Środek ciężkości figury płaskiej – mechanika – zadanie 16

Na początek powiedzmy sobie co to jest środek ciężkości:

Bierzemy do ręki kawałek płaskiej blachy albo deski i jeżeli podeprzemy gdzieś pod spodem tak, żeby to się nie przewróciło, to w tym miejscu gdzie podparliśmy będzie środek ciężkości.

srodekciezkosci1 - Środek ciężkości figury płaskiej - mechanika - zadanie 16

I tutaj mamy taki element o podanych wymiarach. Oto jak sobie poradzić z obliczeniem środka ciężkości:

1. Dzielimy go na kilka prostszych elementów

czyli w tym przypadku na przykład trójkąt (o podstawie 2*a i wysokości a) i półkole o promieniu a.

srodkiciezkosci2 - Środek ciężkości figury płaskiej - mechanika - zadanie 16

To wszystko dlatego, że znamy położenie środka ciężkości prostych elementów takich jak koło, prostokąt czy trójkąt.

 

2. Umieszczamy tak podzieloną figurę w układzie współrzędnych.

Tylko teraz powstaje pytanie jak to umieścić?

srodkiciezkosci3 - Środek ciężkości figury płaskiej - mechanika - zadanie 16

Najlepiej umieścić figurę nad osia x i jeżeli figura jest symetryczna, to oś symetrii powinna pokrywac się z osią ”y”.

3. Kolejny etap to działamy według prostego wzoru żeby obliczyć współrzędne środka ciężkości figury płaskiej

 

pole półkola * ś.c.półkola + pole trójkąta * ś.c.trójkąta

yc = ———————————————————————————————

całkowite pole figury

 

To teraz mały komentarz do powyższego wzoru:

Środek ciężkości na przykład półkola lub trójkąta określamy w tym układzie współrzędnych, w którym tę figurę wstawiliśmy. Wiemy że środek ciężkości trójkąta jest 1/3 wysokości od podstawy, ale w tym przypadku ma on współrzędną równą 2/3*a, ponieważ trójkąt stoi podstawą do góry.

Środek ciężkości półkola znajduje się 4*a/(3*) od podstawy czyli w naszym przypadku współrzędna wynosi (a + 4*a/(3*)) , ponieważ samo półkole jest w odległości a od osi ”x”.

I teraz wprowadzamy poszczególne wartości do wzoru na współrzędną ”yc” środka ciężkości figury:

 

1/2**a2 * (a + 4*a/(3*) + 1/2*2*a*a * 2/3*a

yc = ———————————————————————————–

1/2**a2 + 1/2*2*a*a

 

To teraz po kolei co wpisaliśmy do licznika:

– 1/2**a2 to pole półkola o promieniu a.

– (a + 4*a/(3* to współrzędna ”y” środka ciężkości półkola czyli odległość od osi ”x”

– 1/2*2*a*a  to pole trójkąta

– 2/3*a  to współrzędna ”y” środka ciężkości trójkąta

W mianowniku mamy sumaryczne pole figury.

Po uproszczeniu mamy coś takiego:

 

1/2**a + 4/3*a

yc = ——————————— = 1,1*a

1/2* + 1

srodkiciezkosci4 - Środek ciężkości figury płaskiej - mechanika - zadanie 16

I jest to współrzędna ”y” środka ciężkości figury.

Ponieważ figura ma oś symetrii pokrywającą się z osią ”y” , to współrzędna ”x” środka ciężkości wynosi

xc = 0

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *