Prędkość dźwięku i liczba Macha

Dzisiaj opowiemy o prędkości dźwięku i o tym, jak dźwięk rozchodzi się w powietrzu.
W temperaturze 15ºC dźwięk rozchodzi się z prędkością 340m/s czyli 1225km/h.
Wraz ze spadkiem temperatury ta prędkość maleje i jak wiesz, na dużych wysokościach w atmosferze (rzędu 10 kilometrów) temperatura potrafi spadać do minus 40ºC a nawet jeszcze mniej (w tym samym czasie na ziemi możemy cieszyć się letnią pogodą).
Przy takiej temperaturze (na przykład minus 40ºC ) prędkość dźwięku spada do 306m/s czyli 1103km/h. Przybliżona zależność służąca do obliczenia prędkości dźwięku przedstawia się następująco:

a = 331,5 + 0,6*t

gdzie:
a = prędkość dźwięku [m/s]
t – temperatura powietrza [ºC]

Dlaczego tak się dzieje, że prędkość dźwięku zależy od temperatury?
Jak wiesz fala dźwiękowa to są drgania cząsteczek powietrza (głównie atomów azotu i tlenu) i te cząsteczki będą zachowywać się różnie w różnych temperaturach.

A teraz obiecana liczba Macha i co ten termin oznacza?
Liczba Macha M jest ilorazem prędkości V do prędkości dźwięku w danym ośrodku:

M = V / a

Jeżeli jakiś obiekt (na przykład samolot) porusza się dwukrotnie szybciej od prędkości dźwięku to oznacza, że jego prędkość wynosi Ma=2.

Prawda że łatwe?

Teleskop orbitalny – prawo odbicia i załamania światła

Dzisiaj opowiemy o prawach odbicia i załamania światła oraz jak działa teleskop orbitalny. Codziennie przeglądamy się w lustrze i świadomie lub nieświadomie wykorzystujemy prawo odbicia światła. Spójrz na poniższy szkic:
prawoodbiciazalamania1 - Teleskop orbitalny - prawo odbicia i załamania światła
Wiązka światła pada na granicę dwóch ośrodków (materiałów), albo mówiąc jaśniej – ktoś świeci na przykład na szkło światłem. Czyli wiązka światła leci przez powietrze i pada na granicę powietrza i szkła.

W zależności od tego jakie są to ośrodki/materiały i pod jakim kątem pada promień światła może dojść do różnych sytuacji:
światło odbije się od granicy ośrodków (pod warunkiem że ta granica jest powierzchnią gładką)
światło załamie się na granicy ośrodków i w drugim materiale będzie leciało pod innym kątem (po prostu nagle skręci przelatując przez granicę ośrodków)
światło odbije się i załamie jednocześnie.

Tu i teraz omówimy sobie oba te zjawiska czyli odbicie i załamanie. Na początek:

PRAWO ODBICIA ŚWIATŁA

Wiązka światła padająca pod kątem α na granicę dwóch ośrodków po odbiciu będzie lecieć pod takim samym katem α do tej granicy (widać to na powyższym szkicu)

lub

kąt padania jest równy kątowi odbicia.

Można to porównać do kuli bilardowej która poruszając się uderza w barierę pod kątem α i po odbiciu porusza się pod takim samym katem α do tej bariery.

Zanim przejdziemy do zjawiska załamanie światło to warto zrobić delikatny wstęp:
Wiesz o tym, że prędkość światła w próżni wynosi około:

c = 300 000km/s

W każdym innym ośrodku ta prędkość będzie mniejsza, ponieważ światło musi przejść przez coś, co mu w tym przeszkadza. W związku z tym prędkości światła będą różne w różnych materiałach. Taką drogą dochodzimy do

PRAWA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA

Sinus kąta załamania wiązka światła
jest wprost proporcjonalny
do prędkości rozchodzenia się światła w danym ośrodku:

sinα / sin β = v1 / v2

gdzie:
α i β – katy załamania światła
v1 i v2 – odpowiednie wartości prędkości rozchodzenia się światła w odpowiednich ośrodkach

Można powiedzieć jeszcze prościej że jeżeli światło ulega załamaniu, to kąt tego załamania jest tym większy im większa prędkość światła w danym materiale.

