Przyspieszenia poruszających się mas – zadanie 7

Witam ponownie i ponownie mamy proste zadanko z dynamiki, w którym obliczymy przyspieszenia poruszających się mas:

Do nieważkiego bębna o promieniu r przyłożono moment Mo. Na obu końcach cięgna nawiniętego na bęben zawieszono 2 masy m. Pomiędzy cięgnem a bębnem nie ma poślizgu.

dynamika4 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Autor zadaje pytanie:

Ile wyniosą przyspieszenia poruszających się mas?

 

Tyle wiadomo  teraz żeby się do tego zabrać to na wstępie:

Po pierwsze:

Trzeba założyć, w jaki sposób to wszystko się będzie poruszać.

Przyłożony moment obraca kołem zgodnie ze wskazówkami zegara, czyli można się domyśleć, że lewe pudło pojedzie w górę, a prawe pudło będzie zjeżdżać w dół. Ponieważ oba pudła są połączone nierozciągliwą liną, to jedno i drugie pudło będzie się poruszać z takim samym przyspieszeniem.

W drugim kroku:

Trzeba uwolnić od więzów wszystkie ciała, które mają masę

czyli to będzie lewe pudło i prawe pudło.dynamika5 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Uwalniamy od więzów, czyli zastępujemy linę siłą napięcia S1. Ciało posiada masę i dlatego w środku ciężkości przykładamy siłę ciężkości m*g. Z poprzedniego kroku zakładamy przyspieszenie ciała w górę.

Trzeci krok :

Jeżeli pudło uwolniliśmy od więzów to teraz piszemy równania dynamiczne pochodzące z II prawa dynamiki Newtona
ILOCZYN MASY CIAŁA I JEGO PRZYSPIESZENIA RÓWNA SIĘ SUMIE PRZYŁOŻONYCH DO NIEGO SIŁ.

Mechanika-dynamika-jeszcze raz podstawy

Należy zaznaczyć że siły leżą na kierunku przyspieszenia:
m * p = S1 – m*g [1]

dynamika6 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

Analogicznie postępujemy z drugim pudłem czyli siłę w linie zastępujemy siłą S2 i przykładamy ciężar m*g. Równianie dynamiczne przyjmie postać:

m * p = m*g – S2 [2]

Mamy 2 równania dynamiczne i teraz liczymy niewiadome:
p , S1 , S2
czyli 3 niewiadome i 2 równania a więc

Czwarty krok:

Potrzebne jest dodatkowe równanie dynamiczne lub kinematyczne.

I tutaj warto wykorzystać krążek, do którego przyłożono moment – dla niego napiszemy równanie dynamiczne dla ruchu obrotowego:

dynamika3 - Przyspieszenia poruszających się mas - zadanie 7

J * e = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

Wiadomo że:

moment bezwładności krążka wynosi zero, ponieważ krążek jest nieważki:
J = 0

i wiadomo, jaka jest relacja między przyspieszeniami poruszających się mas:
– kątowym bębna
– i liniowym pudła:
p = ε * r
I z tego obliczymy przyspieszenie kątowe krążka:
ε = p : r
I teraz to co powyżej wstawiamy do równania [3]:
0 * p/r = S2 * r + Mo – S1 * r

0 = S2 * r + Mo – S1 * r [3]

To jak już mamy 3 równania, to przyszła pora na

Piąty krok

Mamy układ 3 równań i z nich obliczamy przyspieszenia poruszających się mas.

Przyrównujemy stronami równania [1] i [2]:
S1 – m*g = m*g – S2
S1 = 2*m*g – S2 [1+2]

Z równania [3] wyciągamy siłę w linie S1:
S1 * r = S2 * r + Mo
S1 = S2 + Mo/r  [3]

Równania [1+2] oraz [3] odejmujemy stronami:
S1 – S1 = 2*m*g – S2 – S2 – Mo/r
0 = 2*m*g – 2*S2 – Mo/r
0 = m*g – S2 – 0,5*Mo/r
S2 = m*g – 0,5*Mo/r

Z równania [1] wyciągamy p, podstawiamy obliczone powyżej S2 i od razu dostajemy szukane przyspieszenie obu mas:
p = g – S2/m = g – ( m*g – 0,5*Mo/r )/m = 0,5*Mo/(r*m)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *