Dynamika – energia – zadanie 21

Mamy takie oto zadanie z energii:

energia2

Większa masa wisi na linie, która jest na górze przełożona przez krążek i leci do mniejszej masy która leży na powierzchni. Tutaj współczynnik tarcia wynosi . autor zadaje pytanie:

JAKĄ PRĘDKOŚĆ OSIĄGNIE WIĘKSZA WISZĄCA MASA PO PRZEBYCIU DROGI H ?

 

Po pierwsze

 

To teraz ustalmy w którą stronę ten cały układ jedzie:

Nie ma mowy o żadnej prędkości , a więc wszystko startuje ze startu zatrzymanego.

Wisząca większa masa M pod własnym ciężarem spada w dół i ciągnie mniejszą masę, która jedzie w prawo. Ponieważ oba pudła połączono nierozciągliwą liną, to oba jadą z taką samą prędkością.

energia3

Po drugie

 

Jeżeli wiadomo, jak to działa, to zaznaczamy siły ZEWNĘTRZNE działające na układ. W tym przypadku są to:

– ciężar m*g działający na masę m

– nacisk N działający na masę m

– tarcie N* działające na masę m

– ciężar działajacy na masę M

 

Po trzecie

 

Z równoważności pracy i energii wynika że zmiana energii kinetycznej układu jest równa wykonanej pracy:

Ek2 – Ek1 = L

Układ rusza ze startu zatrzymanego, a więc początkowa energia kinetyczna:

Ek1 = 0

Energia kinetyczna końcowa będzie zwiazana z ruchem ciał posiadających masę:

Ek2 = M * V² / 2 + m * V² / 2

i tak jak napisano wcześniej obie masy, duża i mała, jadą z taką samą prędkością V.

I teraz prawa strona równania:

Pracę wykonują siły, które są RÓWNOLEGŁE do przesunięcia. W tym przypadku równoległe do przesunięcia są:

– ciężar wiszącego pudła – pudło jedzie w dół i jego ciężar też działa w dół

– tarcie działające na mniejsze pudło – pudło jedzie poziomo i tarcie też działa poziomo.

Praca równa się iloczynowi SIŁY razy PRZESUNIĘCIE, a więc prawa strona równania będzie wyglądać tak:

L = M * g * H – N * * H

Powyżej widać, że tarcie działa na takiej samej drodze H jak przesunięcie w pionie duzego pudła, ponieważ oba pudła połączono nierozciągliwą liną. Całe równanie będzie wyglądało tak:

M * V² / 2 + m * V² / 2 – 0 = M * g * H – N * * H

To teraz policzymy niewiadome:

Jak widać nie znamy prędkości V i nacisku N. Uwalniamy od więzów pudło o mniejszej masie m czyli:

energia4

– przykładamy ciężar m * g

– zastępujemy podłoże naciskiem N i tarciem N *

– zastępujęmy linę siłą naciągu S

Kolejno piszemy sumę rzutów na oś y, ponieważ tam występuje nieznany nacisk N:

Piy = N – m*g = 0

czyli nacisk na lżejsze pudło:

N = m * g

i wstawiamy to do ogólnego równania:

M * V² / 2 + m * V² / 2 – 0 = M * g * H – m * g * * H

Mnożymy obie strony równania przez 2:

M * V² + m * V² = 2 * M * g * H – 2 * m * g * * H

i wyciągamy kwadrat prędkości przed nawias:

V² * (M+m) = 2 * M * g * H – 2 * m * g * * H

i z tego wynika szukana prędkość V :

V² * (M+m) = 2*g*H * (M – m * )

V = √ [2*g*H*(M – m*) : (M+m)]

Dynamika – regulator – zadanie 20

Mamy taki regulator, w którym masa M jest umieszczona na końcu belki o masie m.

dynamika7

Całość połączono przegubowo z wałem w odległości a od jego osi obrotu. Wał obraca się z prędkością kątową ω . Autor zadaje pytanie:

O JAKI KĄT ODCHYLI SIĘ BELKA?

 

Po pierwsze

 

Całość uwalniamy od więzów

dynamika8

czyli:

– zastępujemy przegub dwiema prostopadłymi reakcjami Rx oraz Ry

– przykładamy ciężary do belki i masy M

– ponieważ całość obraca się to do obu mas przykładamy siły odśrodkowe bezwładności

 

Po drugie

 

Piszemy równania równowagi:

∑Pix = B – Rx +∫dB = 0 [1]

∑Piy = Ry – M*g – m*g = 0 [2]

∑Mio = ∫dB*x*cosα – m*g*0,5*L*sinα + B*L*cosα – M*g*L*sinα = 0 [3]

 

Po trzecie

 

W powyższych równaniach pojawiła się całka i teraz warto ją do końca policzyć, ale na początek dobrze będzie zająć się elementarną siłą dB czyli siłą odśrodkową bezwładności:

dB = dm * 2 *(a+x*cosα)

 

Teraz stworzymy zależność która mówi, że:

Elementarna masa dm ma się tak do całej masy belki m,

jak

elementarna długość dx do całkowitej długości L:

dm/m = dx / L

z tego wyciągamy elementarną masę dm:

dm = m * dx / L

i wstawiamy do obliczonej wcześniej elementarnej siły bezwładnosci dB:

dB = m/L * 2 * ( a + x * sinα ) * dx

Następnie robimy z tego całkę (na całą długość belki L) i obliczamy ją:

∫m/L*ω² *( a + x * sinα ) dx =

= ∫( m/L*ω² * a + m/L*ω² * x*sinα ) dx =

= ∫m/L*ω² * a dx +∫m/L*ω² * x*sinα dx =

= m/L*ω² * a*L + m/L*ω² * sinα*0,5*L²

 

Po drodze pojawia się jeszcze siła odśrodkowa bezwładności działająca na skupioną masę M:

B = M * 2 * (a+L*sinα)

I teraz można to co wyszło z całki wstawić do równania równowagi na oś x:

ΣPix = M * ω² * (a+L*sinα) – Rx + m/L *ω² * a * L + m/L * ω² * sinα * 0,5 * L² = 0

I jak to sie to uprości to mamy coś takiego

ΣPix = (M+m)*ω² *a + (M+0,5*m)*ω²*L*sinα – Rx = 0 [1]

W sumie momentów pojawia się kolejna, trochę bardziej skomplikowana całka:

∫dB*x*cosα = ∫[m/L * ω² * (a+x*sinα) * dx] * x * cosα =

=∫[m/L *ω² * (a+x*sinα) * dx ] * x * cosα =

=∫[m/L *ω² * a + m/L *ω² * x * sinα] * x * cosα dx = 

= ∫m/L *ω² * a * x * cosα dx +∫m/L *ω² * sinα * x² * cosα dx =

=m/L *ω² * a * 0,5 * L² * cosα + m/L *ω² * sinα * 1/3 * L³ * cosα

 

I to co wyszło wstawiamy do równania momentów:

m/L *ω² * a * 0,5 * L² *  cosα +

+ m/L *ω² * sinα * 1/3 * L3 * cosα- m * g * 0,5 * L * sinα +

+ M *ω² * (a+L*sinα) * L * cosα – M * g * L * sinα = 0 [3]

 

I jak się uprości to i tamto to dostaniemy soś takiego:

(0,5*m+M) *ω² * a * cosα- (0,5*m+M) * g * sinα +

+ (M+1/3*m) *ω² * sinα* L * cosα = 0 [3]

 

Czyli mamy 3 równania równowagi oraz 3 niewiadome:α , Rx oraz Ry

(M+m) *ω² * a + (M+0,5*m) *2 * L * sinα – Rx = 0 [1]

Piy = Ry – M*g – m*g = 0 [2]

 

(0,5*m+M) *ω² * a * cosα- (0,5*m+M) * g * sinα +

+ (M+1/3*m) *ω² * sinα* L * cosα = 0 [3]

 

czyli z tego układu równań można już obliczyć szukany kąt odchylenia belki regulatora.

