Ruch złożony – kinematyka – zadanie 19

A teraz będzie o ruchu ZŁOŻONYM:

Jak sama nazwa wskazuje mamy tutaj jakieś złożenie, a dokładnie jest to złożenie 2 ruchów:

ruch unoszenia – na przykład płyta która porusza się po linii prostej lub się obraca wokół jakiegoś punktu

ruch własny – po tej płycie porusza się na przykład zwierzę – to już widać, że zwierzę jest znacznie mniejsze od płyty

Może być tak że płyta porusza się do przodu a zwierzę w bok ale znowu jest to tylko przykład.

Mówiąc i pisząc w jednym zdaniu ruch ZŁOŻONY jest wtedy gdy COŚ porusza się po CZYMŚ co też jedzie.

I teraz mamy takie zadanie z ruchu złożonego:

ruchzlozony1 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

Płyta obraca sie z prędkością kątową i po tej płycie ze środka startuje punkt A i jedzie z prędkością Vw wzdłuż promienia na zewnątrz. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

1.Wektorowo prędkość punktu A jest sumą prędkości własnej i prędkości unoszenia:

VA = Vw + Vu

gdzie:

Vu – prędkość unoszenia

2.Tutaj ruch unoszenia jest obrotowy i w takim razie unoszenie jest ruchem po okręgu.

Vu = * AoA

Odległość AoA to droga punktu A w ruchu jednostajnym z prędkością Vw. A ponieważ jest to ruch jednostajny to droga wyniesie:

AoA = Vw * t

czyli prędkość unoszenia:

Vu = * Vw * t

ruchzlozony2 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

3.Jak widać wektory prędkości własnej i unoszenia są do siebie prostopadłe czyli wartość ich sumy można obliczyć z metody równoległoboku przy użyciu twierdzenia Pitagorasa:

ruchzlozony3 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

VA = √(Vw² + Vu² ) =

= √(Vw² + ² * Vw² * t² ) =

= Vw * √(1 + ² * t²)

 

To na razie tyle na temat prędkości a teraz obliczymy przyspieszenie.

4.Przyspieszenie punktu A jest sumą 3 wektorów przyspieszeń:

własnego – może się składać ze składowych stycznej i normalnej

unoszenia- może się składać ze składowych stycznej i normalnej

Coriolisa – jeżeli unoszenie jest ruchem obrotowym a w tym zadaniu tak jest.

 

Przyspieszenie własne normalne nie występuje ponieważ punkt A jedzie po prostej.

Przyspieszenie własne styczne nie wystąpi bo ruch własny odbywa się ze stałą prędkością Vw.

 

Przyspieszenie unoszenia normalne wynosi:

pun = Vu² / AoA = ( * Vw * t)² / (Vw * t) =

= ² * Vw * t

i wektor jest skierowany do środka łuku w ruchu unoszenia czyli do środka obrotowej tarczy

 

Przyspieszenie unoszenia styczne jest pochodną po czasie prędkości unoszenia:

put = dVu / dt = d/dt ( * Vw * t) = * Vw

i wektor jest styczny do łuku w ruchu unoszenia czyli prostopadły do promienia obrotowej tarczy.

 

Z przyspieszeniem Coriolisa jest trochę ciekawiej:

pc = 2 * * Vw * sin(<Vw,)

ten ostatni czynnik czyli sinus dotyczy kąta zawartego między wektorami:

– prędkości własnej Vw

– i prędkości kątowej unoszenia ω.

Wektor prędkości własnej leży na płaszczyźnie, a wektor prędkości kątowej leci pionowo w dół, czyli kąt między tymi wektorami jest 90 stopni. Sinus 90 stopni wynosi jeden, a więc przyspieszenie Coriolisa w tym przypadku:

pc = 2 * * Vw

I teraz powstaje pytanie, jak leci wektor przyspieszenia Coriolisa:coriolisaaccaleration - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

Wektor Coriolisa jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory oraz Vw. Pozostaje jeszcze pytanie w którą stronę ten wektor jest zwrócony:

Jakbyśmy kręcili śrubą prawoskrętną od ω do Vw, to kierunek wkręcania się śruby prawoskrętnej wskazuje na zwrot wektora przyspieszenia Coriolisa. Warto przypomnieć, że jak chcemy wkręcić śrubę w ścianę to kręcimy zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara. Z tego wszystkiego wynika że, przyspieszenie Coriolisa leży na płaszczyźnie i jest prostopadłe do wektora prędkości własnej.

