Reakcje w podporach – belka – statyka – zadanie 8

Dobrze będzie teraz powrócić do statyki i teraz zrobimy takie zadanie z belką, w której obliczymy reakcje w podporach:

Jest sobie belka oparta w punktach A i B – to tak jakby ktoś wziął szynę tramwajową i położył na dwóch cegłach.

W punkcie A jest podpora PRZEGUBOWA STAŁA czyli pozwalająca tylko na obrót belki wokół punktu A. A więc lewy koniec belki NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie.

W punkcie B jest podpora PRZEGUBOWA PRZESUWNA (bo widać tutaj dwie poziome kreski) pozwalająca na obrót belki wokół punktu B oraz przesuw poziomy (poziomy bo są dwie poziome kreski). A więc w punkcie B belka NIE MOŻE pojechać w pionie. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ REAKCJE W PODPORACH

No to po kolei:

1. Uwalniamy belkę od więzówstatyka5 - Reakcje w podporach - belka - statyka - zadanie 8

czyli zastępujemy dwie podpory (A i B) siłami . Jak napisano trochę wcześniej lewy koniec belki (w punkcie A) NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie i dlatego rysujemy DWIE reakcje (pionową i poziomą – nieważne czy prawo czy lewo i czy góra czy dół) działające na belkę. Krótko mówiąc reakcje działające na belkę pokazują, w którą stronę belka NIE MOŻE pojechać.

Tak samo w punkcie B rysujemy reakcję pionową bo w pionie belka NIE MOŻE pojechać.

2. Teraz kolej na równania równowagi.

Ponieważ wszystkie siły leżą na płaszczyźnie i nie przecinają się w jednym punkcie to jest to układ sił PŁASKI ROZBIEŻNY. Dla układu płaskiego rozbieżnego piszemy TRZY równania równowagi:

suma rzutów sił na oś poziomą (przeważnie x)

i na oś pionową (przeważnie y)

oraz moment sił względem dowolnego punktu.

Na jednej osi wszystko wytłumaczymy i dalej wszystko będzie bardzo proste. Suma rzutów sił na oś x to suma wszystkich sił poziomych i rzutów sił poziomych.

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

Z sumy rzutów sił na oś x:

Pix = (-RAx) – F1*cos = 0 [1]

Z sumy rzutów sił na oś y:

Piy = RAy – F1*sin+ F2 + F3 + RB = 0 [2]

Z sumy momentów względem punktu A:

MiA = F1*sin*1 – F2*2 – RB*4 – F3*5 = 0 [3]

3. Mamy wszystkie równania statyczne i z nich obliczamy szukane reakcje

Przekształcając równanie [3] otrzymujemy:

4*RB = F1*sin*1 – F2*2 – F3*5

Reakcja w podporze przegubowej przesuwnej wynosi:

RB = 0,25*F1*sin – 0,5*F2 – 1,25*F3

Z [2] równania obliczymy reakcję pionową w podporze przegubowej stałej:

RAy = F1*sin– F2 – F3 – RB

Z równania [1] obliczymy reakcję poziomą w lewej podporze:

RAx = (-F1)*cosα

Kolejne trudniejsze zadania w kolejnych odcinkach

 

Belka – obliczanie reakcji podpór – statyka – zadanie 8

Dobrze będzie teraz powrócić do statyki i teraz zrobimy takie zadanie z belką, w której obliczymy reakcje podpór:

Jest sobie belka oparta w punktach A i B – to tak jakby ktoś wziął szynę tramwajową i położył na dwóch cegłach.

W punkcie A jest podpora PRZEGUBOWA STAŁA czyli pozwalająca tylko na obrót belki wokół punktu A. A więc lewy koniec belki NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie.

W punkcie B jest podpora PRZEGUBOWA PRZESUWNA (bo widać tutaj dwie poziome kreski) pozwalająca na obrót belki wokół punktu B oraz przesuw poziomy (poziomy bo są dwie poziome kreski). A więc w punkcie B belka NIE MOŻE pojechać w pionie. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ REAKCJE PODPÓR

No to po kolei:

1. Uwalniamy belkę od więzówstatyka5 - Belka - obliczanie reakcji podpór - statyka - zadanie 8

czyli zastępujemy dwie podpory (A i B) siłami . Jak napisano trochę wcześniej lewy koniec belki (w punkcie A) NIE MOŻE pojechać ani w pionie ani w poziomie i dlatego rysujemy DWIE reakcje (pionową i poziomą – nieważne czy prawo czy lewo i czy góra czy dół) działające na belkę. Krótko mówiąc reakcje działające na belkę pokazują, w którą stronę belka NIE MOŻE pojechać.

