Dynamika – energia – zadanie 30

Dzisiaj zrobimy kolejne i trochę inne zadanie z dynamiki z energii:

Dynamika – energia – zadanie 21

Na rysunku widać że pudło startuje z prędkością początkową i zjeżdża po równi, w drugim etapie jedzie po drodze poziomej i w trzecim etapie wjeżdża po równi. Każdy z 3 odcinków odpowiada drodze s.

dynamika9 - Dynamika - energia - zadanie 30

Pytanie na jakie szukamy odpowiedzi to:

JAKA MUSI BYĆ PRĘDKOŚĆ POCZĄTKOWA PUDŁA, ŻEBY PRZEJECHAŁO WSZYSTKIE 3 ODCINKI O DŁUGOŚCIACH s?

Po pierwsze

Ustalamy siły zewnętrzne działające na pudło w każdym z 3 odcinków.

dynamika10 - Dynamika - energia - zadanie 30

Jak widać na pudło działa:

  • ciężar m*g
  • nacisk N1 , N2 lub N3
  • tarcie μ*N1 , μ*N2 lub μ*N3

 

Po drugie

Piszemy równanie mówiące, że

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ UKŁADU

RÓWNA SIĘ

PRACY WYKONANEJ PRZEZ SIŁY ZEWNĘTRZNE

ΔEk = ∑L

Ponieważ w tym zadaniu mamy 3 odcinki, po których porusza się pudło, to będziemy mieć 3 etapy kiedy praca będzie przechodzić w energię.
dynamika11 - Dynamika - energia - zadanie 30
Poszczególne odcinki oznaczono na CZERWONO:
1-2 – odcinek pierwszy – zjazd z równi
2-3 – odcinek drugi – ruch po drodze poziomej
3-4 – odcinek trzeci – wjazd na równię

Kolejno dla poszczególnych odcinków równoważność pracy i zmiany energii:

Ek2 – Ek1 = ∑L1-2
Ek3 – Ek2 = ∑L2-3
Ek4 – Ek3 = ∑L3-4

Po trzecie

Energia kinetyczna pudła w punkcie 1 – początek zjazdu z równi:
Ek1 = m * V² / 2

Energia kinetyczna pudła w punkcie 2 – po zjeździe z równi:
Ek2 = m * V2² / 2

Energia kinetyczna pudła w punkcie 3 – na końcu odcinka poziomego:
Ek3 = m * V3² / 2

Energia kinetyczna pudła w punkcie 4 – po wjeździe na równię:
Ek4 = 0

Po czwarte

Suma prac sił zewnętrznych na poszczególnych odcinkach:
Odcinek 1-2 – praca siły tarcia i ciężaru:
∑L1-2 = m*g*s*sinα – N1*m*s

Odcinek 2-3 – praca siły tarcia:
∑L2-3 = (-N2)*m*s

Odcinek 3-4 – praca siły tarcia i ciężaru:
∑L3-4 = (-m)*g*s*sinα – N3*m*s

Na podstawie tego co powyżej powstaną 3 równania równoważności pracy i energii – trzy bo są 3 odcinki ruchu pudła:

Pierwszy odcinek:
m*V2² / 2  – m*V² / 2 = m*g*s*sinα – N1*m*s

Drugi odcinek:
m*V3² / 2 – m*V2² / 2 = (-N2)*m*s

Trzeci odcinek:
0 – m*V3² / 2 = (-m)*g*s*sinα – N3*m*s

Po piąte

W ten sposób powstał układ 3 równań i teraz policzymy niewiadome:
V2 , V , N1 , V3 , N2 , N3
6 niewiadomych i 3 równania czyli potrzeba 3 dodatkowych równań. Najbardziej stosowne będzie obliczenie nacisków N1 , N2 oraz N3 na 3 kolejnych odcinkach.

dynamika10 - Dynamika - energia - zadanie 30
Pierwszy odcinek – piszemy sumę rzutów sił na oś równoległą do niewiadomej N1:
∑Piy = N1 – m*g*cosα = 0
Nacisk podczas zjazdu z równi:
N1 = m*g*cosα

