Dynamika – ruch obrotowy – regulator – zadanie 20

Ponownie dynamika i mamy taki regulator, w którym masa M jest umieszczona na końcu belki o masie m.

dynamika7 - Dynamika - ruch obrotowy - regulator - zadanie 20

Całość połączono przegubowo z wałem w odległości a od jego osi obrotu. Wał obraca się z prędkością kątową ω . Autor zadaje pytanie:

O JAKI KĄT ODCHYLI SIĘ BELKA?

 

Po pierwsze

 

Całość uwalniamy od więzów

dynamika8 - Dynamika - ruch obrotowy - regulator - zadanie 20

czyli:

– zastępujemy przegub dwiema prostopadłymi reakcjami Rx oraz Ry

– przykładamy ciężary do belki i masy M

– ponieważ całość obraca się to do obu mas przykładamy siły odśrodkowe bezwładności

 

Po drugie

 

Piszemy równania równowagi:

∑Pix = B – Rx +∫dB = 0 [1]

∑Piy = Ry – M*g – m*g = 0 [2]

∑Mio = ∫dB*x*cosα – m*g*0,5*L*sinα + B*L*cosα – M*g*L*sinα = 0 [3]

 

Po trzecie

 

W powyższych równaniach pojawiła się całka i teraz warto ją do końca policzyć, ale na początek dobrze będzie zająć się elementarną siłą dB czyli siłą odśrodkową bezwładności:

dB = dm * 2 *(a+x*cosα)

 

Teraz stworzymy zależność która mówi, że:

Elementarna masa dm ma się tak do całej masy belki m,

jak

elementarna długość dx do całkowitej długości L:

dm/m = dx / L

z tego wyciągamy elementarną masę dm:

dm = m * dx / L

i wstawiamy do obliczonej wcześniej elementarnej siły bezwładności dB:

dB = m/L * 2 * ( a + x * sinα ) * dx

Następnie robimy z tego całkę (na całą długość belki L) i obliczamy ją:

∫m/L*ω² *( a + x * sinα ) dx =

= ∫( m/L*ω² * a + m/L*ω² * x*sinα ) dx =

= ∫m/L*ω² * a dx +∫m/L*ω² * x*sinα dx =

= m/L*ω² * a*L + m/L*ω² * sinα*0,5*L²

 

Po drodze pojawia się jeszcze siła odśrodkowa bezwładności działająca na skupioną masę M:

B = M * 2 * (a+L*sinα)

I teraz można to co wyszło z całki wstawić do równania równowagi na oś x:

ΣPix = M * ω² * (a+L*sinα) – Rx + m/L *ω² * a * L + m/L * ω² * sinα * 0,5 * L² = 0

I jak to sie to uprości to mamy coś takiego

ΣPix = (M+m)*ω² *a + (M+0,5*m)*ω²*L*sinα – Rx = 0 [1]

W sumie momentów pojawia się kolejna, trochę bardziej skomplikowana całka:

∫dB*x*cosα = ∫[m/L * ω² * (a+x*sinα) * dx] * x * cosα =

=∫[m/L *ω² * (a+x*sinα) * dx ] * x * cosα =

=∫[m/L *ω² * a + m/L *ω² * x * sinα] * x * cosα dx = 

= ∫m/L *ω² * a * x * cosα dx +∫m/L *ω² * sinα * x² * cosα dx =

=m/L *ω² * a * 0,5 * L² * cosα + m/L *ω² * sinα * 1/3 * L³ * cosα

 

I to co wyszło wstawiamy do równania momentów:

m/L *ω² * a * 0,5 * L² *  cosα +

+ m/L *ω² * sinα * 1/3 * L3 * cosα- m * g * 0,5 * L * sinα +

+ M *ω² * (a+L*sinα) * L * cosα – M * g * L * sinα = 0 [3]

 

I jak się uprości to i tamto to dostaniemy coś takiego:

(0,5*m+M) *ω² * a * cosα- (0,5*m+M) * g * sinα +

+ (M+1/3*m) *ω² * sinα* L * cosα = 0 [3]

 

Czyli mamy 3 równania równowagi oraz 3 niewiadome:α , Rx oraz Ry

(M+m) *ω² * a + (M+0,5*m) *2 * L * sinα – Rx = 0 [1]

Piy = Ry – M*g – m*g = 0 [2]

 

(0,5*m+M) *ω² * a * cosα- (0,5*m+M) * g * sinα +

+ (M+1/3*m) *ω² * sinα* L * cosα = 0 [3]

 

czyli z tego układu równań można już obliczyć szukany kąt odchylenia belki regulatora.

Ruch złożony – kinematyka – zadanie 19

A teraz będzie o ruchu ZŁOŻONYM:

Jak sama nazwa wskazuje mamy tutaj jakieś złożenie, a dokładnie jest to złożenie 2 ruchów:

ruch unoszenia – na przykład płyta która porusza się po linii prostej lub się obraca wokół jakiegoś punktu

ruch własny – po tej płycie porusza się na przykład zwierzę – to już widać, że zwierzę jest znacznie mniejsze od płyty

Może być tak że płyta porusza się do przodu a zwierzę w bok ale znowu jest to tylko przykład.

Mówiąc i pisząc w jednym zdaniu ruch ZŁOŻONY jest wtedy gdy COŚ porusza się po CZYMŚ co też jedzie.

I teraz mamy takie zadanie z ruchu złożonego:

ruchzlozony1 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

Płyta obraca sie z prędkością kątową i po tej płycie ze środka startuje punkt A i jedzie z prędkością Vw wzdłuż promienia na zewnątrz. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU A

1.Wektorowo prędkość punktu A jest sumą prędkości własnej i prędkości unoszenia:

VA = Vw + Vu

gdzie:

Vu – prędkość unoszenia

2.Tutaj ruch unoszenia jest obrotowy i w takim razie unoszenie jest ruchem po okręgu.

Vu = * AoA

Odległość AoA to droga punktu A w ruchu jednostajnym z prędkością Vw. A ponieważ jest to ruch jednostajny to droga wyniesie:

AoA = Vw * t

czyli prędkość unoszenia:

Vu = * Vw * t

ruchzlozony2 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

3.Jak widać wektory prędkości własnej i unoszenia są do siebie prostopadłe czyli wartość ich sumy można obliczyć z metody równoległoboku przy użyciu twierdzenia Pitagorasa:

ruchzlozony3 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

VA = √(Vw² + Vu² ) =

= √(Vw² + ² * Vw² * t² ) =

= Vw * √(1 + ² * t²)

 

To na razie tyle na temat prędkości a teraz obliczymy przyspieszenie.

4.Przyspieszenie punktu A jest sumą 3 wektorów przyspieszeń:

własnego – może się składać ze składowych stycznej i normalnej

unoszenia- może się składać ze składowych stycznej i normalnej

Coriolisa – jeżeli unoszenie jest ruchem obrotowym a w tym zadaniu tak jest.

 

Przyspieszenie własne normalne nie występuje ponieważ punkt A jedzie po prostej.

Przyspieszenie własne styczne nie wystąpi bo ruch własny odbywa się ze stałą prędkością Vw.

 

Przyspieszenie unoszenia normalne wynosi:

pun = Vu² / AoA = ( * Vw * t)² / (Vw * t) =

= ² * Vw * t

i wektor jest skierowany do środka łuku w ruchu unoszenia czyli do środka obrotowej tarczy

 

Przyspieszenie unoszenia styczne jest pochodną po czasie prędkości unoszenia:

put = dVu / dt = d/dt ( * Vw * t) = * Vw

i wektor jest styczny do łuku w ruchu unoszenia czyli prostopadły do promienia obrotowej tarczy.

 

Z przyspieszeniem Coriolisa jest trochę ciekawiej:

pc = 2 * * Vw * sin(<Vw,)

ten ostatni czynnik czyli sinus dotyczy kąta zawartego między wektorami:

– prędkości własnej Vw

– i prędkości kątowej unoszenia ω.

Wektor prędkości własnej leży na płaszczyźnie, a wektor prędkości kątowej leci pionowo w dół, czyli kąt między tymi wektorami jest 90 stopni. Sinus 90 stopni wynosi jeden, a więc przyspieszenie Coriolisa w tym przypadku:

pc = 2 * * Vw

I teraz powstaje pytanie, jak leci wektor przyspieszenia Coriolisa:coriolisaaccaleration - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

Wektor Coriolisa jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory oraz Vw. Pozostaje jeszcze pytanie w którą stronę ten wektor jest zwrócony:

Jakbyśmy kręcili śrubą prawoskrętną od ω do Vw, to kierunek wkręcania się śruby prawoskrętnej wskazuje na zwrot wektora przyspieszenia Coriolisa. Warto przypomnieć, że jak chcemy wkręcić śrubę w ścianę to kręcimy zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara. Z tego wszystkiego wynika że, przyspieszenie Coriolisa leży na płaszczyźnie i jest prostopadłe do wektora prędkości własnej.

I teraz jak wszystko wiadomo i się narysuje wszystkie wektory przyspieszeń to można obliczyć metodą równoległoboku sumę tych wektorów:

ruchzlozony4 - Ruch złożony - kinematyka - zadanie 19

pA = √ ((put+pc)² + pun² ) =

= √( (*Vw+2**Vw)² + (²*Vw*t)² ) =

= √ ((**Vw)² + (²*Vw*t)² ) 

Na powyższym rysunku wektor przyspieszenia punktu A oznaczono kolorem czerwonym.

Odkształcenie temperaturowe i układ statycznie niewyznaczalny – wytrzymałość – zadanie 18

Tutaj mamy zadanie z układem statycznie niewyznaczalnym i odkształceniem temperaturowym, gdzie do poziomej sztywnej belki przymocowano przegubowo 2 odkształcalne pręty, z których jeden jest pionowo, a drugi leci pod kątem.
rozciaganie6 - Odkształcenie temperaturowe i układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 18
Co ciekawe to oba pręty przymocowano do tego samego punktu sztywnej belki, ORAZ po zmontowaniu skośny pręt podgrzano o temperaturę ΔT – no i tutaj pręt odkształci się pod wpływem zmiany temperatury. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Gołym okiem widać, że jak się podgrzeje skośny pręt to on się wydłuży i będzie za długi żeby całość zachowała początkowe wymiary.

Po pierwsze
Uwalniamy układ od więzów czyli zastępujemy pręty i podporę przegubową siłami.
rozciaganie7 - Odkształcenie temperaturowe i układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 18
Po drugie
Piszemy równania równowagi.

Mechanika – statyka – zaczynamy od podstaw

ΣPix = S2 * sin45º – Rx = 0
ΣPiy = Ry – S1 – S2 * cos45º = 0
ΣMiB = S1 * L + S2 * cos45º * L = 0
Jak widać mamy 3 równania i 4 niewiadome ( Rx , Ry , S1 , S2 ) czyli mamy

UKŁAD STATYCZNIE NIEWYZNACZALNY

a więc potrzebne jest dodatkowe równanie geometryczne.

Po trzecie
Zakładamy w jaki sposób belka obróci się względem punktu B po podgrzaniu skośnego pręta.
Wiadomo, że jak skośny pręt się podgrzeje, to się wydłuży i będzie się starał podnieść DO GÓRY prawy wolny koniec belki. Wtedy belka obróci się o niewielki kąt względem osi obrotu (punkt B). I tutaj jest ważne założenie:

PUNKT MOCOWANIA PRĘTÓW (tutaj punkt C) PRZEMIEŚCI SIĘ PO PROSTEJ PROSTOPADŁEJ
DO
LINII ŁĄCZĄCEJ PUNKT MOCOWANIA PRĘTÓW  (tutaj punkt C)
Z OSIĄ OBROTU BELKI (tutaj punkt B).

