Dynamika – energia – zadanie 30

Dzisiaj zrobimy kolejne i trochę inne zadanie z energii:

Dynamika – energia – zadanie 21

Na rysunku widać że pudło startuje z prędkością początkową i zjeżdża po równi, w drugim etapie jedzie po drodze poziomej i w trzecim etapie wjeżdża po równi. Każdy z 3 odcinków odpowiada drodze s.

dynamika9

Pytanie na jakie szukamy odpowiedzi to:

JAKA MUSI BYĆ PRĘDKOŚĆ POCZĄTKOWA PUDŁA, ŻEBY PRZEJECHAŁO WSZYSTKIE 3 ODCINKI O DŁUGOŚCIACH s?

Po pierwsze

Ustalamy siły zewnętrzne działajace na pudło w każdym z 3 odcinków.

dynamika10

Jak widać na pudło działa:

  • ciężar m*g
  • nacisk N1 , N2 lub N3
  • tarcie μ*N1 , μ*N2 lub μ*N3

 

Po drugie

Piszemy równanie mówiące, że

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ UKŁADU

RÓWNA SIĘ

PRACY WYKONANEJ PRZEZ SIŁY ZEWNĘTRZNE

ΔEk = ∑L

Ponieważ w tym zadaniu mamy 3 odcinki, po których porusza się pudło, to będziemy mieć 3 etapy kiedy praca będzie przechodzic w energię.
dynamika11
Poszczególne odcinki oznaczono na CZERWONO:
1-2 – odcinek pierwszy – zjazd z równi
2-3 – odcinek drugi – ruch po drodze poziomej
3-4 – odcinek trzeci – wjazd na równię

Kolejno dla poszczególnych odcinków równoważność pracy i zmiany energii:

Ek2 – Ek1 = ∑L1-2
Ek3 – Ek2 = ∑L2-3
Ek4 – Ek3 = ∑L3-4

Energia kinetyczna pudła w punkcie 1 – początek zjazdu z równi:
Ek1 = m * V² / 2

Energia kinetyczna pudła w punkcie 2 – po zjeździe z równi:
Ek2 = m * V2² / 2

Energia kinetyczna pudła w punkcie 3 – na końcu odcinka poziomego:
Ek3 = m * V3² / 2

Energia kinetyczna pudła w punkcie 4 – po wjeździe na równię:
Ek4 = 0

Suma prac sił zewnętrznych na poszczególnych odcinkach:
Odcinek 1-2 – praca siły tarcia i ciężaru:
∑L1-2 = m*g*s*sinα – N1*m*s

Odcinek 2-3 – praca siły tarcia:
∑L2-3 = (-N2)*m*s

Odcinek 3-4 – praca siły tarcia i ciężaru:
∑L3-4 = (-m)*g*s*sinα – N3*m*s

Na podstawie tego co powyżej powstaną 3 równania równoważności pracy i energii – trzy bo są 3 odcinki ruchu pudła:

Pierwszy odcinek:
m*V2² / 2  – m*V² / 2 = m*g*s*sinα – N1*m*s

Drugi odcinek:
m*V3² / 2 – m*V2² / 2 = (-N2)*m*s

Trzeci odcinek:
0 – m*V3² / 2 = (-m)*g*s*sinα – N3*m*s

W ten sposób powstał układ 3 równań i teraz policzymy niewiadome:
V2 , V , N1 , V3 , N2 , N3
6 niewiadomych i 3 równania czyli potrzeba 3 dodatkowych równań. Najbardziej stosowne będzie obliczenie nacisków N1 , N2 oraz N3 na 3 kolejnych odcinkach.

dynamika10
Pierwszy odcinek – piszemy sumę rzutów sił na oś równoległą do niewiadomej N1:
∑Piy = N1 – m*g*cosα = 0
Nacisk podczas zjazdu z równi:
N1 = m*g*cosα

Drugi odcinek – piszemy sumę rzutów sił na oś równoległą do niewiadomej N2:
∑Piy = N2 – m*g = 0
Nacisk podczas jazdy po drodze poziomej:
N2 = m*g

Trzeci odcinek – piszemy sumę rzutów sił na oś równoległą do niewiadomej N3:
∑Piy = N3 – m*g*cosα = 0
Nacisk podczas wjazdu na równię:
N3 = m*g*cosα

To jak już mamy policzone wszystkie naciski N1 , N2 i N3 to teraz to wstawimy do równań równoważności pracy i energii:
m*V2² / 2 – m*V² / 2 = m*g*s*sinα – m*g*cosα*m*s [1]
m*V3² / 2 – m*V2² / 2 = (-m*g )*m*s [2]
0 – m*V3² / 2 = (-m)*g*s*sinα – m*g*cosα*m*s [3]

Na początek bierzemy równanie [3] i obliczymy z niego prędkość na końcu odcinka poziomego V3:
m*V3² / 2 = m*g*s*sinα + m*g*cosα*m*s
V3² / 2 = g*s*sinα + g*cosα*m * s
V3² = 2*g*s*sina + 2*g*cosα*m*s
V3² = 2*g*s* ( sina + cosα*m )
V3 = √ [2*g*s * ( sina + cosα*m )]

Jak wstawimy V3 do równania [2] to można obliczyć V2:
m*2*g*s* ( sinα + cosα*m ) / 2 – m*V2² / 2 = (-m*g )*m*s
m*2*g*s * ( sinα + cosα*m ) – m*V2² = 2*(-m*g )*m*s
2*g*s * ( sinα + cosα*m ) – V2² = 2*(-g )*m*s
V2² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m ) – 2*g*m*s
V2² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m – m )
V2  = √ [2 * g * s * ( sinα + cosα*m – m )]

Jak wstawimy V2 do równania [1] to obliczymy szukaną początkową prędkość V:
m*2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) / 2  – m*V² / 2 = m*g*s*sinα – m*g*cosα*m*s

m*2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) – m*V²  = 2*m*g*s*sinα – 2*m*g*cosα*m*s

2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) – V²  = 2*g*s*sinα – 2*g*cosα*m*s

V² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) – 2*g*s*sinα + 2*g*cosα*m*s

V² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m – m – sinα + cosα*m )
V² = 2*g*s*m * ( 2*cosα – 1 )

Czyli prędkość początkowa jaką musi mieć pudło, żeby dojechać do punktu 4 wynosi:

V = √[2*g*s*m * ( 2*cosα – 1 )]

Prawda że łatwe ?

Wytrzymałość złożona – zadanie 29

Dzisiaj zrobimy kolejne i trochę nietypowe zadanie z wytrzymałości złożonej.

Wytrzymałość złożona – zadanie 23

Belkę o srednicy d i długości 2*a wmurowano w ścianę i obciążono na lewym końcu momentem skręcającym q*a² i obciążeniem ciągłym q.

zlozona13

Wiadomo, że a=10*d. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ NAJWIĘKSZE NAPRĘŻENIE ZREDUKOWANE

Belka może być rozciągana, ścinana, zginana lub/i skręcana. W tym przypadku widać, że belka nie będzie rozciągana, ponieważ żadna siła nie działa WZDŁUŻ belki.

A jak będzie ze ŚCINANIEM:

Na odcinku AB poprzecznie do belki działa obciążenie ciągłe q. I jak to będzie w poszczególnych punktach i przedziałach? Tradycyjnie bierzemy KARTKĘ i bedziemy odsłaniać poszczególne części belki.

zlozona14

Teraz zasłaniamy tak, żeby widzieć tylko lewy koniec belki i punkt A:

TA = 0

bo tutaj jeszcze żadna siła nie działa w poprzek.

W kolejnym kroku odsłaniamy cały lewy przedział AB:

zlozona15

TB = (-q) * a

ponieważ w poprzek belki działa obciążenie q na długości a.

Następnie odsłaniamy całą belkę:

zlozona16

TBC = (-q) * a

Siła tnąca policzona, to można zrobić wykres.

zlozona17

Ścinanie załatwione – przyszła pora na ZGINANIE. Ponownie zasłaniamy tak, żeby widzieć tylko lewy koniec belki i punkt A:

zlozona14

MgA = 0

Kolejno odsłaniamy cały lewy przedział AB:

zlozona15

MgB = q*a * a/2 = 1/2*q*a2

Belkę zgina siłą q*a działającą na ramieniu a/2.

Na koniec odsłaniamy całą długość belki:

zlozona16

MgC = q*a * 1,5*a = 3/2*q*a²

Kolejno q*a to jest siła, następnie 1,5*a to jest odległość od KARTKI (punktu C) do połowy obciążenia ciągłego q. Wszystko wiadomo o momentach gnących, czyli można narysować wykres.

zlozona18

Teraz zajmiemy się SKRĘCANIEM i widać, że cała belka jest skręcana tym samym momentem q*a²:

MsAB = q*a²

MsBC = q*a²

zlozona19

To już mamy wszystkie wykresy i widać gołym okiem, że w każdym z 3 wykresów największe obciążenie występuje w punkcie C. I tutaj obliczymy naprężenia zredukowane.

Przekrój belki:

A = * d² / 4

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie:

W = * d³ / 32

Wskaźnik wytrzymałosci przekroju na skręcanie:

Wo = * d³ / 16

Napężenia ścinające w punkcie C:

C = TBC : A = (q * a) : ( * d² / 4) = 1,3 * q * 10 * d / d² = 13 q/d

Naprężenia zginające w punkcie C:

gC = MgC : W = (3/2 * q * a²) : ( * d³ / 32) =

= (32 * 3/2 * q * a²) : ( * d³) = 15 * q * (10*d)² / d³ = 1500 q/d

Naprężenia skręcające w punkcie C:

sC = MsBC : Wo = (q * a²) : ( * d³ / 16) = (16 * q * a²) : ( * d³) =

= 5,1 * q * (10 * d)² / d³ = 510 q/d

Z hipotezy Hubera obliczymy naprężenia zredukowane, czyli takie, które łączą wszystkie naprężenia razem:

redC = √[(rc+gc)² + 3*(c+sc)²] = √ [(gc)² + 3*(c+sc)² ] =

= √ [(1500q/d)² + 3*(13q/d+510q/d)² ] = 1752q/d

Prawda że proste?

Statyka – kratownica płaska – zadanie 28

Niedawno było jedno zadanie z kratownic.

Statyka – kratownica płaska – zadanie 22

Tamto rozwiązaliśmy metodą RÓWNOWAGI WĘZŁÓW, ponieważ chodziło o obliczenie sił we WSZYSTKICH prętach.

Jest kolejna droga do celu nazywana METODĄ PRZECIĘĆ i stosuje się ją wtedy, kiedy mamy obliczyć siłę w jednym lub kilku prętach, które znajdują się w dowolnym miejscu kratownicy. Po takim krótkim wstępie można przejść do zadania:

rozciaganie15

Jak widać jest kratownica i jest takie pytanie

OBLICZYĆ SIŁĘ W 2 PRĘTACH OZNACZONYCH LINIĄ PRZERYWANĄ

Po pierwsze

Uwalniamy kratownicę JAKO CAŁOŚĆ od więzów, żeby obliczyć reakcje podpór.

rozciaganie16

Od razu ważna uwaga:

NIE MUSIMY obliczać reakcji we wszystkich podporach – wystarczy obliczyć reakcję w jednej podporze – w tym przypadku najlepiej RA. W tym celu obliczamy sumę momentów względem punktu B:

MiB = RA * 3 * L + F * 2 * L + F * L = 0

Dzielimy obie strony równania przez L:

RA * 3 + F * 2 + F = 0

RA * 3 + F * 3 = 0

RA + F = 0

Reakcja w lewej podporze:

RA = (-F)

Po drugie

Na wstępie było powiedziane o METODZIE PRZECIĘĆ, a więc teraz przetniemy kratownicę przez te pręty, w których chcemy obliczyć siły. To tak jakbyśmy ją przecinali na dwie części, ale bardzo ważne żeby przecinać przez MAKSYMALNIE 3 PRĘTY – później okaże się w praktyce dlaczego tak.

rozciaganie17

Powyżej widzimy jedną z możliwości, jak będzie dobrze przeprowadzić linię cięcia – czerwona linia leci przez 2 pręty (w nich obliczymy siły – linia przerywana) i jeszcze jeden, który jest pod nimi.

Po trzecie

Uwalniamy od więzów tę część, która jest na lewo od czerwonej falistej linii – linii cięcia

rozciaganie18

Powyżej widać że mamy płaski ROZBIEŻNY układ sił, czyli możemy napisać 3 równania równowagi. To dlatego chodziło o przecięcie kratownicy maksymalnie przez 3 pręty.

rozciaganie19

Dobrze będzie zacząć od równania momentów względem punktu B (punkt przecięcia sił S2 oraz S3), ponieważ przez ten punkt przechodzą 2 niewiadome siły:

MiB = S1*L + F*L + RA*2*L = 0

S1*L + F*L + (-F)*2*L = 0

Dzielimy obie strony równania przez L:

S1 + F + (-F)*2 = 0

S1 – F = 0

Siła w pręcie nr 1:

S1 = F

Pozostała jeszcze do obliczenia siła S2 i w tym celu warto napisać sumę rzutów sił na oś y:

Piy = RA + F – S2*sin45o = 0

(-F) + F – S2*sin45o = 0

(- S2) * sin45o = 0

A więc siła w pręcie nr 2 wynosi:

S2 = 0

Jak widać dwa równania równowagi dla części kratownicy załatwiły wszystko.

Wytrzymałość – zadanie 27 – rozciąganie – układ statycznie niewyznaczalny

No i mamy kolejne

Wytrzymałość – rozciąganie – układ statycznie niewyznaczalny – zadanie 18

ciekawe zadanie z układów statycznie niewyznaczalnych. 3 pręty połączone przegubem obciążono w tym samym przegubie siłą P.
rozciaganie10
Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Tradycyjnie uwalniamy węzeł od więzów, czyli zastępujemy pręty siłami.
rozciaganie11
Jak widać, powstał układ PŁASKI ZBIEŻNY i można tutaj napisać DWA równania równowagi:
– suma rzutów na oś x
– suma rzutów na oś y

∑Pix = S2 * sinα – S3 * sinα = 0 [1]
∑Piy = S1 – P + S2 * cosα – S3 * cosα = 0 [2]

Napisaliśmy 2 równania równowagi, bo tyle można było, a niewiadomych jest 3:
S1 , S2 oraz S3
a więc tak jak już było mówione, jest to zadanie STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE.
Wobec powyższego musimy zrobić jeszcze jedno TRZECIE równanie i w tym przypadku będzie ono związane z odkształceniami.
rozciaganie12
Na rysunku powyżej widać pręty nr 2 i 3 przed odkształceniem i po odkształceniu.

Tak jak widać, węzeł przesunął się pionowo w dół (z punktu A do punktu A’) zgodnie z kierunkiem działania siły. To pionowe przesunięcie jest równe wydłużeniu pręta nr 1 (tego pionowego).

Ze skośnymi prętami nr2 i nr3 jest troche trudniej:
Linią ciągłą widać pręty przed odkształceniem, a linią przerywaną widać pręty po odkształceniu.

Oba pręty po odkształceniu leżą POD TYM SAMYM KĄTEM, ale jak widać pręt nr 3 skrócił się, a pręt nr 2 wydłużył. Tylko teraz powstaje pytanie, o ile sie wydłużył:
Widać obok siebie pręt nr 2 przed odkształceniem i obok widać ten sam pręt po odkształceniu (linią przerywaną).

No to jak 2 pręty leżą obok siebie , to widać który jest dłuższy – dłuższy jest pręt nr 2 po odkształceniu.

Żeby było jeszcze ciekawiej , to widać o ile pręt nr 2 się wydłużył – zmienił swoją długość o ΔL2.

A najlepsze jest to że o tyle samo skrócił się  pręt nr 3:
ΔL2 = ΔL3
Można by się zapytać, dlaczego oba pręty zmieniły swoją długość o taki sam odcinek, ale też jest proste:
Bo są do siebie równoległe, przy czym każdy przypadek układu prętów należy rozpatrywać indywidualnie.
To teraz jak już mamy narysowane jak leżą i jak wydłużają się poszczególne pręty, to teraz napiszemy najprostszą zależność która wiąże poszczególne odkształcenia.