Drugi odcinek – piszemy sumę rzutów sił na oś równoległą do niewiadomej N2:
∑Piy = N2 – m*g = 0
Nacisk podczas jazdy po drodze poziomej:
N2 = m*g

Trzeci odcinek – piszemy sumę rzutów sił na oś równoległą do niewiadomej N3:
∑Piy = N3 – m*g*cosα = 0
Nacisk podczas wjazdu na równię:
N3 = m*g*cosα

To jak już mamy policzone wszystkie naciski N1 , N2 i N3 to teraz to wstawimy do równań równoważności pracy i energii:
m*V2² / 2 – m*V² / 2 = m*g*s*sinα – m*g*cosα*m*s [1]
m*V3² / 2 – m*V2² / 2 = (-m*g )*m*s [2]
0 – m*V3² / 2 = (-m)*g*s*sinα – m*g*cosα*m*s [3]

Na początek bierzemy równanie [3] i obliczymy z niego prędkość na końcu odcinka poziomego V3:
m*V3² / 2 = m*g*s*sinα + m*g*cosα*m*s
V3² / 2 = g*s*sinα + g*cosα*m * s
V3² = 2*g*s*sina + 2*g*cosα*m*s
V3² = 2*g*s* ( sina + cosα*m )
V3 = √ [2*g*s * ( sina + cosα*m )]

Jak wstawimy V3 do równania [2] to można obliczyć V2:
m*2*g*s* ( sinα + cosα*m ) / 2 – m*V2² / 2 = (-m*g )*m*s
m*2*g*s * ( sinα + cosα*m ) – m*V2² = 2*(-m*g )*m*s
2*g*s * ( sinα + cosα*m ) – V2² = 2*(-g )*m*s
V2² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m ) – 2*g*m*s
V2² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m – m )
V2  = √ [2 * g * s * ( sinα + cosα*m – m )]

Jak wstawimy V2 do równania [1] to obliczymy szukaną początkową prędkość V:
m*2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) / 2  – m*V² / 2 = m*g*s*sinα – m*g*cosα*m*s

m*2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) – m*V²  = 2*m*g*s*sinα – 2*m*g*cosα*m*s

2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) – V²  = 2*g*s*sinα – 2*g*cosα*m*s

V² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m – m ) – 2*g*s*sinα + 2*g*cosα*m*s

V² = 2*g*s * ( sinα + cosα*m – m – sinα + cosα*m )
V² = 2*g*s*m * ( 2*cosα – 1 )

Czyli prędkość początkowa jaką musi mieć pudło, żeby dojechać do punktu 4 wynosi:

V = √[2*g*s*m * ( 2*cosα – 1 )]

Prawda że łatwe ?

Wytrzymałość złożona – zginanie i skręcanie – zadanie 29

Dzisiaj zrobimy kolejne i trochę nietypowe zadanie z wytrzymałości złożonej.

Wytrzymałość złożona – zadanie 23

Belkę o średnicy d i długości 2*a wmurowano w ścianę i obciążono na lewym końcu momentem skręcającym q*a² i obciążeniem ciągłym q.

zlozona13 - Wytrzymałość złożona - zginanie i skręcanie - zadanie 29

Wiadomo, że a=10*d. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ NAJWIĘKSZE NAPRĘŻENIE ZREDUKOWANE

1.Belka może być rozciągana, ścinana, zginana lub/i skręcana.

W tym przypadku widać, że belka nie będzie rozciągana, ponieważ żadna siła nie działa WZDŁUŻ belki.

2.A jak będzie ze ŚCINANIEM ?:

Na odcinku AB poprzecznie do belki działa obciążenie ciągłe q. I jak to będzie w poszczególnych punktach i przedziałach? Tradycyjnie bierzemy KARTKĘ i będziemy odsłaniać poszczególne części belki.

zlozona14 - Wytrzymałość złożona - zginanie i skręcanie - zadanie 29

Teraz zasłaniamy tak, żeby widzieć tylko lewy koniec belki i punkt A:

TA = 0

bo tutaj jeszcze żadna siła nie działa w poprzek.

W kolejnym kroku odsłaniamy cały lewy przedział AB:

zlozona15 - Wytrzymałość złożona - zginanie i skręcanie - zadanie 29

TB = (-q) * a

ponieważ w poprzek belki działa obciążenie q na długości a.

Następnie odsłaniamy całą belkę:

zlozona16 - Wytrzymałość złożona - zginanie i skręcanie - zadanie 29

TBC = (-q) * a

Siła tnąca policzona, to można zrobić wykres.

zlozona17 - Wytrzymałość złożona - zginanie i skręcanie - zadanie 29

3.Ścinanie załatwione – przyszła pora na ZGINANIE.

Ponownie zasłaniamy tak, żeby widzieć tylko lewy koniec belki i punkt A:

zlozona14 - Wytrzymałość złożona - zginanie i skręcanie - zadanie 29

MgA = 0

Kolejno odsłaniamy cały lewy przedział AB:

zlozona15 - Wytrzymałość złożona - zginanie i skręcanie - zadanie 29

MgB = q*a * a/2 = 1/2*q*a2

Belkę zgina siłą q*a działającą na ramieniu a/2.

Na koniec odsłaniamy całą długość belki:

zlozona16 - Wytrzymałość złożona - zginanie i skręcanie - zadanie 29

MgC = q*a * 1,5*a = 3/2*q*a²

Kolejno q*a to jest siła, następnie 1,5*a to jest odległość od KARTKI (punktu C) do połowy obciążenia ciągłego q. Wszystko wiadomo o momentach gnących, czyli można narysować wykres.

zlozona18 - Wytrzymałość złożona - zginanie i skręcanie - zadanie 29

4.Teraz zajmiemy się SKRĘCANIEM i widać, że cała belka jest skręcana tym samym momentem q*a²:

MsAB = q*a²

MsBC = q*a²

zlozona19 - Wytrzymałość złożona - zginanie i skręcanie - zadanie 29

5.To już mamy wszystkie wykresy i widać gołym okiem, że w każdym z 3 wykresów największe obciążenie występuje w punkcie C.

I tutaj obliczymy naprężenia zredukowane.

Przekrój belki:

A = * d² / 4

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie:

W = * d³ / 32

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie:

Wo = * d³ / 16

Naprężenia ścinające w punkcie C:

C = TBC : A = (q * a) : ( * d² / 4) = 1,3 * q * 10 * d / d² = 13 q/d

Naprężenia zginające w punkcie C:

gC = MgC : W = (3/2 * q * a²) : ( * d³ / 32) =

= (32 * 3/2 * q * a²) : ( * d³) = 15 * q * (10*d)² / d³ = 1500 q/d

Naprężenia skręcające w punkcie C:

sC = MsBC : Wo = (q * a²) : ( * d³ / 16) = (16 * q * a²) : ( * d³) =

= 5,1 * q * (10 * d)² / d³ = 510 q/d

Z hipotezy Hubera obliczymy naprężenia zredukowane, czyli takie, które łączą wszystkie naprężenia razem:

redC = √[(rc+gc)² + 3*(c+sc)²] = √ [(gc)² + 3*(c+sc)² ] =

= √ [(1500q/d)² + 3*(13q/d+510q/d)² ] = 1752q/d

Prawda że proste?

Kratownica płaska – metoda przecięć – statyka -zadanie 28

Witam i dzisiaj zrobimy kratownicę płaską metodą przecięć. Niedawno było jedno zadanie z kratownic.

Statyka – kratownica płaska – zadanie 22

Tamto rozwiązaliśmy metodą RÓWNOWAGI WĘZŁÓW, ponieważ chodziło o obliczenie sił we WSZYSTKICH prętach. Jest kolejny sposób na kratownice – METODA PRZECIĘĆ i stosuje się ją wtedy, kiedy mamy obliczyć siłę w jednym lub kilku prętach, które znajdują się w dowolnym miejscu kratownicy. Po takim krótkim wstępie można przejść do zadania:

rozciaganie15 - Kratownica płaska - metoda przecięć - statyka -zadanie 28

Jak widać jest kratownica i jest takie pytanie

OBLICZYĆ SIŁĘ W 2 PRĘTACH OZNACZONYCH LINIĄ PRZERYWANĄ

Po pierwsze

Uwalniamy kratownicę JAKO CAŁOŚĆ od więzów, żeby obliczyć reakcje podpór.