Kinematyka – ruch złożony – zadanie 19

A teraz będzie o ruchu ZŁOŻONYM:

Jak sama nazwa wskazuje mamy tutaj jakieś zlożenie, a dokładnie jest to złożenie 2 ruchów:

ruch unoszenia – na przykład płyta która porusza się po linii prostej lub się obraca wokół jakiegoś punktu

ruch własny – po tej płycie porusza się na przykład zwierzę – to już widać, że zwierzę jest znacznie mniejsze od płyty

Może być tak że płyta porusza się do przodu a zwierzę w bok ale znowu jest to tylko przykład.

Mówiąc i pisząc w jednym zdaniu ruch ZŁOŻONY jest wtedy gdy COŚ porusza się po CZYMŚ co też jedzie.

I teraz mamy takie zadanie z ruchu złożonego:

ruchzlozony1

Płyta obraca sie z prędkością kątową i po tej płycie ze środka startuje punkt A i jedzie z prędkością Vw wzdłuż promienia na zewnątrz. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Wektorowo prędkość punktu A jest sumą prędkości własnej i prędkości unoszenia:

VA = Vw + Vu

gdzie:

Vu – prędkość unoszenia

Tutaj ruch unoszenia jest obrotowy i w takim razie unoszenie jest ruchem po okręgu.

Vu = * AoA

Odległość AoA to droga punktu A w ruchu jednostajnym z prędkością Vw. A ponieważ jest to ruch jednostajny to droga wyniesie:

AoA = Vw * t

czyli prędkość unoszenia:

Vu = * Vw * t

ruchzlozony2

Jak widać wektory prędkości własnej i unoszenia są do siebie prostopadłe czyli wartość ich sumy można obliczyć z metody równoległoboku przy użyciu twierdzenia Pitagorasa:

ruchzlozony3

VA = √(Vw² + Vu² ) =

= √(Vw² + ² * Vw² * t² ) =

= Vw * √(1 + ² * t²)

 

To na razie tyle na temat prędkości a teraz obliczymy przyspieszenie.

Przyspieszenie punktu A jest sumą 3 wektorów przyspieszeń:

własnego – może się składać ze składowych stycznej i normalnej

unoszenia- może się składać ze składowych stycznej i normalnej

Coriolisa – jeżeli unoszenie jest ruchem obrotowym a w tym zadaniu tak jest.

 

Przyspieszenie własne normalne nie występuje ponieważ punkt A jedzie po prostej.

Przyspieszenie własne styczne nie wystąpi bo ruch własny odbywa się ze stałą prędkością Vw.

 

Przyspieszenie unoszenia normalne wynosi:

pun = Vu² / AoA = ( * Vw * t)² / (Vw * t) =

= ² * Vw * t

i wektor jest skierowany do środka łuku w ruchu unoszenia czyli do środka obrotowej tarczy

 

Przyspieszenie unoszenia styczne jest pochodną po czasie prędkości unoszenia:

put = dVu / dt = d/dt ( * Vw * t) = * Vw

i wektor jest styczny do łuku w ruchu unoszenia czyli prostopadły do promienia obrotowej tarczy.

 

Z przyspieszeniem Coriolisa jest trochę ciekawiej:

pc = 2 * * Vw * sin(<Vw,)

ten ostatni czynnik czyli sinus dotyczy kąta zawartego między wektorami:

– prędkości własnej Vw

– i prędkości kątowej unoszenia ω.