I ta TRZECIA zależność powstała przy okazji, ponieważ widzimy trójkąt prostokątny (ten czerwony), w którym przeciwprostokątną jest ΔL1, a jedną  z przyprostokątnych jest ΔL2 = ΔL3.

rozciaganie14

Jak mamy trójkąt prostokątny to z daleka już czuć TRYGONOMETRIĘ, a więc postawmy tutaj takie pytanie:
W jakiej funkcji trygonometrycznej występują te 2 boki trójkąta? Jak się tak dobrze przyjrzeć to można zobaczyć, że to będzie cosinus:

cosα = ΔL2 : ΔL1
Można to zapisać inaczej:
ΔL2 = ΔL1 * cosα

To teraz jeżeli mamy równanie, w którym są odkształcenia rozciąganych prętów, to wstawimy w to znane już prawo Hooke’a:

 

siła w pręcie * długość pręta
wydłużenie = —————————————————————————-
moduł Younga * przekrój pręta

 

S2 * L/cosα        S1 * L/cosα
——————- = ——————– * cosα
E * F                    E * F

 

S2 * L/cosα           S1 * L
——————- = —————
E * F                    E * F
Dzielimy obie strony równania przez L i mnożymy przez E*F:
S2 / cosα = S1

i to jest TRZECIE równanie, którego tak poszukiwaliśmy.

Teraz mając 3 niewiadome siły w 3 prętach i 3 równania możemy łatwo te siły obliczyć:
∑Pix = S2 * sinα – S3 * sinα = 0 [1]
∑Piy = S1 – P + S2 * cosα – S3 * cosα = 0 [2]
S2 /cosα = S1 [3]

Upraszczamy równanie [1]:
S2 * sinα = S3 * sinα
S2 = S3
i wstawiamy do [2]:
S1 – P + S3 * cosα – S3 * cosα = 0
S1 – P  = 0
Siła w pręcie nr1 wyniesie:
S1 = P

Z równania [3] wynikają siły w prętach nr2 i nr3:
S2 = cosa * S1 = S3

Prawda że łatwe?

Wytrzymałość – ściskanie mimośrodowe – zadanie 26

To tak na wstępie powiedzmy sobie, co to jest ściskanie mimośrodowe:

To jest tak, jakby ściskać prostopadłościan po przyłożeniu siły nie w środku ścianki tylko trochę z boku.

mimosodowe1

Tak jak widać na rysunku powyżej, siła jest przyłożona nie w osi prostopadłościanu, tylko lekko przesunięta.

Wymiary podstawy wynoszą a x a. Wysokość prostopadłościanu wynosi 2*a. Wartość siły wynosi F i jej punkt przyłożenia jest przesunięty w bok o odległość e wzgledem osi symetrii. Dodatkowo wiadomo, że

e = 0,25 * a

mimosrodowe2

Autor zadaje pytanie:

 

OBLICZ  MAKSYMALNE NAPRĘŻENIA NORMALNE W PRZEKROJU W POŁOWIE WYSOKOŚCI PROSTOPADŁOŚCIANU

 

Zacznijmy od tego jakie obciążenia działają na prostopadłościan:

Po pierwsze

To że jest ściskany siłą F wzdłuż wysokości, to widać ponieważ siła F działa w pionie czyli też wzdłuż wysokości.

Po drugie

Ponieważ siła F nie działa na sam środek podstawy, tylko jest przesunięta w bok o odległość e, to z tego wynika moment gnący wynoszący:

Mg = F * e

czyli siła pomnożona przez ramię – przesunięcie punktu jej przyłożenia względem środka podstawy.

 

To teraz jak do tego podejść?

 

Na początek zajmiemy się ściskaniem:

Przekrój poziomy czyli pole podstawy prostopadłościanu:

S = a2

Naprężenia rozciągające:

r = (-F) : a²

A dlatego z minusem ponieważ siła F ściska prostopadłościan wzdłuż wysokości, czyli stara się zmniejszyć jego wysokość.