I teraz jest najlepsze:

Odległość CC’ wynosi tyle ile wydłużył się pionowy pręt czyli:
CC’ = ΔL1

Ze skośnym prętem będzie trochę trudniej ponieważ leci on po skosie a po drugie to jest podgrzewany. I to jest tak że skośny pręt pod wpływem temperatury (albo zmiany temperatury) wydłuży się o ΔLt:

ΔLt = ΔT * a * √2   * L

ale do tego wydłużonego skośnego pręta drugi pionowy pręt będzie za długi i teraz zajdzie zajdzie ciekawe zjawisko:
– pionowy pręt trochę się wydłuży
– skośny pręt ( wcześniej wydłużony o ΔLt – odkształcenie temperaturowe) trochę  się  skróci aby oba pręty mogły się  spotkać w jednym miejscu – punkcie mocowania prętów do belki (punkt C’)
rozciaganie8 - Odkształcenie temperaturowe i układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 18
Na powyższym rysunku widzimy dwa skośne pręty:
– zielony PRZED odkształceniem
– i ten sam ale niebieski – PO odkształceniu

I teraz wyszło że powstał trójkąt w którym:
– jeden z boków odpowiada ΔLt-ΔL2
– drugi z boków odpowiada przemieszczeniu punktu C czyli CC’
– kąt 45º odpowiada położeniu skośnego pręta
rozciaganie9 - Odkształcenie temperaturowe i układ statycznie niewyznaczalny - wytrzymałość - zadanie 18
Jak się narysuje ten trójkąt większy , to więcej widać i widać też że można tu zastosować najprostszą trygonometrię:
cos45º = (ΔLt – ΔL2) / CC’
a można to zapisać tak:
cos45º * CC’ = ΔLt – ΔL2

 

Po czwarte
I teraz w to można i trzeba wmanewrować prawo Hooke’a

Wytrzymałość materiałów-ponownie podstawy

 

siła w pręcie  x  długość pręta
wydłużenie = ——————————————————————————-
moduł Younga  x  przekrój

 

i dla pręta skośnego wydłużenie mechaniczne będzie wyglądać w następujący sposób:

 

                  S2  * √2   *  L

ΔL2 = —————————————————————————

E  *  A

 

a dla pręta pionowego którego wydłużenie równa się przemieszczeniu punktu CC’:

 

               S1   *  L

ΔL1 = ———————————————————————————–

E  *  A

 

I to wszystko można teraz wstawić do wzoru na cos45º :

cos45º * CC’ = ΔLt – ΔL2

cos45º * S1*L / (E*A) = ΔT*a * √2  * L – S2 * √2  * L / (E*A)

Dzielimy obie strony przez L i mnożymy przez E*A:

0,5 * √2 * S1 = ΔT * a * √2 * E * A – S2 * √2

Dzielimy przez pierwiastek z 2:

0,5 * S1 = ΔT * a * E * A – S2

Jak się wyliczy S1 z trzeciego równania statycznego na sumę momentów:
S1*L + S2 * cos45º * L = 0
S1 + S2 * cos45º = 0
S1 = (-S2) * cos45º

i wstawi do równania geometrycznego:

0,5 * (-S2) * cos45º = ΔT * a * E * A – S2

To można obliczyć siłę w pręcie skośnym:
(-0,35) * S2 = ΔT * a * E * A – S2
0,65 * S2 = ΔT * a * E * A
S2 = 1,5 * ΔT * a * E * A

I również z równania na sumę momentów wyliczamy siłą w pręcie pionowym:
S1 = (-S2)*cos45º = (-1,5) * ΔT * a * E * A * cos45º =
= (-1,1) * ΔT * a * E * A