rozciaganie16 - Kratownica płaska - metoda przecięć - statyka -zadanie 28

Od razu ważna uwaga:

NIE MUSIMY obliczać reakcji we wszystkich podporach – wystarczy obliczyć reakcję w jednej podporze – w tym przypadku najlepiej RA. W tym celu obliczamy sumę momentów względem punktu B:

MiB = RA * 3 * L + F * 2 * L + F * L = 0

Dzielimy obie strony równania przez L:

RA * 3 + F * 2 + F = 0

RA * 3 + F * 3 = 0

RA + F = 0

Reakcja w lewej podporze:

RA = (-F)

Po drugie

Na wstępie było powiedziane o METODZIE PRZECIĘĆ, a więc teraz przetniemy kratownicę przez te pręty, w których chcemy obliczyć siły.

To tak jakbyśmy ją przecinali na dwie części, ale bardzo ważne żeby przecinać przez MAKSYMALNIE 3 PRĘTY – później okaże się w praktyce dlaczego tak.

rozciaganie17 - Kratownica płaska - metoda przecięć - statyka -zadanie 28

Powyżej widzimy jedną z możliwości, jak będzie dobrze przeprowadzić linię cięcia – czerwona linia leci przez 2 pręty (w nich obliczymy siły – linia przerywana) i jeszcze jeden, który jest pod nimi.

Po trzecie

Uwalniamy od więzów tę część, która jest na lewo od czerwonej falistej linii – linii cięcia

rozciaganie18 - Kratownica płaska - metoda przecięć - statyka -zadanie 28

Powyżej widać że mamy płaski ROZBIEŻNY układ sił, czyli możemy napisać 3 równania równowagi. To dlatego chodziło o przecięcie kratownicy maksymalnie przez 3 pręty.

rozciaganie19 - Kratownica płaska - metoda przecięć - statyka -zadanie 28

Dobrze będzie zacząć od równania momentów względem punktu B (punkt przecięcia sił S2 oraz S3), ponieważ przez ten punkt przechodzą 2 niewiadome siły:

MiB = S1*L + F*L + RA*2*L = 0

S1*L + F*L + (-F)*2*L = 0

Dzielimy obie strony równania przez L:

S1 + F + (-F)*2 = 0

S1 – F = 0

Siła w pręcie nr 1:

S1 = F

Pozostała jeszcze do obliczenia siła S2 i w tym celu warto napisać sumę rzutów sił na oś y:

Piy = RA + F – S2*sin45o = 0

(-F) + F – S2*sin45o = 0

(- S2) * sin45o = 0

A więc siła w pręcie nr 2 wynosi:

S2 = 0

Jak widać dwa równania równowagi dla części kratownicy załatwiły wszystko.

Rozciąganie – układ statycznie niewyznaczalny – wytrzymałość – zadanie 27

No i mamy kolejne

Wytrzymałość – rozciąganie – układ statycznie niewyznaczalny – zadanie 18

ciekawe zadanie z rozciągania i układów statycznie niewyznaczalnych. 3 pręty połączone przegubem obciążono w tym samym przegubie siłą P.
rozciaganie10 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27
Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Tradycyjnie uwalniamy węzeł od więzów, czyli zastępujemy pręty siłami.
rozciaganie11 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27

Po pierwsze

Jak widać, powstał układ PŁASKI ZBIEŻNY i można tutaj napisać DWA równania równowagi:
– suma rzutów na oś x
– suma rzutów na oś y

∑Pix = S2 * sinα – S3 * sinα = 0 [1]
∑Piy = S1 – P + S2 * cosα – S3 * cosα = 0 [2]

Po drugie

Napisaliśmy 2 równania równowagi, bo tyle można było, a niewiadomych jest 3:
S1 , S2 oraz S3
a więc tak jak już było mówione, jest to zadanie STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE a dokładnie jednokrotnie statycznie niewyznaczalne.
Wobec powyższego musimy zrobić jeszcze jedno TRZECIE równanie i w tym przypadku będzie ono związane z odkształceniami.
rozciaganie12 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27
Na rysunku powyżej widać pręty nr 2 i 3 przed odkształceniem i po odkształceniu.