Tak samo w punkcie B rysujemy reakcję pionową bo w pionie belka NIE MOŻE pojechać.

2. Teraz kolej na równania równowagi.

Ponieważ wszystkie siły leżą na płaszczyźnie i nie przecinają się w jednym punkcie to jest to układ sił PŁASKI ROZBIEŻNY. Dla układu płaskiego rozbieżnego piszemy TRZY równania równowagi:

suma rzutów sił na oś poziomą (przeważnie x)

i na oś pionową (przeważnie y)

oraz moment sił względem dowolnego punktu.

Na jednej osi wszystko wytłumaczymy i dalej wszystko będzie bardzo proste. Suma rzutów sił na oś x to suma wszystkich sił poziomych i rzutów sił poziomych.

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

Z sumy rzutów sił na oś x:

Pix = (-RAx) – F1*cos = 0 [1]

Z sumy rzutów sił na oś y:

Piy = RAy – F1*sin+ F2 + F3 + RB = 0 [2]

Z sumy momentów względem punktu A:

MiA = F1*sin*1 – F2*2 – RB*4 – F3*5 = 0 [3]

3. Mamy wszystkie równania statyczne i z nich obliczamy szukane reakcje

Przekształcając równanie [3] otrzymujemy:

4*RB = F1*sin*1 – F2*2 – F3*5

Reakcja w podporze przegubowej przesuwnej wynosi:

RB = 0,25*F1*sin – 0,5*F2 – 1,25*F3

Z [2] równania obliczymy reakcję pionową w podporze przegubowej stałej:

RAy = F1*sin– F2 – F3 – RB

Z równania [1] obliczymy reakcję poziomą w lewej podporze:

RAx = (-F1)*cosα

Kolejne trudniejsze zadania w kolejnych odcinkach

 

Przyspieszenia poruszających się mas – zadanie 7

Witam ponownie i ponownie mamy proste zadanko z dynamiki, w którym obliczymy przyspieszenia poruszających się mas:

Do nieważkiego bębna o promieniu r przyłożono moment Mo. Na obu końcach cięgna nawiniętego na bęben zawieszono 2 masy m. Pomiędzy cięgnem a bębnem nie ma poślizgu.

dynamika4 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Autor zadaje pytanie:

Ile wyniosą przyspieszenia poruszających się mas?

 

Tyle wiadomo  teraz żeby się do tego zabrać to na wstępie:

Po pierwsze:

Trzeba założyć, w jaki sposób to wszystko się będzie poruszać.

Przyłożony moment obraca kołem zgodnie ze wskazówkami zegara, czyli można się domyśleć, że lewe pudło pojedzie w górę, a prawe pudło będzie zjeżdżać w dół. Ponieważ oba pudła są połączone nierozciągliwą liną, to jedno i drugie pudło będzie się poruszać z takim samym przyspieszeniem.

W drugim kroku:

Trzeba uwolnić od więzów wszystkie ciała, które mają masę

czyli to będzie lewe pudło i prawe pudło.dynamika5 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Uwalniamy od więzów, czyli zastępujemy linę siłą napięcia S1. Ciało posiada masę i dlatego w środku ciężkości przykładamy siłę ciężkości m*g. Z poprzedniego kroku zakładamy przyspieszenie ciała w górę.

Trzeci krok :

Jeżeli pudło uwolniliśmy od więzów to teraz piszemy równania dynamiczne pochodzące z II prawa dynamiki Newtona
ILOCZYN MASY CIAŁA I JEGO PRZYSPIESZENIA RÓWNA SIĘ SUMIE PRZYŁOŻONYCH DO NIEGO SIŁ.

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Należy zaznaczyć że siły leżą na kierunku przyspieszenia:
m * p = S1 – m*g [1]

dynamika6 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Analogicznie postępujemy z drugim pudłem czyli siłę w linie zastępujemy siłą S2 i przykładamy ciężar m*g. Równianie dynamiczne przyjmie postać:

m * p = m*g – S2 [2]

Mamy 2 równania dynamiczne i teraz liczymy niewiadome:
p , S1 , S2
czyli 3 niewiadome i 2 równania a więc

Czwarty krok:

Potrzebne jest dodatkowe równanie dynamiczne lub kinematyczne.

I tutaj warto wykorzystać krążek, do którego przyłożono moment – dla niego napiszemy równanie dynamiczne dla ruchu obrotowego:

dynamika3 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

J * e = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

Wiadomo że:

moment bezwładności krążka wynosi zero, ponieważ krążek jest nieważki:
J = 0

i wiadomo, jaka jest relacja między przyspieszeniami poruszających się mas:
– kątowym bębna
– i liniowym pudła:
p = ε * r
I z tego obliczymy przyspieszenie kątowe krążka:
ε = p : r
I teraz to co powyżej wstawiamy do równania [3]:
0 * p/r = S2 * r + Mo – S1 * r

0 = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

To jak już mamy 3 równania, to przyszła pora na

Piąty krok

Mamy układ 3 równań i z nich obliczamy przyspieszenia poruszających się mas.

Przyrównujemy stronami równania [1] i [2]:
S1 – m*g = m*g – S2
S1 = 2*m*g – S2 [1+2]

Z równania [3] wyciągamy siłę w linie S1:
S1 * r = S2 * r + Mo
S1 = S2 + Mo/r  [3]

Równania [1+2] oraz [3] odejmujemy stronami:
S1 – S1 = 2*m*g – S2 – S2 – Mo/r
0 = 2*m*g – 2*S2 – Mo/r
0 = m*g – S2 – 0,5*Mo/r
S2 = m*g – 0,5*Mo/r

Z równania [1] wyciągamy p, podstawiamy obliczone powyżej S2 i od razu dostajemy szukane przyspieszenie obu mas:
p = g – S2/m = g – ( m*g – 0,5*Mo/r )/m = 0,5*Mo/(r*m)

Dynamika – tarcie – zadanie 6

To może teraz zadanie z dynamiki w którym występuje tarcie:

NA POZIOMYM STOLE NA KARTCE LEŻY PUDEŁKO O MASIE m. WSPÓŁCZYNNIK TARCIA MIĘDZY KARTKĄ I PUDEŁKIEM WYNOSI µdynamika1 - Dynamika - tarcie - zadanie 6

I jak wiemy co tu się dzieje to teraz jest takie pytanie:

Z JAKIM PRZYSPIESZENIEM NALEŻY RUSZYĆ KARTKĄ, ŻEBY PUDEŁKO ZJECHAŁO Z KARTKI?

Czyli tradycyjnie:

  1. Uwalniamy pudełko od więzów,

czyli zastępujemy kartkę siłami:

– nacisku

– i tarcia ponieważ jest dany współczynnik tarcia 

dynamika2 - Dynamika - tarcie - zadanie 6

Siła tarcia jest w tą stronę co przyspieszenie ponieważ pudełko będzie chciało zjechać w stronę przeciwną – siła tarcia jest zawsze przeciwna do ruchu który ma nastąpić – przeszkadza ruchowi.

No i teraz piszemy:

2. Równanie dynamiczne

Równanie w kierunku zgodnym z przyspieszeniem:

m * p = N * µ [1] 

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Równanie w kierunku prostopadłym do przyspieszenia:

m * 0 = N – m*g [2]

Z drugiego równania obliczamy nacisk:

N = m*g

i wstawiamy do równania [1]:

m * p = m * g * µ

Dzielimy obie strony równania przez m i dostajemy przyspieszenie z jakim należy ruszyć kartką żeby pudełko zjechało z kartki:

p = g * µ 

I to jest odpowiedź na postawione pytanie. Prawda że proste?

Rozciąganie pręta – zadanie statycznie niewyznaczalne

Poprzednio rozpoczęliśmy podstawy wytrzymałości

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy a teraz może zadanie z rozciągania pręta i do tego statycznie niewyznaczalne:

rozciaganie1 - Rozciąganie pręta - zadanie statycznie niewyznaczalne

  Mamy dane przekroje pręta A, moduł Younga E, siłę P i długość l. Pytają się o reakcje utwierdzenia w suficie i podłodze

O co tutaj chodzi?

Ktoś wziął pręt o zmiennym przekroju, jednym końcem przyspawał do podłogi, a górnym końcem przyspawał do sufitu. Jak widać na rysunku całą wysokość pręta podzielono na 3 przedziały i na granicy pierwszego i drugiego oraz drugiego i trzeciego przedziału przyłożono siły 4*P oraz P.

Po pierwsze uwalniamy słup od więzów, czyli zastępujemy sufit i podłogę siłami utwierdzenia obojętnie w którą stronę, ale później się tego trzymamy.

Gdy są już reakcje utwierdzenia to można napisać:

Sumę rzutów sił na oś y, która leży w pionie (w osi słupa):

Piy = P + S1 – 4*P – S2 = 0

Przyjmujemy że siła do góry jest z PLUSEM a siła w dół jest z MINUSEM. Potem można powyższe równanie uprościć i dostaniemy to co poniżej:

Piy = S1 – 3*P – S2 = 0 (1)

W tym równaniu są 2 niewiadome: S1 i S2 czyli to zadanie jest statycznie niewyznaczalne.

Aby je obliczyć musi być kolejne równanie – tym razem GEOMETRYCZNE mówiące, że

suma wydłużeń poszczególnych odcinków (a są trzy i każdy o długości l) musi być równa ZERO.

To jest tak, że jak pierwszy odcinek wydłuży się o 1mm i drugi odcinek wydłuży się o 2mm, to w wyniku tego trzeci odcinek skróci się o 3mm. A to dlatego że odległość między podłogą i sufitem zawsze będzie 3*l:

l1 + l2 + l3 = 0

gdzie l to poszczególne wydłużenia poszczególnych odcinków

Teraz trzeba użyć prawa Hooke’a, które ściśle wiąże się z rozciąganiem pręta. Mówi ono że:

siła * długość pręta

wydłużenie      =    ————————————————————————–

moduł Younga * pole przekroju

Ponieważ mamy 3 przedziały, to w każdym z nich musimy określić siłę rozciągającą pręt czyli siłę normalną. Żeby sobie ułatwić to można użyć kawałka kartki, którym będziemy zakrywać część słupa.

Dla pierwszego przedziału (patrząc od góry) zakrywamy tak, żeby widzieć kawałek tego pierwszego przedziału.

Teraz przepisujemy siły, które widzimy – no i widzimy S1:

N1 = S1

Następnie odsłaniamy trochę więcej słupa w taki sposób, żeby widzieć pierwszy przedział (licząc od góry) i kawałek drugiego przedziału. I oto co widzimy:

N2 = S1 – 4*P

W kolejnym kroku odsłaniamy jeszcze więcej słupa, tak żeby całkowicie widzieć pierwszy i drugi przedział (licząc od góry) oraz kawałek trzeciego. Siły normalne w trzecim przedziale:

N3 = S1 – 4*P + P = S1 – 3*P

Teraz już mając siły w poszczególnych przedziałach (N), długości tych przedziałów (l), moduł Younga (E) oraz przekroje (A) w każdym z przedziałów można to wszystko wstawić do prawa Hooke i równania geometrycznego:

 

N1*l             N2*l              N3*l

———- + ————– + ————- = 0

E*2*A         E*2*A            E*A

 

Po wstawieniu wartości sił normalnych wyjdzie coś takiego:

 

S1*l            (S1-4*P)*l            (S1-3*P)*l

———- + ——————– + ——————– = 0

E*2*A              E*2*A                   E*A

 

Teraz dobrze będzie to wszystko uprościć, czyli mnożymy obie strony przez (E*A) i dzielimy przez l:

 

S1             (S1-4*P)        S1-3*P

—– + —————— + —————- = 0 (2)

2                   2                    1

 

Z tego wszystkiego można wyciągnąć reakcję utwierdzenia S1:

2*S1 = 5*P

S1 = 2,5*P

Reakcję S1 wstawiamy do sumy rzutów na oś y i obliczamy z tego S2:

S1 – 3*P – S2 = 0

S1 – 3*P = S2

S2 = 2,5*P – 3*P = (-0,5*P)

Reakcje utwierdzenia wynoszą: S1 = 2,5*P oraz S2 = (-0,5*P).

To nie jest jedyny typ zadania statycznie niewyznaczalnego (z rozciągania prętów) ale o tym innym razem