Wytrzymałość – trójkierunkowy stan naprężenia – zadanie 32

Witam ponownie i dzisiaj zrobimy zadanie z trójkierunkowego stanu naprężenia:

Mamy walec o średnicy D i wysokości 2*D i na ten walec od góry naciska siła F. Dany jest modul Younga E, stala Poissona dla materialu walca.

rozciaganie20 - Wytrzymałość - trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 32

Autor zadaje pytanie:

OBLICZ ZMIANĘ POLA POWIERZCHNI WALCA PO PRZYŁOŻENIU SIŁY F

Warto sobie obrać układ współrzędnych i niech o osie x i y będą leciały równolegle do podstawy, a oś z będzie jednocześnie osią walca i będzie leciała do góry.

Na początek piszemy 3 równania opisujące trójkierunkowy stan naprężenia

x = x/E – *y/E – *z/E [1]

y = y/E – *x/E – *z/E [2]

z = z/E – *x/E – *y/E [3]

i tak jak wcześniej mówiliśmy te 3 równania ZAWSZE wystąpią w tego typu zadaniach. I teraz jak spojrzymy na nie dokładniej to widać że mamy 6 niewiadomych:

– odkształcenia względne wzdłuż 3 osi – x, y , z

– naprężenia wzdłuż 3 osi – x , y , z

I teraz to zaczyna być logiczne, że potrzebujemy 6 równań żeby policzyć 6 niewiadomych. A ponieważ już mamy 3 (te powyżej) , to musimy wymyśleć 3 dodatkowe.

Wiadomo że wzdłuż osi równoległych do podstawy naprężenie wynosi ZERO, ponieważ na tworzącą walca (boki walca) nic nie naciska.

x = 0 [4]

σy = 0  [5]

Wiadomo że naprężenie wzdłuż osi z (osi walca – w pionie) wyniesie tyle co siła F podzielona przez pole podstawy walca.

z = F : ( 0,25 * * D) = 1,3*F : D2

Mamy teraz 6 równań i 6 niewiadomych . Jak wstawimy równania [4] , [5] i [6] do równań [1] , [2] oraz [3] to dalej pójdzie z górki:

x = /E – */E – *1,3*F / ( E * D2 ) [1]

y = /E – */E – *1,3*F / ( E * D2 ) [2]

z = 1,3*F / ( E * D2 ) – */E – */E [3]

Po uproszczeniu to wygląda trochę lepiej:

x = (- *1,3*F / ( E * D2 ) [1]

y = (- *1,3*F / ( E * D2 ) [2]

z = 1,3*F / ( E * D2 ) [3]

Jak widać powyżej, mamy już policzone odkształcenia względne we wszystkich kierunkach, czyli o ile PROCENTOWO zmienią się wszystkie prostopadłe do siebie wymiary walca – średnica i wysokość.

Wiemy że średnica wynosiła D, a jak nacisnęliśmy walec od góry siła F to średnica (która się zwiększyła) wyniosła:

D + D * x = D + D* *1,3*F / ( E * D2 ) = D + * 1,3 * F / ( E * D )

czyli suma początkowej średnicy D i tego odcinka o ile ona się zwiększyła.

Wysokość zmniejszy się i wyniesie:

2*D – 2*D*z = 2*D – 2*D*1,3*F / ( E * D2 ) =

= 2*D – 2,6*F / ( E * D )

czyli początkowa wysokość 2*D minus to o ile walec zmniejszył wysokość.

Pole powierzchni jest sumą

powierzchni tworzącej

oraz

dwukrotnej powierzchni podstawy:

S = 2 * * D2 : 4 + D * * 2 * D = 0,25 * * D2 + * 2 * D2 =

= 2,25 * * D2

Po odkształceniu to samo pole wyniesie:

S + S = 2,25 * * ( D + * 1,3 * F / ( E * D ))2

Czyli zmiana pola wyniesie:

S = 2,25 * * ( D + * 1,3 * F / ( E * D ))2 – 2,25 * * D2

Prawda że łatwe?

Kratownica płaska – metoda przecięć – statyka -zadanie 28

Witam i dzisiaj zrobimy kratownicę płaską metodą przecięć. Niedawno było jedno zadanie z kratownic.

Statyka – kratownica płaska – zadanie 22

Tamto rozwiązaliśmy metodą RÓWNOWAGI WĘZŁÓW, ponieważ chodziło o obliczenie sił we WSZYSTKICH prętach. Jest kolejny sposób na kratownice – METODA PRZECIĘĆ i stosuje się ją wtedy, kiedy mamy obliczyć siłę w jednym lub kilku prętach, które znajdują się w dowolnym miejscu kratownicy. Po takim krótkim wstępie można przejść do zadania:

rozciaganie15 - Kratownica płaska - metoda przecięć - statyka -zadanie 28

Jak widać jest kratownica i jest takie pytanie

OBLICZYĆ SIŁĘ W 2 PRĘTACH OZNACZONYCH LINIĄ PRZERYWANĄ

Po pierwsze

Uwalniamy kratownicę JAKO CAŁOŚĆ od więzów, żeby obliczyć reakcje podpór.

rozciaganie16 - Kratownica płaska - metoda przecięć - statyka -zadanie 28

Od razu ważna uwaga:

NIE MUSIMY obliczać reakcji we wszystkich podporach – wystarczy obliczyć reakcję w jednej podporze – w tym przypadku najlepiej RA. W tym celu obliczamy sumę momentów względem punktu B:

MiB = RA * 3 * L + F * 2 * L + F * L = 0

Dzielimy obie strony równania przez L:

RA * 3 + F * 2 + F = 0

RA * 3 + F * 3 = 0

RA + F = 0

Reakcja w lewej podporze:

RA = (-F)

Po drugie

Na wstępie było powiedziane o METODZIE PRZECIĘĆ, a więc teraz przetniemy kratownicę przez te pręty, w których chcemy obliczyć siły.

To tak jakbyśmy ją przecinali na dwie części, ale bardzo ważne żeby przecinać przez MAKSYMALNIE 3 PRĘTY – później okaże się w praktyce dlaczego tak.

rozciaganie17 - Kratownica płaska - metoda przecięć - statyka -zadanie 28

Powyżej widzimy jedną z możliwości, jak będzie dobrze przeprowadzić linię cięcia – czerwona linia leci przez 2 pręty (w nich obliczymy siły – linia przerywana) i jeszcze jeden, który jest pod nimi.

Po trzecie

Uwalniamy od więzów tę część, która jest na lewo od czerwonej falistej linii – linii cięcia

rozciaganie18 - Kratownica płaska - metoda przecięć - statyka -zadanie 28

Powyżej widać że mamy płaski ROZBIEŻNY układ sił, czyli możemy napisać 3 równania równowagi. To dlatego chodziło o przecięcie kratownicy maksymalnie przez 3 pręty.

rozciaganie19 - Kratownica płaska - metoda przecięć - statyka -zadanie 28

Dobrze będzie zacząć od równania momentów względem punktu B (punkt przecięcia sił S2 oraz S3), ponieważ przez ten punkt przechodzą 2 niewiadome siły:

MiB = S1*L + F*L + RA*2*L = 0

S1*L + F*L + (-F)*2*L = 0

Dzielimy obie strony równania przez L:

S1 + F + (-F)*2 = 0

S1 – F = 0

Siła w pręcie nr 1:

S1 = F

Pozostała jeszcze do obliczenia siła S2 i w tym celu warto napisać sumę rzutów sił na oś y:

Piy = RA + F – S2*sin45o = 0

(-F) + F – S2*sin45o = 0

(- S2) * sin45o = 0

A więc siła w pręcie nr 2 wynosi:

S2 = 0

Jak widać dwa równania równowagi dla części kratownicy załatwiły wszystko.

Rozciąganie – układ statycznie niewyznaczalny – wytrzymałość – zadanie 27

No i mamy kolejne

Wytrzymałość – rozciąganie – układ statycznie niewyznaczalny – zadanie 18

ciekawe zadanie z rozciągania i układów statycznie niewyznaczalnych. 3 pręty połączone przegubem obciążono w tym samym przegubie siłą P.
rozciaganie10 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27
Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Tradycyjnie uwalniamy węzeł od więzów, czyli zastępujemy pręty siłami.
rozciaganie11 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27

Po pierwsze

Jak widać, powstał układ PŁASKI ZBIEŻNY i można tutaj napisać DWA równania równowagi:
– suma rzutów na oś x
– suma rzutów na oś y

∑Pix = S2 * sinα – S3 * sinα = 0 [1]
∑Piy = S1 – P + S2 * cosα – S3 * cosα = 0 [2]

Po drugie

Napisaliśmy 2 równania równowagi, bo tyle można było, a niewiadomych jest 3:
S1 , S2 oraz S3
a więc tak jak już było mówione, jest to zadanie STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE a dokładnie jednokrotnie statycznie niewyznaczalne.
Wobec powyższego musimy zrobić jeszcze jedno TRZECIE równanie i w tym przypadku będzie ono związane z odkształceniami.
rozciaganie12 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27
Na rysunku powyżej widać pręty nr 2 i 3 przed odkształceniem i po odkształceniu.

Tak jak widać, węzeł przesunął się pionowo w dół (z punktu A do punktu A’) zgodnie z kierunkiem działania siły. To pionowe przesunięcie jest równe wydłużeniu pręta nr 1 (tego pionowego).

Ze skośnymi prętami nr2 i nr3 jest trochę trudniej:
Linią ciągłą widać pręty przed odkształceniem, a linią przerywaną widać pręty po odkształceniu.

Oba pręty po odkształceniu leżą POD TYM SAMYM KĄTEM, ale jak widać pręt nr 3 skrócił się, a pręt nr 2 wydłużył. Tylko teraz powstaje pytanie, o ile się wydłużył:
Widać obok siebie pręt nr 2 przed odkształceniem i obok widać ten sam pręt po odkształceniu (linią przerywaną).

No to jak 2 pręty leżą obok siebie , to widać który jest dłuższy – dłuższy jest pręt nr 2 po odkształceniu.

Żeby było jeszcze ciekawiej , to widać o ile pręt nr 2 się wydłużył – zmienił swoją długość o ΔL2.

A najlepsze jest to że o tyle samo skrócił się  pręt nr 3:
ΔL2 = ΔL3
Można by się zapytać, dlaczego oba pręty zmieniły swoją długość o taki sam odcinek, ale też jest proste:
Bo są do siebie równoległe, przy czym każdy przypadek układu prętów należy rozpatrywać indywidualnie.
To teraz jak już mamy narysowane jak leżą i jak wydłużają się poszczególne pręty, to teraz napiszemy najprostszą zależność która wiąże poszczególne odkształcenia.

I ta TRZECIA zależność powstała przy okazji, ponieważ widzimy trójkąt prostokątny (ten czerwony), w którym przeciwprostokątną jest ΔL1, a jedną  z przyprostokątnych jest ΔL2 = ΔL3.

rozciaganie14 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27

Jak mamy trójkąt prostokątny to z daleka już czuć TRYGONOMETRIĘ, a więc postawmy tutaj takie pytanie:
W jakiej funkcji trygonometrycznej występują te 2 boki trójkąta? Jak się tak dobrze przyjrzeć to można zobaczyć, że to będzie cosinus:

cosα = ΔL2 : ΔL1
Można to zapisać inaczej:
ΔL2 = ΔL1 * cosα

To teraz jeżeli mamy równanie, w którym są odkształcenia rozciąganych prętów, to wstawimy w to znane już prawo Hooke’a:

 

siła w pręcie * długość pręta
wydłużenie = —————————————————————————-
moduł Younga * przekrój pręta

 

S2 * L/cosα        S1 * L/cosα
——————- = ——————– * cosα
E * F                    E * F

 

S2 * L/cosα           S1 * L
——————- = —————
E * F                    E * F
Dzielimy obie strony równania przez L i mnożymy przez E*F:
S2 / cosα = S1

i to jest TRZECIE równanie, którego tak poszukiwaliśmy.

Po trzecie

Teraz mając 3 niewiadome siły w 3 prętach i 3 równania możemy łatwo te siły obliczyć:
∑Pix = S2 * sinα – S3 * sinα = 0 [1]
∑Piy = S1 – P + S2 * cosα – S3 * cosα = 0 [2]
S2 /cosα = S1 [3]

Upraszczamy równanie [1]:
S2 * sinα = S3 * sinα
S2 = S3
i wstawiamy do [2]:
S1 – P + S3 * cosα – S3 * cosα = 0
S1 – P  = 0
Siła w pręcie nr1 wyniesie:
S1 = P

Z równania [3] wynikają siły w prętach nr2 i nr3:
S2 = cosa * S1 = S3

Prawda że łatwe?

Odkształcenie temperaturowe i układ statycznie niewyznaczalny – wytrzymałość – zadanie 18

Tutaj mamy zadanie z układem statycznie niewyznaczalnym i odkształceniem temperaturowym, gdzie do poziomej sztywnej belki przymocowano przegubowo 2 odkształcalne pręty, z których jeden jest pionowo, a drugi leci pod kątem.
rozciaganie6 - Odkształcenie temperaturowe i układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 18
Co ciekawe to oba pręty przymocowano do tego samego punktu sztywnej belki, ORAZ po zmontowaniu skośny pręt podgrzano o temperaturę ΔT – no i tutaj pręt odkształci się pod wpływem zmiany temperatury. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Gołym okiem widać, że jak się podgrzeje skośny pręt to on się wydłuży i będzie za długi żeby całość zachowała początkowe wymiary.

