Prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy

Witam i dzisiaj będzie o prawie Hooke’a dla skręcania. O prawie Hooke dla rozciągania to już było na samym początku zabawy z wytrzymałością materiałów:

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy

Tutaj przypomnimy sobie jak to po kolei wygląda:

 

                        siła * długość pręta

wydłużenie = ———————————————
moduł Younga * pole przekroju

 

Można zauważyć pewną analogię, jeżeli spojrzymy na odmianę tego samego prawa dla skręcania. Podobnie odnosimy się do pręta, jednak w tym przypadku jest on skręcany:

 

                                moment skręcający * długość pręta
kąt skręcenia      = —————————————————–
G * Jo

 

gdzie:
G – moduł sprężystości postaciowej
Jo – biegunowy moment bezwładności

 

To teraz proponuję spojrzeć powyżej na jeden i drugi wzór:
– kąt skręcenia odpowiada wydłużeniu,
–  moment odpowiada sile,
– moduł sprężystości postaciowej odpowiada modułowi Younga,
– biegunowy moment bezwładności odpowiada przekrojowi.

Moduł sprężystości postaciowej to jest taka właściwość MATERIAŁU, która odpowiada za jego sprężystość podczas skręcania na przykład wałka. Biegunowy moment bezwładności dotyczy przekroju poprzecznego wałka, jego kształtu oraz wymiarów.

Następnym razem zastosujemy to prawo w zadaniu.

Równanie różniczkowe linii ugięcia belki – zadanie 12

Ponownie wracamy do belek – wcześniej obliczaliśmy reakcje w podporach i rysowaliśmy wykresy sił wewnętrznych, a teraz wyznaczymy linię ugięcia belki przy pomocy równania różniczkowego.

zginanie1 - Równanie różniczkowe linii ugięcia belki - zadanie 12

I co to tak naprawdę jest, bo teoria sobie ale dobrze jest wyobrazić sobie wszystko w praktyce?

Jak spojrzymy na belkę na powyższym obrazku (tą belkę już znamy z wcześniejszych zadań) to widać że jest ona obciążana różnymi siłami. Spróbujmy sobie wyobrazić, że belka jest z materiału, który łatwo wygiąć . Te obciążenia spowodują, że belka pod wpływem obciążeń nie będzie prosta tylko lekko się pokrzywi.

Podobnie będzie, gdy ktoś złapie za 2 końce linijki i na środku położy ciężarek – linijka się wygnie.

I to równanie różniczkowe LINII UGIĘCIA to jest taka funkcja matematyczna, której wykres ma dokładnie taki kształt jak wygięta belka. To teraz jak to po kolei zrobić:
1. Dzielimy belkę na przedziały i w każdym z nich piszemy moment gnący

to już było przy okazji rysowania wykresów,

Wytrzymałość-zginanie-zadanie 11

ale działamy:
Pierwszy przedział
Mg(x) = q * a² – q * x * x/2 = q * a2 – 0,5 * q * x²

Drugi przedział
Mg(x) = q * a² – q * a * (x-a/2) + 4*q*a * (x-a) =
=  q * a² – q * a * x + 0,5 * q * a² + 4 * q * a * x – 4 * q * a² =
=  3 * q * a * x – 2,5 * q * a²

2. Dla każdego przedziału piszemy równanie różniczkowe linii ugięcia belki:
Pierwszy przedział:
E * J * d²y/dx2 = -Mg(x)
E * J * d²y/dx2 = 0,5 * q * x² – q * a²
Dwukrotnie całkujemy równanie stronami:
E * J * dy/dx = 0,5 * q * 1/3 * x³ – q * a² * x + c1
E * J * dy/dx = q * 1/6 * x³ – q * a² * x + c1
E * J * y = q * 1/6 * 1/4 * x³ * x – q * a² * 0,5 * x² + c1 * x + d1
E * J * y = q * 1/24 * x³ * x – 0,5 * q * a² * x² + c1 * x + d1 – równanie linii ugięcia belki dla pierwszego przedziału

I to samo drugi przedział:
E * J * d2y/dx2 = -Mg(x)
E * J * d2y/dx2 = 2,5 * q * a²- 3 * q * a * x
E * J * dy/dx = 2,5 * q * a² * x – 3 * q * a * 0,5 * x² + c2
E * J * dy/dx = 2,5 * q * a² * x – 1,5 * q * a * x² + c2
E * J * y = 2,5 * q * a² * 0,5 * x² – 1,5 * q * a * 1/3 * x3 + c2 * x + d2
E * J * y = 1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2 – równanie linii ugięcia belki dla drugiego przedziału

Jak już mamy równania linii ugięcia dla obu przedziałów, to jedyne co nie wiadomo, to stałe całkowania c1, d1, c2 oraz d2.