Przyjmując że już znamy prawa odbicia i załamania możemy opowiedzieć jak działają zwierciadła i soczewki. Każdy wie czym jest soczewka – jest to przezroczysta bryła ograniczona dwoma powierzchniami sferycznymi.
prawoodbiciazalamania2 1024x462 - Teleskop orbitalny - prawo odbicia i załamania światła
Zgodnie z powyższym szkicem można spotkać różne rodzaje i kształty soczewek ale generalnie soczewki dzielą się na dwie grupy (w zależności od zachowania wiązki światła padającej na soczewkę równolegle do osi optycznej):
– soczewki rozpraszające
– soczewki skupiające
prawoodbiciazalamania3 - Teleskop orbitalny - prawo odbicia i załamania światła
Na powyższym szkicu widzimy soczewkę skupiającą. Dla każdej z nich należy wyodrębnić 2 kluczowe pojęcia: ognisko oraz ogniskowa. Równoległa do osi optycznej wiązka światła po przejściu przez soczewkę załamuje się w taki sposób, że wszystkie promienie zostają skupione (w końcu to soczewka skupiająca) . Po skupieniu wiązka światła przechodzi przez OGNISKO.
Z drugiej strony jeżeli wiązka rozbieżnych promieni wychodzi z OGNISKA soczewki, to po przejściu przez soczewkę ulegają załamaniu w taki sposób że za soczewką lecą równolegle do osi optycznej.
Odległość od soczewki do ogniska nazywa się OGNISKOWĄ.
prawoodbiciazalamania4 - Teleskop orbitalny - prawo odbicia i załamania światła
Kolejny szkic przedstawia, jak wiązka promieni świetlnych przechodzi przez soczewkę rozpraszającą. Wiązka równoległa do osi optycznej padając na soczewkę rozpraszającą załamuje się w taki sposób, że po przejściu przez nią przedłużenia promieni świetlnych skupiają się w OGNISKU.
Druga sytuacja wystąpi, jeżeli wiązka promieni zbieżnych pada na soczewkę (zbieżnych w taki sposób że ich przedłużenie zbiega się w ognisku), to po przejściu przez nią rozprasza się w taki sposób , że powstaje wiązka równoległa do osi optycznej.

O soczewkach coś już wiemy, to teraz opowiemy jak działają zwierciadła wklęsłe:
prawoodbiciazalamania5 - Teleskop orbitalny - prawo odbicia i załamania światła
Zwierciadło wklęsłe również posiada ogniska i również posiada ogniskową (odległość od zwierciadła do ogniska). Wobec tego wiązka światła równoległa do osi optycznej pada na zwierciadło i po odbiciu skupia się w ognisku.
prawoodbiciazalamania6 - Teleskop orbitalny - prawo odbicia i załamania światła
Zwierciadło wypukłe przedstawia odwrotną sytuację, ponieważ wiązka światła (równoległa do osi optycznej) po odbiciu rozprasza się i w rezultacie przedłużenia promieni skupiają się w ognisku.

Dowiedzieliśmy się tak wiele na temat soczewek i zwierciadeł, oraz znamy prawa odbicia i załamania, to teraz opowiemy o teleskopach orbitalnych (przykładem niech będzie ciągle działający na orbicie okołoziemskiej teleskop Hubble’a).
prawoodbiciazalamania7 1024x411 - Teleskop orbitalny - prawo odbicia i załamania światła
Najpopularniejszą obecnie konstrukcją teleskopu jest odmiana składająca się z dwóch zwierciadeł:
– głównego wklęsłego
– oraz wtórnego wypukłego umieszczonego przed ogniskiem tego głównego
Strumień światła wpadając do teleskopu odbija się od głównego zwierciadła i po skupieniu wraca w kierunku zwierciadła wtórnego. Po odbiciu od niego zmierza ponownie w stronę głównego zwierciadła i przebiega przez otwór w nim wykonany. Tam strumień światła trafia na elementy przetwarzające obraz.

Ruch obiegowy księżyca wokół planety – dynamika – zadanie 55

Witam wszystkich i dzisiaj zahaczymy o astronomię i dynamikę:
Księżyc o masie m obiega planetę o masie M w odległości L. Okres obiegu wynosi T.

ksiezycokrazaplanete - Ruch obiegowy księżyca wokół planety - dynamika - zadanie 55

Oblicz stosunek promieni ruchu (planety i księżyca) R/r wokół wspólnego środka masy.

Takie jest pytanie i na księżyc obiegający planetę działają:
– siła grawitacji Fg (z tego powodu że planeta go przyciąga )
– oraz siła odśrodkowa (ponieważ księżyc leci po okręgu)

To teraz zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

(masa razy przyspieszenie równa się sumie sił)

napiszemy równanie dynamiczne dla księżyca wykonującego ruch obiegowy wokół planety:

ksiezycokrazaplanete2 - Ruch obiegowy księżyca wokół planety - dynamika - zadanie 55

m * an = Fg

w którym występuje przyspieszenie normalne:

an = V² / R

oraz siła grawitacji:

Fg = G * M * m / L²

Okres T jest czasem jednego obiegu księżyca wokół planety. Przy założeniu że orbita jest okręgiem (to tylko założenie bo w rzeczywistości jest elipsą) prędkość obiegu wynosi:

V = 2 * π * R / T

Jak mamy wszystkie składniki, to wstawimy je do równania dynamicznego:

m * (2 * π * R / T)² / R = G * M * m / L²

i trochę to uprościmy:

m * 4 * π² * R / T² = G * M * m / L²

oraz podzielimy obie stromy przez masę m:

4 * π² * R / T² = G * M / L²

4 * π² * R * L² = G * M * T²

Z tego można policzyć promień na którym księżyc obiega wspólny środek masy:

R = ( 0,25 * G * M * T² ) / (π² * L²) = ( 0,025 * G * M * T² ) / L²

Różnica między daną odległością planeta-księżyc a obliczonym promieniem R daje (znacznie mniejszy) promień obiegu planety wokół wspólnego środka masy:

r = L – R = L – ( 0,025 * G * M * T² ) / L²

Stosunek promieni obiegu planety i księżyca wokół wspólnego środka masy wynosi:

r/R = [L – ( 0,025 * G * M * T² ) / L² ] / [( 0,025 * G * M * T² ) / L²]

Tyle wyszło, ale jedno jest pewne:
Wspólny środek masy (wokół którego oba ciała obiegają) znajduje się znacznie bliżej środka tego cięższego czyli planety. Sprawdzimy to na przykładzie Ziemi i księżyca dla następujących danych:

Stała grawitacji:
G = 6,67408 * 10-11 m3/(kg*s2)

Masa Ziemi:
M = 5,9722 * 10 24 kg

Okres obiegu:
T = 27,3 dnia = 655,2h = 2358 720s

Odległość Ziemia księżyc:
L = 384 400km = 384 400 000m

r/R = [L – ( 0,025 * G * M * T² ) / L² ] / [( 0,025 * G * M * T² ) / L²] =

= [384 400 000 +
– (0,025*6,67408*10-11 * 5,9722*10 24*2358720²) / 384400000²] /

/ [(0,025*6,67408*10-11 * 5,9722*10 24  * 2358720²  / 384400000²]  = =0,024 800 41
czyli odległość Ziemi od wspólnego środka masy wynosi około 2,5% odległości Ziemia-Księżyc czyli około 9,5km

Prawda że łatwe?

Siła naporu wiatru na parasol – dynamika – zadanie 54

Cześć Wam i teraz zrobimy zadanie z dynamiki z elementami aerodynamiki, które brzmi:

ILE RAZY OPÓR POWIETRZA (SIŁA NAPORU WIATRU) PARASOLA JEST WIĘKSZY NIŻ W PRZYPADKU ODWRÓCONEGO PARASOLA

silanaporuwiatru1 1024x389 - Siła naporu wiatru na parasol - dynamika - zadanie 54

Tak prostymi słowami, to zdarzyło Ci się, że przy porywistym wietrze parasol wywinął się w górę i o tę sytuację tutaj chodzi.

Przypomnijmy sobie jak się liczyło siłę oporu powietrza:

Prędkość spadania spadochroniarza – zadanie 50

Fop = ρ*V²/2 * A * Cx

gdzie:
ρ*V²/2 – ciśnienie dynamiczne
ρ=1,226kg/m3 – gęstość powietrza
V – prędkość wiatru
A – powierzchnia rzutu parasola
Cx – przybliżony współczynnik oporu powietrza czaszy parasola

Powierzchnia rzutu parasola to zwyczajnie powierzchnia koła o średnicy parasola. Można przyjąć średnicę parasola na :

D = 0,97 m

czyli powierzchnia rzutu wyniesie:

A = π/4 * D² = π/4 * 0,97² = 0,74m2

Współczynnik oporu powietrza czaszy parasola wynosi około:

Cx = 1,42

Dla porównania taki sam współczynnik dla parasola wywiniętego do góry:

Cx2 = 0,34

Teraz obliczymy siłę naporu na parasol dla wiatru (określanego jako silny) o prędkości

V = 49km/h = 13,6 m/s:

i jest to sytuacja, gdy podmuch próbuje wyrwać parasol z ręki,  w rezultacie przechyla go na bok i wieje wzdłuż uchwytu:

silanaporuwiatru2 - Siła naporu wiatru na parasol - dynamika - zadanie 54

Fop = ρ*V²/2 * A * Cx =
= 1,226kg/m3 *13,6² / 2 * 0,74m2 * 1,42 = 119N

czyli jest to już odczuwalna siła dla człowieka trzymającego parasol, pod warunkiem że parasol to wytrzyma i jego druciana konstrukcja nie ulegnie dewastacji.

Dla porównania obliczymy siłę naporu na parasol w pozycji odwiniętej do góry i w tym samym położeniu – i tutaj różny będzie jedynie współczynnik oporu powietrza wynikający z innego (odwrotnego) kształtu:

silanaporuwiatru3 - Siła naporu wiatru na parasol - dynamika - zadanie 54

Fop = ρ*V²/2 * A * Cx =
= 1,226kg/m3 *13,6² / 2 * 0,74m2 * 0,34 = 28N

Jak widać różnica jest ponad czterokrotna i dlatego wywinięty parasol jest łatwiej utrzymać na wietrze.

Prędkość satelity na orbicie – dynamika – zadanie 53

Nad naszymi głowami lata coraz więcej statków kosmicznych i satelitów i tutaj nasuwa się pytanie, z jaką prędkością porusza się taki pojazd żeby na takiej orbicie trwale się utrzymać, czyli okrążać Ziemię na określonej wysokości? Na tę okoliczność zrobimy zadanie pod tytułem

OBLICZ WYMAGANĄ PRĘDKOŚĆ SATELITY OKRĄŻAJĄCEGO ZIEMIĘ NA WYSOKOŚCI h=350km

pierwszapredkosckosmiczna1 - Prędkość satelity na orbicie - dynamika - zadanie 53

Wiemy, że promień Ziemi wynosi

R=6371km

a więc satelita będzie latać po okręgu o promieniu:

R + h = 6371km + 350km = 6721km

Wiadomo również że na satelitę będzie działać:
siła odśrodkowa (dlatego że leci po okręgu)
– oraz grawitacja (dlatego że lata w pobliżu Ziemi)

pierwszapredkosckosmiczna2 - Prędkość satelity na orbicie - dynamika - zadanie 53

Jeżeli te dwie powyższe siły będą równe, to satelita będzie latać wokół Ziemi na tej samej wysokości czyli na tak zwanej orbicie okołoziemskiej. I w ten sposób powstało równanie dynamiczne wynikające z II zasady dynamiki Newtona:

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

m * an = Fg

Po lewej stronie występuje

przyspieszenie normalne

wynikające z ruchu po okręgu:

an = V² / (R+h)

Jak teraz to wstawimy do równania dynamicznego to po jego lewej stronie zobaczymy siłę odśrodkową i o to chodziło

m * V² / (R+h) = Fg

Czas na

siłę grawitacji

i jest ona równa iloczynowi mas ciał pomnożonemu przez tak zwaną stałą grawitacji i podzielonemu przez kwadrat odległości między nimi :

Fg = G * M * m / (R+h)²

Wielkość zwana stałą grawitacji (jak wiele stałych fizycznych) jest dokładnie określoną liczbą, opisuje pole grawitacyjne i wynosi w przybliżeniu:

G = 6,674 08 * 10-11 m3/(kg*s2)

W jakiś sposób masa Ziemi również jest znana i wynosi w przybliżeniu:

M = 5,9722 * 10 24 kg

Jak wstawimy siłę grawitacji do równania dynamicznego:

m * V2 / (R+h) = G * M * m / (R+h)²

to pozostanie uprościć wszystko co możliwe (dzielimy obie strony przez m i mnożymy obie strony przez (R+h)):

V² = G * M / (R+h)

W rezultacie dostaniemy szukaną prędkość satelity na orbicie:

V = √[G * M / (R+h)] =

= √[6,67408*10-11 m³/(kg*s²) * 5,9722*10 24 kg / 6721 000m] = 7701m/s

Ta prędkość równa około 7,7km/s jest

pierwszą prędkością kosmiczną

czyli taką która zapewnia satelicie poruszanie się wokół Ziemi po zamkniętej orbicie. Jeżeli z dowolnej przyczyny prędkość zostanie zmniejszona, to rozpocznie się tak zwana deorbitacja czyli sprowadzenie statku kosmicznego z orbity. Metodą na zmniejszenie prędkości jest włączenie wstecznego ciągu silnika rakietowego.