Ruch złożony – zadanie 41

Cześć wszystkim i dzisiaj zrobimy zadanie z ruchu złożonego. Oto trójkąt równoramienny prostokątny (o długości ramion równej b) obraca się wokół jednego z wierzchołków (punktu O) z prędkością kątową ω = 2 * t .

ruchzlozony5 - Ruch złożony - zadanie 41
Z drugiego wierzchołka wystartował punkt A i porusza się po przeciwległym boku z prędkości V. Twórca zadania zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

Krok pierwszy – obliczamy prędkość

Przypomnijmy że mamy ruch własny z prędkością stałą równą V.

Z prędkości kątowej równej 2*t wynika, że ZMIENIA SIĘ ONA W CZASIE . To jest bardzo proste, ponieważ jeżeli będziemy mnożyć liczbę 2 przez kolejno upływające sekundy, to prędkość ω będzie coraz większa z każdą sekundą. Matematycy powiedzą jeszcze inaczej – jeżeli jest napisane
ω = 2 * t
to znaczy że prędkość kątowa ω jest funkcją czasu czyli zależy od czasu. A jak coś zależy od czasu, a czas ciągle biegnie do przodu, to będzie się ciągle zmieniać.

Ponieważ jest to zadanie z ruchu złożonego, to

prędkość punktu A

jest sumą wektorów
prędkości własnej
i
unoszenia.

https://blog-student.com/228/

Ruch unoszenia będzie ruchem po okręgu o promieniu OA.

ruchzlozony6 - Ruch złożony - zadanie 41
W taki ciekawy sposób powstał nowy trójkąt OAAo z jednym kątem wierzchołkowym równym 45º. Ważna uwaga to znamy drogę punktu A w czasie t, ponieważ punkt A jedzie ruchem jednostajnym. I ta droga wynosi V*t i jest ona jednocześnie jednym z boków trójkąta.

Teraz podzielimy trójkąt OAAo na dwa mniejsze i przyjrzymy się trójkątowi prostokątnemu AOA’.

ruchzlozony7 - Ruch złożony - zadanie 41Znając jego wysokość ( V*t*sin45º ) i podstawę ( b – V*t*cos45º ) obliczymy przeciwprostokątną, która dodatkowo jest jednocześnie długością OA. Użyjemy do tego twierdzenia Pitagorasa:

( V*t*sin45º )² + ( b – V*t*cos45º )² = OA²
V² * t² *sin²45º + b² – 2 * b * V * t *cos45º + V² * t² *cos²45º = OA²

V² * t² * (sin²45º + cos²45º) + b² – 2 * b * V * t *cos45º = OA²

V² * t² + b² – 2 * b * V * t *cos45º = OA²

Z tego długość OA wyniesie:

OA = √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Wobec tego prędkość unoszenia:
Vu = ω * OA = ω * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Mając prędkości własną i unoszenia możemy je dodać wektorowo.

https://blog-student.com/statyka-podstawy-dodawanie-wektorow-pod-roznymi-katami/

Żeby było łatwiej to zwróćmy uwagę na kąt, który powstał w trójkącie prostokątnym AOA’ i jest to kąt β – dla jaśniejszej jasności oznaczyłem go na czerwono.

ruchzlozony8 - Ruch złożony - zadanie 41

Jak skorzystamy z tego trójkąta prostokątnego i z tangensa, to ten kąt będzie równy:
β = arctg [ V*t*sin45o / ( b – V*t*cos45o ) ]
i jest ZMIENNY.
Ten sam kąt jest zawarty pomiędzy pionowym ramieniem trójkąta o długosci b a wektorem prędkości unoszenia Vu.

ruchzlozony9 - Ruch złożony - zadanie 41
Idąc dalej kąt zawarty między poziomym ramieniem trójkąta o długości b a wektorem prędkości własnej wynosi 45º i jest STAŁY. A wszystko po to żeby obliczyć kąt między wektorami prędkości unoszenia i własnej:
α = 90º – 45º – β = 45º – β =
= 45º – arctg [ V*t*sin45º / (b-V*t*cos45º) ]

To teraz dodamy wektory prędkości własnej i unoszenia metodą równoległoboku:

V = √[(Vu*cosβ+V*cos45º)² + (Vu*sinβ+V*sin45º)²]

Prędkości załatwione a więc czas na

Krok drugi – obliczamy przyspieszenia

Ponieważ ruch unoszenia jest ruchem obrotowym, to przyspieszenie punktu A jest sumą:
– przyspieszenia własnego (tutaj MOŻE wystąpić składowa styczna i normalna)
– przyspieszenia unoszenia (tutaj również MOŻE wystąpić składowa styczna i normalna)
– przyspieszenia Coriolisa (ono występuje w zadaniach z ruchu złożonego tylko wtedy, gdy ruch unoszenia jest ruchem obrotowym):
pA = pw + pu + pc
Po kolei rozpatrzymy każdą ze składowych:

Ruch własny odbywa się ze stałą prędkością V po prostej, a więc składowa styczna nie występuje (bo prędkość jest stała) i składowa normalna również nie występuje (bo punkt A jedzie po prostej):
pw = 0

Ruch unoszenia odbywa się po okręgu z prędkością kątową
ω = 2 * t, a wiec składowa normalna na pewno wystąpi (bo punkt A jedzie po okręgu):
pun = ω² * OA =

= 4 * t² * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)

Składowa styczna jest pochodną prędkości unoszenia po czasie:
put = dVu/dt = d/dt [2 * t * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)] =

= 2 * d/dt [t * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)] =

= 2 *  [t’ * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º) +

+ t * (√(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º))’ ] =

= 2 *  [1 * √(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º) +

+ t / [2*(√(V²*t² + b² – 2*b*V*t*cos45º)]  ]

Przyspieszenie Coriolisa wyniesie:
pc = 2 * ω * V * sin (<ω , V) = 2 * 2 * t * V * sin (<ω , V) =
= 4 * t * V * sin90º = 4 * t * V

To teraz sobie narysujemy wszystkie obliczone wektory przyspieszeń, żeby móc obliczyć ich sumę.

ruchzlozony10 - Ruch złożony - zadanie 41
Rzuty wektorów na oś x wyniosą:
px = pun*cosβ + pc*cos45º + put*sinβ

Rzuty wektorów na oś y:
py = put*cosβ – pun*sinβ – pc*sin45º

Wypadkowe przyspieszenie punktu A wyniesie (metoda równoległoboku):
pA = √(px² + py²) =

=√[ (pun*cosβ+pc*cos45º+put*sinβ)²+(put*cosβ-pun*sinβ-pc*sin45º )²]

Prawda że łatwe?

Kinematyka – oblicz składowe przyspieszenia punktu

Witam wszystkich i dzisiaj w związku z kinematyką obliczymy prędkość i składowe przyspieszenia punktu A. Na poniższym rysunku widzimy mechanizm składający się z trzech elementów czyli trzech ogniw:

kinematyka7 - Kinematyka - oblicz składowe przyspieszenia punktu
ogniwa napędowego 1 (o długości L) poruszającego się po prostej (naukowcy powiedzą – ruch postępowy)
ramienia 3 (o długości 2*L) obracającego się wokół punktu B
suwaka 2 łączącego ogniwo napędowe z ramieniem
Dana jest prędkość Vc (jest to prędkość punktu C i jednocześnie całego ogniwa napędowego). Jeżeli wiemy, jak to działa, to powiedzmy, o co pyta autor:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I SKŁADOWE PRZYSPIESZENIA PUNKTU A

Krok po kroku wytłumaczymy sobie, jak do tego podejść:

Krok pierwszy – wychodzimy od tego, co wiemy:

Znamy prędkość ogniwa napędowego 1 i jego wymiary. Dodatkowo w chwili początkowej punkty B, D oraz C tworzą trójkąt równoramienny o podstawie L, dwóch kątach równych 45 stopni i jednym kącie prostym.
I teraz skupmy się na trójkącie BDC.
Ogniwo napędowe (czyli to z numerem 1) przesuwa się ze stałą prędkością Vc. Wynika z tego, że długość DC będzie się zwiększać o Vc*t. Wtedy długość podstawy BC (długość równa L) pozostanie bez zmian i dodatkowo  kąt BCD również pozostanie 45 stopni. I co najlepsze to powstał nowy trójkąt, którego jedną z przyprostokątnych jest droga przebyta przez ogniwo napędowe równa Vc*t.

kinematyka8 - Kinematyka - oblicz składowe przyspieszenia punktu
To teraz skorzystajmy z trygonometrii a dokładnie z tangensa kąta α:
tgα = Vc*t : BD
Widać że odległość BD jest przekątną kwadratu o boku 0,5*L:
BD = √2 * 0,5*L
czyli wracamy do tangensa kąta α:
tgα = Vc*t : (√2 * 0,5*L)
czyli kąt α wynosi:
α = arctg [ Vc*t : (√2 * 0,5*L]

Krok drugi

Zmiana kąta w czasie

nazywa się

prędkością kątową,

a mówiąc bardziej naukowo pochodną kąta po czasie jest prędkość kątowa. W tym przypadku mówimy o prędkości kątowej ogniwa nr 3:
ω3 = da / dt = d/dt ( arctg [ Vc*t : (√2 * 0,5*L) ] ) =
= d/dt ( arctg [ 1,4*Vc*t : L ] ) =

1,4*Vc / L
= —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)²

Krok trzeci – punkt A (koniec ogniwa nr 3) porusza się po okręgu o promieniu 2*L

a więc jego prędkość jest iloczynem prędkości kątowej i promienia okręgu:
VA = ω3 * 2 * L =

1,4*Vc / L * 2 * L
= —————————- =
1 + (1,4*Vc*t : L)2

2,8*Vc
= —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)2

Krok czwarty – prędkość policzona to teraz przechodzimy do przyspieszeń.

Przyspieszenie punktu A może (z akcentem na MOŻE) składać się z dwóch składowych:
– stycznego
– normalnego

https://blog-student.com/kinematyka-przyspieszenie-styczne-i-normalne-przypomnienie-podstaw/
No to liczymy:
Przyspieszenie styczne jest pochodną prędkości po czasie:
pAt = dVA / dt =

2,8*Vc
=d/dt —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)²

= 2,8*Vc * d/dt [ 1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ]  =

= 2,8*Vc * (-1) * [1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ²] * 2*(1,4*Vc*t : L) * 1,4*Vc/L = (-11) * Vc³ * t / L² * [ 1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ²]

Na koniec policzymy przyspieszenie normalne:
pAn = ω3² * 2 * L =

(1,4*Vc / L) ²
= ——————————— * 2 * L
(1 + (1,4*Vc*t : L)² ) ²

Obliczyliśmy 2 składowe przyspieszenia i sumaryczne przyspieszenie punktu A będzie sumą obu wektorów.

Ruch złożony – kinematyka – zadanie 19

Powracamy do kinematyki i dzisiaj będzie o ruchu ZŁOŻONYM:

Jak sama nazwa wskazuje mamy tutaj jakieś złożenie, a dokładnie jest to złożenie 2 ruchów (jak to w kinematyce):

ruch unoszenia – na przykład płyta która porusza się po linii prostej lub się obraca wokół jakiegoś punktu

ruch własny – po tej płycie porusza się na przykład zwierzę – to już widać, że zwierzę jest znacznie mniejsze od płyty

Może być tak że płyta porusza się do przodu a zwierzę w bok ale znowu jest to tylko przykład.

Mówiąc i pisząc w jednym zdaniu ruch ZŁOŻONY jest wtedy gdy COŚ porusza się po CZYMŚ co też jedzie.

I teraz mamy takie zadanie z kinematyki i ruchu złożonego:

ruchzlozony1 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

Płyta obraca sie z prędkością kątową i po tej płycie ze środka startuje punkt A i jedzie z prędkością Vw wzdłuż promienia na zewnątrz. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

1.Wektorowo prędkość punktu A jest sumą prędkości własnej i prędkości unoszenia:

VA = Vw + Vu

gdzie:

Vu – prędkość unoszenia

2.Tutaj ruch unoszenia jest obrotowy i w takim razie unoszenie jest ruchem po okręgu.

Vu = * AoA

Odległość AoA to droga punktu A w ruchu jednostajnym z prędkością Vw. A ponieważ jest to ruch jednostajny to droga wyniesie:

AoA = Vw * t

czyli prędkość unoszenia:

Vu = * Vw * t

ruchzlozony2 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

3.Jak widać wektory prędkości własnej i unoszenia są do siebie prostopadłe czyli wartość ich sumy można obliczyć z metody równoległoboku przy użyciu twierdzenia Pitagorasa:

ruchzlozony3 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

VA = √(Vw² + Vu² ) =

= √(Vw² + ² * Vw² * t² ) =

= Vw * √(1 + ² * t²)

 

To na razie tyle na temat prędkości a teraz obliczymy przyspieszenie.

4.Przyspieszenie punktu A jest sumą 3 wektorów przyspieszeń:

własnego – może się składać ze składowych stycznej i normalnej

https://blog-student.com/kinematyka-przyspieszenie-styczne-i-normalne-przypomnienie-podstaw/

unoszenia- podobnie jak własne może się składać ze składowych stycznej i normalnej

Coriolisa – jeżeli unoszenie jest ruchem obrotowym a w tym zadaniu tak jest.

 

Przyspieszenie własne normalne nie występuje ponieważ punkt A jedzie po prostej, a przyspieszenie własne styczne nie wystąpi bo ruch własny odbywa się ze stałą prędkością Vw.

 

Przyspieszenie unoszenia normalne wynosi:

pun = Vu² / AoA = ( * Vw * t)² / (Vw * t) =

= ² * Vw * t

i wektor jest skierowany do środka łuku w ruchu unoszenia czyli do środka obrotowej tarczy

 

Przyspieszenie unoszenia styczne jest pochodną po czasie prędkości unoszenia:

put = dVu / dt = d/dt ( * Vw * t) = * Vw

i wektor jest styczny do łuku w ruchu unoszenia czyli prostopadły do promienia obrotowej tarczy.

