiada masę i wynosi ona m, z tym że ta masa jest rozłożona równomiernie na całej jej długości.
Całość połączono przegubowo z wałem w odległości a od jego osi obrotu. Wał regulatora obraca się z prędkością kątową ω . Autor zadaje pytanie:
O JAKI KĄT ODCHYLI SIĘ BELKA?
Po pierwsze
Całość uwalniamy od więzów
czyli:
– zastępujemy przegub dwiema prostopadłymi reakcjami Rx oraz Ry
– przykładamy ciężary do belki i masy M
– ponieważ całość obraca się to do obu mas przykładamy siły odśrodkowe bezwładności
Po drugie
Piszemy równania równowagi:
∑Pix = B – Rx +∫dB = 0 [1]
∑Piy = Ry – M*g – m*g = 0 [2]
∑Mio = ∫dB*x*cosα – m*g*0,5*L*sinα + B*L*cosα – M*g*L*sinα = 0 [3]
Po trzecie
W powyższych równaniach pojawiła się całka i teraz warto ją do końca policzyć, ale na początek dobrze będzie zająć się elementarną siłą dB czyli siłą odśrodkową bezwładności:
dB = dm * ² *(a+x*cosα)
Teraz stworzymy zależność która mówi, że:
Elementarna masa dm ma się tak do całej masy belki m,
jak
elementarna długość dx do całkowitej długości L:
dm/m = dx / L
z tego wyciągamy elementarną masę dm:
dm = m * dx / L
i wstawiamy do obliczonej wcześniej elementarnej siły bezwładności dB:
dB = m/L * ω² * ( a + x * sinα ) * dx
Następnie robimy z tego całkę (na całą długość belki L) i obliczamy ją:
∫m/L*ω² *( a + x * sinα ) dx =
= ∫( m/L*ω² * a + m/L*ω² * x*sinα ) dx =
= ∫m/L*ω² * a dx +∫m/L*ω² * x*sinα dx =
= m/L*ω² * a*L + m/L*ω² * sinα*0,5*L²
Po drodze pojawia się jeszcze siła odśrodkowa bezwładności działająca na skupioną masę M:
B = M * 2 * (a+L*sinα)
I teraz można to co wyszło z całki wstawić do równania równowagi na oś x:
ΣPix = M * ω² * (a+L*sinα) – Rx + m/L *ω² * a * L + m/L * ω² * sinα * 0,5 * L² = 0
I jak to sie to uprości to mamy coś takiego
ΣPix = (M+m)*ω² *a + (M+0,5*m)*ω²*L*sinα – Rx = 0 [1]
W sumie momentów pojawia się kolejna, trochę bardziej skomplikowana całka:
∫dB*x*cosα = ∫[m/L * ω² * (a+x*sinα) * dx] * x * cosα =
=∫[m/L *ω² * (a+x*sinα) * dx ] * x * cosα =
=∫[m/L *ω² * a + m/L *ω² * x * sinα] * x * cosα dx =
= ∫m/L *ω² * a * x * cosα dx +∫m/L *ω² * sinα * x² * cosα dx =
=m/L *ω² * a * 0,5 * L² * cosα + m/L *ω² * sinα * 1/3 * L³ * cosα
I to co wyszło wstawiamy do równania momentów:
m/L *ω² * a * 0,5 * L² * cosα +
+ m/L *ω² * sinα * 1/3 * L3 * cosα- m * g * 0,5 * L * sinα +
+ M *ω² * (a+L*sinα) * L * cosα – M * g * L * sinα = 0 [3]
I jak się uprości to i tamto to dostaniemy coś takiego:
(0,5*m+M) *ω² * a * cosα- (0,5*m+M) * g * sinα +
+ (M+1/3*m) *ω² * sinα* L * cosα = 0 [3]
Czyli mamy 3 równania równowagi oraz 3 niewiadome:α , Rx oraz Ry
(M+m) *ω² * a + (M+0,5*m) *2 * L * sinα – Rx = 0 [1]
Piy = Ry – M*g – m*g = 0 [2]
(0,5*m+M) *ω² * a * cosα- (0,5*m+M) * g * sinα +
+ (M+1/3*m) *ω² * sinα* L * cosα = 0 [3]
czyli z tego układu równań można już obliczyć szukany kąt odchylenia belki regulatora.