Po pierwsze
Uwalniamy układ od więzów czyli zastępujemy pręty i podporę przegubową siłami.
rozciaganie7 - Odkształcenie temperaturowe i układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 18
Po drugie
Piszemy równania równowagi.

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

ΣPix = S2 * sin45º – Rx = 0
ΣPiy = Ry – S1 – S2 * cos45º = 0
ΣMiB = S1 * L + S2 * cos45º * L = 0
Jak widać mamy 3 równania i 4 niewiadome ( Rx , Ry , S1 , S2 ) czyli mamy

UKŁAD STATYCZNIE NIEWYZNACZALNY

a więc potrzebne jest dodatkowe równanie geometryczne.

Po trzecie
Zakładamy w jaki sposób belka obróci się względem punktu B po podgrzaniu skośnego pręta.
Wiadomo, że jak skośny pręt się podgrzeje, to się wydłuży i będzie się starał podnieść DO GÓRY prawy wolny koniec belki. Wtedy belka obróci się o niewielki kąt względem osi obrotu (punkt B). I tutaj jest ważne założenie:

PUNKT MOCOWANIA PRĘTÓW (tutaj punkt C) PRZEMIEŚCI SIĘ PO PROSTEJ PROSTOPADŁEJ
DO
LINII ŁĄCZĄCEJ PUNKT MOCOWANIA PRĘTÓW  (tutaj punkt C)
Z OSIĄ OBROTU BELKI (tutaj punkt B).

I teraz jest najlepsze:

Odległość CC’ wynosi tyle ile wydłużył się pionowy pręt czyli:
CC’ = ΔL1

Ze skośnym prętem będzie trochę trudniej ponieważ leci on po skosie a po drugie to jest podgrzewany. I to jest tak że skośny pręt pod wpływem temperatury (albo zmiany temperatury) wydłuży się o ΔLt:

ΔLt = ΔT * a * √2   * L

ale do tego wydłużonego skośnego pręta drugi pionowy pręt będzie za długi i teraz zajdzie zajdzie ciekawe zjawisko:
– pionowy pręt trochę się wydłuży
– skośny pręt ( wcześniej wydłużony o ΔLt – odkształcenie temperaturowe) trochę  się  skróci aby oba pręty mogły się  spotkać w jednym miejscu – punkcie mocowania prętów do belki (punkt C’)
rozciaganie8 - Odkształcenie temperaturowe i układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 18
Na powyższym rysunku widzimy dwa skośne pręty:
– zielony PRZED odkształceniem
– i ten sam ale niebieski – PO odkształceniu

I teraz wyszło że powstał trójkąt w którym:
– jeden z boków odpowiada ΔLt-ΔL2
– drugi z boków odpowiada przemieszczeniu punktu C czyli CC’
– kąt 45º odpowiada położeniu skośnego pręta
rozciaganie9 - Odkształcenie temperaturowe i układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 18
Jak się narysuje ten trójkąt większy , to więcej widać i widać też że można tu zastosować najprostszą trygonometrię:
cos45º = (ΔLt – ΔL2) / CC’
a można to zapisać tak:
cos45º * CC’ = ΔLt – ΔL2

 

Po czwarte
I teraz w to można i trzeba wmanewrować prawo Hooke’a

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy

 

siła w pręcie  x  długość pręta
wydłużenie = ——————————————————————————-
moduł Younga  x  przekrój

 

i dla pręta skośnego wydłużenie mechaniczne będzie wyglądać w następujący sposób:

 

                  S2  * √2   *  L

ΔL2 = —————————————————————————

E  *  A

 

a dla pręta pionowego którego wydłużenie równa się przemieszczeniu punktu CC’:

 

               S1   *  L

ΔL1 = ———————————————————————————–

E  *  A

 

I to wszystko można teraz wstawić do wzoru na cos45º :

cos45º * CC’ = ΔLt – ΔL2

cos45º * S1*L / (E*A) = ΔT*a * √2  * L – S2 * √2  * L / (E*A)

Dzielimy obie strony przez L i mnożymy przez E*A:

0,5 * √2 * S1 = ΔT * a * √2 * E * A – S2 * √2

Dzielimy przez pierwiastek z 2:

0,5 * S1 = ΔT * a * E * A – S2

Jak się wyliczy S1 z trzeciego równania statycznego na sumę momentów:
S1*L + S2 * cos45º * L = 0
S1 + S2 * cos45º = 0
S1 = (-S2) * cos45º

i wstawi do równania geometrycznego:

0,5 * (-S2) * cos45º = ΔT * a * E * A – S2

To można obliczyć siłę w pręcie skośnym:
(-0,35) * S2 = ΔT * a * E * A – S2
0,65 * S2 = ΔT * a * E * A
S2 = 1,5 * ΔT * a * E * A

I również z równania na sumę momentów wyliczamy siłą w pręcie pionowym:
S1 = (-S2)*cos45º = (-1,5) * ΔT * a * E * A * cos45º =
= (-1,1) * ΔT * a * E * A

Trójkierunkowy stan naprężenia sześcianu- wytrzymałość – zadanie 14

Wcześniej omawialiśmy podstawy uogólnionego prawa Hooke’a i trójkierunkowy stan naprężenia,

Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy

a teraz jakieś zadanie w tym temacie z sześcianem pomiędzy dwiema nieodkształcalnymi ścianami:

Między 2 nieodkształcalne ściany wciśnięto sześcian o boku a. Sześcian jest materiału który może się odkształcić. Różnica między szczeliną między ścianami o długością boku sześcianu wynosi d. Dany jest moduł Younga i stała Poissona dla materiału sześcianu.

Pytają się o nacisk jednostkowy sześcianu na obie ściany , po tym jak go wcisnęli między te ściany.

rozciaganie51 - Trójkierunkowy stan naprężenia sześcianu- wytrzymałość - zadanie 14

Sprawa jest prosta, ponieważ trzeba sześcian ścisnąć o d zeby go wsunąć
miedzy 2 ściany.
Warto sobie obrać układ współrzędnych i niech osie ”x” i ”y” będą leciały równolegle do ściany (jedna w pionie druga w poziomie), a oś ”z” będzie do ścian prostopadła.

Po pierwsze

Na początek piszemy 3 równania opisujące trójkierunkowy stan naprężenia sześcianu
εx = σx/E – ν*σy/E – ν*σz/E [1]
εy = σy/E – ν*σx/E – ν*σz/E [2]
εz = σz/E – ν*σx/E – ν*σy/E [3]
i tak jak wcześniej mówiliśmy te 3 równania ZAWSZE wystąpią w tego typu zadaniach.

I teraz jak spojrzymy na nie dokładniej to widać że mamy 6 niewiadomych:
– odkształcenia względne wzdłuż 3 osi – εx,  εy , εz
– naprężenia wzdłuż 3 osi – σx , σy , σz
I teraz to zaczyna być logiczne, że potrzebujemy 6 równań żeby policzyć 6 niewiadomych. A ponieważ już mamy 3 (te powyżej) , to musimy wymyśleć 3 dodatkowe.

I teraz będzie część druga

Wiadomo że wzdłuż osi równoległych do ściany naprężenie wynosi ZERO, ponieważ na 4 powierzchnie nie stykające się ze ścianami  nic nie naciska.
σx = σy = 0 [4] i [5]
Wiadomo że w kierunku ”z” sześcian został ściśnięty o d na długości jego boku czyli a. To teraz obliczymy odkształcenie względne w kierunku ”z”:
εz = d/a [6]

Po trzecie – to już czysta matematyka
Mamy teraz 6 równań i 6 niewiadomych i wstawimy równania [4] , [5] i [6] do równań [1] , [2] oraz [3]. I dalej pójdzie z górki:
εx = 0/E – ν*0/E – ν*σz/E [1]
εy = 0/E – ν*0/E – ν*σz/E [2]
d/a = σz/E – ν*0/E – ν*0/E [3]
Po uproszczeniu to wygląda trochę lepiej:
εx =  – ν*σz/E [1]
εy = – ν*σz/E [2]
d/a = σz/E [3]

Z równania [3] obliczymy naprężenie w kierunku ”z” czyli nacisk jednostkowy na ściany:
σz = E * d/a

i o to pytał się autor zadania.
Dodatkowo z równań [1] i [2] obliczymy odkształcenia względne w kierunkach równoległych do ściany:
εy = εx = -ν*σz/E = -ν * ( E * d/a ) / E =  -ν * ( d/a )

Prawda że proste?