 

Ściskanie załatwione to teraz kolej na zginanie:

Wskaźnik wytrzymałości na zginanie przekroju poziomego (prostokąta o wymiarach a x a ) :

W = a * a² / 6

Maksymalne naprężenia zginające:

gmax = Mg : W = F * e : [a³ / 6] = 6 * F * 0,25 * a : a³ = F * 1,5 : a²

mimosodowe3

Na powyższym rysunku widać,  to co obliczyliśmy – oba naprężenia występują jednocześnie i sumaryczne maksymalne naprężenie jest sumą obliczonych wartości:

zmax = g + r = F * 1,5 /+ F / a² = 2,5 * F /

Wytrzymałość – skręcanie – zadanie 25

Witam ponownie i dzisiaj kolejne zadanie ze skręcania.

Wytrzymałość – zadanie 13 – skręcanie wału
skrecanie8
Mamy tutaj wał o podanym przekroju i długości L.

skrecanie11

Autor zadaje pytanie:

 

OBLICZ KĄT SKRĘCENIA ORAZ MAKSYMALNE NAPRĘŻENIE SKRĘCAJĄCE

 

Po pierwsze

 

Obliczamy połozenie środka ciężkości przekroju. Ponieważ przekrój wałka ma pionową oś symetrii, to umieszczamy go w układzie współrzędnych nad osią x, tak żeby oś symetrii przekroju pokrywała się z osią y.

Mechanika – środek ciężkości – zadanie 16
skrecanie9

Współrzędna położenia środka ciężkości wyniesie:

yc = [ 0,5 * π * (2*a)² * (4*2*a / (3*π)) – 0,5*2*a*a*a/3 ] :
: [ 0,5 * π * (2*a)² – 0,5*2*a*a ] = 0,94 * a

W mianowniku mamy całkowite pole przekroju – pole półkola minus pole trójkąta. W liczniku jest po kolei:

– pole półkola razy współrzędna środka ciężkości półkola
czyli
odległość środka ciężkości od osi x
– i to samo dalej czyli minus (bo wycieli z półkola trójkąt) pole trójkąta razy współrzędna jego środka ciężkości

skrecanie10

Po drugie

 

Obliczamy momenty bezwładności przekroju na zginanie. Względem osi xc:
Jxc =  π * (4*a)4 : 128 + 0,5 *  π * (2*a)² * [ (4*2*a / (3* π) )  – 0,94*a ]² +
– [ 2*a* a³ : 36 + 0,5*2*a*a * ( 0,94*a – a/3 )² ] = 5,9 * a4

Powyżej widzimy jak zastosowano twierdzenie Steinera:

Moment bezwładności półkola

plus

jego pole

razy

odległość pomiędzy środkiem ciężkości półkola

a

środkiem ciężkości całego przekroju.

Dalej analogicznie minus i to samo co dotyczy trójkąta. Minus dlatego bo z półkola wycięto trójkąt. I to samo robimy względem osi yc:

Jyc = π * (4*a)4 : 128 – 2 * [ a * a³ : 36 + 0,5 * a * a * (a/3)² ] = 1,4 * a4

Biegunowy moment bezwładności przekroju jest sumą momentów bezwładności względem prostopadłych osi centralnych (w tym przypadku xc i prostopadły do niego yc).
Jo = Jxc + Jyc = 5,9 * a4  + 1,4 * a4  = 7,3 * a4

Maksymalna odległość przekroju od początku układu współrzędnych:
rmax = √[(0,94*a)²+(2*a)²] = a * √[0,94²+2²] = 2,2*a

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:
Wo = Jo : rmax = 7,3 * a4 : 2,2 * a = 3,3 * a³

Maksymalne naprężenia skręcające to iloraz momentu przez wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:
τs = M : Wo = M : 3,3 * a³ = 0,3 * M/a³

 

Zgodnie z prawem Hooke dla skręcania Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy kąt skręcenia wału wyniesie:

M * L
φ = ————- =
G * Jo

 

M * L
= ——————————- =
G * 7,3 * a4

= 0,14 * M * L / (G*a4)

Wytrzymałość – zginanie – zadanie 24

Mamy belkę opartą na 2 podporach (przegubowa stała i przegubowa przesuwna) i widać tutaj 2 przedziały.

