Trójkierunkowy stan naprężenia – zadanie 45

W nieodkształcalnym sześcianie o boku L wycięto rowek o szerokości 0,5*L i wsunięto prostopadłościan o wymiarach jak na poniższym rysunku.
uogolnioneprawohooke - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Prostopadłościan obciążono poziomą siłą P i z drugiej strony taka sama siła działa na nieodkształcalny sześcian.
Materiał prostopadłościanu posiada moduł Younga E oraz stałą Poissona ν . Jak widać początkowa wysokość prostopadłościanu wynosi L i wobec tego autor zadaje pytanie:

OBLICZ ZMIANĘ WYSOKOŚCI PROSTOPADŁOŚCIANU PO PRZYŁOŻENIU SIŁY P

Na sam początek ustalamy układ współrzędnych.
uogolnioneprawohooke2 - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Kolejno , jak zawsze w zadaniach tego typu, piszemy

3 równania opisujące trójkierunkowy stan naprężenia

εx = σx/E – ν*σy/E – ν*σz/E [1]
εy = σy/E – ν*σx/E – ν*σz/E [2]
εz = σz/E – ν*σx/E – ν*σy/E [3]

z których mamy 6 niewiadomych:
– odkształcenia względne wzdłuż 3 osi – εx, εy , εz
– naprężenia wzdłuż 3 osi – σx , σy , σz

Z prostej mechaniki wynika 6 równań oraz 6 niewiadomych, czyli potrzebujemy 3 dodatkowych równań. Oczywiście te dodatkowe równania będą związane z naprężeniami i względnymi odkształceniami.
Wiadomo że prostopadłościan nie odkształci się w kierunku y, ponieważ jest wciśnięty w wycięcie sześcianu. w związku z tym względne odkształcenie wzdłuż osi y wynosi ZERO:
εy = 0 [4]

Po drugie widać że siła P działa na ściankę sześcianu

(o wymiarach 0,5*L x L)

wzdłuż osi x. Zatem naprężenie w kierunku x wyniesie tyle co siła podzielona przez powierzchnię:
σx = P : (0,5*L * L) = 2*P / L² [5]

W kierunku osi z na ścianki (o wymiarach 0,75*L x 0,5*L) nic nie naciska, a jak nic nie naciska, to w tym kierunku nie ma naprężenia:
σz = 0[6]

Teraz już pójdzie z górki, ponieważ wstawiamy powyższe równania do równań [1] , [2] oraz [3].

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E – ν*0/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*0/E [2]
εz = 0/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Po uproszczeniu:

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E [2]
εz = – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Wyciągamy σy z równania [2]:
σy/E = ν*(2*P / L²)/E
σy = ν*(2*P / L²)
i wstawiamy do równania [3] żeby obliczyć odkształcenie względne w kierunku pionowym:
εz = -ν * (2*P / L²)/E – ν/E * ν * (2*P /L²) = -ν*(2*P/L²)/E * (1+ν) =
= (1+ν)*ν*2*P / (E*L²)
Mnożąc

odkształcenie względne

przez

początkową wysokość L

obliczymy zmianę wysokości po przyłożeniu siły:
Δh = L*(1+ν)*ν*2*P / (E*L² ) = (1+ν)*ν *2*P / (E*L)
Prawda że łatwe?

Wytrzymałość złożona – rama obciążona siłami

Witam ponownie i dzisiaj zadanie z wytrzymałości złożonej, w którym rama zostanie obciążona dwiema siłami. Niedawno ten temat był tutaj poruszany

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zlozona-zadanie-29/

ale dzisiaj coś trochę innego. zlozona20 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Na szkicu widzimy ramę w kształcie litery T wmurowaną z jednej strony w ścianę (naukowcy to nazywają utwierdzeniem) i obciążoną na pozostałych końcach dwiema pionowymi siłami P oraz 2*P. Oto co mówi autor zadania:

NARYSUJ WYKRESY SIŁ WEWNĘTRZNYCH

Dla porządku oznaczymy sobie punkty charakterystyczne – te literki A, B, C oraz D na czerwono zlozona21 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłamiW ten sposób powstały 3 przedziały: A-C , B-C oraz C-D.

Warto będzie przypomnieć, że (tak jak w wytrzymałości złożonej) w każdym z przedziałów MOGĄ (ale nie muszą ) wystąpić następujące rodzaje obciążeń czyli siły wewnętrzne, o które pyta autor:
– rozciąganie lub ściskanie
– zginanie
– skręcanie
– ścinanie
Lecimy po kolei i zaczynamy od przedziału najbardziej ZEWNĘTRZNEGO od ściany czyli na przykład
AC.
Aby wszystko było jaśniejsze zasłaniamy ramę w taki sposób, żeby widzieć tylko odcinek AC – ta czerwona koperta jest po to, żeby zasłonić całą resztę ramy

zlozona22 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Czy w odcinku AC występuje zginanie? Tak występuje, ponieważ siła P działa PROSTOPADLE do odcinka AC. Moment zginający w punkcie A:
MgA = 0
W punkcie C:
MgC = P * L

Czy występuje rozciąganie? Nie występuje, bo żadna siła nie działa WZDŁUŻ odcinka AC.

Czy występuje skręcanie? Nie występuje, ponieważ jedyna siła P PRZECINA odcinek AC.

Czy występuje ścinanie? Tak występuje , ponieważ siła P działa PROSTOPADLE do odcinka AC:
TAC = P

Odcinek AC załatwiony a więc przechodzimy do odcinka
BC
i działamy w analogiczny sposób
zlozona23 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

Czy w odcinku BC jest zginanie? Tak ponieważ siła 2*P działa PROSTOPADLE do odcinka BC. Moment zginający w punkcie B:
MgB = 0
W punkcie C:
MgC = 2*P * L

Czy występuje rozciąganie? Nie występuje, bo żadna siła nie działa WZDŁUŻ odcinka.

Czy odcinek BC jest skręcany? Nie ponieważ jedyna siła 2*P PRZECINA odcinek BC.

Czy występuje ścinanie? Tak występuje , ponieważ siła 2*P działa PROSTOPADLE do odcinka BC:
TBC = 2*P

Odcinki AC oraz BC są załatwione, a więc idziemy dalej w kierunku ściany czyli do odcinka
CD
Zasłaniamy ramę w taki sposób, żeby widzieć wszystko poza punktem D czyli ścianą do której rama jest przymocowana.

ZLOZONA24 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami
Widzimy wszystkie 3 odcinki ramy ale również siły P oraz 2*P, które na nią działają. Wobec tego w analogiczny sposób jak wcześniej opowiemy sobie , jakie obciążenia działają na odcinek CD.
Czy jest rozciąganie? Nie ma ponieważ żadna siła nie działa wzdłuż odcinka CD

Czy jest zginanie? Widzimy że jest, ponieważ obie siły działają  W POPRZEK odcinka CD. Spójrzmy na to wszystko z boku:

zlozona25 1024x484 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłamiMoment gnący w punkcie C :
MgC = 0
Moment gnący przy samej ścianie – tutaj obie siły działają na ramieniu L:
MgD = 2*P*L + P*L = 3*P*L

Czy jest ścinanie? Jest, ponieważ jedna i druga siła działa w poprzek odcinka CD.
TCD = 2*P + P = 3*P

Czy jest skręcanie? Tak ponieważ są siły które nie przecinają odcinka CD i jednocześnie nie są do odcinka CD równoległe (jest mowa o sile P oraz o sile 2*P).
MsCD = 2*P*L – P*L = P*L

Mając obliczone wszystkie obciążenia można narysować wykresy sił tnących oraz momentów gnących i skręcających – już ustaliliśmy, że w żadnym odcinku nie ma rozciągania. Po kolei wykres momentu zginającego

zlozona26 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

momentu skręcającego

zlozona27 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

oraz siły tnącej.

zlozona28 - Wytrzymałość złożona - rama obciążona siłami

I to wszystko – prawda że łatwe.

Zaprojektuj przekrój belki – zginanie – zadanie 39

Dzisiaj zrobimy zadanie ze zginania belek polegające na zaprojektowaniu przekroju belki. zginanie32 1024x462 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
I oto widzimy belkę składającą się z dwóch odcinków (przedziałów) połączonych przegubem. Lewy koniec lewego odcinka oparto na podporze przegubowej przesuwnej, a prawy koniec prawego odcinka wmurowano w ścianie. Belkę obciążono siłą i momentem. Przekrój belki jest prostokątem o podstawie a i wysokości 2*a, gdzie a jest niewiadomą.

zginanie41 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Belkę wykonano z materiału o dopuszczalnych naprężeniach zginających kg. Autor zadaje pytanie:

ZAPROJEKTUJ PRZEKRÓJ BELKI O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM 2a x a

Początek jest analogiczny do innych zadań ze zginania belek:

Krok pierwszy

Uwalniamy belkę od więzów, ale jest małe ALE.
To ALE jest, ponieważ mamy jedną reakcję w lewej podporze (podpora przegubowa przesuwna – jedna reakcja prostopadła do podłoża) i trzy reakcje w ścianie. Tylko żeby obliczyć momenty zginające belkę, to nie potrzebujemy reakcji na jednym końcu belki i dlatego obliczymy TYLKO reakcję w podporze przesuwnej. W tym celu uwolnimy od więzów LEWĄ część belkizginanie33 1024x619 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39Krok drugi

Piszemy równanie równowagi statycznej dla LEWEJ części belki, ALE będzie to wyłącznie równanie momentów względem punktu B, ponieważ w tym równaniu wystąpi TYLKO jedna niewiadoma RA, której szukamy:
ΣMiB = RA*L – P*L = 0
RA*L = P*L
Reakcja w podporze A wyniesie:
RA = P

Krok trzeci
Powracamy do belki jako całość i uwalniamy od więzów:zginanie34 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Krok czwarty
Ponieważ mamy obliczoną reakcję w podporze A, to zaczynamy obliczanie momentów od lewej strony. Zakrywamy kawałkiem KARTKI (ten czerwony prostokąt przekreślony na krzyż) całą belkę odsłaniając WYŁĄCZNIE punkt A i piszemy jaki moment widzimy:

zginanie35 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgA = P*L
i to jest jasne i proste, ponieważ widać tylko moment skupiony P*L, a siła RA działa na ramieniu o długości ZERO (odległość od siły RA do kartki).

Następnie zakrywamy prawą połowę belki, żeby jednocześnie widzieć punkt B i piszemy moment w punkcie B:

zginanie36 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgB = P*L – RA*L = P*L – P*L = 0
Przypomnę, że w powyższym wzorze RA*L oznacza moment od siły RA działający na ramieniu L (odległość od siły RA do kartki).

Pozostało obliczyć moment zginający w punkcie C i w tym celu zasłaniamy tylko ścianę z prawej strony i punkt C:

zginanie37 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgC = P*L – RA*2*L + 4*P*L = P*L – P*2*L + 4*P*L = 3*P*L

Krok piąty
Tak samo idąc od lewej do prawej obliczymy siły tnące działające na belkę. Dla przypomnienia siła tnąca to jest taka siła, która działa w poprzek belki, czyli w naszym przypadku siła działająca w pionie (ponieważ w tym zadaniu belka leci poziomo). A więc do dzieła:
Zasłaniamy belkę kartką w taki sposób żeby widzieć kawałek lewego przedziału.

zginanie38 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Piszemy siły w poprzek belki, które widzimy:
TAB = (-RA) = (-P)

Kolejno zasłaniamy belkę, żeby widzieć cały lewy przedział i kawałek prawego.
zginanie39 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
Oto jakie siły widzimy, które działają w poprzek belki:
TBC = (-RA) + 4*P = (-P) + 4*P = 3*P
Obliczyliśmy siły tnące i momenty gnące, to można narysować wykresy.

zginanie40 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39Widać, że największy moment zginający występuje przy ścianie:
Mgmax = 3*P*L

Krok szósty
Teraz przejdziemy do prostokątnego przekroju belki i dla niego obliczymy moment bezwładności:
Jxc = a * (2*a)³ / 12 = 0,67 * a4
oraz wskaźnik wytrzymałości na zginanie:
Wx = Jxc : ymax = 0,67 * a4 : a = 0,67 * a³

Krok siódmy
Przyszedł czas na warunek wytrzymałościowy, który mówi, że maksymalne naprężenia zginające belkę muszą być mniejsze od dopuszczalnych kg:

https://blog-student.com/naprezenia-zginajace-podstawy/
Mgmax : Wx < kg
Wstawiamy do powyższego wzoru wskaźnik i wartość maksymalnego momentu gnącego:
3*P*L : ( 0,67 * a³ ) < kg
4,48*P*L / a³ < kg
Szukany minimalny wymiar przekroju wyniesie:
a = [ 4,48*P*L / kg ] 1/3

i w ten sposób zaprojektowaliśmy wymiary przekroju belki.

Naprężenia zginające – podstawy

Witam wszystkich i dzisiaj opowiemy o naprężeniach zginających. Kilka razy było o zginaniu belek

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zginanie-zadanie-11/

i naprężenia są tego konsekwencją. To teraz krok po kroku:
Naprężenia zginające są odmianą naprężeń normalnych czyli prostopadłych do przekroju.
zginanie31 300x225 - Naprężenia zginające - podstawy
Na powyższym szkicu widać naprężenia w belce o przekroju prostokątnym. W tym przypadku największe naprężenia występują w skrajnych punktach przekroju na górze i na dole. Zawsze najwyższe wartości zauważymy w najdalszej odległości od osi centralnej przekroju zginanego. Dlatego też zerowe wartości naprężeń wystąpią w okolicach środka ciężkości przekroju.
Jeżeli znamy moment zginający Mg, to maksymalne naprężenia zginające σgmax w przekroju zginanym są

ilorazem tego momentu

przez

wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie Wx:
σgmax = Mg : Wx
zginanie30 300x225 - Naprężenia zginające - podstawy
Miarą naprężeń zginających jest paskal [Pa].
Prawda że łatwe?

Układ prętowy statycznie niewyznaczalny – zadanie

Cześć wszystkim i tutaj mamy zadanie z układem prętowym statycznie niewyznaczalnym, gdzie sztywną ramę przymocowano do 3 odkształcalnych prętów, z których każdy leci pionowo.

rozciaganie21 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Do ramy przyłożono moment M. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Podobne zadanie już się zdarzały w niedalekiej przeszłości

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zadanie-26-rozciaganie-uklad-statycznie-niewyznaczalny/

i dzisiaj będziemy postępować analogicznie a więc działamy:

Krok pierwszy
Uwalniamy układ od więzów czyli zastępujemy pręty siłami.

rozciaganie22 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie

Krok drugi
Piszemy równania równowagi.
ΣPiy = S1 + S2 + S3 – m*g = 0
ΣMiA = S2 * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0
Jak widać mamy 2 równania i 3 niewiadome ( S1 , S2 oraz S3 ), ponieważ jest to układ prętowy statycznie niewyznaczalny i dlatego potrzebne jest dodatkowe równanie geometryczne.

Krok trzeci
Zakładamy, że wszystkie pręty na których wisi rama wydłużą się, ponieważ jeżeli obciążymy układ momentem M to w jakiś sposób pręty muszą się odkształcić, ponieważ są odkształcalne.
Najbardziej prawdopodobne jest , że każdy z prętów wydłuży się o inną długość, ale na tyle na ile pozwolą na to kształt i wymiary ramy. Różne wydłużenia prętów spowodują, że rama obróci się o niewielki kąt. W wyniku tego punkty mocowania prętów do ramy A, B oraz C przemieszczą się tak jak na rysunku poniżej:

rozciaganie23 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Na czerwono jest rama przed odkształceniem i na niebiesko jest rama po odkształceniu.
W ten sposób powstanie punkt , który jest punktem obrotu całej ramy. Oczywiście jest to założenie i w trakcie obliczeń wyjdzie, jak naprawdę odkształcają się pręty.
Teraz już widzimy że punkt A po wydłużeniu prętów stanie się punktem A’ i analogicznie pozostałe 2 punkty – B – B’ oraz C – C’.
I to wszystko wygląda pięknie, tylko że w takiej postaci obliczenie siły w prętach wymagałoby cudu. Dlatego też zastosujemy tutaj proste założenie:

PUNKTY MOCOWANIA PRĘTÓW (A, B ORAZ C) PRZEMIESZCZĄ SIĘ PO PROSTEJ POŁOŻONEJ PIONOWO.

To jest oczywiste i teraz przejdziemy do

Kroku czwartego
Przemieszczenie punku A równa się wydłużeniu pręta 1:
AA’ = ΔL1
i analogicznie dla pozostałych dwóch prętów:
BB’ = ΔL2
CC’ = ΔL3

rozciaganie24 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Teraz będzie jeszcze ciekawiej:
– na przedłużeniu odcinka AB powstał punkt D (na przecięciu z prętem 3)
– podobnie na przedłużeniu odcinka A’B’ powstał punkt D’.

rozciaganie25 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Ponieważ wszystkie kąty między odcinkami są zachowane, to odcinek CC’ równa się odcinkowi DD’ a co za tym idzie:
DD’ = ΔL3
W taki oto sposób powstał trójkąt o podstawie równej odległości między prętami nr1 i nr3 i wysokości równej ΔL3 – ΔL1.

Tutaj od razu widać, że można zastosować twierdzenie Talesa:
L / (ΔL2-ΔL1) = 2*L / (ΔL3-ΔL1)
Dzielimy obie strony równania przez L:
1 / (ΔL2-ΔL1) = 2 / (ΔL3-ΔL1)
Odwracamy liczniki z mianownikami:
ΔL2 – ΔL1 = 0,5*ΔL3 – 0,5*ΔL1
Do obu stron równania dodajemy 0,5*ΔL1:
ΔL2 – 0,5*ΔL1 = 0,5*ΔL3

Krok piąty
I teraz w to można i trzeba wmanewrować prawo Hooke’a:

 

siła w pręcie x długość pręta
wydłużenie = ——————————————-
moduł Younga x przekrój

Dla kolejnych prętów wydłużenia zgodnie z prawem Hooke’a wyniosą:

 

S1 * L
ΔL1 = ——————–
E * A

 

S2 * L
ΔL2 = ———————
E * A

 

S2 * 2 * L
ΔL3 = ————————-
E * A

 

I to wszystko można teraz wstawić do zależności z twierdzenia Talesa:
ΔL2 – 0,5*ΔL1 = 0,5*ΔL3

S2 * L                 0,5*S1*L               0,5*S3*L
————-   –  ————– = —————
E * A                       E * A                        E * A

Mnożymy obie strony równania przez E*A i dzielimy przez L:
S2 – 0,5 * S1 = 0,5 * S3
Jak połączymy to równanie z dwoma statycznymi, które powstały na początku:
ΣPiy = S1 + S2 + S3 – m*g = 0 [1]
ΣMiA = S2 * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0 [2]
S2 – 0,5 * S1 = 0,5 * S3 [3]
to powstanie układ TRZECH równań.

 

Krok szósty

Została czysta matematyka – z układu trzech równań obliczymy szukane siły w prętach

Po przekształceniu równania [3]:
2*S2 – S1 – S3 = 0 [3]
dodajemy stronami do równania [1]:
S1 + S2 + S3 – m*g + 2*S2 – S1 – S3 = 0 [1+3]
S2 – m*g + 2*S2 = 0 [1+3]
3*S2 – m*g = 0 [1+3]
3*S2 = m*g [1+3]
i w ten sposób obliczamy siłę w pręcie nr2:
S2 = 0,33*m*g
Obliczoną wartość wstawiamy do równania [2]:
0,33 * m * g * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0
Dzielimy obie strony równania przez 2*L
0,17 * m * g + S3 – 0,5 * m * g + 0,5*M/L = 0
i w ten sposób obliczamy siłę w pręcie nr 3:
S3 = (-0,17) * m * g + 0,5 * m * g – 0,5*M/L=0,33 * m * g – 0,5*M/L
Z równania [1] obliczymy siłę w pręcie nr1 układu prętowego statycznie niewyznaczalnego:
S1 = (-S2) – S3 + m*g = (-0,33*m*g) – 0,33 * m * g + 0,5*M/L + m*g = 0,33 * m * g + 0,5*M/L

Prawda  że łatwe?