I teraz jak wszystko wiadomo i się narysuje wszystkie wektory przyspieszeń to można obliczyć metodą równoległoboku sumę tych wektorów:

ruchzlozony4 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

pA = √ ((put+pc)² + pun² ) =

= √( (*Vw+2**Vw)² + (²*Vw*t)² ) =

= √ ((**Vw)² + (²*Vw*t)² ) 

Na powyższym rysunku wektor przyspieszenia punktu A oznaczono kolorem czerwonym.

Prędkość w ruchu jednostajnym – kinematyka – zadanie 17

Zadanie jest bardzo proste i dotyczy podstaw kinematyki i prędkości w ruchu jednostajnym:

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

Pod sufitem wisi lampa i spod tej lampy startuje człowiek idąc w prawo ze stałą prędkością V.

kinematyka4 - Prędkość w ruchu jednostajnym - kinematyka - zadanie 17

Lampa się świeci, a więc człowiek rzuca cień. Idąc w prawo człowiek oddala się od lampy i cień będzie coraz dłuższy. Wysokość człowieka wynosi hc, a lampa wisi na wysokości H. I teraz jest pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ KOŃCA CIENIA

1.Człowiek idzie ruchem jednostajnym czyli ze stałą prędkością, a więc można obliczyć jego drogę w czasie t:

s = V * t

kinematyka5 - Prędkość w ruchu jednostajnym - kinematyka - zadanie 17

I teraz można przez sc oznaczyć drogę końca cienia.

kinematyka6 - Prędkość w ruchu jednostajnym - kinematyka - zadanie 17

2. Teraz mamy same długości czyli jest to czysta geometria i widać że można użyć tutaj twierdzenie Talesa:

 

H-hc           H

———-  =  ——-

V*t              sc

 

Z tego już się obliczy drogę końca cienia:

sc = V*t*H / ( H-hc )

Jak już jest droga końca cienia, to można obliczyć prędkość końca cienia i jest to pochodna drogi po czasie:

Vc = = V*H / ( H-hc )

Prawda że proste?

Przyspieszenie kątowe – kinematyka – podstawy

Dzisiaj będzie krótko i treściwie, ale sprawa jest istotna – przyspieszenie kątowe:

Przy okazji omawiania podstaw pisaliśmy o przyspieszeniu liniowym  które oznacza zmianę prędkości w czasie i dotyczy ruchu postępowego.

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

A jak to wygląda w przypadku ruchu obrotowego?

 

Po pierwsze

Położeniu w ruchu obrotowym odpowiada KĄT (wyrażony w radianach [rad]).

 

Po drugie

Prędkości w ruchu obrotowym odpowiada PRĘDKOŚĆ KĄTOWA (wyrażona w radianach na sekundę [rad/s]) i oznacza zmianę położenia kątowego w czasie:

=  / t

gdzie:

Δ∝ – zmiana położenia kątowego czegoś tam na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana położenia nastąpiła

 

Przyspieszeniu w ruchu obrotowym odpowiada PRZYSPIESZENIE KĄTOWE (wyrażone w radianach na sekundę do kwadratu [rad/s2] i oznacza zmianę prędkości kątowej w czasie:

=  / t

gdzie:

Δω – zmiana prędkości kątowej czegoś co się obraca – na przykład wskazówki zegara

Δt – czas w którym ta zmiana prędkości kątowej nastąpiła

Kinematyka -przyspieszenie styczne i normalne – przypomnienie podstaw

O tym już było przy okazji zadań z ruchu płaskiego, ale zanim przejdziemy do trudniejszych, to warto przypomnieć jedną z podstaw kinematyki – jak obliczyć przyspieszenia styczne i normalne.

Wyobraźmy sobie, że pojazd jedzie po drodze i wjeżdża w zakręt o promieniu R i z prędkością V i wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne wektory przyspieszeń:

kinematyka3 - Kinematyka -przyspieszenie styczne i normalne - przypomnienie podstaw

– styczne pt

– i normalne pn

Przyspieszenie styczne (jak wskazuje jego nazwa) jest STYCZNE do łuku drogi, po której jedzie. Jest ono równe pochodnej prędkości po czasie

pt = dV/dt

a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość się NIE ZMIENIA to przyspieszenie styczne jest równe ZERO.

Przyspieszenie normalne jest zwrócone do środka łuku, po którym pojazd jedzie i jest ono równe:

pn = V2 : R

Całkowite przyspieszenie punktu jadącego po łuku jest sumą obu wektorów przyspieszeń czyli stycznego i normalnego.

Ruch płaski – przyspieszenie – kinematyka – zadanie 4

Kilka wpisów wcześniej zajmowaliśmy się prędkością, a dzisiaj opowiemy sobie jak obliczyć przyspieszenie w ruchu płaskim.

No to mamy zadanie następujące:

OBLICZYĆ PRZYSPIESZENIE PUNKTU A WALCA O PROMIENIU r PORUSZAJĄCEGO SIĘ RUCHEM PŁASKIM

Tutaj będzie znacznie lepsza zabawa niż przy obliczaniu prędkości punktu i dlatego, zanim przejdziemy do zadania, trzeba się odwołać do podstaw:

Mechanika-kinematyka-ciąg dalszy podstaw

Załóżmy czy COŚ jedzie po okręgu o promieniu R i z prędkością Vp i wtedy MOGĄ wystąpić 2 różne przyspieszenia:

PRZYSPIESZENIE STYCZNE – którego wektor jest STYCZNY do toru ruchu (czyli śladu który robi punkt kiedy sobie jedzie – jak jedzie po łuku to robi łuk). Jest ono równe – UWAGA – pochodnej prędkości po czasie, a znaczy to tyle, że jeżeli prędkość się nie zmienia to przyspieszenie styczne jest równe zero.

PRZYSPIESZENIE NORMALNE  którego wektor jest skierowany do środka łuku i jest ono równe:
pn = Vp² : R

Streszczając to co jest napisane w powyższych 2 punktach

przyspieszenie styczne występuje kiedy prędkość się zmienia (dokładnie mówiąc wartość prędkości),

a przyspieszenie normalne występuje gdy ciało porusza się po łuku.

mechanika wstep 4 - Ruch płaski - przyspieszenie - kinematyka - zadanie 4

Jak już wiadomo jakie są rodzaje przyspieszeń, to można obliczyć przyspieszenie punktu A i zrobimy to METODĄ BIEGUNA.

A co to znaczy METODA BIEGUNA?

pa = po + pa/o
Znaczy to tyle, że przyspieszenie punktu A jest sumą 2 wektorów:
– WEKTORA przyspieszenia środka – punktu O – w tym przypadku punkt O wybraliśmy jako BIEGUN
– oraz WEKTORA przyspieszenia punktu A względem środka

I żeby było jeszcze śmieszniej to każdy z powyższych 2 wektorów MOŻE (ALE NIE MUSI) mieć składową styczną i składową normalną. To teraz można zapisać to wszystko w jednym równaniu (oczywiście wektorowo):
pa = pot + pon + pa/ot + pa/on
Przyspieszenie styczne środka będzie równe zero
pot = 0
ponieważ koło jedzie w prawo ze stałą prędkością.

Podobnie przyspieszenie styczne punktu A względem środka będzie równe zero
pa/ot = 0
ponieważ punkt A porusza się względem środka ze stałą prędkością.

Wobec tego sumaryczne przyspieszenie punktu A wyniesie (wektorowo):
pa = pon + pa/on
To teraz trzeba obliczyć poszczególne składniki:
Przyspieszenie normalne środka:
pon = ω² * r
Analogicznie obliczymy przyspieszenie punktu A względem środka:
pa/on = ω² * r

kinematyka1 - Ruch płaski - przyspieszenie - kinematyka - zadanie 4

A więc mamy 2 wektory przyspieszenia i teraz musimy je dodać.
Najprościej będzie to zrobić METODĄ RÓWNOLEGŁOBOKU:
Ustawiamy oba wektory tak, że wychodzą z jednego punktu (wierzchołka równoległoboku) i teraz widać, że tym równoległobokiem (w tym przypadku) jest zwykły prostokąt.

kinematyka2 - Ruch płaski - przyspieszenie - kinematyka - zadanie 4

Suma obu wektorów będzie przekątną wychodzącą z tego samego wierzchołka co 2 pozostałe. I teraz widać, że można do tego użyć twierdzenia Pitagorasa. Wobec tego

PRZYSPIESZENIE PUNKTU A WALCA PORUSZAJĄCEGO SIĘ RUCHEM PŁASKIM WYNIESIE:
pa = √[pon² + pa/on² ]

 

Czyli podsumowując:

  • najpierw obliczamy poszczególne składowe przyspieszenia
  • a następnie dodajemy wektory składowych i suma będzie przyspieszeniem punktu