Dynamika- zadanie 7

Witam ponownie i ponownie mamy proste zadanko z dynamiki:

 

Do nieważkiego bębna o promieniu r przyłożono moment Mo. Na obu końcach cięgna nawiniętego na bęben zawieszono 2 masy m. Pomiędzy cięgnem a bębnem nie ma poślizgu.

dynamika4

Ile wyniosą przyspieszenia poruszających się mas?

 

Tyle wiadomo  teraz żeby się do tego zabrać to na wstępie:

Trzeba założyć, w jaki sposób to wszystko się będzie poruszać.

Przyłożony moment obraca kołem zgodnie ze wskazówkami zegara, czyli można się domyśleć, że lewe pudło pojedzie w górę, a prawe pudło będzie zjeżdżać w dół. Ponieważ oba pudła są połączone nierozciągliwą liną, to jedno i drugie pudło będzie się poruszać z takim samym przyspieszeniem.

W drugim kroku trzeba uwolnić od więzów wszystkie ciała, które mają masę, czyli to będzie lewe pudło i prawe pudło.dynamika5

Uwalniamy od więzów, czyli zastępujemy linę siłą napięcia S1 i ponieważ ciało posiada masę to w środku ciężkości przykładamy siłę ciężkości m*g. Z poprzedniego kroku zakładamy przyspieszenie ciała w górę.

Trzeci krok to jeżeli pudło uwolniliśmy od więzów to teraz piszemy równania dynamiczne pochodzące z II prawa dynamiki Newtona:
ILOCZYN MASY CIAŁA I JEGO PRZYSPIESZENIA RÓWNA SIĘ SUMIE PRZYŁOŻONYCH DO NIEGO SIŁ.
Należy zaznaczyć że siły leżą na kierunku przyspieszenia:
m * p = S1 – m*g [1]

dynamika6

Analogicznie postępujemy z drugim pudłem czyli siłę w linie zastępujemy siłą S2 i przykładamy ciężar m*g. Równianie dynamiczne przyjmie postać:

m * p = m*g – S2 [2]

Mamy 2 równania dynamiczne i teraz liczymy niewiadome:
p , S1 , S2
czyli 3 niewiadome i 2 równania a więc potrzebne jest dodatkowe równanie dynamiczne lub kinematyczne. I tutaj warto wykorzystać krążek, do którego przyłożono moment – dla niego napiszemy równanie dynamiczne dla ruchu obrotowego:

dynamika3

J * e = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

Wiadomo że moment bezwładności krążka wynosi zero, ponieważ krążek jest nieważki:
J = 0
I wiadomo, jaka jest relacja między przyspieszeniami:
– kątowym bębna
– i liniowym pudła:
p = ε * r
I z tego obliczymy przyspieszenie kątowe krążka:
ε = p : r
I teraz to co powyżej wstawiamy do równania [3]:
0 * p/r = S2 * r + Mo – S1 * r

0 = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

To jak już mamy 3 równania, to przyrównujemy stronami równania [1] i [2]:
S1 – m*g = m*g – S2
S1 = 2*m*g – S2 [1+2]

Z równania [3] wyciągamy siłę w linie S1:
S1 * r = S2 * r + Mo
S1 = S2 + Mo/r  [3]

Równania [1+2] oraz [3] odejmujemy stronami:
S1 – S1 = 2*m*g – S2 – S2 – Mo/r
0 = 2*m*g – 2*S2 – Mo/r
0 = m*g – S2 – 0,5*Mo/r
S2 = m*g – 0,5*Mo/r

Z równania [1] wyciągamy p, podstawiamy obliczone powyżej S2 i od razu dostajemy szukane przyspieszenie:
p = g – S2/m = g – ( m*g – 0,5*Mo/r )/m = g – ( g – 0,5*Mo/(r*m) )  =
= 0,5*Mo/(r*m)

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

w

Connecting to %s