W tym celu:
3. Piszemy warunki brzegowe.
I należy zapytać co to są warunki brzegowe, ponieważ sama ta nazwa niewiele mówi:

zginanie10 - Równanie różniczkowe linii ugięcia belki - zadanie 12

Można sobie wyobrazić, w jaki sposób belka może zostać wygięta i przykład widać na rysunku powyżej czerwona linią przerywaną:
Na pewno na prawym końcu w punkcie C belka wychodzi ze ściany i wychodzi z tej ściany poziomo, a zacznie się wyginać dopiero kawałek od ściany.
Warunkiem brzegowym jest na przykład to, że wygięta belka zawsze wychodzi ze ściany poziomo niezależnie od tego, jak zostanie pogięta przez przyłożone obciążenia. I jak to zapisać:
y=0 dla x=2*a (pierwszy warunek brzegowy) – dosłownie znaczy tyle że na prawym końcu belka się nie ugnie, bo jest wmurowana do ściany
oraz
y’=0 dla x=2*a ( drugi warunek brzegowy) – i to też można opisać dosłownie – belka wychodzi ze ściany poziomo – styczna do belki w punkcie C jest pozioma – to znaczy tyle, że pochodna funkcji opisującej linię ugięcia belki w punkcie C będzie równa zero.
Mamy 2 warunki brzegowe, czyli będą potrzebne jeszcze dwa i one będą dotyczyć punktu B na styku przedziału lewego i prawego.

W punkcie B koniec pierwszego przedziału styka się z początkiem drugiego przedziału, a więc ugięcie na KOŃCU pierwszego przedziału będzie takie samo jak na POCZĄTKU drugiego przedziału i zapiszemy to następująco:
y1=y2 dla x=a (trzeci warunek brzegowy)
Po drugie styczna do belki na końcu pierwszego przedziału będzie taka sama jak styczna do belki na początku drugiego przedziału:
y1’=y2′ dla x=a (czwarty warunek brzegowy).

4. Warunki brzegowe wstawiamy do scałkowanych równań różniczkowych:
Na początek bierzemy drugi warunek brzegowy
y’=0 dla x=2*a
i wstawiamy do równania różniczkowego pierwszego stopnia z drugiego przedziału (dlatego że drugi warunek dotyczy pochodnej y’ oraz dotyczy drugiego przedziału):
E * J * dy/dx = 2,5 * q * a² * x – 1,5 * q * a * x² + c2
E * J * 0 = 2,5 * q * a² * 2*a – 1,5 * q * a * (2*a)² + c2
0 = 5 * q * a³  – 6 * q * a³ + c2
0 =   (- q) * a³ + c2
Pierwsza stała całkowania dla drugiego przedziału
c2 = q * a³

Teraz bierzemy pierwszy warunek brzegowy
y=0 dla x=2*a
i wstawiamy do równania zerowego stopnia dla drugiego przedziału
E * J * y = 1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2
Wstawiamy również obliczoną przed chwilą stałą całkowania
E * J * 0 = 1,25 * q * a² * (2*a)² – 0,5 * q * a * (2*a)³ + q * a³ * 2 * a + d2
0 = 5 * q * a³ * a – 4 * q * a³ * a  + q * a³ * a  * 2 + d2
0 = 3 * q * a³ * a  + d2
Druga stała całkowania dla drugiego przedziału
d2 = (-3) * q * a³ * a

Kolejno bierzemy czwarty warunek brzegowy:
y1’=y2′ dla x=a
i przyrównujemy równania pierwszego stopnia dla obu przedziałów
q * 1/6 * x³ – q * a² * x + c1 = 2,5 * q * a² * x – 1,5 * q * a * x² + c2
wstawiając również obliczoną stałą całkowania c2:
q * 1/6 * a³ – q * a² * a + c1 = 2,5 * q * a² * a – 1,5 * q * a * a² + q * a³
(-5/6) * q * a³ + c1 = 2 * q * a³
Pierwsza stała całkowania dla drugiego przedziału
c1 = 2,8 * q * a³

I na koniec bierzemy trzeci warunek brzegowy:
y1=y2 dla x=a
i przyrównujemy równania zerowego stopnia dla obu przedziałów
q * 1/24 * x * x³ – 0,5 * q * a² * x²+ c1 * x + d1 =
= 1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2

q * 1/24 * a* a³ – 0,5 * q * a* a³ + 2,8 * q * a* a³ + d1 =
= 1,25 * q * a* a³ – 0,5 * q * a* a³ + q * a* a³ + (-3) * q * a* a³

Pierwsza stała całkowania dla drugiego przedziału
d1 = (-1,25) * q * a* a³ – 2,3 * q * a* a³ = (-3,55) * q * a* a³

Obliczone stałe całkowania wstawiamy do równań linii ugięcia belki:
y1 = (q * 1/24 * x * x³ – 0,5 * q * a² * x² + c1 * x + d1 ) : EJ
y2 = (1,25 * q * a² * x² – 0,5 * q * a * x³ + c2 * x + d2) : EJ

y1 = (q * 1/24 * x * x³ – 0,5 * q * a² * x² + 2,8 * q * a³ * x – 3,55 * q * a * a³ ) : EJ
y2 = (1,25 * q * a² * x²- 0,5 * q * a * x³ + q * a³ *x – 3 * q * a * a³ ) : EJ

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego – podstawy

I tak ponownie wracamy do podstaw, ponieważ o tym zdarza nam się zapominać. O dynamice było już na samym początku i o II zasadzie dynamiki również, a dzisiaj opowiemy o jaj zastosowaniu w ruchu obrotowym.

