Dynamika – ruch obrotowy – regulator – zadanie 20

Ponownie dynamika i mamy taki regulator, w którym masa M jest umieszczona na końcu belki o masie m.

dynamika7 - Dynamika - ruch obrotowy - regulator - zadanie 20

Całość połączono przegubowo z wałem w odległości a od jego osi obrotu. Wał obraca się z prędkością kątową ω . Autor zadaje pytanie:

O JAKI KĄT ODCHYLI SIĘ BELKA?

 

Po pierwsze

 

Całość uwalniamy od więzów

dynamika8 - Dynamika - ruch obrotowy - regulator - zadanie 20

czyli:

– zastępujemy przegub dwiema prostopadłymi reakcjami Rx oraz Ry

– przykładamy ciężary do belki i masy M

– ponieważ całość obraca się to do obu mas przykładamy siły odśrodkowe bezwładności

 

Po drugie

 

Piszemy równania równowagi:

∑Pix = B – Rx +∫dB = 0 [1]

∑Piy = Ry – M*g – m*g = 0 [2]

∑Mio = ∫dB*x*cosα – m*g*0,5*L*sinα + B*L*cosα – M*g*L*sinα = 0 [3]

 

Po trzecie

 

W powyższych równaniach pojawiła się całka i teraz warto ją do końca policzyć, ale na początek dobrze będzie zająć się elementarną siłą dB czyli siłą odśrodkową bezwładności:

dB = dm * 2 *(a+x*cosα)

 

Teraz stworzymy zależność która mówi, że:

Elementarna masa dm ma się tak do całej masy belki m,

jak

elementarna długość dx do całkowitej długości L:

dm/m = dx / L

z tego wyciągamy elementarną masę dm:

dm = m * dx / L

i wstawiamy do obliczonej wcześniej elementarnej siły bezwładności dB:

dB = m/L * 2 * ( a + x * sinα ) * dx

Następnie robimy z tego całkę (na całą długość belki L) i obliczamy ją:

∫m/L*ω² *( a + x * sinα ) dx =

= ∫( m/L*ω² * a + m/L*ω² * x*sinα ) dx =

= ∫m/L*ω² * a dx +∫m/L*ω² * x*sinα dx =

= m/L*ω² * a*L + m/L*ω² * sinα*0,5*L²

 

Po drodze pojawia się jeszcze siła odśrodkowa bezwładności działająca na skupioną masę M:

B = M * 2 * (a+L*sinα)

I teraz można to co wyszło z całki wstawić do równania równowagi na oś x:

ΣPix = M * ω² * (a+L*sinα) – Rx + m/L *ω² * a * L + m/L * ω² * sinα * 0,5 * L² = 0

I jak to sie to uprości to mamy coś takiego

ΣPix = (M+m)*ω² *a + (M+0,5*m)*ω²*L*sinα – Rx = 0 [1]

W sumie momentów pojawia się kolejna, trochę bardziej skomplikowana całka:

∫dB*x*cosα = ∫[m/L * ω² * (a+x*sinα) * dx] * x * cosα =

=∫[m/L *ω² * (a+x*sinα) * dx ] * x * cosα =

=∫[m/L *ω² * a + m/L *ω² * x * sinα] * x * cosα dx = 

= ∫m/L *ω² * a * x * cosα dx +∫m/L *ω² * sinα * x² * cosα dx =

=m/L *ω² * a * 0,5 * L² * cosα + m/L *ω² * sinα * 1/3 * L³ * cosα

 

I to co wyszło wstawiamy do równania momentów:

m/L *ω² * a * 0,5 * L² *  cosα +

+ m/L *ω² * sinα * 1/3 * L3 * cosα- m * g * 0,5 * L * sinα +

+ M *ω² * (a+L*sinα) * L * cosα – M * g * L * sinα = 0 [3]

 

I jak się uprości to i tamto to dostaniemy coś takiego:

(0,5*m+M) *ω² * a * cosα- (0,5*m+M) * g * sinα +

+ (M+1/3*m) *ω² * sinα* L * cosα = 0 [3]

 

Czyli mamy 3 równania równowagi oraz 3 niewiadome:α , Rx oraz Ry

(M+m) *ω² * a + (M+0,5*m) *2 * L * sinα – Rx = 0 [1]

Piy = Ry – M*g – m*g = 0 [2]

 

(0,5*m+M) *ω² * a * cosα- (0,5*m+M) * g * sinα +

+ (M+1/3*m) *ω² * sinα* L * cosα = 0 [3]

 

czyli z tego układu równań można już obliczyć szukany kąt odchylenia belki regulatora.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *