Wytrzymałość – zadanie 13 – skręcanie wału

Dzisiaj będzie o skręcaniu wału i poniżej mamy taki przykład:shaft for torsing

Jak widać posiada on zmienną średnicę a poza tym na początkowym odcinku jest drążony. Teraz jak może wyglądać zadanie ze skręcania:skrecanie1

Wał został umieszczony pomiędzy dwiema ścianami – do lewej ściany jest on sztywno przymocowany i do prawej ściany również jest sztywno przymocowany. To przymocowanie często nazywają UTWIERDZENIEM albo WMUROWANIEM. Widać jego długości i średnice i widać również, że można go podzielić na 3 przedziały:

– lewy przedział DRĄŻONY o średnicy zewnętrznej 2*D

– drugi środkowy przekrój PEŁNY o średnicy zewnętrznej 2*D

– trzeci prawy przedział o średnicy D

Widać że na granicy pierwszego i drugiego przedziału przyłożono moment. Autor zadania chce żebyśmy narysowali wykresy momentów i naprężeń skręcających.

I teraz jak sie zabrać do takiego zadania:

 

1. Uwalniamy wał od więzów czyli ZASTĘPUJEMY ŚCIANY MOMENTAMI UTWIERDZENIA MA oraz MB. 

skrecanie2

Jak już wiadomo uwalnianie od więzów to tradycja przy wielu zadaniach z wytrzymałości.

 

2. Piszemy jakie będą momenty skręcające w poszczególnych przedziałach. I jedziemy po kolei:

Zasłaniamy większą część wału tak, żeby widzieć tylko kawałek pierwszego lewego przedziału.

skrecanie3

Widzimy tylko moment utwierdzenia w lewej ścianie:

Ms1 = MA

To samo z drugim przedziałem – odsłaniamy cały lewy przedział i kawałek drugiego – widzimy moment utwierdzenia w lewej ścianie i przyłozony momentskrecanie4

Ms2 = MA + M

To samo widać w przypadku trzeciego przedziału:skrecanie5

Ms3 = MA + M

 

3. Piszemy równanie równowagi – sumę momentów względem osi wału:

Mix = MA + M + MD = 0

Jak widać mamy równanie z dwiema niewiadomymi (momenty utwierdzenia MA i MD) a więc jest to zadanie STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE – potrzebujemy jeszcze jedno równanie oprócz równania równowagi. Wobec tego przechodzimy do punktu czwartego:

 

4. Piszemy równanie geometryczne:

1 + 2 + 3 = 0

To znaczy dokładnie tyle, że jeżeli pierwszy przedział zostanie skręcony o 1 stopień i drugi przedział zostanie skręcony również o 1 stopień, to trzeci przedział musi się skręcić o MINUS 2 stopnie ponieważ lewa ściana i prawa ściana zawsze będą stały nieruchomo.

 

5. Liczymy biegunowe momenty bezwładności przekrojów w kolejnych przedziałach – to jest taka wielkość przekroju wałka która dotyczy skręcania i w której jest zawarta jego średnica:

Jo1 = * (2*D): 32 –  * D4 : 32 = /32 * (16*D4 – D4 ) =

/32 * 15*D4 = 15/32 * * D4

 

Jo2 = * (2*D)4 : 32 = 16/32 * * D4 = 0,5 * * D4

Jo3 = * D4 : 32

 

6. Do równania geometrycznego trzeba wmontować prawo Hooke dla skręcania.

Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy

Dla kolejnych przedziałów zgodnie z prawem Hooke’a kąty skręcenia wyniosą:

 

Ms1 * L      MA * L * 32

1 = ————- = ———————–

G * Jo1    G * 15 * * D4

 

Ms2 * L     (MA+M) * L * 2

2 = ————- = ———————–

G * Jo2      G * * D4

 

Ms3 * L    (MA+M) * L * 32

3 = ————- = ————————

G * Jo3     G * * D4

 

Wszystkie 3 powyższe równania wstawiamy do równania geometrycznego:

 

MA * L * 32     (MA+M) * L * 2      (MA+M) * L * 32

—————– + ———————— + ————————- =0

G*15**D4       G * * D4          G * * D4

 

Teraz to wszystko można uprościć dzieląc obie strony przez L oraz mnożąc przez G * * D4

MA * 32/15 + (MA+M) * 2 + (MA+M) * 32 = 0

I jak opuścimy nawiasy:

MA*32/15 + MA*2 + M*2 + MA*32 + M*32 = 0

to pozostanie uprościć i tak już proste równanie:

MA*36,1 + M*34 = 0

MA*36,1 = (-M)*34

Wobec tego moment utwierdzenia w lewej ścianie:

MA = (-0,94)*M

 

7. Wstawiamy obliczony moment utwierdzenia do momentów skręcających w poszczególnych przedziałach:

Ms1 = MA = (-0,94)*M

Ms2 = MA + M = (-0,94)*M + M = 0,06*M

Ms3 = MA + M = 0,06*M

I teraz można już narysować wykres momentów:

skrecanie6

8. Obliczamy wskaźniki wytrzymałości przekrojów na skręcanie – dzielimy obliczony wcześniej biegunowy moment bezwładności przez maksymalny promień przekroju (jeżeli pierwszy przedział ma średnicę 2*D to maksymalny promień będzie D):

Wo1 = Jo1 : rmax = 0,47 * * D4 : D = 0,47 * * D3

Wo2 = Jo2 : rmax = 0,5 * * D4 : D = 0,5 * * D3

Wo3 = Jo3 : rmax = 0,031 * * D4 : (0,5*D) = 0,062 * * D3

 

9. Obliczamy naprężenia skręcające, które są iloczynem momentu przez wskaźnik:

s1 = Ms1 : Wo1 = (-0,94*M) : (0,47 * * D3 ) = (-0,64) * M/D3

s2 = Ms2 : Wo2 = 0,06*M : (0,5 * * D3 ) = 0,038 * M/D3

s3 = Ms3 : Wo3 = 0,06*M : (0,062 * * D3 ) = 0,31 * M/D3

skrecanie7

I po narysowaniu wykresów widać jak prosty jest to temat

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Connecting to %s