 

zginanie21

Po pierwsze

 

Uwalniamy belkę od więzów, czyli zastępujemy siłami to wszystko, czym łączy się belka ze światem zewnętrznym. W tym przypadku są to 2 podpory przegubowe:
– przesuwna – zamiast niej rysujemy reakcję prostopadłą do 2 równoległych kresek
– stała – zamiast niej rysujemy 2 prostopadłe do siebie reakcje

 

Po drugie

 

zginanie22

Jak już uwolniliśmy belkę od więzów, to teraz liczymy reakcje. Dobrze będzie obliczyć reakcję tylko w jednej podporze, bo jak będziemy po kolei obliczać momenty gnące, to nie dojdziemy do tej drugiej podpory.

Wytrzymałość-zginanie-zadanie 10

Może to być reakcja w podporze A i w tym celu obliczamy sumę momentów względem punktu C:
∑MiC = RA*2*a – M – M – M = 0
RA*2*a = M + M + M
RA*2*a = 3 * M
Z tego wynika reakcja w podporze A:
RA = 3 * M : (2*a) = 1,5 * M/a

Po trzecie

Mając reakcję RA i pozostałe obciążenia zewnętrzne obliczamy momenty gnące w 3 charakterystycznych punktach na początku i końcu przedziałów: A, B i C.
Aby obliczyć moment w punkcie A zasłaniamy KARTKĄ prawie całą belkę tak żeby było widać tylko punkt A i sam początek belki.zginanie23

I co widać – moment skupiony w punkcie A:
MgA = M

Tak samo postępujemy z punktem B, ale poniewaz w punkcie B jest przyłozony moment, to obliczymy moment zginający belkę tuż na LEWO od punktu B

oraz drugi

tuż na PRAWO od punktu B.
W pierwszym przypadku odsłaniamy cały pierwszy przedział w taki sposób, żeby jeszcze mieć zasłonięty punkt B:

zginanie24

MgB< = M – RA*a = M – 1,5 * M/a*a = M – 1,5 * M = (-0,5*M)
czyli widzimy moment M oraz reakcję RA działającą na ramieniu a, przy czym a jest odległością od siły RA do KARTKI.

Moment M  UNOSI lewy koniec belki (dlatego jest PLUS) , reakcja RA OPUSZCZA lewy koniec belki (dlatego jest z MINUSEM).

zginanie25

Po prawej stronie punktu B (odsłaniamy cały lewy przedział oraz punkt B):
MgB> = M – RA*a + M = 2*M – 1,5 * M/a*a = 2*M – 1,5*M = 0,5*M

 

W punkcie C (odsłaniamy całą belkę mając zasłonięty tylko punkt C):

 

zginanie26
MgC = M – RA*2*a + M = M – 1,5 * M/a*2*a + M =
= 2 * M – 1,5 * M * 2 = (-M)
z momentem M sprawa wygląda analogicznie jak w punkcie B, reakcja RA działa tutaj na ramieniu 2*a. Momentu przyłożonego w punkcie C jeszcze nie widzimy, bo jest zasłonięty KARTKĄ.

 

Po czwarte

 

Teraz kolej na siły tnące (czyli te siły które działają w PIONIE w poprzek belki) i analogicznie idziemy od lewej strony:

Bierzemy kawałek KARTKI i zasłaniamy prawie całą belkę i tylko odsłaniamy kawałek lewego przedziału – widać tylko siłę RA działającą w dół.

zginanie27

TAB = (-RA) = (-1,5) * M/a
A dlatego sobie przyjęliśmy MINUS, bo siła działa w DÓŁ.

Przechodzimy do przedziału prawego czyli odsłaniamy cały lewy przedział i kawałek prawego przedziału.

 

zginanie28

Jedyna siła działająca pionowo czyli w poprzek belki to dalej jest tylko RA:
TBC = (-RA) = (-1,5) * M/a

To teraz jak obliczyliśmy momenty gnące i siły tnące, to można narysować wykresy

zginanie20

Powyżej widać oba wykresy i teraz będzie najlepsze:

Widać że wykres momentu gnącego (ten na górze) idąc od prawej do lewej cały czas opada, czyli jest to funkcja malejąca.

Pod wykresem momentu mamy wykres siły tnącej i na całej długości siła tnąca ma wartość ujemną.

I chodzi tutaj o tę zbieżność faktów:

moment gnący malejący – siła tnąca ujemna.

To samo naukowo można powiedzieć:

Siła tnąca

jest pochodną

momentu gnącego

Prawda że proste ?