Linia ugięcia belki – zadanie 48

Witam wszystkich i dzisiaj powrócimy do tematu linii ugięcia belki i zrobimy kolejne zadanie. Już o tym było wcześniej i dzisiaj spojrzymy na belkę z poniższego szkicu
liniaugieciabelki 1024x293 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Belkę oparto na dwóch podporach przegubowych i w połowie długości przyłożono moment. Autor zadania stawia pytanie:

WYZNACZ LINIĘ UGIĘCIA BELKI

Na początek

UWOLNIMY BELKĘ OD WIĘZÓW

czyli zastąpimy podpory reakcjami
liniaugieciabelki2 1024x314 - Linia ugięcia belki - zadanie 48

Następnie

OBLICZYMY REAKCJĘ

na jednym z końców belki. Wiadomo że jest to układ sił płaski rozbieżny (albo dowolny), czyli możemy napisać 3 równania równowagi:
– dwie sumy rzutów sił
– i suma momentów względem obranego punktu.
Aby pójść najkrótszą drogą wybierzemy tą ostatnią możliwość – obliczymy sumę momentów względem punktu C.
ΣMiC = RA * 2 * L + M = 0
RA * 2 * L = (-M)
z której wynika reakcja w lewej podporze:
RA = (-0,5) * M/L

Belka składa się z dwóch przedziałów:
– pierwszy – od lewej podpory A do przyłożonego momentu M
– drugi – od przyłożonego momentu do prawej podpory C
W każdym z tych przedziałów

OBLICZYMY MOMENT ZGINAJĄCY

Zakrywamy belkę w taki sposób, żeby było widać kawałek PIERWSZEGO PRZEDZIAŁU i piszemy moment zginający:

liniaugieciabelki3 1024x562 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Mg(x) = RA * x = (-0,5) * M/L * x

Podobnie działamy z DRUGIM PRZEDZIAŁEM:

liniaugieciabelki4 1024x426 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Mg(x) = RA * x + M = (-0,5) * M/L * x + M

Znamy momenty zginające, to teraz napiszemy

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINII UGIĘCIA

E * J * d²y/dx² = -Mg(x)
A tak to będzie wyglądać dla PIERWSZEGO PRZEDZIAŁU:
E * J * d²y/dx² = 0,5 * M/L * x
Jest to równanie różniczkowe stopnia drugiego, a więc dwa razy musimy je scałkować:
E * J * dy/dx = 0,5 * M/L * 1/2*x² + C1
E * J * dy/dx = 0,25 * M/L * x² + C1
E * J * y = 0,25 * M/L * 1/3 * x³ + C1*x + D1
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ + C1*x + D1

Tak samo zrobimy z DRUGIM PRZEDZIAŁEM:
E * J * d²y/dx² = 0,5 * M/L * x – M
E * J * dy/dx = 0,5 * M/L * 1/2 * x² – M * x + C2
E * J * dy/dx = 0,25 * M/L * x² – M * x + C2
E * J * y = 0,25 * M/L * 1/3 * x³ – M * 1/2 * x² + C2*x + D2
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ – M * 1/2 * x² + C2*x + D2

W dwóch obliczonych równaniach (dla PIERWSZEGO i DRUGIEGO PRZEDZIAŁU) mamy 4 niewiadome – stałe całkowania C1, D1, C2 oraz D2. Żeby to obliczyć to musimy napisać cztery (bo są cztery niewiadome)
WARUNKI BRZEGOWE
O warunkach brzegowych już kiedyś rozmawialiśmy
https://blog-student.com/wytrzymalosc-zginanie-zadanie-12-linia-ugiecia-belki/
i warto ten temat przypomnieć. Idąc po kolei przyjrzyjmy się PIERWSZEMU PRZEDZIAŁOWI – widać że w punkcie A (czyli dla współrzędnej x=0) belka nie zmieni swojego położenia w pionie (a to znaczy że y=0 – pierwszy warunek brzegowy).

liniaugieciabelki5 1024x349 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Po drugie widać że w punkcie B (dla x=L) położenie w pionie pierwszego i drugiego przedziału jest identyczne – mówiąc lub pisząc prościej w punkcie B PIERWSZY PRZEDZIAŁ belki styka się z DRUGIM PRZEDZIAŁEM (można to zapisać y1=y2 – drugi warunek brzegowy).

liniaugieciabelki6 1024x392 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Czas na DRUGI PRZEDZIAŁ i co widzimy?
Widzimy, że w punkcie B (dla x=L) styczna do belki w PIERWSZYM PRZEDZIALE jest równoległa do stycznej do belki w DRUGIM PRZEDZIALE. Jeżeli styczne są równoległe do siebie, to pochodne są równe (y1′ = y2′ – trzeci warunek brzegowy).

liniaugieciabelki7 1024x477 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Dodatkowo widzimy że w punkcie C (dla x=2*L) belka nie zmieni położenia w pionie, ponieważ w tym punkcie jest zamocowana podporą przegubową (y=0 – czwarty warunek brzegowy).

liniaugieciabelki8 1024x399 - Linia ugięcia belki - zadanie 48
Mamy wszystkie warunki brzegowe i teraz wstawiamy
WARUNKI BRZEGOWE DO ODPOWIEDNICH RÓWNAŃ LINII UGIĘCIA
aby obliczyć stałe całkowania.
Pierwszy warunek brzegowy wstawiamy do równania pierwszego przedziału:
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ + C1*x + D1
E * J * 0 = M/L * 1/12 * 0³ + C1*0 + D1
D1=0

Drugi warunek brzegowy wstawiamy do równania pierwszego i drugiego przedziału:
M/L * 1/12 * x³ + C1*x + D1 = M/L * 1/12 * x³ – M * 1/2 * x² + C2*x + D2
M/L * 1/12 * L³ + C1*L = M/L * 1/12 * L³ – M * 1/2 * L² + C2*L + D2
M * 1/12 * L² + C1*L = M * 1/12 * L² – M * 1/2 * L² + C2*L + D2
C1*L = (- M) * 1/2 * L² + C2*L + D2
C1 = C2 + D2/L – M * 1/2 * L

Trzeci warunek brzegowy wstawiamy do równania pierwszego stopnia pierwszego i drugiego przedziału:
0,25 * M/L * x² + C1 = 0,25 * M/L * x² – M * x + C2
C1 = (- M) * x + C2
C1 = (- M) * L + C2

Wobec powyższego odejmiemy stronami związki z drugiego i trzeciego warunku brzegowego:
C1 = C2 + D2/L – M * 1/2 * L
C1 = (- M) * L + C2

C1 – C1 = C2 + D2/L – M * 1/2 * L – [(- M) * L + C2 ]
0 = D2/L – M * 1/2 * L + M * L
0 = D2/L + M * 1/2 * L
0 = D2 + M * 1/2 * L²
D2 = (-M/2) * L²

Czwarty warunek brzegowy wstawiamy do równania drugiego przedziału:
E * J * 0 = M/L * 1/12 * (2*L)³ – M * 1/2 * (2*L)² + C2*2*L + (-M/2) * L²
0 = M/L * 1/12 * 8*L³ – M * 1/2 * 4*L² + C2*2*L – M/2 * L²
0 = M * 8/12*L² – M * 4/2 *L² + C2*2*L – M/2 * L2
0 = M * 4/6 * L² – M * 12/6 * L² + C2*2*L – M * 3/6 * L²
0 = (- M )* 11/6 * L² + C2*2*L
0 = (- M) * 11/12 * L + C2
C2 = M * 11/12 * L

Powracamy do drugiego warunku brzegowego:
C1 = (- M) * L + C2 = (- M) * L + M * 11/12 * L =
= (- M/12) * L

Wszystkie stałe całkowania są policzone, czyli możemy je wstawić do wcześniej scałkowanych równań.

Pierwszy przedział:
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ + (- M/12) * L*x + 0
y1 = [M/L * 1/12 * x³ – M/12 * L*x] : (E * J)

I drugi przedział:
E * J * y = M/L * 1/12 * x³ – M * 1/2 * x² + M * 11/12 * L*x + (-M/2) * L²
y = [M/L*1/12*x³ – M/2*x² + M*11/12*L*x – M/2 * L² ] : (E * J)
Teraz dopiero widać jakie to jest łatwe!

Równia pochyła i tarcie – zadanie 47

Witam wszystkich i dzisiaj zrobimy zadanie z tarciem i równią pochyłą.
tarcie1 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
Na równi pochyłej leży klocek o masie 2*m a za nim opierają się o niego dwa klocki (o masie m) leżące jeden na drugim i jest dany współczynnik tarcia między klockami oraz równią . Ten co wymyślił zadanie, zadaje pytanie:

JAKI MOŻE BYĆ MAKSYMALNY KĄT α, ŻEBY TO WSZYSTKO POZOSTAŁO NIERUCHOME

Łatwo sobie wyobrazić, że jeżeli kąt równi będzie za duży, to wszystko zjedzie na dół.
To co widzimy na obrazku, to jest

UKŁAD ZŁOŻONY

czyli w tym przypadku:

-duży klocek

-i dwa małe klocki.

Wobec tego przechodzimy do

KROKU PIERWSZEGO

Rozkładamy układ złożony na

UKŁADY PROSTE:

duży klocek
mały klocek
– drugi mały klocek

Rysujemy duży klocek i uwalniany od więzów
tarcie2 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
czyli rysujemy siły pochodzące od:
– ciężaru
– nacisków dwóch mniejszych klocków które go naciskają
– nacisku i tarcia od równi na której klocek stoi.

Łatwo zauważyć że jest to układ sił płaski zbieżny, a więc można napisać 2 równania równowagi:

– suma rzutów sił na oś x
– suma rzutów sił na oś y

https://blog-student.com/statyka-sciaga-podstawy/
Klocek i cała równia lecą pod kątem i dlatego obrócimy układ współrzędnych o kąt α:
I teraz równania równowagi:
ΣPix = m*N1 – N2 – N3 – 2*m*g*sinα = 0 [1]
ΣPiy = N1 – 2*m*g*cosα = 0 [2]

Duży klocek został uwolniony od więzów i równania napisane, to teraz analogicznie działamy z małym górnym klockiem:
tarcie3 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
Tutaj podobnie obrócimy układ współrzędnych i napiszemy równania równowagi statycznej:
ΣPix = m*N4 + N2 – m*g*sinα = 0 [3]
ΣPiy = N4 – m*g*cosα = 0 [4]

Analogicznie rozwiążemy temat małego dolnego klocka:

tarcie4 - Równia pochyła i tarcie - zadanie 47
ΣPix = m*N5 – m*N4 + N3 – m*g*sinα = 0 [5]
ΣPiy = N5 – N4 – m*g*cosα = 0 [6]

W DRUGIM KROKU

obliczymy szukany kąt α równi z powyższych sześciu równań statycznych.

Dodajemy stronami równania [4] i [6] :
N4 – m*g*cosα + N5 – N4 – m*g*cosα= 0
(- m)*g*cosα + N5 – m*g*cosα= 0
Nacisk pomiędzy dolnym małym klockiem a równią:
N5 = 2*m*g*cosα

Z równania [4] obliczymy nacisk między dwoma małymi klockami:
N4 = m*g*cosα

Z równania [2] wynika nacisk równi na duży klocek:
N1 = 2*m*g*cosα

Z równania [5] :
μ*2*m*g*cosα – μ*m*g*cosα + N3 – m*g*sinα = 0
μ*m*g*cosα + N3 – m*g*sinα= 0
Nacisk między dużym a małym dolnym klockiem:
N3 = m*g*sinα – μ*m*g*cosα

Z równania [1] :
μ*N1 – N2 – N3 – 2*m*g*sinα = 0
μ*2*m*g*cosα – (m*g*sinα – μ*m*g*cosα ) – 2*m*g*sinα = N2
μ*2*m*g*cosα – m*g*sinα + μ*m*g*cosα – 2*m*g*sinα = N2
Nacisk między dużym a małym górnym klockiem:
N2 = μ*3*m*g*cosα – 3*m*g*sinα

Wszystko co udało się obliczyć wstawiamy do równania [3]:
μ*m*g*cosα + μ*3*m*g*cosα – 3*m*g*sinα – m*g*sinα = 0
μ*4*m*g*cosα – 4*m*g*sinα = 0
μ*4*m*g*cosα = 4*m*g*sinα
μ*cosα = sinα
Dzielimy obie strony równania przez cosα:
tgα = μ
Wobec tego szukany kąt, żeby te wszystkie klocki nie zjechały na dół wynosi:
α = arctg μ

Prawda że łatwe?