Wektor prędkości własnej leży na płaszczyźnie, a wektor prędkości kątowej leci pionowo w dół, czyli kąt między tymi wektorami jest 90 stopni. Sinus 90 stopni wynosi jeden, a więc przyspieszenie Coriolisa w tym przypadku:

pc = 2 * * Vw

I teraz powstaje pytanie, jak leci wektor przyspieszenia Coriolisa:coriolisaaccaleration

Wektor Coriolisa jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory oraz Vw. Pozostaje jeszcze pytanie w którą stronę ten wektor jest zwrócony:

Jakbyśmy kręcili śrubą prawoskrętną od ω do Vw, to kierunek wkręcania się śruby prawoskrętnej wskazuje na zwrot wektora przyspieszenia Coriolisa. Warto przypomnieć, że jak chcemy wkręcić śrubę w ścianę to kręcimy zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara. Z tego wszystkiego wynika że, przyspieszenie Coriolisa leży na płaszczyźnie i jest prostopadłe do wektora prędkości własnej.

I teraz jak wszystko wiadomo i się narysuje wszystkie wektory przyspieszeń to można obliczyć metodą równoległoboku sumę tych wektorów:

ruchzlozony4

pA = √ ((put+pc)² + pun² ) =

= √( (*Vw+2**Vw)² + (²*Vw*t)² ) =

= √ ((**Vw)² + (²*Vw*t)² ) 

Na powyższym rysunku wektor przyspieszenia punktu A oznaczono kolorem czerwonym.

Wytrzymałość – rozciąganie – układ statycznie niewyznaczalny – zadanie 18

Tutaj mamy zadanie z układem statycznie niewyznaczalnym, gdzie do poziomej sztywnej belki przymocowano przegubowo 2 odkształcalne pręty, z których jeden jest pionowo, a drugi leci pod kątem.
rozciaganie6
Co ciekawe to oba pręty przymocowano do tego samego punktu sztywnej belki, ORAZ po zmontowaniu skośny pręt podgrzano o temperaturę ΔT. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Gołym okiem widać, że jak się podgrzeje skośny pręt to on sie wydłuży i bedzie za długi żeby całość zachowała początkowe wymiary.

Po pierwsze
Uwalniamy układ od więzów czyli zastępujemy pręty i podporę przegubową siłami.
rozciaganie7
Po drugie
Piszemy równania równowagi.
ΣPix = S2 * sin45º – Rx = 0
ΣPiy = Ry – S1 – S2 * cos45º = 0
ΣMiB = S1 * L + S2 * cos45º * L = 0
Jak widać mamy 3 równania i 4 niewiadome ( Rx , Ry , S1 , S2 ) a więc potrzebne jest dodatkowe równanie geometryczne.

Po trzecie
Zakładamy w jaki sposób belka obróci się względem punktu B po podgrzaniu skośnego pręta.
Wiadomo, że jak skośny pręt się podgrzeje, to się wydłuży i będzie sie starał podnieść DO GÓRY prawy wolny koniec belki. Wtedy belka obróci się o niewielki kąt względem osi obrotu (punkt B). I tutaj jest ważne założenie:

PUNKT MOCOWANIA PRĘTÓW (tutaj punkt C) PRZEMIEŚCI SIĘ PO PROSTEJ PROSTOPADŁEJ
DO
LINII ŁĄCZĄCEJ PUNKT MOCOWANIA PRĘTÓW  (tutaj punkt C)
Z OSIĄ OBROTU BELKI (tutaj punkt B).

I teraz jest najlepsze:

Odległość CC’ wynosi tyle ile wydłużył się pionowy pręt czyli:
CC’ = ΔL1

Ze skośnym prętem będzie trochę trudniej ponieważ leci on po skosie a po drugie to jest podgrzewany. I to jest tak że skośny pręt pod wpływem temperatury (albo zmiany temperatury) wydłuży się o ΔLt:

ΔLt = ΔT * a * \/2   * L

ale do tego wydłużonego skośnego pręta drugi pionowy pręt będzie za długi i teraz zajdzie zajdzie ciekawe zjawisko:
– pionowy pręt trochę się wydłuży
– skośny pręt ( wcześniej wydłuzony o ΔLt ) troche  się  skróci aby oba prety mogły się  spotkać w jednym miejscu – punkcie mocowania prętów do belki (punkt C’)
rozciaganie8
Na powyższym rysunku widzimy dwa skośne pręty:
– zielony PRZED odkształceniem
– i ten sam ale niebieski – PO odkształceniu