Tak jak widać, węzeł przesunął się pionowo w dół (z punktu A do punktu A’) zgodnie z kierunkiem działania siły. To pionowe przesunięcie jest równe wydłużeniu pręta nr 1 (tego pionowego).

Ze skośnymi prętami nr2 i nr3 jest trochę trudniej:
Linią ciągłą widać pręty przed odkształceniem, a linią przerywaną widać pręty po odkształceniu.

Oba pręty po odkształceniu leżą POD TYM SAMYM KĄTEM, ale jak widać pręt nr 3 skrócił się, a pręt nr 2 wydłużył. Tylko teraz powstaje pytanie, o ile się wydłużył:
Widać obok siebie pręt nr 2 przed odkształceniem i obok widać ten sam pręt po odkształceniu (linią przerywaną).

No to jak 2 pręty leżą obok siebie , to widać który jest dłuższy – dłuższy jest pręt nr 2 po odkształceniu.

Żeby było jeszcze ciekawiej , to widać o ile pręt nr 2 się wydłużył – zmienił swoją długość o ΔL2.

A najlepsze jest to że o tyle samo skrócił się  pręt nr 3:
ΔL2 = ΔL3
Można by się zapytać, dlaczego oba pręty zmieniły swoją długość o taki sam odcinek, ale też jest proste:
Bo są do siebie równoległe, przy czym każdy przypadek układu prętów należy rozpatrywać indywidualnie.
To teraz jak już mamy narysowane jak leżą i jak wydłużają się poszczególne pręty, to teraz napiszemy najprostszą zależność która wiąże poszczególne odkształcenia.

I ta TRZECIA zależność powstała przy okazji, ponieważ widzimy trójkąt prostokątny (ten czerwony), w którym przeciwprostokątną jest ΔL1, a jedną  z przyprostokątnych jest ΔL2 = ΔL3.

rozciaganie14 - Rozciąganie - układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 27

Jak mamy trójkąt prostokątny to z daleka już czuć TRYGONOMETRIĘ, a więc postawmy tutaj takie pytanie:
W jakiej funkcji trygonometrycznej występują te 2 boki trójkąta? Jak się tak dobrze przyjrzeć to można zobaczyć, że to będzie cosinus:

cosα = ΔL2 : ΔL1
Można to zapisać inaczej:
ΔL2 = ΔL1 * cosα

To teraz jeżeli mamy równanie, w którym są odkształcenia rozciąganych prętów, to wstawimy w to znane już prawo Hooke’a:

 

siła w pręcie * długość pręta
wydłużenie = —————————————————————————-
moduł Younga * przekrój pręta

 

S2 * L/cosα        S1 * L/cosα
——————- = ——————– * cosα
E * F                    E * F

 

S2 * L/cosα           S1 * L
——————- = —————
E * F                    E * F
Dzielimy obie strony równania przez L i mnożymy przez E*F:
S2 / cosα = S1

i to jest TRZECIE równanie, którego tak poszukiwaliśmy.

Po trzecie

Teraz mając 3 niewiadome siły w 3 prętach i 3 równania możemy łatwo te siły obliczyć:
∑Pix = S2 * sinα – S3 * sinα = 0 [1]
∑Piy = S1 – P + S2 * cosα – S3 * cosα = 0 [2]
S2 /cosα = S1 [3]

Upraszczamy równanie [1]:
S2 * sinα = S3 * sinα
S2 = S3
i wstawiamy do [2]:
S1 – P + S3 * cosα – S3 * cosα = 0
S1 – P  = 0
Siła w pręcie nr1 wyniesie:
S1 = P

Z równania [3] wynikają siły w prętach nr2 i nr3:
S2 = cosa * S1 = S3

Prawda że łatwe?