Rzutowanie i przekroje – rysunek techniczny

Kontynuując temat rysunku technicznego

https://blog-student.com/rzutowanie-bryl-rysunek-techniczny/

dzisiaj zaczniemy mówić o rzutowaniu i przekrojach. Dlatego zaczniemy ponieważ temat jest szeroki i interesujący. Dla przykładu spojrzymy na taką prostą bryłę:
przekroje - Rzutowanie i przekroje - rysunek techniczny
Ta prosta bryła posiada cztery różne otwory i naszym zadaniem będzie pokazanie tych otworów przy pomocy odpowiednich przekrojów w odpowiednim układzie rzutów. Tradycyjnie jako rzut główny wybierzemy taki przekrój, który pokazuje najwięcej i najlepiej obrazuje kształt bryły i dlatego zrobimy przekrój pionowy przez 2 duże otwory w pionowych ściankach i w tym miejscu przypomnimy znaczenie słowa

”przekrój”.

Wyobraźmy sobie, że przecinamy przedmiot płaszczyzna przekroju, odrzucamy to co jest za płaszczyzną przekroju
PRZEKROJE1 - Rzutowanie i przekroje - rysunek techniczny
oraz patrzymy się na to co pozostało (po przekrojeniu) prostopadle do płaszczyzny przekroju. I oto co widzimy:
przekroje11 - Rzutowanie i przekroje - rysunek techniczny
I to będzie rzut główny. Mając rzut główny zrobimy rzut z boku. Przypominam, że stosujemy rzutowanie

metodą europejską

i ten temat sobie przypomnimy. Wobec tego rzut z boku powstanie w taki sposób, jakbyśmy przewracali bryłę na bok i zobaczyli co widzimy po przewróceniu.
PRZEKROJE2 - Rzutowanie i przekroje - rysunek techniczny
Analogicznie jak w przypadku rzutu głównego także i tutaj ustalamy, że rzut z boku będzie również przekrojem przeprowadzonym przez dwa otwory w podstawie.
przekroje21 - Rzutowanie i przekroje - rysunek techniczny
Mamy dwa rzuty i teraz zrobimy trzeci rzut, który będzie widokiem z góry. Ponownie wyobrażamy sobie, że przewracamy przedmiot i dostajemy widok z góry po jego przewróceniu.
przekroje3 - Rzutowanie i przekroje - rysunek techniczny
I tak to wygląda w całości
przekroje31 - Rzutowanie i przekroje - rysunek techniczny
Prawda że łatwe?

Obliczenie średnicy nitu – zadanie 46

Cześć wszystkim,  dzisiaj kolejne zadanie ze ścinania – obliczymy średnicę nitów. Niedawno ten temat omawialiśmy

https://blog-student.com/wytrzymalosc-scinanie-zadanie-15/

na trochę innym przykładzie.
scinanienitow2 - Obliczenie średnicy nitu - zadanie 46
Na obrazku widzimy połączenie nitowe dwóch okrągłych płytek przy pomocy 4 nitów. Do każdej z płytek przyłożono moment M – dla równowagi jeden przeciwny do drugiego. Dana jest grubość płytek g oraz średnica położenia nitów D:
scinanienitow1 - Obliczenie średnicy nitu - zadanie 46
oraz dopuszczalne naprężenia ścinające dla materiału nitu kt.
Autor zadaje pytanie:

OBLICZ WYMAGANĄ ŚREDNICĘ d NITU

Jeżeli jest podane dopuszczalne naprężenie ścinające kt dla materiału nitu, to znaczy że potrzebujemy warunku wytrzymałościowego na ścinanie.
Oto jak należy do tego podejść:

Warunek wytrzymałościowy na ścinanie:
T / (4 * π*d²/4) < kt
gdzie

-T oznacza siłę ścinającą nit,
– liczba 4 oznacza występowania 4 nitów,
– π*d²/4 oznacza przekrój nitu o średnicy d (pole koła).

