Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego – mechanika – podstawy

I tak ponownie wracamy do podstaw, ponieważ o tym zdarza nam się zapominać. O dynamice było już na samym początku i o II zasadzie dynamiki również.

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Tylko że wtedy było to odniesione do ruchu postępowego:

F = m * a [1]

czyli jeżeli na ciało o masie m działa siła F, to to ciało jedzie z przyspieszeniem a.

 

A jak to będzie w przypadku ruchu obrotowego?

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego wygląda tak:

M = J * 

czyli jeżeli na ciało o masowym momencie bezwładności J działa moment M, to ciało obraca się z przyspieszeniem kątowym .

Jak patrzymy na wzór [1] i [2] to siłę F zamieniono na moment M (przy ruchu obrotowym sile odpowiada moment), zamiast masy jest masowy moment bezwładności, a zamiast przyspieszenia liniowego mamy przyspieszenie kątowe.

I to właściwie tyle jeżeli chodzi o uzupełnienie II zasady dynamiki Newtona.

Przyspieszenia poruszających się mas – zadanie 7

Witam ponownie i ponownie mamy proste zadanko z dynamiki, w którym obliczymy przyspieszenia poruszających się mas:

Do nieważkiego bębna o promieniu r przyłożono moment Mo. Na obu końcach cięgna nawiniętego na bęben zawieszono 2 masy m. Pomiędzy cięgnem a bębnem nie ma poślizgu.

dynamika4 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Autor zadaje pytanie:

Ile wyniosą przyspieszenia poruszających się mas?

 

Tyle wiadomo  teraz żeby się do tego zabrać to na wstępie:

Po pierwsze:

Trzeba założyć, w jaki sposób to wszystko się będzie poruszać.

Przyłożony moment obraca kołem zgodnie ze wskazówkami zegara, czyli można się domyśleć, że lewe pudło pojedzie w górę, a prawe pudło będzie zjeżdżać w dół. Ponieważ oba pudła są połączone nierozciągliwą liną, to jedno i drugie pudło będzie się poruszać z takim samym przyspieszeniem.

W drugim kroku:

Trzeba uwolnić od więzów wszystkie ciała, które mają masę

czyli to będzie lewe pudło i prawe pudło.dynamika5 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Uwalniamy od więzów, czyli zastępujemy linę siłą napięcia S1. Ciało posiada masę i dlatego w środku ciężkości przykładamy siłę ciężkości m*g. Z poprzedniego kroku zakładamy przyspieszenie ciała w górę.

Trzeci krok :

Jeżeli pudło uwolniliśmy od więzów to teraz piszemy równania dynamiczne pochodzące z II prawa dynamiki Newtona
ILOCZYN MASY CIAŁA I JEGO PRZYSPIESZENIA RÓWNA SIĘ SUMIE PRZYŁOŻONYCH DO NIEGO SIŁ.

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Należy zaznaczyć że siły leżą na kierunku przyspieszenia:
m * p = S1 – m*g [1]

dynamika6 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Analogicznie postępujemy z drugim pudłem czyli siłę w linie zastępujemy siłą S2 i przykładamy ciężar m*g. Równianie dynamiczne przyjmie postać:

m * p = m*g – S2 [2]

Mamy 2 równania dynamiczne i teraz liczymy niewiadome:
p , S1 , S2
czyli 3 niewiadome i 2 równania a więc

Czwarty krok:

Potrzebne jest dodatkowe równanie dynamiczne lub kinematyczne.

I tutaj warto wykorzystać krążek, do którego przyłożono moment – dla niego napiszemy równanie dynamiczne dla ruchu obrotowego:

dynamika3 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

J * e = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

Wiadomo że:

moment bezwładności krążka wynosi zero, ponieważ krążek jest nieważki:
J = 0

i wiadomo, jaka jest relacja między przyspieszeniami poruszających się mas:
– kątowym bębna
– i liniowym pudła:
p = ε * r
I z tego obliczymy przyspieszenie kątowe krążka:
ε = p : r
I teraz to co powyżej wstawiamy do równania [3]:
0 * p/r = S2 * r + Mo – S1 * r

0 = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

To jak już mamy 3 równania, to przyszła pora na

Piąty krok

Mamy układ 3 równań i z nich obliczamy przyspieszenia poruszających się mas.

Przyrównujemy stronami równania [1] i [2]:
S1 – m*g = m*g – S2
S1 = 2*m*g – S2 [1+2]

Z równania [3] wyciągamy siłę w linie S1:
S1 * r = S2 * r + Mo
S1 = S2 + Mo/r  [3]

Równania [1+2] oraz [3] odejmujemy stronami:
S1 – S1 = 2*m*g – S2 – S2 – Mo/r
0 = 2*m*g – 2*S2 – Mo/r
0 = m*g – S2 – 0,5*Mo/r
S2 = m*g – 0,5*Mo/r

Z równania [1] wyciągamy p, podstawiamy obliczone powyżej S2 i od razu dostajemy szukane przyspieszenie obu mas:
p = g – S2/m = g – ( m*g – 0,5*Mo/r )/m = 0,5*Mo/(r*m)

Dynamika – tarcie – zadanie 6

To może teraz zadanie z dynamiki w którym występuje tarcie:

NA POZIOMYM STOLE NA KARTCE LEŻY PUDEŁKO O MASIE m. WSPÓŁCZYNNIK TARCIA MIĘDZY KARTKĄ I PUDEŁKIEM WYNOSI µdynamika1 - Dynamika - tarcie - zadanie 6

I jak wiemy co tu się dzieje to teraz jest takie pytanie:

Z JAKIM PRZYSPIESZENIEM NALEŻY RUSZYĆ KARTKĄ, ŻEBY PUDEŁKO ZJECHAŁO Z KARTKI?

Czyli tradycyjnie:

  1. Uwalniamy pudełko od więzów,

czyli zastępujemy kartkę siłami:

– nacisku

– i tarcia ponieważ jest dany współczynnik tarcia 

dynamika2 - Dynamika - tarcie - zadanie 6

Siła tarcia jest w tą stronę co przyspieszenie ponieważ pudełko będzie chciało zjechać w stronę przeciwną – siła tarcia jest zawsze przeciwna do ruchu który ma nastąpić – przeszkadza ruchowi.

No i teraz piszemy:

2. Równanie dynamiczne

Równanie w kierunku zgodnym z przyspieszeniem:

m * p = N * µ [1] 

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Równanie w kierunku prostopadłym do przyspieszenia:

m * 0 = N – m*g [2]

Z drugiego równania obliczamy nacisk:

N = m*g

i wstawiamy do równania [1]:

m * p = m * g * µ

Dzielimy obie strony równania przez m i dostajemy przyspieszenie z jakim należy ruszyć kartką żeby pudełko zjechało z kartki:

p = g * µ 

I to jest odpowiedź na postawione pytanie. Prawda że proste?

Dynamika – druga zasada Newtona – podstawy

A więc dzisiaj będzie o podstawach

DYNAMIKI

– zajmuje się ona działającymi siłami i ruchem ciał i tutaj spełniona jest

 DRUGA ZASADA DYNAMIKI NEWTONA

Jeżeli na ciało o masie m działa stała siła F

to

ciało porusza się z przyspieszeniem p = F/m

mechanika wstep 5 - Dynamika - druga zasada Newtona - podstawy

 

Jak już doszliśmy do dynamiki to za chwilę pojawiają się 3 pojęcia:

PRACA

ENERGIA

MOC

I dokładnie w tej kolejności – praca, potem energia a dopiero na końcu moc.

Zacznijmy od tego czym jest praca – tak bardzo prosto to

 ILOCZYN SIŁY I PRZESUNIĘCIA

przy czym i siła i przesunięcie są do siebie równoległe.

Jeżeli siła i przesunięcie NIE są równoległe

to

rzutujemy siłę na prostą wzdłuż której przesunięcie następuje i praca równa się:

RZUT SIŁY x PRZESUNIĘCIE

Przy ruchu obrotowym praca równa się iloczynowi momentu i kąta obrotu.

Jak już wiadomo czym jest praca to tym bardziej będzie wiadomo czym jest energia:

ENERGIA TO MOŻLIWOŚĆ WYKONANIA PRACY

I żeby było jeszcze ciekawiej to i pracę i energię mierzymy w dżulach (J). Zarówno energia może przechodzić w pracę, jak i praca może wywołać wzrost energii (na przykład wzrost energii jakiegoś ciała o jakiejś masie).
W zadaniach z dynamiki które robi się metodą energetyczną występuje równanie:

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ = PRACA WYKONANA

I to jest świetna ilustracja poprzedniego zdania – praca przeszła w energię lub odwrotnie.

Na przykład:

Kula o masie M spada z dachu o wysokości H. I teraz zadajemy sobie pytanie:

DLACZEGO KULA SPADA?

I to też jest proste: kula spada bo działa na nią siła grawitacji. Grawitacja działa w dół i kula też spada w dół czyli i siła i przesunięcie są do siebie równoległe :

PRACA SIŁY CIĘŻKOŚCI = SIŁA CIĘŻKOŚCI x PRZESUNIĘCIE

Jeżeli siła ciężkości wykonała pracę

to

musiała się zmienić energia kinetyczna kuli – no i się zmieniła dokładnie o tyle ile pracy zostało wykonane:

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ = SIŁA CIĘŻKOŚCI x PRZESUNIĘCIE

Prawda że proste?

To na razie tyle podstaw i drugiej zasady dynamiki Newtona.

I to będzie jeszcze prostsze jak przejdziemy to zadań.