I teraz wyszło że powstał trójkąt w którym:
– jeden z boków odpowiada ΔLt-ΔL2
– drugi z boków odpowiada przemieszczeniu punktu C czyli CC’
– kąt 45º odpowiada połozeniu skośnego pręta
rozciaganie9
Jak się narysuje ten trójkąt większy , to więcej widać i widać też że można tu zastosować najprostszą trygonometrię:
cos45º = (ΔLt – ΔL2) / CC’
a można to zapisać tak:
cos45º * CC’ = ΔLt – ΔL2

 

Po czwarte
I teraz w to można i trzeba wmanewrować prawo Hooke

 

siła w pręcie  x  długość pręta
wydłużenie = ——————————————————————————-
moduł Younga  x  przekrój

 

i dla pręta skośnego wydłużenie mechaniczne będzie wyglądac w następujący sposób:

 

                  S2  *  \/2   *  L

ΔL2 = —————————————————————————

E  *  A

 

a dla pręta pionowego którego wydłużenie równa się przemieszczeniu punktu CC’:

 

               S1   *  L

ΔL1 = ———————————————————————————–

E  *  A

 

I to wszystko można teraz wstawić do wzoru na cos45oº :

cos45º * CC’ = ΔLt – ΔL2

cos45º * S1*L / (E*A) = ΔT*a * \/2  * L – S2 * \/2  * L / (E*A)

Dzielimy obie strony przez L i mnożymy przez E*A:

0,5 * \/2 * S1 = ΔT * a * \/2 * E * A – S2 * \/2

Dzielimy przez pierwiastek z 2:

0,5 * S1 = ΔT * a * E * A – S2

Jak się wyliczy S1 z trzeciego równania statycznego na sumę momentów:
S1*L + S2 * cos45º * L = 0
S1 + S2 * cos45º = 0
S1 = (-S2) * cos45º

i wstawi do równania geometrycznego:

0,5 * (-S2) * cos45º = ΔT * a * E * A – S2

To można obliczyć siłę w pręcie skośnym:
(-0,35) * S2 = ΔT * a * E * A – S2
0,65 * S2 = ΔT * a * E * A
S2 = 1,5 * ΔT * a * E * A

I również z równania na sumę momentów wyliczamy siłą w pręcie pionowym:
S1 = (-S2)*cos45º = (-1,5) * ΔT * a * E * A * cos45º =
= (-1,1) * ΔT * a * E * A

Kinematyka – zadanie 17

Zadanie jest bardzo proste i dotyczy podstaw kinematyki:

Pod sufitem wisi lampa i spod tej lampy startuje człowiek idąc w prawo ze stałą prędkością V.

kinematyka4

Lampa się świeci, a więc człowiek rzuca cień. Idąc w prawo człowiek oddala się od lampy i cień będzie coraz dłuższy. Wysokość człowieka wynosi hc, a lampa wisi na wysokości H. I teraz jest pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ KOŃCA CIENIA

Człowiek idzie ruchem jednostajnym czyli można obliczyć jego drogę w czasie t:

s = V * t

kinematyka5

I teraz można przez sc oznaczyć drogę końca cienia.

kinematyka6

Teraz mamy same długości czyli jest to czysta geometria i widać że można użyć tutaj twierdzenie Talesa:

 

H-hc           H

———-  =  ——-

V*t              sc

 

Z tego już się obliczy drogę końca cienia:

sc = V*t*H / ( H-hc )

Jak już jest droga końca cienia, to można obliczyć prędkość końca cienia i jest to pochodna drogi po czasie:

Vc = = V*H / ( H-hc )

Prawda że proste?

Mechanika – środek ciężkości – zadanie 16

Na początek powiedzmy sobie co to jest środek ciężkości:

Bierzemy do ręki kawałek płaskiej blachy albo deski i jeżeli podeprzemy gdzieś pod spodem tak, żeby to się nie przewróciło, to w tym miejscu będzie środek ciężkości.

srodekciezkosci1

I tutaj mamy taki element o podanych wymiarach. Oto jak sobie poradzić z obliczeniem środka ciężkości:

1. Dzielimy go na kilka prostszych elementów, czyli w tym przypadku na przykład trójkąt (o podstawie 2*a i wysokości a) i półkole o promieniu a.

srodkiciezkosci2

To wszystko dlatego, że znamy położenie środka ciężkości prostych elementów takich jak koło, prostokąt czy trójkąt.

 

2. Umieszczamy tak podzieloną figurę w układzie współrzędnych. Tylko teraz powstaje pytanie jak to umieścić?

srodkiciezkosci3

Najlepiej umieścić figurę nad osia x i jeżeli figura jest symetryczna, to oś symetrii powinna pokrywac się z osią ”y”.

3. Kolejny etap to działamy według prostego wzoru

 

pole półkola * ś.c.półkola + pole trójkąta * ś.c.trójkąta

yc = ———————————————————————————————

całkowite pole figury

 

To teraz mały komentarz do powyższego wzoru:

Środek ciężkości na przykład półkola lub trójkąta określamy w tym układzie współrzędnych, w którym tę figurę wstawiliśmy. Wiemy że środek ciężkości trójkąta jest 1/3 wysokości od podstawy, ale w tym przypadku ma on współrzędną równą 2/3*a, ponieważ trójkąt stoi podstawą do góry.

Środek ciężkości półkola znajduje się 4*a/(3*) od podstawy czyli w naszym przypadku współrzędna wynosi (a + 4*a/(3*)) , ponieważ samo pólkole jest w odległości a od osi ”x”.

I teraz wprowadzamy poszczególne wartości do wzoru na współrzędną ”yc” środka ciężkości:

 

1/2**a2 * (a + 4*a/(3*) + 1/2*2*a*a * 2/3*a

yc = ———————————————————————————–

1/2**a2 + 1/2*2*a*a

 

To teraz po kolei co wpisalismy do licznika:

– 1/2**a2 to pole półkola o promieniu a.

– (a + 4*a/(3* to wspólrzedna ”y” środka ciężkości półkola czyli odległość od osi ”x”

– 1/2*2*a*a  to pole trójkąta

– 2/3*a  to współrzędna ”y” środka ciężkości trójkąta

W mianowniku mamy sumaryczne pole figury.

Po uproszczeniu mamy coś takiego:

 

1/2**a + 4/3*a

yc = ——————————— = 1,1*a

1/2* + 1

srodkiciezkosci4

I jest to współrzędna ”y” środka ciężkości figury.

Ponieważ figura ma oś symetrii pokrywającą się z osią ”y” , to współrzędna ”x” środka ciężkości wynosi

xc = 0

Wytrzymałość – ścinanie – zadanie 15

To teraz może jakieś zadanie ze ścinania na przykładzie połączenia nitowego.scinanie1

Tak jak widać na powyższym obrazku, 2 blachy połączono przy pomocy 3 nitów. Do blach przyłożono 2 siły próbując to wszystko rozerwać.

Autor pyta się JAKIE BĘDZIE NAPRĘŻENIE ŚCINAJĄCE W NITACH podając jednocześnie wartość siły F oraz średnice nitów d.

scinanie2

Jeżeli siła F będzie zbyt duża, to może dojść do zniszczenia połączenia – nity zostana ścięte

scinanie3

To co widać powyżej to po ścięciu nitów lewa blacha poleciała w lewo, a prawa blacha poleciała w prawo.

Istotna jest powierzchnia ścinana – w tym przypadku to są 3 powierzchnie ścinane oznaczone trzema niebieskimi kółkami. Przekrój ściętych nitów jest równy trzem powierzchniom kół o średnicy nitu:

At = 3 * 1/4 * * d2

Naprężenie rozciągające wyraża się ilorazem siły ścinającej przez powierzchnie ścinane:

= F : At