Rozciąganie – układ statycznie niewyznaczalny – wytrzymałość – zadanie 27

No i mamy kolejne

Wytrzymałość – rozciąganie – układ statycznie niewyznaczalny – zadanie 18

ciekawe zadanie z rozciągania i układów statycznie niewyznaczalnych. 3 pręty połączone przegubem obciążono w tym samym przegubie siłą P.
rozciaganie10 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27
Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Tradycyjnie uwalniamy węzeł od więzów, czyli zastępujemy pręty siłami.
rozciaganie11 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27

Po pierwsze

Jak widać, powstał układ PŁASKI ZBIEŻNY i można tutaj napisać DWA równania równowagi:
– suma rzutów na oś x
– suma rzutów na oś y

∑Pix = S2 * sinα – S3 * sinα = 0 [1]
∑Piy = S1 – P + S2 * cosα – S3 * cosα = 0 [2]

Po drugie

Napisaliśmy 2 równania równowagi, bo tyle można było, a niewiadomych jest 3:
S1 , S2 oraz S3
a więc tak jak już było mówione, jest to zadanie STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE a dokładnie jednokrotnie statycznie niewyznaczalne.
Wobec powyższego musimy zrobić jeszcze jedno TRZECIE równanie i w tym przypadku będzie ono związane z odkształceniami.
rozciaganie12 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27
Na rysunku powyżej widać pręty nr 2 i 3 przed odkształceniem i po odkształceniu.

Tak jak widać, węzeł przesunął się pionowo w dół (z punktu A do punktu A’) zgodnie z kierunkiem działania siły. To pionowe przesunięcie jest równe wydłużeniu pręta nr 1 (tego pionowego).

Ze skośnymi prętami nr2 i nr3 jest trochę trudniej:
Linią ciągłą widać pręty przed odkształceniem, a linią przerywaną widać pręty po odkształceniu.

Oba pręty po odkształceniu leżą POD TYM SAMYM KĄTEM, ale jak widać pręt nr 3 skrócił się, a pręt nr 2 wydłużył. Tylko teraz powstaje pytanie, o ile się wydłużył:
Widać obok siebie pręt nr 2 przed odkształceniem i obok widać ten sam pręt po odkształceniu (linią przerywaną).

No to jak 2 pręty leżą obok siebie , to widać który jest dłuższy – dłuższy jest pręt nr 2 po odkształceniu.

Żeby było jeszcze ciekawiej , to widać o ile pręt nr 2 się wydłużył – zmienił swoją długość o ΔL2.

A najlepsze jest to że o tyle samo skrócił się  pręt nr 3:
ΔL2 = ΔL3
Można by się zapytać, dlaczego oba pręty zmieniły swoją długość o taki sam odcinek, ale też jest proste:
Bo są do siebie równoległe, przy czym każdy przypadek układu prętów należy rozpatrywać indywidualnie.
To teraz jak już mamy narysowane jak leżą i jak wydłużają się poszczególne pręty, to teraz napiszemy najprostszą zależność która wiąże poszczególne odkształcenia.

I ta TRZECIA zależność powstała przy okazji, ponieważ widzimy trójkąt prostokątny (ten czerwony), w którym przeciwprostokątną jest ΔL1, a jedną  z przyprostokątnych jest ΔL2 = ΔL3.

rozciaganie14 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27

Jak mamy trójkąt prostokątny to z daleka już czuć TRYGONOMETRIĘ, a więc postawmy tutaj takie pytanie:
W jakiej funkcji trygonometrycznej występują te 2 boki trójkąta? Jak się tak dobrze przyjrzeć to można zobaczyć, że to będzie cosinus:

cosα = ΔL2 : ΔL1
Można to zapisać inaczej:
ΔL2 = ΔL1 * cosα

To teraz jeżeli mamy równanie, w którym są odkształcenia rozciąganych prętów, to wstawimy w to znane już prawo Hooke’a:

 

siła w pręcie * długość pręta
wydłużenie = —————————————————————————-
moduł Younga * przekrój pręta

 

S2 * L/cosα        S1 * L/cosα
——————- = ——————– * cosα
E * F                    E * F

 

S2 * L/cosα           S1 * L
——————- = —————
E * F                    E * F
Dzielimy obie strony równania przez L i mnożymy przez E*F:
S2 / cosα = S1

i to jest TRZECIE równanie, którego tak poszukiwaliśmy.

Po trzecie

Teraz mając 3 niewiadome siły w 3 prętach i 3 równania możemy łatwo te siły obliczyć:
∑Pix = S2 * sinα – S3 * sinα = 0 [1]
∑Piy = S1 – P + S2 * cosα – S3 * cosα = 0 [2]
S2 /cosα = S1 [3]

Upraszczamy równanie [1]:
S2 * sinα = S3 * sinα
S2 = S3
i wstawiamy do [2]:
S1 – P + S3 * cosα – S3 * cosα = 0
S1 – P  = 0
Siła w pręcie nr1 wyniesie:
S1 = P

Z równania [3] wynikają siły w prętach nr2 i nr3:
S2 = cosa * S1 = S3

Prawda że łatwe?

Ściskanie mimośrodowe – wytrzymałość – zadanie 26

To tak na wstępie powiedzmy sobie, co to jest ściskanie mimośrodowe:

To jest tak, jakby ściskać prostopadłościan po przyłożeniu siły nie w środku ścianki tylko trochę z boku.

mimosodowe1 - Ściskanie mimośrodowe - wytrzymałość - zadanie 26

Tak jak widać na rysunku powyżej, siła jest przyłożona nie w osi prostopadłościanu, tylko lekko przesunięta.

Wymiary podstawy wynoszą a x a. Wysokość prostopadłościanu wynosi 2*a. Wartość siły wynosi F i jej punkt przyłożenia jest przesunięty w bok o odległość e względem osi symetrii. Dodatkowo wiadomo, że

e = 0,25 * a

mimosrodowe2 - Ściskanie mimośrodowe - wytrzymałość - zadanie 26

Autor zadaje pytanie:

 

OBLICZ  MAKSYMALNE NAPRĘŻENIA NORMALNE W PRZEKROJU W POŁOWIE WYSOKOŚCI PROSTOPADŁOŚCIANU

 

Zacznijmy od tego jakie obciążenia działają na prostopadłościan:

Po pierwsze

To że jest ściskany siłą F wzdłuż wysokości, to widać ponieważ siła F działa w pionie czyli też wzdłuż wysokości.

Po drugie

Ponieważ siła F nie działa na sam środek podstawy (bo jest to ściskanie mimośrodowe), tylko jest przesunięta w bok o odległość e, to z tego wynika moment gnący wynoszący:

Mg = F * e

czyli siła pomnożona przez ramię – przesunięcie punktu jej przyłożenia względem środka podstawy.

 

To teraz jak do tego podejść?

 

Na początek zajmiemy się ściskaniem:

Przekrój poziomy czyli pole podstawy prostopadłościanu:

S = a2

Naprężenia rozciągające:

r = (-F) : a²

A dlatego z minusem ponieważ siła F ściska prostopadłościan wzdłuż wysokości, czyli stara się zmniejszyć jego wysokość.

 

Ściskanie załatwione to teraz kolej na zginanie:

Wskaźnik wytrzymałości na zginanie przekroju poziomego (prostokąta o wymiarach a x a ) :

W = a * a² / 6

Maksymalne naprężenia zginające:

gmax = Mg : W = F * e : [a³ / 6] = 6 * F * 0,25 * a : a³ = F * 1,5 : a²

mimosodowe3 - Ściskanie mimośrodowe - wytrzymałość - zadanie 26

Na powyższym rysunku widać,  to co obliczyliśmy – oba naprężenia występują jednocześnie i sumaryczne maksymalne naprężenie jest sumą obliczonych wartości:

zmax = g + r = F * 1,5 /+ F / a² = 2,5 * F /

Wytrzymałość – skręcanie – zadanie 25

Witam ponownie i dzisiaj kolejne zadanie z wytrzymałości ze skręcania.

Wytrzymałość – zadanie 13 – skręcanie wału
skrecanie8 - Wytrzymałość - skręcanie - zadanie 25
Mamy tutaj wał o podanym przekroju i długości L.

skrecanie11 - Wytrzymałość - skręcanie - zadanie 25

Autor zadaje pytanie:

 

OBLICZ KĄT SKRĘCENIA ORAZ MAKSYMALNE NAPRĘŻENIE SKRĘCAJĄCE

 

Po pierwsze

 

Obliczamy położenie środka ciężkości przekroju. Ponieważ przekrój wałka ma pionową oś symetrii, to umieszczamy go w układzie współrzędnych nad osią x, tak żeby oś symetrii przekroju pokrywała się z osią y.

Mechanika – środek ciężkości – zadanie 16
skrecanie9 - Wytrzymałość - skręcanie - zadanie 25

Współrzędna położenia środka ciężkości wyniesie:

yc = [ 0,5 * π * (2*a)² * (4*2*a / (3*π)) – 0,5*2*a*a*a/3 ] :
: [ 0,5 * π * (2*a)² – 0,5*2*a*a ] = 0,94 * a

W mianowniku mamy całkowite pole przekroju – pole półkola minus pole trójkąta. W liczniku jest po kolei:

– pole półkola razy współrzędna środka ciężkości półkola
czyli
odległość środka ciężkości od osi x
– i to samo dalej czyli minus (bo wycieli z półkola trójkąt) pole trójkąta razy współrzędna jego środka ciężkości

skrecanie10 - Wytrzymałość - skręcanie - zadanie 25

Po drugie

 

Obliczamy momenty bezwładności przekroju na zginanie. Względem osi xc:
Jxc =  π * (4*a)4 : 128 + 0,5 *  π * (2*a)² * [ (4*2*a / (3* π) )  – 0,94*a ]² +
– [ 2*a* a³ : 36 + 0,5*2*a*a * ( 0,94*a – a/3 )² ] = 5,9 * a4

Powyżej widzimy jak zastosowano twierdzenie Steinera:

Moment bezwładności półkola

plus

jego pole

razy

odległość pomiędzy środkiem ciężkości półkola

a

środkiem ciężkości całego przekroju.

Dalej analogicznie minus i to samo co dotyczy trójkąta. Minus dlatego bo z półkola wycięto trójkąt. I to samo robimy względem osi yc:

Jyc = π * (4*a)4 : 128 – 2 * [ a * a³ : 36 + 0,5 * a * a * (a/3)² ] = 1,4 * a4

Biegunowy moment bezwładności przekroju jest sumą momentów bezwładności względem prostopadłych osi centralnych (w tym przypadku xc i prostopadły do niego yc).
Jo = Jxc + Jyc = 5,9 * a4  + 1,4 * a4  = 7,3 * a4

Maksymalna odległość przekroju od początku układu współrzędnych:
rmax = √[(0,94*a)²+(2*a)²] = a * √[0,94²+2²] = 2,2*a

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:
Wo = Jo : rmax = 7,3 * a4 : 2,2 * a = 3,3 * a³

Maksymalne naprężenia skręcające to iloraz momentu przez wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:
τs = M : Wo = M : 3,3 * a³ = 0,3 * M/a³

 

Zgodnie z prawem Hooke dla skręcania Wytrzymałość – prawo Hooke’a dla skręcania – podstawy kąt skręcenia wału wyniesie:

M * L
φ = ————- =
G * Jo

 

M * L
= ——————————- =
G * 7,3 * a4

= 0,14 * M * L / (G*a4)

Obliczanie momentów zginających belkę – wytrzymałość – zadanie 24

Dzisiaj zrobimy kolejne zadanie z belek, w którym obliczymy momenty zginające.

Mamy belkę opartą na 2 podporach (przegubowa stała i przegubowa przesuwna) i widać tutaj 2 przedziały.

 

zginanie21 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

Po pierwsze

 

Uwalniamy belkę od więzów, czyli zastępujemy siłami to wszystko, czym łączy się belka ze światem zewnętrznym. W tym przypadku są to 2 podpory przegubowe:
– przesuwna – zamiast niej rysujemy reakcję prostopadłą do 2 równoległych kresek
– stała – zamiast niej rysujemy 2 prostopadłe do siebie reakcje

 

Po drugie

 

zginanie22 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

Jak już uwolniliśmy belkę od więzów, to teraz liczymy reakcje. Dobrze będzie obliczyć reakcję tylko w jednej podporze, bo jak będziemy po kolei obliczać momenty gnące, to nie dojdziemy do tej drugiej podpory.

Wytrzymałość-zginanie-zadanie 10

Może to być reakcja w podporze A i w tym celu obliczamy sumę momentów względem punktu C:
∑MiC = RA*2*a – M – M – M = 0
RA*2*a = M + M + M
RA*2*a = 3 * M
Z tego wynika reakcja w podporze A:
RA = 3 * M : (2*a) = 1,5 * M/a

Po trzecie

Mając reakcję RA i pozostałe obciążenia zewnętrzne obliczamy momenty gnące w 3 charakterystycznych punktach na początku i końcu przedziałów: A, B i C.
Aby obliczyć moment w punkcie A zasłaniamy KARTKĄ prawie całą belkę tak żeby było widać tylko punkt A i sam początek belki.zginanie23 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

I co widać – moment skupiony w punkcie A:
MgA = M

Tak samo postępujemy z punktem B, ale ponieważ w punkcie B jest przyłożony moment, to obliczymy moment zginający belkę tuż na LEWO od punktu B

oraz drugi

tuż na PRAWO od punktu B.
W pierwszym przypadku odsłaniamy cały pierwszy przedział w taki sposób, żeby jeszcze mieć zasłonięty punkt B:

zginanie24 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

MgB< = M – RA*a = M – 1,5 * M/a*a = M – 1,5 * M = (-0,5*M)
czyli widzimy moment M oraz reakcję RA działającą na ramieniu a, przy czym a jest odległością od siły RA do KARTKI.

Moment M  UNOSI lewy koniec belki (dlatego jest PLUS) , reakcja RA OPUSZCZA lewy koniec belki (dlatego jest z MINUSEM).

zginanie25 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

Po prawej stronie punktu B (odsłaniamy cały lewy przedział oraz punkt B):
MgB> = M – RA*a + M = 2*M – 1,5 * M/a*a = 2*M – 1,5*M = 0,5*M

 

W punkcie C (odsłaniamy całą belkę mając zasłonięty tylko punkt C):

 

zginanie26 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24
MgC = M – RA*2*a + M = M – 1,5 * M/a*2*a + M =
= 2 * M – 1,5 * M * 2 = (-M)
z momentem M sprawa wygląda analogicznie jak w punkcie B, reakcja RA działa tutaj na ramieniu 2*a. Momentu przyłożonego w punkcie C jeszcze nie widzimy, bo jest zasłonięty KARTKĄ.

 

Po czwarte

 

Teraz kolej na siły tnące (czyli te siły które działają w PIONIE w poprzek belki) i analogicznie idziemy od lewej strony:

Bierzemy kawałek KARTKI i zasłaniamy prawie całą belkę i tylko odsłaniamy kawałek lewego przedziału – widać tylko siłę RA działającą w dół.

zginanie27 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

TAB = (-RA) = (-1,5) * M/a
A dlatego sobie przyjęliśmy MINUS, bo siła działa w DÓŁ.

Przechodzimy do przedziału prawego czyli odsłaniamy cały lewy przedział i kawałek prawego przedziału.

 

zginanie28 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

Jedyna siła działająca pionowo czyli w poprzek belki to dalej jest tylko RA:
TBC = (-RA) = (-1,5) * M/a

To teraz jak obliczyliśmy momenty zginające belkę i siły tnące, to można narysować wykresy

zginanie20 - Obliczanie momentów zginających belkę - wytrzymałość - zadanie 24

Powyżej widać oba wykresy i teraz będzie najlepsze, co się potwierdza przy zginaniu belek.

Widać że wykres momentu gnącego (ten na górze) idąc od prawej do lewej cały czas opada, czyli jest to funkcja malejąca.

Pod wykresem momentu mamy wykres siły tnącej i na całej długości siła tnąca ma wartość ujemną.

I chodzi tutaj o tę zbieżność faktów:

moment gnący malejący – siła tnąca ujemna.

To samo naukowo można powiedzieć:

Siła tnąca

jest pochodną

momentu gnącego

Prawda że proste ?

Wytrzymałość złożona – zadanie 23

Dzisiaj powiemy coś o wytrzymałości złożonej. Na blogu było już coś na temat rozciągania, zginania, skręcania i ścinania.

Wytrzymałość-rozciąganie-zadanie 9

Wytrzymałość-zginanie-zadanie 11

Wytrzymałość – zadanie 13 – skręcanie wału

Wytrzymałość – ścinanie – zadanie 15

Jak te wszystkie obciążenia połączy się razem to dojdziemy do

WYTRZYMAŁOŚCI ZŁOŻONEJ

. I żeby to prosto wyjaśnić, to na początek takie zadanie:
zlozona1 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23
Autor pyta nas:
OBLICZ MINIMALNĄ ŚREDNICĘ d

To co widzimy na rysunku to zwyczajna KORBA  wmurowana w ścianę i składająca się z 3 prostopadłych odcinków:
A-B
B-C
C-D

I żeby było ciekawiej, to ktoś ciągnie za koniec korby siłę F. Na tę korbę możemy spojrzeć z boku

zlozona2 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23

Po pierwsze

 

W każdym z 3 odcinków obliczymy siłę rozciągającą (niektórzy mówią SIŁA NORMALNA), a następnie naprężenia rozciągające. Bierzemy kawałek KARTKI i zasłaniamy KORBĘ w taki sposób, żeby było widać kawałek odcinka AB.zlozona3 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23

Teraz patrzymy , jaka siła działa WZDŁUŻ odcinka – widać że jest to siła -F:
NAB = (-F)
bo siła działa wzdłuż odcinka AB

Analogicznie postępujemy z dwoma pozostałymi odcinkami:

zlozona4 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23
NBC = 0
bo żadna siła nie działa WZDŁUŻ odcinka BCzlozona5 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23

NCD = (-F)
bo siła działa WZDŁUŻ odcinka CD.
Wykorzystując to co obliczyliśmy powyżej, rysujemy wykres sił normalnych.

 

Po drugie

 

W każdym charakterystycznym punkcie (tu jest mowa o punktach A, B, C oraz D) obliczamy moment zginający i naprężenia zginające. Co to jest moment to już było mówione:
MOMENT = SIŁA x RAMIĘ

Tutaj postępujemy podobnie jak przed chwilą, czyli bierzemy kawałek kartki i odsłaniamy tylko kawałeczek odcinka AB, żeby widzieć tylko punkt A i nic więcej (dalsza część KORBY jest zasłonięta przez kartkę).zlozona6 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23

I co widzimy – siła (-F) trafia dokładnie na punkt A czyli nie daje momentu względem punktu A:
MgA = 0

Analogicznie postępujemy z kolejnymi punktami:zlozona7 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23
MgB = 0
siła przechodzi przez punkt B

zlozona8 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23

MgC = (-F) * L
bo siła działa względem punktu C na ramieniu L które jest PROSTOPADŁE do siły.zlozona9 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23

MgD = (-F) * L
bo siła działa względem punktu C na ramieniu L które jest PROSTOPADŁE do siły.
Momenty gnące obliczone a więc rysujemy wykres.

 

Po trzecie

 

Sprawdzamy, czy siła powoduje skręcanie któregoś odcinka.

Do odcinka AB i do odcinka BD siła jest RÓWNOLEGŁA i dlatego tu skręcania nie ma.

Siła PRZECINA odcinek BC i dlatego tutaj też nie ma skręcania.

 

Po czwarte

 

Sprawdzamy po kolei każdy odcinek, czy siła powoduje ścinanie.
Siła ścina dany odcinek jeżeli działa PROSTOPADLE do tego odcinka. Widać że to nie wystąpi w pierwszym przedziale:

zlozona3 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23

TAB = 0

Do drugiego odcinka siła jest PROSTOPADŁA, a więc ścinanie występuje:

zlozona4 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23

TBC = -F

Ostatni odcinek CD nie będzie ścinany:

zlozona5 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23

TCD = 0
i rysujemy wykres sił tnących.

Ponieważ nie mamy skręcania, więc jeżeli spojrzymy jednocześnie na 3 wykresy:

zlozona12 - Wytrzymałość złożona - zadanie 23

– siły normalnej N
– siły tnącej T
– i momentu gnącego Mg
to widać gołym okiem, że maksymalne wartości dla wszystkich 3 wykresów występują w punkcie C. Wobec tego trzeba obliczyć naprężenia rozciągające, tnące i zginające w punkcie C dla przedziału DRUGIEGO oraz dla przedziału TRZECIEGO.
Dla pręta o średnicy d przekrój wyniesie:

A = π * d² / 4

Naprężenia rozciągające w punkcie C przedziału trzeciego to iloraz siły rozciągającej i przekroju pręta:
σrC3 = N : A = 4 * (-F) : (π * d²)

 

Naprężenia tnące w punkcie C przedziału drugiego to iloraz siły ścinającej i przekroju pręta:
τC2 = T : A = 4 * (-F) : (π * d²) = 1,3 * (-F) : d²

 

Wskaźnik wytrzymałości na zginanie dla pręta o średnicy d:
W = π * d³ : 32
Naprężenia zginające w punkcie C to iloraz momentu gnącego i wskaźnika wytrzymałości przekroju na zginanie:
σgC = MgC : W = 32 * (-F) * L : (π * d³) = 10,2 * (-F) * L : d³

 

Jeżeli są już policzone wszystkie naprężenia w punkcie C, to obliczamy naprężenia zredukowane czyli takie które łączą w sobie wszystkie rodzaje naprężeń – i w tym miejscu zaczyna się wytrzymałość złożona. W punkcie C przedziału drugiego:
σredC2 = √[(σr+σg)² +3*( τs + τ )²]
To co powyżej to jest ogólny wzór w którym:
σr – naprężenia rozciągające
σg – naprężenia zginające
τs – naprężenia skręcające
τ – naprężenia ścinające
σredC2 =√[σg² +3*τ² ]
Teraz widać, że zginęły naprężenia rozciągające i skręcające, ponieważ w drugim przedziale nie ma rozciągania i nie ma skręcania.
σredC2 = √[σgC2² +3*τD2² ]  =
=√[(10,2*F*L:d³)² +3*(1,3*F:d² )² ]  =
= F/d2 * √[(10,2*L/d)² +3*(1,3)²]

Analogicznie postępujemy z punktem C przedziału trzeciego i tutaj nie będzie naprężeń tnących, ale pojawią się rozciągające:
σredC3 = √[(σr+σg)² +3*(τs+τ)² ] =
= √[(σrC3+σg)²] = σrC3 + σgC =
= 4 * F : (π * d ²) + 10,2 * F * L : d³ =
= 1,3 * F :  d² + 10,2 * F * L : d³ =
= F/d² * (1,3 + 10,2 * L / d)
I dalej to już jest zwykła matematyka:
Średnica d która spełnia oba powyższe równania jest minimalną średnicą pręta