Kinematyka – oblicz składowe przyspieszenia punktu – zadanie 40

Witam wszystkich i dzisiaj w związku z kinematyką obliczymy prędkość i składowe przyspieszenia punktu A. Na poniższym rysunku widzimy mechanizm składający się z trzech elementów czyli trzech ogniw:

kinematyka7 - Kinematyka - oblicz składowe przyspieszenia punktu - zadanie 40
ogniwa napędowego 1 (o długości L) poruszającego się po prostej (naukowcy powiedzą – ruch postępowy)
ramienia 3 (o długości 2*L) obracającego się wokół punktu B
suwaka 2 łączącego ogniwo napędowe z ramieniem
Dana jest prędkość Vc (jest to prędkość punktu C i jednocześnie całego ogniwa napędowego). Jeżeli wiemy, jak to działa, to powiedzmy, o co pyta autor:

OBLICZ PRĘDKOŚĆ I SKŁADOWE PRZYSPIESZENIA PUNKTU A

Krok po kroku wytłumaczymy sobie, jak do tego podejść:

Krok pierwszy – wychodzimy od tego, co wiemy:

Znamy prędkość ogniwa napędowego 1 i jego wymiary. W chwili początkowej punkty B, D oraz C tworzą trójkąt równoramienny o podstawie L, dwóch kątach równych 45 stopni i jednym kącie prostym.
I teraz skupmy się na trójkącie BDC.
Ogniwo napędowe (czyli to z numerem 1) przesuwa się ze stałą prędkością Vc. Wynika z tego, że długość DC będzie się zwiększać o Vc*t. Wtedy długość podstawy BC (długość równa L) pozostanie bez zmian i kąt BCD również pozostanie 45 stopni. I co najlepsze to powstał nowy trójkąt, którego jedną z przyprostokątnych jest droga przebyta przez ogniwo napędowe równa Vc*t.

kinematyka8 - Kinematyka - oblicz składowe przyspieszenia punktu - zadanie 40
To teraz skorzystajmy z trygonometrii a dokładnie z tangensa kąta α:
tgα = Vc*t : BD
Widać że odległość BD jest przekątną kwadratu o boku 0,5*L:
BD = √2 * 0,5*L
czyli wracamy do tangensa kąta α:
tgα = Vc*t : (√2 * 0,5*L)
czyli kąt α wynosi:
α = arctg [ Vc*t : (√2 * 0,5*L]

Krok drugi

Zmiana kąta w czasie

nazywa się

prędkością kątową,

a mówiąc bardziej naukowo pochodną kąta po czasie jest prędkość kątowa. W tym przypadku mówimy o prędkości kątowej ogniwa nr 3:
ω3 = da / dt = d/dt ( arctg [ Vc*t : (√2 * 0,5*L) ] ) =
= d/dt ( arctg [ 1,4*Vc*t : L ] ) =

1,4*Vc / L
= —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)²

Krok trzeci – punkt A (koniec ogniwa nr 3) porusza się po okręgu o promieniu 2*L

a więc jego prędkość jest iloczynem prędkości kątowej i promienia okręgu:
VA = ω3 * 2 * L =

1,4*Vc / L * 2 * L
= —————————- =
1 + (1,4*Vc*t : L)2

2,8*Vc
= —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)2

Krok czwarty

Prędkość policzona to teraz przechodzimy do przyspieszeń. Przyspieszenie punktu A może (z akcentem na MOŻE) składać się z dwóch składowych:
– stycznego
– normalnego
No to liczymy:
Przyspieszenie styczne jest pochodną prędkości po czasie:
pAt = dVA / dt =

2,8*Vc
=d/dt —————————-
1 + (1,4*Vc*t : L)²

= 2,8*Vc * d/dt [ 1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ]  =

= 2,8*Vc * (-1) * [1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ²] * 2*(1,4*Vc*t : L) * 1,4*Vc/L = (-11) * Vc³ * t / L² * [ 1/[ 1 + (1,4*Vc*t : L)² ] ²]

Na koniec policzymy przyspieszenie normalne:
pAn = ω3² * 2 * L =

(1,4*Vc / L) ²
= ——————————— * 2 * L
(1 + (1,4*Vc*t : L)² ) ²

Obliczyliśmy 2 wektory przyspieszeń i sumaryczne przyspieszenie punktu A będzie sumą obu wektorów.

Zaprojektuj przekrój belki – zginanie – zadanie 39

Dzisiaj zrobimy zadanie ze zginania belek polegające na zaprojektowaniu przekroju belki. zginanie32 1024x462 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
I oto widzimy belkę składającą się z dwóch odcinków (przedziałów) połączonych przegubem. Lewy koniec lewego odcinka oparto na podporze przegubowej przesuwnej, a prawy koniec prawego odcinka wmurowano w ścianie. Belkę obciążono siłą i momentem. Przekrój belki jest prostokątem o podstawie a i wysokości 2*a, gdzie a jest niewiadomą.

zginanie41 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Belkę wykonano z materiału o dopuszczalnych naprężeniach zginających kg. Autor zadaje pytanie:

ZAPROJEKTUJ PRZEKRÓJ BELKI O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM 2a x a

Początek jest analogiczny do innych zadań ze zginania belek:

Krok pierwszy

Uwalniamy belkę od więzów, ale jest małe ALE.
To ALE jest, ponieważ mamy jedną reakcję w lewej podporze (podpora przegubowa przesuwna – jedna reakcja prostopadła do podłoża) i trzy reakcje w ścianie. Tylko żeby obliczyć momenty zginające belkę, to nie potrzebujemy reakcji na jednym końcu belki i dlatego obliczymy TYLKO reakcję w podporze przesuwnej. W tym celu uwolnimy od więzów LEWĄ część belkizginanie33 1024x619 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39Krok drugi

Piszemy równanie równowagi statycznej dla LEWEJ części belki, ALE będzie to wyłącznie równanie momentów względem punktu B, ponieważ w tym równaniu wystąpi TYLKO jedna niewiadoma RA, której szukamy:
ΣMiB = RA*L – P*L = 0
RA*L = P*L
Reakcja w podporze A wyniesie:
RA = P

Krok trzeci
Powracamy do belki jako całość i uwalniamy od więzów:zginanie34 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Krok czwarty
Ponieważ mamy obliczoną reakcję w podporze A, to zaczynamy obliczanie momentów od lewej strony. Zakrywamy kawałkiem KARTKI (ten czerwony prostokąt przekreślony na krzyż) całą belkę odsłaniając WYŁĄCZNIE punkt A i piszemy jaki moment widzimy:

zginanie35 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgA = P*L
i to jest jasne i proste, ponieważ widać tylko moment skupiony P*L, a siła RA działa na ramieniu o długości ZERO (odległość od siły RA do kartki).

Następnie zakrywamy prawą połowę belki, żeby jednocześnie widzieć punkt B i piszemy moment w punkcie B:

zginanie36 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgB = P*L – RA*L = P*L – P*L = 0
Przypomnę, że w powyższym wzorze RA*L oznacza moment od siły RA działający na ramieniu L (odległość od siły RA do kartki).

Pozostało obliczyć moment zginający w punkcie C i w tym celu zasłaniamy tylko ścianę z prawej strony i punkt C:

zginanie37 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
MgC = P*L – RA*2*L + 4*P*L = P*L – P*2*L + 4*P*L = 3*P*L

Krok piąty
Tak samo idąc od lewej do prawej obliczymy siły tnące działające na belkę. Dla przypomnienia siła tnąca to jest taka siła, która działa w poprzek belki, czyli w naszym przypadku siła działająca w pionie (ponieważ w tym zadaniu belka leci poziomo). A więc do dzieła:
Zasłaniamy belkę kartką w taki sposób żeby widzieć kawałek lewego przedziału.

zginanie38 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39

Piszemy siły w poprzek belki, które widzimy:
TAB = (-RA) = (-P)

Kolejno zasłaniamy belkę, żeby widzieć cały lewy przedział i kawałek prawego.
zginanie39 1024x467 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39
Oto jakie siły widzimy, które działają w poprzek belki:
TBC = (-RA) + 4*P = (-P) + 4*P = 3*P
Obliczyliśmy siły tnące i momenty gnące, to można narysować wykresy.

zginanie40 - Zaprojektuj przekrój belki - zginanie - zadanie 39Widać, że największy moment zginający występuje przy ścianie:
Mgmax = 3*P*L

Krok szósty
Teraz przejdziemy do prostokątnego przekroju belki i dla niego obliczymy moment bezwładności:
Jxc = a * (2*a)³ / 12 = 0,67 * a4
oraz wskaźnik wytrzymałości na zginanie:
Wx = Jxc : ymax = 0,67 * a4 : a = 0,67 * a³

Krok siódmy
Przyszedł czas na warunek wytrzymałościowy, który mówi, że maksymalne naprężenia zginające belkę muszą być mniejsze od dopuszczalnych kg:

https://blog-student.com/naprezenia-zginajace-podstawy/
Mgmax : Wx < kg
Wstawiamy do powyższego wzoru wskaźnik i wartość maksymalnego momentu gnącego:
3*P*L : ( 0,67 * a³ ) < kg
4,48*P*L / a³ < kg
Szukany minimalny wymiar przekroju wyniesie:
a = [ 4,48*P*L / kg ] 1/3

i w ten sposób zaprojektowaliśmy wymiary przekroju belki.

Naprężenia zginające – podstawy

Witam wszystkich i dzisiaj opowiemy o naprężeniach zginających. Kilka razy było o zginaniu belek

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zginanie-zadanie-11/

i naprężenia są tego konsekwencją. To teraz krok po kroku:
Naprężenia zginające są odmianą naprężeń normalnych czyli prostopadłych do przekroju.
zginanie31 300x225 - Naprężenia zginające - podstawy
Na powyższym szkicu widać naprężenia w belce o przekroju prostokątnym. W tym przypadku największe naprężenia występują w skrajnych punktach przekroju na górze i na dole. Zawsze najwyższe wartości zauważymy w najdalszej odległości od osi centralnej przekroju zginanego. Dlatego też zerowe wartości naprężeń wystąpią w okolicach środka ciężkości przekroju.
Jeżeli znamy moment zginający Mg, to maksymalne naprężenia zginające σgmax w przekroju zginanym są

ilorazem tego momentu

przez

wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie Wx:
σgmax = Mg : Wx
zginanie30 300x225 - Naprężenia zginające - podstawy
Miarą naprężeń zginających jest paskal [Pa].
Prawda że łatwe?

Układ prętowy statycznie niewyznaczalny – zadanie

Cześć wszystkim i tutaj mamy zadanie z układem prętowym statycznie niewyznaczalnym, gdzie sztywną ramę przymocowano do 3 odkształcalnych prętów, z których każdy leci pionowo.

rozciaganie21 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Do ramy przyłożono moment M. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ SIŁY W PRĘTACH

Podobne zadanie już się zdarzały w niedalekiej przeszłości

https://blog-student.com/wytrzymalosc-zadanie-26-rozciaganie-uklad-statycznie-niewyznaczalny/

i dzisiaj będziemy postępować analogicznie a więc działamy:

Krok pierwszy
Uwalniamy układ od więzów czyli zastępujemy pręty siłami.

rozciaganie22 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie

Krok drugi
Piszemy równania równowagi.
ΣPiy = S1 + S2 + S3 – m*g = 0
ΣMiA = S2 * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0
Jak widać mamy 2 równania i 3 niewiadome ( S1 , S2 oraz S3 ), ponieważ jest to układ prętowy statycznie niewyznaczalny i dlatego potrzebne jest dodatkowe równanie geometryczne.

Krok trzeci
Zakładamy, że wszystkie pręty na których wisi rama wydłużą się, ponieważ jeżeli obciążymy układ momentem M to w jakiś sposób pręty muszą się odkształcić, ponieważ są odkształcalne.
Najbardziej prawdopodobne jest , że każdy z prętów wydłuży się o inną długość, ale na tyle na ile pozwolą na to kształt i wymiary ramy. Różne wydłużenia prętów spowodują, że rama obróci się o niewielki kąt. W wyniku tego punkty mocowania prętów do ramy A, B oraz C przemieszczą się tak jak na rysunku poniżej:

rozciaganie23 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Na czerwono jest rama przed odkształceniem i na niebiesko jest rama po odkształceniu.
W ten sposób powstanie punkt , który jest punktem obrotu całej ramy. Oczywiście jest to założenie i w trakcie obliczeń wyjdzie, jak naprawdę odkształcają się pręty.
Teraz już widzimy że punkt A po wydłużeniu prętów stanie się punktem A’ i analogicznie pozostałe 2 punkty – B – B’ oraz C – C’.
I to wszystko wygląda pięknie, tylko że w takiej postaci obliczenie siły w prętach wymagałoby cudu. Dlatego też zastosujemy tutaj proste założenie:

PUNKTY MOCOWANIA PRĘTÓW (A, B ORAZ C) PRZEMIESZCZĄ SIĘ PO PROSTEJ POŁOŻONEJ PIONOWO.

To jest oczywiste i teraz przejdziemy do

Kroku czwartego
Przemieszczenie punku A równa się wydłużeniu pręta 1:
AA’ = ΔL1
i analogicznie dla pozostałych dwóch prętów:
BB’ = ΔL2
CC’ = ΔL3

rozciaganie24 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Teraz będzie jeszcze ciekawiej:
– na przedłużeniu odcinka AB powstał punkt D (na przecięciu z prętem 3)
– podobnie na przedłużeniu odcinka A’B’ powstał punkt D’.

rozciaganie25 300x225 - Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - zadanie
Ponieważ wszystkie kąty między odcinkami są zachowane, to odcinek CC’ równa się odcinkowi DD’ a co za tym idzie:
DD’ = ΔL3
W taki oto sposób powstał trójkąt o podstawie równej odległości między prętami nr1 i nr3 i wysokości równej ΔL3 – ΔL1.

Tutaj od razu widać, że można zastosować twierdzenie Talesa:
L / (ΔL2-ΔL1) = 2*L / (ΔL3-ΔL1)
Dzielimy obie strony równania przez L:
1 / (ΔL2-ΔL1) = 2 / (ΔL3-ΔL1)
Odwracamy liczniki z mianownikami:
ΔL2 – ΔL1 = 0,5*ΔL3 – 0,5*ΔL1
Do obu stron równania dodajemy 0,5*ΔL1:
ΔL2 – 0,5*ΔL1 = 0,5*ΔL3

Krok piąty
I teraz w to można i trzeba wmanewrować prawo Hooke’a:

 

siła w pręcie x długość pręta
wydłużenie = ——————————————-
moduł Younga x przekrój

Dla kolejnych prętów wydłużenia zgodnie z prawem Hooke’a wyniosą:

 

S1 * L
ΔL1 = ——————–
E * A

 

S2 * L
ΔL2 = ———————
E * A

 

S2 * 2 * L
ΔL3 = ————————-
E * A

 

I to wszystko można teraz wstawić do zależności z twierdzenia Talesa:
ΔL2 – 0,5*ΔL1 = 0,5*ΔL3

S2 * L                 0,5*S1*L               0,5*S3*L
————-   –  ————– = —————
E * A                       E * A                        E * A

Mnożymy obie strony równania przez E*A i dzielimy przez L:
S2 – 0,5 * S1 = 0,5 * S3
Jak połączymy to równanie z dwoma statycznymi, które powstały na początku:
ΣPiy = S1 + S2 + S3 – m*g = 0 [1]
ΣMiA = S2 * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0 [2]
S2 – 0,5 * S1 = 0,5 * S3 [3]
to powstanie układ TRZECH równań.

 

Krok szósty

Została czysta matematyka – z układu trzech równań obliczymy szukane siły w prętach

Po przekształceniu równania [3]:
2*S2 – S1 – S3 = 0 [3]
dodajemy stronami do równania [1]:
S1 + S2 + S3 – m*g + 2*S2 – S1 – S3 = 0 [1+3]
S2 – m*g + 2*S2 = 0 [1+3]
3*S2 – m*g = 0 [1+3]
3*S2 = m*g [1+3]
i w ten sposób obliczamy siłę w pręcie nr2:
S2 = 0,33*m*g
Obliczoną wartość wstawiamy do równania [2]:
0,33 * m * g * L + S3 * 2 * L – m * g * L + M = 0
Dzielimy obie strony równania przez 2*L
0,17 * m * g + S3 – 0,5 * m * g + 0,5*M/L = 0
i w ten sposób obliczamy siłę w pręcie nr 3:
S3 = (-0,17) * m * g + 0,5 * m * g – 0,5*M/L=0,33 * m * g – 0,5*M/L
Z równania [1] obliczymy siłę w pręcie nr1 układu prętowego statycznie niewyznaczalnego:
S1 = (-S2) – S3 + m*g = (-0,33*m*g) – 0,33 * m * g + 0,5*M/L + m*g = 0,33 * m * g + 0,5*M/L

Prawda  że łatwe?

Przyspieszenia liniowe i kątowe mas – dynamika – zadanie 37

Witam ponownie i dzisiaj zrobimy zadanie z dynamiki, w którym obliczymy przyspieszenia liniowe i kątowe elementów posiadających masę. W niedalekiej przeszłości zamieściłem podobne zadanie

http://blog-student.com/dynamika-zadanie-7/

Na rysunku widzimy układ krążków, z których większy obraca się wokół punktu A (podpora przegubowa stała) i na na ten krążek nawinięto linkę.

dynamika14 1 1200x900 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37

Drugi koniec linki zamocowano w punkcie A i po drodze lina przechodzi przez mniejszy krążek.
Jak to działa?
Mniejszy krążek ruchem płaskim zjeżdża w dół rozwijając linkę, która jednocześnie obraca dużym krążkiem. Autor zadaje pytanie:

OBLICZ PRZYSPIESZENIA PORUSZAJĄCYCH SIĘ CIAŁ

Po pierwsze

Ustalamy jak wszystko się będzie poruszać

Rysujemy poszczególne przyspieszenia:

dynamika14 150x150 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37

 

dynamika14 1024x768 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37

Duży krążek (masa 2*m) porusza się ruchem obrotowym, czyli dajemy przyspieszenie kątowe ε1, a mały krążek (masa m) porusza się ruchem płaskim (obraca się i jednocześnie zjeżdża w dół odwijając linkę ) czyli dajemy przyspieszenie liniowe a2 (na przykład w dół bo widać gołym okiem, że będzie zjeżdżać w dół) oraz przyspieszenie kątowe ε2.

Po drugie

Uwalniamy od więzów ciała, które mają masę i piszemy równania dynamiczne z II zasady dynamiki Newtona.
Mając na myśli ”ciała które mają masę” mówimy o obu krążkach. Na początek większy krążek poruszający się ruchem obrotowym:
dynamika19 300x225 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37
Zastępujemy linę siłą i piszemy równanie dynamiczne:
S1 * 2 * r = J1 * ε1 [1]
czyli suma momentów

równa się

momentowi bezwładności

razy

przyspieszenie kątowe.

Teraz mały krążek i postępujemy analogicznie:
dynamika17 300x225 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37
zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona pojawiła się ta sama siła w linie S1. Ponieważ linka przechodzi przez mały krążek, który POSIADA MASĘ, to z drugiej strony krążka mamy inną siłę oznaczoną S2. Tak jak napisaliśmy wcześniej, mały krążek porusza się ruchem PŁASKIM, w wyniku tego napiszemy 2 równania dynamiczne (dla ruchu POSTĘPOWEGO i dla ruchu OBROTOWEGO):
S1 * r – S2 * r = J2 * ε2 [2]
m * g – S1 – S2 = m * a2 [3]

Po trzecie

Piszemy masowe momenty bezwładności dla obu krążków:
J1 = 1/2 * 2*m * (2*r)²
J2 = 1/2 * m * r²

Po czwarte

Liczymy niewiadome występujące w 3 równaniach dynamicznych:
S1, ε1, S2, ε2, a2
a więc mamy 5 niewiadomych i 3 równania. Musimy stworzyć 2 związki kinematyczne.

A więc do dzieła:

Mniejszy krążek porusza się ruchem płaskim i posiada chwilowy środek obrotu w punkcie B. Mówiąc prościej, linka między punktami A i B wisi sobie nieruchomo, a to znaczy, że punkt B też jest nieruchomy . Punkt B jednocześnie jest punktem na lince i punktem na krążku. Jeżeli jest taki punkt na krążku, który jest chwilowo nieruchomy, to jest to CHWILOWY ŚRODEK OBROTU. Jest taka zależność, która wiąże przyspieszenia liniowe i kątowe:
a2 = ε2 * r [4]

Jest pierwszy związek kinematyczny, to teraz narysujmy sobie rozkład przyspieszeń na mniejszym krążku (to co poniżej jest zaznaczone na czerwono):
DYNAMIKA18 300x225 - Przyspieszenia liniowe i kątowe mas - dynamika - zadanie 37
Teraz jak się spojrzy na powyższy obrazek, to widać, że:
– w punkcie B mamy przyspieszenie równe zero (mówiąc inaczej jest to chwilowy środek obrotu),
– środek małego krążka porusza się z przyspieszeniem a2
– idąc dalej w prawo po średnicy małego krążka napotykamy na punkt C i widać, że on ma DWA RAZY większe przyspieszenie niż środek krążka ( 2*a2 ). To samo przyspieszenie ma punkt D na dużym krążku i można je zapisać inaczej i analogicznie do równania [4]:
2 * a2 = ε1 * 2 * r [5]
W ten sposób powstał układ 5 równań, z którego obliczymy 5 niewiadomych:
S1 * 2 * r = 1/2 * 2*m * (2*r)² *ε1 [1]
S1 * r – S2 * r = 1/2 * m * r² * ε2 [2]
m * g – S1 – S2 = m * a2 [3]
a2 = ε2 * r [4]
2 * a2 = ε1 * 2 * r [5]

S1 = m * 2*r *ε1 [1]
S1 – S2 = 1/2 * m * r * ε2 [2]
m * g – S1 – S2 = m * a2 [3]
a2 = ε2 * r [4]
a2 = ε1 * r [5]

Przyrównujemy do siebie równania [4] i [5]
ε2 * r [4]= ε1 * r [5]
ε2 = ε1

S1 = m * 2*r *ε1 [1]
S1 – S2 = 1/2 * m * r * ε2 [2]
m * g – S1 – S2 = m * a2 [3]
ε2 * r = ε1 * r [4] i [5] ==> ε2 = ε1

Odejmujemy stronami równania [1] oraz [2]:
S2 =1,5*m*r *ε1 [1 minus 2]

To co wyszło wraz z równaniem [1] wstawiamy do równania[3]
m * g – m * 2*r *ε1 – 1,5*m*r *ε1 = m * ε1 * r [3]
g = 4,5* ε1 * r [3]

Przyspieszenie kątowe dużego krążka (o masie 2*m) wyniesie:
ε1 = 0,22*g /r

a przyspieszenie liniowe małego krążka:
a2 = ε2 * r = ε1 * r = [0,22*g /r] * r = 0,22*g

Przyspieszenie kątowe małego krążka:
ε2 = ε1 = 0,22*g / (ε1*r)