 

Z przyspieszeniem Coriolisa jest trochę ciekawiej:

pc = 2 * * Vw * sin(<Vw,)

ten ostatni czynnik czyli sinus dotyczy kąta zawartego między wektorami:

– prędkości własnej Vw

– i prędkości kątowej unoszenia ω.

Wektor prędkości własnej leży na płaszczyźnie, a wektor prędkości kątowej leci pionowo w dół, czyli kąt między tymi wektorami jest 90 stopni. Sinus 90 stopni wynosi jeden, a więc przyspieszenie Coriolisa w tym przypadku:

pc = 2 * * Vw

I teraz powstaje pytanie, jak leci wektor przyspieszenia Coriolisa:coriolisaaccaleration - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

Wektor Coriolisa jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory oraz Vw. Pozostaje jeszcze pytanie w którą stronę ten wektor jest zwrócony:

Jakbyśmy kręcili śrubą prawoskrętną od ω do Vw, to kierunek wkręcania się śruby prawoskrętnej wskazuje na zwrot wektora przyspieszenia Coriolisa. Warto przypomnieć, że jak chcemy wkręcić śrubę w ścianę to kręcimy zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara. Z tego wszystkiego wynika że, przyspieszenie Coriolisa leży na płaszczyźnie i jest prostopadłe do wektora prędkości własnej.

I teraz jak wszystko wiadomo i się narysuje wszystkie wektory przyspieszeń to można obliczyć metodą równoległoboku sumę tych wektorów:

ruchzlozony4 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

pA = √ ((put+pc)² + pun² ) =

= √( (*Vw+2**Vw)² + (²*Vw*t)² ) =

= √ ((**Vw)² + (²*Vw*t)² ) 

Na powyższym rysunku wektor przyspieszenia punktu A oznaczono kolorem czerwonym.

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym – zadanie 17

Zadanie jest bardzo proste i dotyczy podstaw kinematyki i prędkości w ruchu jednostajnym prostoliniowym:

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

Pod sufitem wisi lampa i spod tej lampy startuje człowiek idąc w prawo ze stałą prędkością V.

kinematyka4 - Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym - zadanie 17

Lampa się świeci i dlatego człowiek rzuca cień. Idąc w prawo człowiek oddala się od lampy i cień będzie coraz dłuższy. Wysokość człowieka wynosi hc, a lampa wisi na wysokości H. I teraz jest pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ KOŃCA CIENIA

1.Człowiek idzie ruchem jednostajnym czyli ze stałą prędkością, a więc można obliczyć jego drogę w czasie t:

s = V * t

kinematyka5 - Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym - zadanie 17

I teraz można przez sc oznaczyć drogę końca cienia.

kinematyka6 - Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym - zadanie 17

2. Teraz mamy same długości czyli jest to czysta geometria i widać że można użyć tutaj twierdzenie Talesa:

 

H-hc           H

———-  =  ——-

V*t              sc

 

Z tego już się obliczy drogę końca cienia:

sc = V*t*H / ( H-hc )

Jak już jest droga końca cienia, to można obliczyć prędkość końca cienia i jest to pochodna drogi po czasie:

Vc = = V*H / ( H-hc )

Prawda że proste?

Jak obliczyć przyspieszenie kątowe – podstawy

Dzisiaj będzie krótko i treściwie, ale sprawa jest istotna – jak obliczyć przyspieszenie kątowe ?:

Przy okazji omawiania podstaw pisaliśmy o przyspieszeniu liniowym  które oznacza zmianę prędkości w czasie i dotyczy ruchu postępowego.

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

A jak to wygląda w przypadku ruchu obrotowego?

 

Po pierwsze

Położeniu w ruchu obrotowym odpowiada KĄT (wyrażony w radianach [rad]).

 

Po drugie

Prędkości w ruchu obrotowym odpowiada PRĘDKOŚĆ KĄTOWA (wyrażona w radianach na sekundę [rad/s]) i oznacza zmianę położenia kątowego w czasie:

=  / t

gdzie:

Δ∝ – zmiana położenia kątowego czegoś tam na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana położenia nastąpiła

 

Przyspieszeniu w ruchu obrotowym odpowiada PRZYSPIESZENIE KĄTOWE (wyrażone w radianach na sekundę do kwadratu [rad/s2] i oznacza zmianę prędkości kątowej w czasie:

=  / t

gdzie:

Δω – zmiana prędkości kątowej czegoś co się obraca – na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana prędkości kątowej nastąpiła