T / (π*d²) < kt
T = π*d² * kt
Po przekształceniu:
d = √[T / (π*kt)]

Nie znamy siły ścinającej T , która pochodzi od przyłożonego momentu M. Moment jest zrównoważony przez 4 jednakowe siły ścinające T działające na ramieniu D/2:
4 * T * D/2 = M
Kolejno mamy
– siła razy ramie czyli T*D/2
– i liczba 4 bo są cztery nity.

I to wszystko jest równe przyłożonemu momentowi M.
W związku z tym siła ścinająca wyniesie:
T = M / (4 * D/2) = M / (2 * D) = 0,5*M / D
i wstawiamy ją do wzoru na wymaganą średnicę nitu:

d =√[T/(π*kt) = √[(0,5*M/D) / (π*kt)]= √[(0,5*M) / (π*kt*D)]

Prawda że łatwe?

Trójkierunkowy stan naprężenia – zadanie 45

W nieodkształcalnym sześcianie o boku L wycięto rowek o szerokości 0,5*L i wsunięto prostopadłościan o wymiarach jak na poniższym rysunku.
uogolnioneprawohooke - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Prostopadłościan obciążono poziomą siłą P i z drugiej strony taka sama siła działa na nieodkształcalny sześcian.
Materiał prostopadłościanu posiada moduł Younga E oraz stałą Poissona ν . Jak widać początkowa wysokość prostopadłościanu wynosi L i wobec tego autor zadaje pytanie:

OBLICZ ZMIANĘ WYSOKOŚCI PROSTOPADŁOŚCIANU PO PRZYŁOŻENIU SIŁY P

Na sam początek ustalamy układ współrzędnych.
uogolnioneprawohooke2 - Trójkierunkowy stan naprężenia - zadanie 45
Kolejno , jak zawsze w zadaniach tego typu, piszemy

3 równania opisujące trójkierunkowy stan naprężenia

εx = σx/E – ν*σy/E – ν*σz/E [1]
εy = σy/E – ν*σx/E – ν*σz/E [2]
εz = σz/E – ν*σx/E – ν*σy/E [3]

z których mamy 6 niewiadomych:
– odkształcenia względne wzdłuż 3 osi – εx, εy , εz
– naprężenia wzdłuż 3 osi – σx , σy , σz

Z prostej mechaniki wynika 6 równań oraz 6 niewiadomych, czyli potrzebujemy 3 dodatkowych równań. Oczywiście te dodatkowe równania będą związane z naprężeniami i względnymi odkształceniami.
Wiadomo że prostopadłościan nie odkształci się w kierunku y, ponieważ jest wciśnięty w wycięcie sześcianu. w związku z tym względne odkształcenie wzdłuż osi y wynosi ZERO:
εy = 0 [4]

Po drugie widać że siła P działa na ściankę sześcianu

(o wymiarach 0,5*L x L)

wzdłuż osi x. Zatem naprężenie w kierunku x wyniesie tyle co siła podzielona przez powierzchnię:
σx = P : (0,5*L * L) = 2*P / L² [5]

W kierunku osi z na ścianki (o wymiarach 0,75*L x 0,5*L) nic nie naciska, a jak nic nie naciska, to w tym kierunku nie ma naprężenia:
σz = 0[6]

Teraz już pójdzie z górki, ponieważ wstawiamy powyższe równania do równań [1] , [2] oraz [3].

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E – ν*0/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*0/E [2]
εz = 0/E – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Po uproszczeniu:

εx = (2*P / L²)/E – ν*σy/E [1]
0 = σy/E – ν*(2*P / L²)/E [2]
εz = – ν*(2*P / L²)/E – ν*σy/E [3]

Wyciągamy σy z równania [2]:
σy/E = ν*(2*P / L²)/E
σy = ν*(2*P / L²)
i wstawiamy do równania [3] żeby obliczyć odkształcenie względne w kierunku pionowym:
εz = -ν * (2*P / L²)/E – ν/E * ν * (2*P /L²) = -ν*(2*P/L²)/E * (1+ν) =
= (1+ν)*ν*2*P / (E*L²)
Mnożąc

odkształcenie względne

przez

początkową wysokość L

obliczymy zmianę wysokości po przyłożeniu siły:
Δh = L*(1+ν)*ν*2*P / (E*L² ) = (1+ν)*ν *2*P / (E*L)
Prawda że łatwe?