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Tylko że wtedy było to odniesione do ruchu postępowego:

F = m * a [1]

czyli jeżeli na ciało o masie m działa siła F, to to ciało jedzie z przyspieszeniem a.

 

A jak to będzie w przypadku ruchu obrotowego?

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego wygląda tak:

M = J * 

czyli jeżeli na ciało o masowym momencie bezwładności J działa moment M, to ciało obraca się z przyspieszeniem kątowym .

Jak patrzymy na wzór [1] i [2] to siłę F zamieniono na moment M (przy ruchu obrotowym sile odpowiada moment), zamiast masy jest masowy moment bezwładności, a zamiast przyspieszenia liniowego mamy przyspieszenie kątowe.

I to właściwie tyle jeżeli chodzi o uzupełnienie II zasady dynamiki Newtona.

Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie – podstawy

Drobna wzmianka na temat algebraicznego i skalarnego dodawania wektorów pojawiła się przy okazji rozkładu siły na składowe

Statyka-rzutowanie siły na oś-siła i jej składowe

 

statyka11 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

tylko, że to było proste, ponieważ mieliśmy 2 wektory do siebie prostopadłe.

Innym razem może się zdarzyć że trzeba dodać 2 wektory ustawione względem siebie o kąt . I co wtedy:

statyka6 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

Po pierwsze

Mamy 2 wektory i ustawiamy je w taki sposób, żeby ich początki były w jednym punkcie.

statyka7 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

Po drugie

Jeżeli każdy z nich wychodzi z jednego punktu, to tworzą 2 boki równoległoboku. Przekątna tego równoległoboku wychodząca z tego samego wierzchołka, co 2 dodawane wektory jest ich sumą.

statyka8 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

To wiemy już jak to narysować, a teraz jak obliczyć wartość sumy wektorów czyli długość tej przekątnej?

Jak dodajemy dwie siły i któraś z nich leci pod kątem, to tą siłę która jest pod kątem rozkładamy na 2 składowe (pionową i poziomą) – o tym już niedawno pisaliśmy.

statyka9 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

To teraz widzimy 2 składowe siły F1 oraz siłę F2. Następnie wszystkie składowe poziome dodajemy do siebie i wszystkie składowe pionowe też dodajemy do siebie (wyjątkowo w tym przypadku:

– w poziomie są 2 siły

– i w pionie jest jedna siła).

statyka10 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

I teraz to się zrobiło jeszcze łatwiejsze:

Składowe poziome leżą na jednym boku, a składowe pionowe leżą na drugim przyległym boku prostokąta. Teraz widać, że suma wektorów jest przekątną prostokąta i można ją obliczyć w taki sam sposób jak przy sumie 2 wektorów prostopadłych do siebie:

statyka12 - Dodawanie wektorów algebraicznie i skalarnie - podstawy

Przyspieszenie styczne i normalne w ruchu po okręgu – kinematyka

O tym już było przy okazji zadań z ruchu płaskiego,

https://blog-student.com/kinematyka-zadanie-3-obliczenie-przyspieszenia-w-ruchu-plaskim/

ale zanim przejdziemy do trudniejszych, to warto przypomnieć jedną z podstaw kinematyki – jak obliczyć przyspieszenia styczne i normalne w ruchu po okręgu.

Wyobraźmy sobie, że pojazd jedzie po drodze i wjeżdża w zakręt o promieniu R. Wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne wektory przyspieszeń:

kinematyka3 - Przyspieszenie styczne i normalne w ruchu po okręgu - kinematyka

– styczne pt

– i normalne pn

Przyspieszenie styczne (jak wskazuje jego nazwa i jak widać na powyższym szkicu) jest STYCZNE do łuku drogi, po której jedzie. Jest ono równe pochodnej prędkości po czasie

pt = dV/dt

a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość (wartość prędkości) się NIE ZMIENIA to przyspieszenie styczne jest równe ZERO. Pisząc innymi słowami (prostymi słowami) przyspieszenie styczne opisuje zmiana prędkości. 

Przyspieszenie normalne jest zwrócone do środka łuku, po którym pojazd jedzie i jest ono równe:

pn = V² : R

Całkowite przyspieszenie punktu jadącego po łuku jest sumą obu wektorów przyspieszeń czyli stycznego i normalnego.